ANÁLISE GRÁFICA DO LANÇAMENTO DE UM FOGUETE COM PROPULSÃO À ÁGUA E AR COMPRIMIDO

## ANÁLISE GRÁFICA DO LANÇAMENTO DE UM FOGUETE COM PROPULSÃO À ÁGUA E AR COMPRIMIDO

## Luiz Otávio Buffon e Marcelo da Silva Pereira Junior 1 2

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo/Coordenadoria de Licenciatura em Física/IFES/Campus de Cariacica, buffon@ifes.edu.br.

2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo/Curso de Ensino Médio Integrado de Operações Portuárias/IFES/Campus de Cariacica, marcello.jr@live.com.

## Resumo

Este trabalho aborda um experimento de baixo custo, onde a física de ensino médio é trabalhada de forma integrada. É analisado todo o conhecimento envolvido no lançamento de um foguete com propulsão a água e ar comprimido. É conhecido que a solução exata para o lançamento de um foguete é obtida a partir de uma equação diferencial que só é estudada em cursos superiores, mas uma aproximação pode ser feita através dos conhecimentos do ensino médio. Este estudo permite o estudante entender a interdependência das várias áreas da física tais como: mecânica, hidrodinâmica e termodinâmica, além de outras áreas como matemática e informática. É realizado um estudo teórico onde para efeito de comparação também é considerado o cálculo exato usando o cálculo diferencial e integral. Além disso, o trabalho envolve uma parte experimental de construção, lançamento e medidas experimentais, bem como uma análise numérica dessas medidas e comparação com os cálculos teóricos.

Da mecânica usamos as equações da queda livre, as Leis de Newton, conservação da quantidade de movimento para entender o movimento do foguete. Da hidrodinâmica temos as equações da continuidade e de Bernoulli, aplicadas ao escoamento da água quando o foguete é liberado. A termodinâmica é considerada, pois a expansão do ar comprimido no foguete pode ser considerada uma expansão adiabática de um gás ideal.

Neste trabalho, construímos e testamos um foguete, filmando vários lançamentos, para serem analisados através de programas computacionais tais como: Pymecavideo e Scidavis. Acreditamos que ao ensinarmos a física através de um projeto multidisciplinar e integrado propiciamos ao estudante um aprendizado concreto, duradouro e profundo. Ao tentar relacionar as diversas áreas da física e ao resolver um problema real desenvolvemos no estudante um perfil de pesquisador e de empreendedor. Embora esse projeto tenha sido desenvolvido numa iniciação científica com um estudante de ensino médio, pretendemos implantar projetos semelhantes nas turmas regulares, onde os alunos podem ser divididos em grupos e desenvolver projetos semelhantes a este.

Palavras-chave : Ensino médio, Foguete de água e ar comprimido, leis de Newton, lançamento de projéteis, equação de Bernoulli.

## 1. Introdução

O ensino da física no nível médio frequentemente apresenta o problema da falta de contextualização e da fragmentação das áreas que são estudadas de forma separadas. Para minimizar esses problemas é interessante criar um projeto teóricoexperimental que envolva às várias áreas da física, bem como outras disciplinas tais como a informática através de programas computacionais (VASCONCELOS et al., 2005).

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20 a 25 de janeiro de 2013

Souza (2007) descreveu a construção de um foguete com propulsão de água e ar comprimido como um experimento de baixo custo. A vantagem desse projeto e que ele envolve mecânica, hidrodinâmica e termodinâmica, além de matemática e informática. Toda a análise teórica é realizada por meio de uma aproximação usando os conhecimentos do ensino médio. No nosso trabalho vamos construir esse foguete e filmar vários lançamentos para posterior análise computacional.

O objetivo principal do nosso trabalho é fazer uma análise computacional do lançamento desse foguete através dos programas Pymecavideo e Scidavis. Deste modo faremos uma comparação com os resultados teóricos.

A utilização de experimentos no ensino da física apresenta muitas vantagens para o processo de ensino-aprendizagem em relação ao método tradicional de ensino teórico dentro da sala de aula (BORGES, 2002). A utilização de programas computacionais combinados com a realização de experimentos aperfeiçoa ainda mais esse aprendizado (DORNELES et al., 2012) e integra as físicas teórica e experimental. Apesar dessas potencialidades muitos professores de ensino médio ainda não utilizam essas técnicas (SARAIVA-NEVES et al., 2006), talvez por falta de material didático adequado.

Pretendemos nesse trabalho desenvolver um material didático completo que pode ser usado como projeto nas aulas de física de ensino médio. A construção do experimento é feita seguindo Souza (2007) e nós desenvolvemos toda a análise computacional dos dados experimentais.

Um segundo objetivo do nosso trabalho é comparar o resultado exato usando o cálculo diferencial e integral com a aproximação usada no nível de ensino médio para verificar sua validade.

Este trabalho está organizado da seguinte maneira. Na seção 2 apresentamos uma revisão da teoria envolvida, na seção 3 mostramos os materiais e métodos utilizados, na seção 4 apresentamos os resultados e finalmente na seção (5) fazemos as conclusões.

## 2. Revisão da Teoria

Um foguete é por definição um veículo que se move num sentido expelindo alguma substância no sentido oposto. Seu movimento pode ser descrito através da segunda Lei de Newton. A solução exata usando equações diferenciais para um foguete lançado na vertical para cima a partir da superfície da Terra (SYMON, 1971) permite obter o módulo da velocidade final do foguete

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onde 0 v é o módulo da velocidade inicial do foguete no solo, u é o módulo da velocidade de ejeção da substância em relação ao foguete, M é a massa final do foguete após a ejeção da substância, 0 M é a massa inicial do foguete, g é o módulo da aceleração gravitacional da Terra e t é o intervalo de tempo.

Para fazer a aproximação no nível de ensino médio, basta substituir os elementos diferenciais por variações finitas da quantidade de movimento e do tempo. Essa aproximação possui uma margem de erro, mas permite estudar o

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fenômeno de forma mais simples. Assim, a velocidade final do foguete em relação à Terra é:

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onde m Δ é a variação da massa do foguete num tempo t Δ .

A velocidade de saída da água em relação ao foguete é determinada pela equação de Bernoulli aplicada a um ponto na superfície da água dentro do foguete e outro ponto na abertura por onde saí a água. Essa velocidade (BOSE, 1983) é:

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onde p é a pressão do ar dentro do foguete, atm p é a pressão atmosférica e a ρ é a densidade da água.

A pressão interna pode ser determinada em função do volume supondo que a expansão seja rápida o suficiente para ser considerada adiabática e que o ar seja aproximadamente um gás ideal diatômico (KAGAN et al., 1995). Assim temos

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ar e γ é o coeficiente de Poisson que para o ar pode ser considerado como sendo igual a 1,4 .

## 3. Materiais e Métodos

Após a construção do foguete usando garrafas pet , certa quantidade de água é introduzida e o sistema é tampado com uma rolha acoplada a uma mangueira. O conjunto é colocado na base de lançamento como mostrado na figura 1

Figura 1: Em (a) é mostrado a arranjo com a água dentro do foguete e o ar comprimido sendo injetado através da bomba. Em (b) a ejeção de água devido a alta pressão do ar comprimido impulsiona o foguete para cima (SOUZA, 2007).

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Usando uma bomba de bicicleta é injetado ar comprimido dentro do foguete, aumentando a pressão interna até um valor crítico máximo que pode ser sustentado pela rolha. Quando esse limite é atingido, a água expulsa a rolha e sai do foguete para baixo com certa velocidade, impulsionando o foguete para cima com uma força. Enquanto a água está sendo expelida essa força é mantida sendo ela de valor variável. Ao terminar a ejeção da água as únicas forças que atuam no foguete são o peso e a resistência do ar.

Fizemos uma série de lançamentos não verticais que foram filmados para serem analisados através do programa de análise. As equações (1), (2) e (3) foram deduzidas para lançamentos verticais, contudo é possível mostrar que o efeito da gravidade durante o tempo de ejeção da água pode ser desprezado de forma que essas equações também são válidas para lançamentos não verticais.

O programa Pymecavideo permite medir as coordenadas horizontal (x) e vertical (y) em função do tempo (t) de lançamento com intervalos de tempo de s t 04 , 0 = Δ . A partir desses dados coletados usamos o programa de análise gráfica SCIDAVIS para fazer os gráficos de y versus t, x versus t e Y versus x. Além disso, fizemos os ajustes das curvas polinomiais que melhor descrevem os pontos experimentais. Assim, foi possível determinar algumas grandezas tais como a velocidade inicial, a aceleração da gravidade e o ângulo de lançamento. Nesses cálculos desprezamos a resistência do ar e usamos as equações do lançamento

## 4. Resultados da Análise Computacional

## 4.1. Gráfico do deslocamento horizontal versus tempo

A partir dos dados experimentais uma reta é obtida pelo processo de regressão linear através do programa SCIDAVIS [ver Figura 2]. O ajuste linear fornece a função: o x x t v t x + = ) ( , com a componente horizontal da velocidade inicial ( ) s m v x / 12 , 0 45 , 12 ± = e a posição inicial (-) m x o 06 , 0 22 , 0 ± = . A posição inicial deveria ser nula, mas devido a incertezas nas medidas e a aceleração inicial do foguete acabou dando diferente de zero mesmo contando com a faixa de erro fornecido pelo ajuste linear do gráfico.

## Gráfico do deslocamento horizontal versus tempo

Figura 2: Os pontos são dados experimentais e a reta é obtida pelo processo de regressão linear através do programa SCIDAVIS.

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## 4.2. Gráfico do deslocamento vertical versus tempo

Usando os dados experimentais obtemos uma curva pelo processo de regressão polinomial através do programa SCIDAVIS [ver Figura 3]. O ajuste usando um polinômio do segundo grau fornece a função:

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com a altura inicial (-) m y o 19 , 0 75 , 0 ± = , a componente vertical da velocidade inicial ( ) s m v oy / 03 , 1 30 , 25 ± = e a aceleração da gravidade ( ) 2 / 34 , 1 18 , 11 s m g ± = . A altura inicial possui um pequeno erro, pois deveria ser nula e a aceleração apesar de ser alta está de acordo com o valor conhecido 2 / 81 , 9 s m g = , dentro da margem de erro. Nos nossos cálculos não levamos em conta a resistência do ar que na subida acentua a desaceleração do foguete.

## Gráfico do deslocamento vertical versus tempo

Figura 3: Os pontos são dados experimentais e a curva é obtida pelo processo de regressão polinomial através do programa SCIDAViS.

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## 4.3. Gráfico do deslocamento vertical versus deslocamento horizontal

Permite visualizar a trajetória seguida pelo foguete [ver Figura 4]. Os pontos fora da parábola são devido a imprecisões e dificuldades no uso do programa para analisar o vídeo.

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## Gráfico do deslocamento vertical versus tempo

Figura 4: Os pontos são dados experimentais e a curva é obtida pelo processo de regressão polinomial através do programa SCIDAVIS.

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## 4.4. Cálculo experimental da velocidade inicial

O módulo pode ser calculado usando as componentes s m v v v oy ox o / 20 , 28 2 2 = + = . O ângulo de lançamento é obtido através da expressão ox oy v v = ) tan( θ , fornecendo o resultado o 80 , 63 = θ .

## 4.5. Cálculo da Velocidade Inicial através da ejeção da água

A velocidade inicial do lançamento oblíquo é a velocidade final do foguete durante a ejeção da água que pode ser calculada exatamente através da equação (1). Nesse lançamento os dados são: A pressão interna inicial do foguete foi de Pa p o 5 10 5 , 3 × = ; a variação do volume de água após a ejeção total da água (Δ ) mL Va V 830 = = ; massa do foguete vazio ( ) kg mF 081 , 0 = ; volume inicial de ar dentro do foguete ( ) L V 17 , 1 0 = ; volume total do foguete ( ) L V 2 = ; pressão atmosférica

( ) Pa p atm 5 10 05 , 1 × = ; aceleração da gravidade ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 81 , 9 s m g ; a velocidade inicial do foguete no solo ( ) 0 0 = v ; a densidade da água ( ) 3 / 1000 m kg a = ρ .

Usando a equação (1) temos para o cálculo exato a velocidade s m v exata o / 78 , 27 = e usando a equação (4) temos para a aproximação de ensino médio s m v médio E o / 46 , 10 = . Comparando essas velocidades confirmamos as conclusões de que a aproximação de ensino médio é razoável, pois existe uma concordância quanto à ordem de grandeza dessas velocidades. O resultado exato

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s m v exata o / 78 , 27 = está em boa concordância com a velocidade inicial calculada usando os dados cinemáticos s m v o / 20 , 28 = .

## 4.6 Outros cálculos importantes

Tomando 2 0 ) ( 2 t g t v y t y oy o -= = -, obtemos o tempo total de movimento s g v t oy 15 , 4 2 = = e através da equação m x t v t x o x 45 , 51 22 , 0 15 , 4 45 , 12 ) ( = -× = + = temos o alcance horizontal. A altura máxima é obtida usando o tempo de subida de s t 08 , 2 = na equação horária (5) dando = H 25,53 metros de altura.

## 4.7. Comparação dos resultados exatos com a aproximação

Usando os dados experimentais de Souza (2007) e (2) obtivemos a velocidade final do foguete depois de toda a água ser ejetada ( ) s m v / 06 , 18 1 = . Comparando-se a velocidade média s m v m / 5 , 22 = com a velocidade 1 v obtida anteriormente, concluímos que a aproximação de ensino médio é boa pelo menos em relação à ordem de grandeza. .

Através da solução exata dada pela equação (1) com os mesmos dados experimentais chegamos numa velocidade final para o foguete igual a s m v / 76 , 44 3 = . Tomando uma média aritmética simples da velocidade inicial 0 0 = v e essa velocidade final 3 v obtemos a média s m v v v m / 38 , 22 2 3 0 3 = + = que é bem próximo da velocidade média calculada anteriormente.

Comparando as velocidades s m v / 06 , 18 1 = e s m v / 76 , 44 3 = concluímos que a aproximação de ensino médio ) ( 1 v não fornece uma concordância perfeita com o cálculo exato ) ( 3 v , porém ela continua válida do ponto de vista qualitativo, pois permite um aluno do ensino médio compreender como funciona a propulsão de um foguete. A concordância das velocidades média teórica ) / 38 , 22 ( 3 s m v m = e experimental ) / 5 , 22 ( s m v m = demonstra como o cálculo exato é compatível com as medidas experimentais.

A velocidade s m v / 52 , 23 2 = foi calculada usando-se as equações da queda livre e desprezando-se a resistência do ar. A grande discordância entre as velocidades 2 v e s m v / 76 , 44 3 = pode ser explicada pelo grande efeito da resistência do ar que não foi levado em conta no cálculo de 2 v .

## 5. Conclusões

Usando programas computacionais de análise de vídeos e ajuste de curvas foi possível constatar uma razoável concordância entre as medidas experimentais com os cálculos teóricos. Mostramos que a simples filmagem e posterior análise computacional permitem a rápida obtenção dos dados experimentais. Isso

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demonstra a riqueza desse material didático para uso no ensino médio visto que os alunos têm fácil acesso a câmeras filmadoras e a programas livres na internet.

Concluímos que esse material didático pode ser de grande utilidade para os professores de física do ensino fundamental, médio, pois envolve as áreas da física da mecânica (lançamento de projéteis, Leis de Newton, quantidade de movimento e hidrodinâmica), da termodinâmica (gases), da matemática, física experimental e aproximação em nível de ensino médio.

Mostramos que usando materiais de baixo custo é possível desenvolver um material didático baseado num problema que envolva várias áreas da física teórica e experimental como uma forma de melhorar o processo de ensino-aprendizagem de alunos de ensino médio..

## 6. Referências

VASCONCELOS, F. H. L. et al. A utilização de software educativo aplicado ao ensino da física com o uso da modelagem. In: Simpósio Nacional de Ensino de Física, 16., Rio de Janeiro, 2005.

SOUZA, J. A. de. Um Foguete de Garrafa Pet . Física na Escola . v 8. n. 2. 2007.

PROGRAMA PYMECAVIDEO. Disponível em:

&lt;http://outilsphysiques.tuxfamily.org/pmwiki.php/Oppl/Pymecavideo &gt;. Acesso em :10 de março de 2012.

PROGRAMA SCIDAVIS. Disponível em:

&lt; http://scidavis.sourceforge.net&gt;. Acesso em 20 de março de 2012

DORNELES, P. F., ARAUJO, I. S., &amp; VEIT, E. A. Integração entre atividades computacionais e experimentais como recurso instrucional no ensino de eletromagnetismo em física geral. Ciência &amp; Educação. v 18. n. 1. 2012.

SARAIVA-NEVES, M., CABALLERO, C., &amp; MOREIRA, M.. Repensando o papel do trabalho experimental na aprendizagem de Física em sala de aula - um estudo exploratório. Investigações em Ensino de Ciências, v. 11, n.3, p. 383-401. 2006.

SYMON, K. Mechanics . . 3 Ed. Massachusetts: Ed. Addison-Wesley, 1971. p. 173174 .

BOSE, S.K.The Rocket Problem Revisit . American J. Physics . 51 (5). Maio 1983 .

KAGAN, D.; BUCHHOLTZ L.; KLEIN L. Soda-Bottle Water Rockets. The Physics Teacher. v. 33. março 1995.

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