ESTUDO DE LINHAS EQUIPOTENCIAIS: UM CASO DE SIMULAÇÃO ANALÓGICA

## ESTUDO DE LINHAS EQUIPOTENCIAIS: UM CASO DE SIMULAÇÃO ANALÓGICA

Josebel Maia dos Santos 1 , José Carlos Oliveira de Jesus , Antonio César do 2 Prado Rosa Júnior 3 , Clebson dos Santos Cruz , Álvaro Santos Alves 4 5

1 Universidade Estadual de Feira de Santana, Josebiao@gmail.com

- 2 Universidade Estadual de Feira de Santana, aprendizfaced@gmail.com
- 3 Universidade Federal da Bahia, Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável, Campus Barreiras, Bahia, Brasil, acprj2@yahoo.com.br
- 4 Universidade Estadual de Feira de Santana, clebsonscruz@yahoo.com.br
- 5 Universidade Estadual de Feira de Santana, asafis43@gmail.com

## Resumo

O estudo de superfícies equipotenciais é uma prática experimental comum em laboratórios didáticos de eletricidade e magnetismo dos cursos de graduação em Física. A forma tradicional desses estudos consiste no mapeamento de linhas de corrente estacionárias em uma cuba contendo uma solução eletrolítica, utilizando-se o método de detecção de nulo. As dificuldades técnicas relacionadas à elaboração e realização dessa experiência tornam a aula prática desestimulante para os estudantes, desfavorecendo a aprendizagem significativa dos conceitos-alvos (campo elétrico, potencial elétrico e superfícies equipotenciais). Neste trabalho, propõe-se como alternativa a essa técnica experimental uma simulação analógica utilizando uma rede quadrada de resistores para representar o espaço onde se configuram as superfícies e/ou linhas equipotenciais. A simulação de configurações conhecidas (potencial fixado em um ponto do espaço; potenciais simétricos fixados em dois pontos do espaço; duas placas paralelas, a potenciais distintos) mostra uma boa concordância entre a teoria e os resultados experimentais. Simulou-se também a configuração de placas paralelas com defeitos ou estruturas entre elas, a exemplo de um para-raios. Nesse projeto de Ensino de Física, inspirado na perspectiva PBL, o estudante é desafiado a realizar simulações computacionais das configurações, com o intuito de compreender/corroborar os resultados experimentais obtidos. A análise numérica exigiu a implementação do método de diferenças finitas para resolver a equação de Laplace nas configurações experimentais supra.

Palavras-chaves : Simulação analógica. Linhas equipotenciais. Equação de Laplace. Método de diferenças finitas.

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## Introdução

As medidas de potenciais e campos são experimentos difíceis de serem realizados em laboratórios didáticos convencionais. Para minimizar ou contornar as dificuldades, é preciso gerar campos em meios que possuam baixa resistividade ou contar com condições ambientais especiais, uma vez que até a umidade do ar prejudica a realização do experimento. Outra estratégia é realizar os experimentos no vácuo, mas isso implica em custos altos, além de acrescentar dificuldades técnicas de outra natureza.

Tradicionalmente, o experimento de superfícies equipotenciais consiste na simulação analógica de um espaço homogêneo, onde se utiliza uma solução eletrolítica [1, 2, 3] em uma cuba de vidro. Fixando-se a posição de um eletrodo de referência em ponto da cuba, encontram-se os demais pontos pertencentes a uma mesma linha equipotencial por meio da técnica de detecção de nulo. Mudando-se a posição do eletrodo de referência, refaz-se o procedimento e encontra-se uma nova linha, repetindo-se o procedimento até que todo o espaço da cuba esteja mapeado. Contudo, dificuldades técnicas são encontradas na realização deste experimento, dentre elas a cristalização da solução ao longo do tempo. Com a formação de cristais, o meio deixa de ser homogêneo, alterando a configuração das linhas equipotenciais. Às vezes, isso obriga os estudantes a interromper a prática (coleta de dados) e substituir a solução eletrolítica. Geralmente, com o mapeamento das linhas, o estudante consegue relacionar a geometria das superfícies condutoras colocadas na cuba com a forma das linhas equipotenciais mais próximas a essas superfícies, mas dificilmente consegue ampliar seu conhecimento, porque não coleta dados numéricos que possa manipular a partir dos conceitos teóricos para abstrair daí características quantitativas do potencial e do campo elétrico. Assim, a despeito da elegância do método de detecção de nulo, seu potencial formativo resume-se basicamente à descrição das linhas.

Como alternativa à cuba eletrolítica, propõe-se a elaboração de um experimento didático onde o espaço homogêneo será simulado por uma rede quadrada de resistores. Em cada ponto interior da rede, encontram-se os terminais de 04 (quatro) resistores. Os pontos laterais reúnem os terminais de 03 (três) resistores e os pontos dos cantos têm apenas 02 (dois) terminais. Cada ponto da rede correspondente a um elemento de uma matriz quadrada. Uma 'superfície' condutora nesse 'meio' é construída a partir de curtos-circuitos de pontos da rede, adjacentes ou não. Essa é uma grande vantagem prática da malha de resistores: a versatilidade. Por outro lado, para introduzir uma superfície na cuba eletrolítica é preciso construí-la previamente, limitando o experimento a algumas poucas configurações.

O procedimento experimental consiste em medir a d.d.p. em cada ponto da rede com um multímetro e registrar os dados em uma matriz. A representação, a análise e o tratamento de dados podem ser feitas com softwares disponíveis na Web. A representação espacial dos dados experimentais geralmente resume-se à construção de dois tipos gráficos: um que ilustra a distribuição espacial do potencial, exibindo as regiões de maior e menor variação relativa, e outro que mostra as superfícies de nível, isto é, a projeção das linhas equipotenciais sobre o plano da malha, uma representação bidimensional.

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Nesse trabalho, foram utilizados os softwares SCILAB e SCIDAVIS (ambos disponíveis gratuitamente na internet) para o tratamento de dados. Para complementar esse trabalho, utilizou-se o método de spline cúbico para a interpolação da matriz de potenciais medidos na malha, melhorando a representação das curvas de nível.

À diferença da cuba eletrolítica, aqui é possível também realizar uma simulação computacional dos resultados experimentais. Para tanto, implementou-se o método de diferenças finitas para resolução da equação de Laplace [4]. O algoritmo foi desenvolvido utilizando-se o software científico SCILAB. Os cálculos são feitos ponto a ponto. Os resultados são comparados diretamente com o experimento. Posteriormente, o método de diferenças finitas [5] foi implementado em Fortran 95 para a solução numérica da equação de Laplace [6], na configuração de placas paralelas, onde acrescentou-se também 'defeitos ou estruturas' para simular nuvens, prédios e para-raios.

## Montagem da malha de resistores

A malha simula um meio eletricamente homogêneo, por isso todos os resistores possuem a mesma resistência R de 1k Ω (um kiloohm), dentro do erro estatístico de 1% dado pelo fabricante. Não obstante, as resistências elétricas dos resistores utilizados na montagem da malha foram medidas com um multímetro digital da marca BK TEST BENCH ® modelo 390. A partir dessas medidas, ® construiu-se um histograma (Figura 01) que orientou a seleção de resistores usados na montagem. O histograma ajusta-se bem a uma distribuição normal com média 987,6 Ω e desvio-padrão de 5,2 Ω , isto é, Ω ± 5,2) (987,6 = R . Como critério de seleção, optou-se por excluir da malha aqueles resistores cujos valores de resistência estavam fora de um desvio-padrão, ou seja, os valores de resistência utilizados estão no intervalo 982,4 Ω < R < 992,8 Ω .

Figura 1 : Histograma dos valores de resistência elétrica utilizados na malha.

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Para uma parte do experimento usou-se uma matriz com dimensões 24×24 sobre uma folha de Eucatex ® (Figura 2). Para a configuração de placas paralelas com defeitos (para-raios e nuvens) usou-se uma malha com dimensão de 32×32.

Figura 2 : Foto da montagem da rede para medidas realizadas para a simulação do potencial fixado em um ponto da malha.

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O método de construção da rede consistiu em marcar sobre suas superfícies pontos igualmente espaçados, separados de 2 centímetros um do outro. Nos pontos correspondentes aos nós dessa matriz foram realizados furos de 1 mm de diâmetro, com auxílio de uma furadeira manual. Tais furações serviram de encaixe para os terminais dos resistores. Depois de inseridos todos os resistores, os terminais de um mesmo nó foram unidos mecanicamente, enrolando-os com um alicate, e posteriormente fixados com solda para garantir melhor contato elétrico. Estava construída a malha de resistores.

A quantidade de resistores necessários para construção de uma matriz quadrada pode ser encontrada pela expressão ( ) 1 2 -n n , onde n representa a ordem da matriz. Cada nó da malha foi representado como um elemento de uma matriz quadrada.

No processo de construção da malha optamos em manter fixa a distância entre os resistores. Poderíamos construir a malha com essa distância variando até certo limite sem comprometer os resultados, pois os fios condutores dos terminais dos resistores são pequenos e a resistência deles é muito baixa, podendo ser desprezada. Se o tamanho desses terminais fosse muito grande, não poderíamos fazer as mesmas considerações. A resistência elétrica de um fio é diretamente proporcional ao seu comprimento e dada pela expressão: A l R ρ = , onde ρ representa a resistividade do material, l , seu comprimento, e A, sua área de seção transversal. O cobre, por exemplo, tem uma resistividade de 1,72x10 -8 Ω .m * , portanto, para um fio de 1cm de comprimento e 1mm de área a resistência é da 2 ordem de 0,1m Ω .

A superfície de um material condutor na presença de um campo elétrico estático é uma superfície equipotencial. Para simular uma tal superfície na malha de resistores são usados fio condutores ligando vários nós, adjacentes ou não, de forma a desenhar a geometria desejada do condutor. Na prática, portanto, a simulação analógica de uma superfície metálica é produzida por uma série de curtos-circuitos na malha.

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A escolha por resistores se deve ao fato de não acumularem carga e não serem muito sensíveis a variações de temperatura. Suportam valores consideráveis de corrente e têm baixo custo.

## Medidas realizadas na malha

As medidas foram feitas fixando-se uma ponta de prova do multímetro em um terminal da malha. Com a outra ponta de prova do multímetro mediu-se a diferença de potencial entre o terminal fixado e os demais terminais. Os valores medidos foram registrados em uma tabela (matriz), representando a posição de cada terminal da malha. Os dados assim registrados foram tratados utilizando-se o software livre Scidavis. A escolha desse software deve-se não somente aos recursos oferecidos, mas por sua distribuição ser gratuita. O software Scidavis converte a tabela em matriz, permitindo a construção de gráficos tridimensionais (3D) da diferença de potencial em função da posição (par ordenado (x,y)) sobre a malha (Figuras 3, 4 e 5). As linhas equipotenciais são representadas pelas curvas de nível correspondentes, ou seja, projeções bidimensionais (2D) do potencial sobre o plano (x,y) (Figuras 6 a 10).

## Resultados obtidos

As Figuras 3, 4 e 5 ilustram, para cada configuração testada, como o potencial se distribui no espaço. Para as configurações com o potencial fixo em um ponto da malha, e dipolo as linhas equipotenciais sugerem circunferências concêntricas, aproximadamente (Figura 6 e Figura 7). Para as placas paralelas, uma linha reta perpendicular ao sentido de crescimento do potencial (Figura 8). Já na Figura 9, temos as equipotenciais para configuração de para-raios.

Figura 3 : Medidas da distribuição do potencial em função da posição na rede.

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Figura 4 : Medidas da distribuição do potencial em função da posição na rede para potenciais simétricos fixados em dois pontos da rede.

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Figura 5 : Medidas mostrando a distribuição do potencial em função da posição na rede para duas 'placas paralelas'.

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Figura 6: Linhas equipotenciais para o potencial fixado em um ponto da malha.

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Figura 7 : Gráfico das linhas equipotenciais para o potencial simétrico (+V e -V) fixado em dois pontos da malha.

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Figura 8 : Gráfico das linhas equipotenciais para a configuração de placas paralelas.

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Figura 9 : Linhas equipotenciais para a configuração de um para-raios obtido a partir do resultado experimental.

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Os gráficos obtidos pela matriz interpolada foram semelhantes aos encontrados no procedimento experimental, com a particularidade de possuir uma densidade de pontos maior. Como consequência, conseguimos observar uma melhora no desenho das linhas equipotenciais.

Na simulação computacional geramos mais três gráficos semelhantes aos anteriores, usando as funções que descrevem o potencial para cada geometria testada. Os gráficos da simulação corroboraram os resultados experimentais e a interpolação. Implementou-se o método de diferenças finitas, em linguagem Fortran 95, para resolver numericamente a equação de Laplace para a configuração de placas paralelas com defeitos. A configuração com dois para-raios está mostrada na Figura 10. Observe as semelhanças e diferenças com a Figura 9.

Figura 10 : Linhas equpotenciais para a configuração de dois para-raios obtidas a partir do resultado do cálculo computacional usando diferenças finitas.

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## Considerações finais.

Além de retornar resultados satisfatórios ao determinar as linhas equipotenciais, ainda temos que nesse experimento, diferentemente do experimento tradicional, há possibilidade de visualizarmos como se o potencial se distribui no espaço, bem como a sua forma para cada geometria. Acrescentamos ainda o fato de incentivar o aluno a utilizar softwares para tratamento de dados e implementar a solução numérica de equações em linguagem de alto nível, que é fundamental em trabalhos de laboratórios e para a própria graduação.

## Referências

- [1] http://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material20102%20FFI0106%20LabFi sicaIII/02-Eletrostatica.pdf
- [2] http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/fisica/kit8\_eletricidade\_cuba\_eletrolitica/cub aeletrolitica.pdf Acesso em: 01/10/2012.
- [3] http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=33526 Acesso em: 01/10/2012.

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- [4] ARFKEN , Georg B; WEBER, Hans J. Física Matemática: métodos matemáticos para engenharia e física . Rio de Janeiro: Campus. 2007
- [5] SHADIKU, Matthew N. O. Elementos de Eletromagnetismo . São Paulo: Bookman. 3º. Edição 2004.
- [6] REITZ, John R.; MILFORD, Frederick J.; CHRISTY, Robert W. Fundamentos da teoria da eletromagnética . Rio de Janeiro: Campus, 1982.

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