O ENSINO DE MECÂNICA QUÂNTICA VIA INTERPRETAÇÃO BOHMIANA

## O ENSINO DE MECÂNICA QUÂNTICA VIA INTERPRETAÇÃO BOHMIANA

## Marcelo A. V. Macedo Junior , João A. M. Pereira 1 2

1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ) - Campus Nilópolis/Aluno do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Ensino de Ciências e Docente do Colégio Estadual Marechal Zenóbio da Costa, marcelomacedojr@gmail.com

2 Departamento de Ciências Naturais, Instituto de Biociências, Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro - UNIRIO, A. Pasteur 458 - URCA 22290-240, Brasil, jpereira.cefeteq@gmail.com

## Resumo

Apesar de a mecânica quântica (MQ) ser indiscutivelmente uma das teorias fundamentais mais bem sucedidas da física, as dificuldades de compreensão de seus fundamentos são lendárias. Além da estranheza causada por sua natureza paradoxal, a forma de apresentação desta disciplina dada nos livros-textos mais comumente utilizados contribui pouco para o seu entendimento filosófico mais fundamental. A interpretação de Copenhague, ou interpretação ortodoxa, demanda 7 postulados fundamentais para produzir resultados. Nem todos estes postulados estão de acordo com as noções de localidade, causalidade e mesmo de realidade do bom-senso comum. Daí vem o estranhamento do aprendiz e, até mesmo, do físico experiente em relação à MQ. Outras interpretações para a teoria dos quanta possuem características similares à ortodoxa, porém, em contra partida, oferecem respostas mais satisfatórias a respeito dos fenômenos quânticos, necessitando de menos postulados para produzir explicações semelhantes. Nesta contribuição, alguns elementos de uma dessas interpretações são apresentados. É o caso da teoria quântica de David Bohm, onde a função de onda possui um duplo papel, dinâmico e cinemático, evidenciado quando se escrevem a equação de Schrödinger na forma hamiltoniana. O objetivo deste trabalho é o de apresentar questionamentos relevantes à interpretação ortodoxa da mecânica quântica e introduzir o potencial quântico, conforme David Bohm, deduzindo sua forma matemática.

Palavras-chave : Mecânica Quântica, Interpretação Bohmiana, Ensino de Física.

## Introdução

O século passado foi um período marcado por grandes inovações científicas e tecnológicas. Não há dúvidas que o cotidiano do planeta foi transformado em definitivo pelos aparatos tecnológicos advindos do conhecimento gerado naquela época. É o caso dos fenômenos que se manifestam em escalas diminutas, denominados fenômenos quânticos e que estão presentes no funcionamento de diversos aparelhos, desde os circuitos integrados encontrados em praticamente todos os dispositivos eletrônicos, até a utilização da física nuclear nos tratamentos e diagnósticos em medicina. Além da física, pode-se dizer que a mecânica quântica (MQ) está relacionada com quase todo campo de conhecimento científico atual, como astronomia, química, biologia, medicina e engenharias, e, mais ainda, com campos de desenvolvimento futuros, como a nanotecnologia e a computação quântica.

Apesar desta situação de rápida evolução científica e tecnológica, nos deparamos com um cenário de estagnação no que se refere ao ensino desta disciplina. Além disso, uma preocupação adicional com este tema é a de que, em

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20 a 25 de janeiro de 2013

geral, este tem sido tratado de maneira excessivamente pragmática enquanto disciplina. Isso acaba causando uma formação conceitual em descompasso com os padrões de conhecimento atuais. Um panorama do ensino de tópicos relacionados à física quântica no ensino superior é apresentado no restante desta seção.

Durante os dois primeiros anos do ensino superior, é a física clássica que domina o conteúdo programático dos cursos, tanto de licenciatura, quanto de bacharelado em física. Neste período, denominado ciclo básico, as disciplinas de física são compartilhadas por estudantes de várias áreas como engenharias, matemática e química. Grande parte do conteúdo de física aprendido no ensino médio é revisto com um teor conceitual aprofundado e o requinte do cálculo diferencial e integral. Isto é necessário para que a descrição dos fenômenos físicos se aproxime da realidade do mundo.

É somente a partir do terceiro ano da graduação que tópicos da física moderna começam a figurar nas ementas dos cursos de física. Deve-se notar que neste segundo momento do curso superior, as disciplinas da física são cursadas apenas pelos estudantes da física. Em uma publicação organizada pela Sociedade Brasileira de Física no ano internacional da Física (2005), Chaves e Shellard (2007) analisam esta situação que é apontada como problemática em dois níveis. Os autores afirmam que, num primeiro momento

[...] o problema é mais grave nas disciplinas de física básica - geralmente, as únicas oferecidas aos estudantes de engenharia e de outras ciências -, o que contribui para o desprestígio da física frente ao público educado. [...] Tópicos como relatividade e física quântica, que já completam um século, são classificados como física moderna e quase omitidos nas ementas da física básica [...]. (CHAVES; SHELLARD, 2007, p. 222)

Um exame dos livros-textos tradicionalmente utilizados no ensino superior (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2008; MOSCA; TIPLER, 2009) corrobora estas observações. A segunda conclusão do trabalho é que '[...] em relação à física contemporânea, tópicos como estrutura da matéria, campos de força, cosmologia, caos, complexidade, materiais, física computacional e outros, são pouco enfatizados, mesmo no ciclo profissional da graduação em física [...]'. Mais ainda,

Nos cursos de licenciatura em física, a desconsideração da física moderna e contemporânea é muito grave, já que os professores formados para o ensino médio não estão preparados para mostrar essa disciplina como algo interessante e cuja validade de conteúdo é digna de consideração. (CHAVES; SHELLARD, 2007, p. 223)

Finalmente, o ensino da física moderna não tem se adequado às exigências da legislação (BRASIL, 1996) conforme se vê na transcrição no quadro I abaixo:

Quadro 01: Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1996.

Incisos I e VI, do artigo 43 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional: 'estimular [...] o desenvolvimento do espírito científico e do pensamento reflexivo' e 'estimular o conhecimento dos problemas do mundo presente [...]'.

Habitualmente, a disciplina de física quântica é apresentada aos estudantes dentro de uma perspectiva histórico-cultural baseada na apresentação de modelos semi-empíricos para a explicação de fenômenos associados à luz e a partículas diminutas como elétrons e átomos. O objetivo é o de embasar uma nova estrutura conceitual necessária para o entendimento de estudos mais avançados. O passo

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seguinte é formalizar matematicamente uma equação que possa descrever os fenômenos associados ao comportamento dinâmico de um quantum. Para tanto, introduz-se a noção matemática do pacote de ondas, mais comumente chamado de função de onda , e, finalmente apresenta-se a equação de Schrödinger. Os estudantes são então apresentados à interpretação probabilística da função de onda, definida por Max Born, e ao princípio da incerteza de Heisenberg, inerente ao uso do pacote de ondas como descrição do movimento. O pioneiro na elaboração de um arcabouço conceitual lógico e consistente para a mecânica quântica foi o físico dinamarquês Niels Bohr que, no início do século XX, ocupava o cargo de diretor do Instituto de Física Teórica da Universidade de Copenhague. Por esse motivo, esta teoria quântica ficou conhecida como Interpretação de Copenhague 1 .

Vale lembrar que a Interpretação de Copenhague é constituída dos sete postulados que seguem o quadro abaixo:

É neste ponto, também, que a fundamentação teórico-conceitual, praticada no ensino de mecânica quântica de hoje, atinge seu ápice, e, a partir daí, os cursos de mecânica quântica passam a ser excessivamente pragmáticos, tratando principalmente de aplicações da equação de Schrödinger em diversas situações. Pouca atenção é dada ao debate entre Bohr e Einstein que seguiu a formulação do princípio da complementaridade, inerente à interpretação de Copenhague. Este debate, ausente na quase totalidade dos livros-textos dirigidos aos alunos de graduação 2 , trata de um questionamento fulminante de Einstein sobre a coerência entre a interpretação de Copenhague e as noções de localidade, causalidade e mesmo de realidade, tão caras ao autor da teoria da relatividade e ao bom-senso comum. A ausência de tais tópicos nos cursos superiores torna o ensino de física quântica estagnado e impede que interpretações alternativas àquela fornecida pela interpretação de Copenhague tornem-se conhecidas. É o caso da interpretação do físico norte americano David Bohm que veremos na próxima seção.

Outro fator relevante no que se refere à visão instrumentalista que se tem do ensino de MQ está relacionado aos livros didáticos. Segundo Kaiser (2007), o aumento do número de estudantes de graduação e pós-graduação em física nos Estados Unidos no contexto da Guerra Fria, exigiu que os departamentos de física reformulassem o conteúdo de suas disciplinas para um enfoque mais prático. Tais mudanças afetaram, principalmente, o ensino de MQ que, a partir de então, ficaram registradas nos livros didáticos utilizados até os dias de hoje.

Com o crescimento do tamanho das turmas, contudo, os aspectos filosóficos da mecânica quântica foram afastados das salas de aula. O objetivo da física era treinar 'mecânicos quânticos': os estudantes deveriam ser mais como engenheiros ou mecânicos do domínio atômico, que filósofos. [...] Face ao crescimento das matrículas, a maioria dos físicos nos Estados Unidos reorganizou o conteúdo da mecânica quântica acentuando aqueles elementos que permitiam o tema ser ensinado tão rápido quanto possível, abandonando silenciosamente, ao mesmo tempo, os últimos vestígios de reflexões conceituais ou interpretativas que tanto tinham

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ocupado o tempo das aulas antes da guerra. (KAISER, 2007, p. 28-33, apud GRECA; FREIRE JR., 2010, p. 361)

A situação que vem se perpetuando, principalmente em relação ao ensino, é então a de uma atitude negligente em relação à discussão acerca do significado da teoria quântica e de seus pressupostos. Aprende-se como obter resultados, mas discute-se pouco as premissas que levam a teoria a produzi-los. Ocorre que essas premissas não estão de acordo com conceitos muito arraigados da experiência humana. Este é o ponto principal levantado por Einstein no seu questionamento da teoria quântica, que, ainda hoje, é raramente mencionado.

## David Bohm e a nova interpretação da teoria quântica

O caráter paradoxal da física quântica era motivo de amplos debates entre os membros da comunidade científica referente à época de sua criação e posterior consolidação. Nesse ambiente de intensas discussões, interpretações alternativas àquela fornecida por Bohr, surgiram em meio ao debate acerca da construção da teoria quântica (PINTO-NETO, 2010). Este é o caso da interpretação do físico americano David Joseph Bohm (D. Bohm). Em 1952, enquanto esteve exilado no Brasil refugiando-se do regime Macartista, ele publicou pela Universidade de São Paulo (USP), dois artigos intitulados ' A suggested interpretation of the quantum theory in therms of 'hidden' variables I e II ' (Bohm, 1952a, 1952b), onde é sugerida, a partir da introdução de um termo denominado potencial quântico , uma clara conexão entre a mecânica clássica e a mecânica quântica. Entretanto, naquele momento, sua teoria quântica não teve a aceitação imediata da comunidade científica e não figura em nenhum dos mais conhecidos livros-textos sobre teoria quântica escrito nas últimas décadas (COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1992; MERZBACHER, 1998; GASIOROWICZ, 2003; GRIFFITHS, 2004). Sua condição de refugiado político pode ser apontada como uma das razões para esta ausência. Outro motivo é que o potencial quântico, por ele introduzido, possui uma característica desagradável à relatividade de Einstein, que é a não localidade.

Somente agora, após 60 anos de sua proposição, a MQ Bohmiana, como é conhecida, está voltando a ser discutida. Acredita-se que nela pode estar contida a chave para a compreensão de alguns aspectos fundamentais da teoria quântica. Esse entusiasmo da comunidade científica pela MQ Bohmiana surge, após os experimentos de Alain Aspect (ASPECT; GRANGIER; ROGER, 1982) que mostram a violação das desigualdades de Bell. Isso significou uma demonstração experimental de que a não-localidade é uma propriedade fundamental das partículas quânticas. Além da não-localidade, mencionada acima, outra característica da mecânica Bohmiana que merece destaque é que não há necessidade de postular o colapso da função. Isso devolve à mecânica quântica a realidade objetiva (no sentido de Einstein) e elimina a questão do observador como catalisador de resultados. Assim, a mecânica Bohmiana responde de forma diferenciada ao debate mecânica clássica versus MQ, fornecendo respostas mais satisfatórias do que aquelas dadas pela Interpretação de Copenhague.

De acordo com a interpretação de Copenhague da teoria quântica, o estado físico de um sistema pode ser completamente especificado pela função de onda Ψ . Por sua vez, esta possibilita a obtenção somente de informações probabilísticas, relativas à cinemática de um determinado sistema quântico: é o caso, por exemplo, da probabilidade de se encontrar uma partícula em uma determinada posição x . É

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este caráter probabilístico que leva Einstein, Podolsky e Rosen em seu artigo de 1935 (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935) a defender a chamada incompletude da interpretação de Copenhague. Segundo Einstein, mesmo para o nível quântico, deveriam existir elementos ou variáveis dinâmicas que pudessem determinar, de forma precisa e não somente probabilística, o comportamento de cada sistema individual. Pela ausência desses elementos ou variáveis na interpretação ortodoxa, Einstein considerava esta interpretação como sendo incompleta e as variáveis que definiriam a completeza da teoria ficaram conhecidas como variáveis ocultas.

Em oposição às idéias oriundas da Escola de Copenhague, a interpretação sugerida por David Bohm para a teoria quântica concebe que cada sistema individual encontra-se em um estado precisamente definido, porém desconhecido. A evolução temporal é determinada por leis análogas, mas não idênticas, às equações clássicas do movimento, ou seja, volta-se a falar de trajetórias e causalidade (BOHM, 1952a) . O papel das condições iniciais é assumido pelas variáveis ocultas sugeridas por Einstein, permitindo que a trajetória e, conseqüentemente, a posição e o momento de uma partícula, se tornem bem definidos. Essas variáveis ocultas, ou seja, as possíveis posições iniciais da partícula, são caracterizadas por uma densidade de probabilidades de forma similar ao que acontece na mecânica estatística. Assim, na mecânica Bohmiana existem trajetórias bem definidas, porém, existe incerteza, dado o desconhecimento da condição inicial. Na interpretação Bohmiana, a função de onda assume um papel duplo, pois não só define a probabilidade de ocorrência de um determinado resultado, que é o único desempenhado por Ψ n a interpretação de Copenhague, mas também influencia a dinâmica da partícula, através do termo conhecido como potencial quântico. Vale ressaltar que além das variáveis ocultas, automaticamente embutidas na mecânica quântica de Bohm, essa interpretação possui uma natureza não local, como verificado no teste da desigualdade de Bell.

Pode-se adotar como ponto de partida para introduzir a mecânica quântica Bohmiana, a equação de Schrödinger dependente do tempo

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Isso significa que os princípios físicos básicos contidos naquela equação, como por exemplo, a dualidade partícula-onda e a conservação da energia mecânica, estão automaticamente incorporadas à teoria Bohmiana.

## O potencial quântico

Na grande maioria dos cursos de MQ, a equação de Schrödinger dependente do tempo é trabalhada utilizando-se o método de separação de variáveis, ou seja, buscam-se soluções da equação diferencial na forma de um produto ) ( ) ( ) , ( t x t x θ ϕ = Ψ . Um tratamento diferente pode ser dado à equação diferencial se a função de onda Ψ for escrita na forma polar h / ) , ( ) , ( ) , ( t x iS e t x R t x = Ψ = Ψ onde ) , ( t x R R = representa a amplitude, que contém o elemento probabilístico da teoria, e ) , ( t x S S = a fase da onda, que basicamente define a trajetória. Substituindo a forma polar de Ψ na equação de Schrödinger (1) e reorganizando os termos na forma de número complexo bi a y + = , temos:

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Comparando a parte real de ambos os lados da equação acima e multiplicando por R / 1 , chegamos à seguinte equação:

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Observando a equação (3) verificamos que ela se assemelha à equação de Hamilton-Jacobi, estudada no curso de mecânica clássica, com o termo adicional, ( ) R x R m Q 2 2 2 / 2 ∂ ∂ -= h , que é o denominado potencial quântico. Para ver isto basta

identificar o momento linear como o gradiente da fase da função de onda ( x S p ∂ ∂ = no

caso unidimensional) e a função hamiltoniana com t S H ∂ ∂ -= . Desse modo, a

equação (3) se torna 0 2 2 = + + + ∂ ∂ Q V m p t S ou simplesmente

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onde o termo m p 2 2 foi identificado com a energia cinética da partícula, T , e a energia total dela, incorporando o potencial quântico, é dada pela hamiltoniana do problema, ou seja, Q V T H + + = . Sendo assim, a derivada da (4) em relação à posição fica:

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que pode ser reconhecida como a equação de Hamilton-Jacobi para o momento linear. A equação para a posição pode ser vista da seguinte forma: sendo Q V m p H + + = 2 2 , onde nem o potencial aplicado nem o potencial quântico dependem explicitamente da variável p , a derivada de H em relação à p é dada por x m p p H &amp; = = ∂ ∂ , ou seja, p H x ∂ ∂ = &amp; , que é a outra equação de Hamilton.

Um procedimento análogo ao realizado para a parte real da equação (2) deve ser feito para a parte imaginária. Comparando as partes imaginárias de ambos os lados da igualdade chegamos à equação ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ∂ ⎡ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ -= ∂ ∂ x S R x m t R 2 2 1 . Se fizermos

ρ = 2 R , sendo ρ a densidade de probabilidade de a partícula estar numa determinada posição x , e definirmos v j ρ = (com m p v = ), a equação anterior pode ser escrita na forma que se segue: ( ) 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ρ v x t ρ . Deve-se notar que esta equação

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se assemelha à equação de continuidade 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ρ x j t unidimensional equivalente àquela encontrada na dinâmica dos fluidos, por exemplo, e também em outras áreas

da física como eletromagnetismo e relatividade.

## Conclusão

No conteúdo de MQ abordado nos cursos de graduação e pós-graduação em Física, seja nos cursos de bacharelado ou licenciatura, assim como, nos livrostextos básicos utilizados como referência bibliográfica, não há qualquer citação em relação à teoria Bohmiana, ou a qualquer outra que não seja a ortodoxa, muito provavelmente pelas razões já mencionadas por Kaiser (2007). Neste sentido, se os livros-textos de MQ não consideram a inclusão de tópicos de discussões acerca de seus fundamentos e interpretações, parece pouco provável que os estudantes formados por estes livros tenham qualquer contato com interpretações alternativas da MQ. Em outras palavras, se tais conteúdos são negligenciados nos livros didáticos, é de se esperar que a propagação desse conteúdo específico, ou melhor, dessa herança cultural, para os dias de hoje e para tempos futuros torne-se impossível, dificultando qualquer mudança paradigmática.

A proposta de inserção da interpretação Bohmiana nos cursos de física quântica desenvolvida neste trabalho se dá em uma tentativa de quebra desse ciclo vicioso que tem se constituído o ensino desta disciplina. Para tanto, é necessário que os alunos tenham conhecimento sobre a formulação hamiltoniana estudada no curso de física clássica. Pretende-se, com isso, exercer de fato aquilo que, segundo Humboldt (2003), é o papel que toda Instituição de Ensino Superior deveria assumir perante a sociedade: promoção do desenvolvimento máximo da ciência (ciência objetiva) e produção do conteúdo responsável pela formação intelectual e moral dos indivíduos (formação subjetiva). Em outras palavras, a universidade deve colocar seus estudantes, cada vez mais cedo, a par do estado atual da Ciência Contemporânea, permitindo aos mesmos, alcançar o que podemos chamar de fronteira do conhecimento . Sendo assim, a MQ não deve ser vista como um conhecimento fechado e resolvido, mas sim como uma disciplina que, apesar de ter ultrapassado seus cem anos de existência, constitui um tema de discussão atual, intrigante e longe de ser encerrado.

## Referências

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