Demonstração e aplicação de uma generalização da lei de Biot-Savart para as aulas de Eletromagnetismo

## Demonstração e aplicação de uma generalização da lei de BiotSavart para as aulas de Eletromagnetismo

## Matheus Monteiro Nascimento 1 , Diomar Reus Sbardelotto 2

1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos, matheus.mn@hotmail.com

2 Universidade do Vale do Rio dos Sinos, diomar@unisinos.br

## Resumo

As aulas de Eletromagnetismo são marcadas pela presença de conceitos abstratos e distantes da realidade dos estudantes. A lei de Biot-Savart é um exemplo de tópico trabalhado que exige do aluno um alto grau de abstração e apuração matemática. Assim, o propósito deste trabalho foi desenvolver uma alternativa metodológica para se trabalhar a referida lei nas aulas dos cursos introdutórios de Eletromagnetismo no Ensino Superior. Para tanto, uma situação-problema foi preparada visando envolver, a partir de uma generalização, as diversas aplicações da lei de Biot-Savart. Esta generalização permite descobrir qual formato de espira quando percorrida por corrente elétrica produz a maior intensidade de campo magnético no seu respectivo centro (com o perímetro mantido constante). A equação deduzida mostra que uma espira com o formato de um triângulo equilátero produz a maior intensidade de campo magnético. Um aparato experimental foi construído a fim de confirmar os resultados teóricos. Este aparato utiliza materiais simples encontrados em qualquer laboratório de instrumentação. A atividade aqui proposta pode ser ainda adaptada para aulas no Ensino Médio.

Palavras-chave : Biot-Savart, generalização, Eletromagnetismo, situaçãoproblema.

## Introdução

Seja pelo nível de abstração exigido ou pela matemática envolvida, a lei de Biot-Savart é um dos conteúdos onde os estudantes dos cursos introdutórios de Eletromagnetismo apresentam maior dificuldade de compreensão. A referida lei é vista pelos estudantes como um verdadeiro mistério matemático (PHILLIPS, SANNY, 2008). Neste artigo, discutiremos uma generalização da lei de Biot-Savart, a fim de proporcionar aos educandos a apreensão dos conceitos e auxiliar o professor no desenvolvimento do conteúdo. Este trabalho foi originalmente desenvolvido para estudantes de ensino superior, porém, pode ser facilmente adaptado para atividades no nível médio.

## A Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo utilizada para calcular o módulo, direção e sentido do campo magnético B produzido por um fio (de formato aleatório) percorrido por corrente elétrica. A lei é apresentada na sua forma vetorial como:

<!-- formula-not-decoded -->

(1)

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Onde é a constante de permeabilidade magnética no vácuo, é o elemento de corrente elétrica e r é a distância do elemento de corrente até um ponto P qualquer (Fig.1). O símbolo que aparece na equação é a representação do produto vetorial entre o elemento de corrente e o vetor posição , que é o vetor que liga o ponto P ao elemento de corrente.

Fig. 01: Campo magnético no ponto P produzido por um elemento de corrente .

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Muitos livros apresentam exemplos do cálculo do módulo do campo magnético produzido por fios e espiras de diferentes formatos quando percorridos por corrente elétrica, utilizando a lei de Biot-Savart (Halliday, Resnick, Walker, 2008; Sears, Zemansky, 1973; Eiseberg, Lerner, 1981). Seja no corpo do texto ou na seção de exercícios, estes livros investigam muitas aplicações da lei, como por exemplo: o cálculo do campo magnético produzido por corrente em um fio retilíneo e longo, infinito e semi-infinito; por um fio em forma de arco de circunferência e por uma circunferência completa; para um fio finito retilíneo; para espiras quadradas, retangulares, dentre outros. Neste trabalho proporemos uma generalização da lei de Biot-Savart que utilize as diversas deduções apresentadas nos principais livros-texto utilizados nas instituições de ensino superior.

Os autores deste artigo sugerem ainda que, esta generalização seja proposta para os estudantes na forma de situação-problema, que possa fazer parte de um trabalho, por exemplo. Esta situação-problema procura aproximar os alunos, principalmente dos cursos de Engenharia, de situações cotidianas que possam fixar os conceitos já estudados e presentes na sua estrutura cognitiva. Uma situaçãoproblema difere dos exercícios tradicionais por envolver mais de um conceito de determinado conteúdo e exigir que os estudantes levantem e testem hipóteses para encontrar uma solução. Para Perrenoud (2000), uma situação-problema deve configurar como um desafio para a turma, desenvolvida a partir de situações concretas do cotidiano dos educandos.

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## Situação-problema

Um engenheiro de uma empresa de energia elétrica deseja construir uma espira que, ao ser percorrida por corrente elétrica, produza um campo magnético no seu centro. Ele dispõe de um fio condutor de um determinado comprimento. Qual o formato de espira o engenheiro deve construir para que no centro da mesma, ele obtenha o maior campo magnético possível? (Para simplificar, consideremos apenas espiras com o formato de polígonos regulares e de circunferência). Sugestões: O comprimento do fio será o perímetro da espira e a distância ao seu centro é o apótema, no caso dos polígonos, e o raio, no caso da circunferência.

## Dedução matemática

Vamos iniciar a dedução a partir da equação do módulo do campo magnético a uma distância de um fio finito de comprimento (Fig. 2). Partindo da Eq. (1), obtemos:

<!-- formula-not-decoded -->

Fig. 02: Fio finito de comprimento a uma distância do ponto P .

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No caso da situação-problema deste trabalho, estamos preocupados em encontrar o módulo do campo no centro de espiras, que podem ser consideradas como um fio finito dobrado, formando um conjunto de fios finitos. Por exemplo, três fios finitos formam uma espira triangular, quatro fios formam uma espira quadrada, cinco fios formam uma espira com formato pentagonal, e assim sucessivamente. Este conjunto de fios finitos nada mais é do que o número de lados que estas espiras possuem. Uma espira com formato hexagonal, por exemplo, possui seis lados iguais, ou seja, seis fios finitos formam uma espira de formato hexagonal. Como estamos considerando todas as espiras como polígonos regulares, isso quer dizer, com todos os lados e distâncias ao centro iguais, podemos simplesmente multiplicar a Eq.(2) por , que é o número de lados da espira, ou o número de fios finitos que compõem a espira.

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<!-- formula-not-decoded -->

Para ajustar esta equação para a generalização proposta inicialmente, devemos deixá-la apenas com a variável , para verificarmos qual formato de espira maximiza o campo magnético no seu centro. Da Figura 3 podemos reescrever (3) como:

<!-- formula-not-decoded -->

Fig. 03: Representação de uma espira de lados .

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Podemos escrever o ângulo em função de se observarmos que:

Substituindo (5) em (4), apresentamos que:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Ainda da Figura 3:

<!-- formula-not-decoded -->

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Substituindo (7) em (6), e escrevendo como obtemos:

<!-- formula-not-decoded -->

Para finalizar, precisamos escrever o lado em função do perímetro da espira e do número de lados .

<!-- formula-not-decoded -->

Substituindo (9) em (8), concluímos que:

<!-- formula-not-decoded -->

Esta então é a generalização da lei de Biot-Savart para determinarmos o módulo do campo magnético no centro de espiras de lados e perímetro percorridas por corrente elétrica .

Para respondermos a questão da situação-problema, observemos o Quadro 1, que apresenta o módulo do campo magnético para espiras de lados e perímetro , percorridas por corrente elétrica . Partimos de (triângulo equilátero) até .

Quadro 01: Módulo do campo B em Tesla, pelo número n de lados das espiras. Perímetro = 0,5m e corrente elétrica = 1A.

A partir do Quadro 1 é fácil perceber que quanto menor o número de lados maior será o campo magnético no centro das espiras. Logo, uma espira com a forma de um triângulo equilátero, quando percorrida por corrente elétrica, produz o maior campo magnético possível! Observemos também que quando tender ao infinito, a espira tende à circunferência, isso quer dizer que, mantendo-se o mesmo perímetro, uma espira com formato circunferencial, produz o menor campo magnético no seu

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respectivo centro. Logo, a resposta da situação-problema é: o engenheiro deve construir uma espira com a forma de um triângulo equilátero para conseguir o maior campo magnético no centro da mesma. Matematicamente, observemos que a distância é o apótema dos polígonos regulares e, quando fazemos o número de lados tender ao infinito, estamos fazendo o apótema tender ao raio de uma circunferência.

## Aparato experimental

Para confirmarmos o resultado obtido, construímos um simples aparato experimental que utiliza a deflexão de uma bússola didática como método para aferir o campo magnético (Lunk e Beichner, 2011; Cartacci, Straulino, 2008). Construímos algumas espiras com fio de cobre, todas com perímetro de 50 cm. Foi desenvolvida uma espira com a forma de um triângulo equilátero, uma quadrada, uma pentagonal e uma espira circunferencial (Fig. 4(a)).

Fig. 04: (a) Espiras de fio de cobre com perímetro de 50 cm. (b) Montagem experimental. Uma fonte de tensão ajustável, resistor, amperímetro, espira e a bússola didática.

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Na ausência de campos magnéticos externos, a bússola se alinha com a componente horizontal do campo magnético terrestre . Entretanto, na presença de campos magnéticos externos , que não estejam na mesma direção da componente horizontal do campo terrestre, a bússola é defletida para outras direções, formando um ângulo com a posição inicial. Em casos particulares, onde a direção do campo externo é perpendicular à direção de equilíbrio da bússola, como mostrado na Figura 5, podemos escrever a seguinte relação matemática:

<!-- formula-not-decoded -->

No caso da montagem deste trabalho, o campo magnético externo será originado pela corrente elétrica que circula pelas espiras.

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Fig. 05: Vetores campo magnético atuando sobre a bússola didática.

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Deste modo, foi feito circular pelas espiras uma corrente de 1A, e associado em série com a fonte de tensão, um amperímetro e um resistor (Figura 4 (b)). A primeira espira utilizada para a medição foi a de formato circular. A espira é posicionada de maneira que seu plano esteja alinhado com a agulha da bússola, na direção norte/sul. Quando a corrente por ela circula, podemos perceber uma deflexão para a direção oeste (Figura 4 (b)). Utilizando então a Eq. 11 podemos calcular a intensidade do campo magnético produzido pela espira. Para o módulo do campo magnético da Terra, utilizamos o valor médio de (HARTMANN, 2011). O Quadro 2 mostra os resultados obtidos experimentalmente, bem como os resultados teóricos para o módulo dos campos magnéticos produzidos pelas espiras. Os resultados obtidos experimentalmente se aproximam dos valores teóricos para o módulo do campo magnético produzido pelas espiras, comprovando a validade da equação generalizada deduzida.

Quadro 02: Módulo do campo magnético gerado pelas espiras medido a partir da deflexão da bússola didática.

## Considerações finais

O trabalho aqui desenvolvido é um dentre muitos já encontrados na literatura, que trabalham com a lei de Biot-Savart no ensino de Física, como pode ser visto, por exemplo, nos trabalhos de Phillips e Sanny (2008), Lunk e Beichner (2011) e Araújo e Müler (2009). Neste artigo apresentamos uma generalização da lei de Biot-Savart para espiras poligonais regulares de lados e perímetro constante.

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Esta generalização foi comprovada através de um simples aparato experimental. Propomos ainda que a generalização fosse apresentada para os estudantes na forma de situação-problema. Destacamos aqui a importância de que o aluno esteja familiarizado com o conteúdo para que consiga, através da teoria, encontrar a solução para a situação proposta. A generalização envolve muitos conceitos estudados em um curso de Eletromagnetismo, como por exemplo: campos magnéticos gerados por corrente elétrica, a regra da mão direita, dedução da equação do módulo do campo magnético produzido por um fio finito percorrido por corrente elétrica e o módulo do campo para espiras com formato circunferencial. A situação-problema ainda exige dos alunos uma apuração matemática que, em alguns casos, pode dificultar a resolução. Portanto, o professor deve atuar nestes momentos como mediador neste processo de aprendizagem.

## Referências

ARAÚJO, Mauro Sérgio Teixeira; MÜLLER, Paulo. 'Levitação magnética': uma aplicação do eletromagnetismo. Caderno Catarinense de Ensino de Física . v. 19, n. 1, p. 110, 2002.

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HARTMANN, Gelvam .A. et al.. New historical archeointensity data from Brazil: Evidence for a large regional non-dipole field contribution over the past few centuries. Earth and Planetary Science Letters , v. 306, n.1-2, p. 66-76, 2011. Disponível em:

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HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física . Eletromagnetismo. v.3, 8.ed., Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2008.

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PHILLIPS, Jeffrey A.; SANNY, Jeff. The Biot-Savart Law: From Infinitesimal to Infinite. The Physics Teacher , v. 46, p. 44, 2008. Disponível em; &lt;http://scitation.aip.org/getpdf/servlet/GetPDFServlet?filetype=pdf&amp;id=PHTEAH000 046000001000044000001&amp;idtype=cvips&amp;prog=normal&gt; Acesso em: 02 jul. 2012.

SEARS, Francis W.; ZEMANSKY, Mark W. Tradução: ACCIOLI, José de Lima. Física: eletricidade, magnetismo e tópicos de Física Moderna. v. 3, ed. 2, Ed. Universidade de Brasília, 1973.

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