Um Ciclo de Modelagem sobre a Lei de Resfriamento de Newton

## UM CICLO DE MODELAGEM SOBRE A LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

## Leonardo Albuquerque Heidemann 1 , Ives Solano Araujo , Eliane Angela Veit , 2 3 Fernando Lang da Silveira 4

1 Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, RS, Brasil, leonardo@heidemann.com.br.

2 Instituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, RS, Brasil, ives@if.ufrgs.br.

3 Instituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, RS, Brasil, eav@if.ufrgs.br.

4 Instituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, RS, Brasil, lang@if.ufrgs.br.

## Resumo

A construção de representações que desprezam diversos aspectos dos objetos e eventos físicos é uma característica própria do trabalho científico que implica em discrepâncias entre resultados preditos por modelos e experimentos empíricos. Visando esclarecer tais diferenças para estudantes, David Hestenes sugere que o ensino de Ciências seja conduzido por meio de Ciclos de Modelagem. Neste trabalho, apresentamos uma proposta de uso de tal metodologia envolvendo o resfriamento da água enfatizando as limitações da Lei de Resfriamento de Newton quando a água está exposta em um ambiente com ar não saturado de vapor d'água. Expomos ainda uma sugestão de uso do software Modellus para emular um modelo teórico que considera perdas de energia por evaporação. Por fim, discutimos brevemente uma implementação desse ciclo de modelagem com alunos de um Mestrado Profissional em Ensino de Física. Os resultados sugerem que os Ciclos de Modelagem têm potencial para favorecer nos alunos uma concepção de Ciência mais alinhada às concepções epistemológicas contemporâneos.

Palavras-chave : Ciclos de modelagem, atividades experimentais, simulações computacionais.

## 1. Introdução

O que é Ciência? Como ela é construída? Tais questões foram amplamente exploradas por diversos filósofos no último século que, apesar do grande esforço despendido, não chegaram a uma resposta consensual para elas. Tal fato evidencia a complexidade envolvida no processo de construção do conhecimento científico, o que acaba por suscitar controvérsias entre epistemólogos ainda nos dias de hoje. Muitas das visões defendidas nesses debates enfatizam a construção de modelos como um aspecto central do desenvolvimento da Ciência (e.g. BUNGE, 1974; CARTWRIGHT, 1983). Ainda que ocorram discrepâncias entre suas posições, tais filósofos entendem que, em essência, os modelos científicos são representações simplificadas da realidade, construídas com o intuito de descrever, analisar ou predizer padrões associados a objetos ou eventos. Cabe ressaltar, portanto, que esses modelos abarcam apenas algumas características das situações físicas e a

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descrição dos fenômenos promovida por eles nunca é completa. Apesar disso, não 1 há outra escolha em Ciência senão explorar os aspectos do mundo que lhe interessam por meio dessas representações, pois é impossível abranger todas as particularidades da realidade em um modelo, por mais complexo que ele seja. Desse modo, a compreensão do conhecimento científico perpassa pelo entendimento das discrepâncias e das semelhanças entre os modelos científicos e os fenômenos físicos que eles buscam representar.

Dentre as proposta metodológicas para o ensino de Física com foco no processo de modelagem científica, a metodologia de Ciclos de Modelagem criada pelo prof. David Hestenes, da Universidade do Arizona, é uma das mais difundidas (HESTENES, 2006). Entendendo a compreensão física como um conjunto de habilidades cognitivas para criação e uso de modelos, Hestenes tem como um de seus principais objetivos capacitar os estudantes para o uso de ferramentas de representação, como gráficos, tabelas e equações, que são consideradas por ele fundamentais para que os alunos construam, analisem e validem modelos.

O computador surge naturalmente como uma ferramenta de modelagem na proposta de Hestenes. Com ele, a análise dos modelos é facilitada, pois torna possível, por exemplo, que o aluno gire gráficos em três dimensões, e avalie as consequências da modificação de parâmetros imediatamente por meio de diferentes ferramentas de representação. Além disso, a dificuldade da tarefa de avaliar a adequação dos modelos científicos para descrever fenômenos físicos é atenuada por meio do computador. Através dele, pode-se obter resultados teóricos, fornecidos por um modelo científico ou não, em tempo real. Isso possibilita ao professor elaborar atividades de ensino que permitam ao estudante testar seus próprios modelos, compará-los com os modelos científicos e também avaliar suas predições em relação a resultados empíricos. Com esse tipo de atividade é possível viabilizar em sala de aula uma análise mais concreta sobre o grau de precisão e o limite de validade dos modelos estudados.

Neste trabalho, apresentamos uma possibilidade de integração de um experimento computacional com um experimento real para a condução de investigações em um ciclo de modelagem sobre o resfriamento da água. Enfatizando as limitações da Lei de Resfriamento de Newton para descrever o resfriamento de líquidos expostos em um ambiente com ar não saturado de vapor do líquido, utilizamos o software Modellus para emular um modelo onde a evaporação de água influencia diretamente a evolução temporal de sua temperatura. Por fim, discutimos alguns resultados obtidos em uma aplicação desse ciclo de modelagem com alunos de um Mestrado Profissional em Ensino de Física.

## 2. Os Ciclos de Modelagem de David Hestenes

O objetivo primordial da proposta de ciclos de modelagem de David Hestenes (2006) é desenvolver nos alunos habilidades para confeccionar e usar modelos de modo que possam entender o mundo físico e avaliar informações relatadas por outros. Com esse intuito, o autor sugere que as aulas de Ciências sejam focadas em investigações sobre o mundo empírico onde os estudantes

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tenham que modelar fenômenos. A apresentação de um problema é, portanto, a primeira etapa do desenvolvimento de um ciclo de modelagem. Nessa fase, denominada por Hestenes de discussão pré-laboratorial , o professor pode se valer de uma infinidade de recursos para esclarecer aos alunos a questão norteadora do ciclo (JACKSON, DUKERICH & HESTENES, 2008). Ele pode utilizar, por exemplo, experimentos empíricos, simulações computacionais, vídeos, ou até mesmo apenas discutir o problema verbalmente. O fundamental é que o problema envolva a construção, o uso e a avaliação de modelos científicos.

A segunda etapa dos ciclos de modelagem é denominada investigação (idem). Nesse estágio, os estudantes, em pequenos grupos, trabalham no planejamento e na condução de experimentos virtuais e/ou empíricos no intuito de resolverem o problema proposto pelo professor. É importante que nessa etapa os alunos avaliem de que modo as idealizações e aproximações consideradas no modelo teórico que utilizarão implicam em discrepâncias entre os resultados preditos e os experimentais. Já o professor deve auxiliar os estudantes no planejamento das atividades sugerindo modelos ou teorias que possam ser úteis nas investigações dos alunos e apresentando ferramentas de representação (equações, gráficos, tabelas, diagramas, etc.) que desenvolverão as habilidades de modelagem dos alunos. Nessa etapa, os estudantes utilizam pequenos quadros brancos com aproximadamente 100 cm x 75 cm para compartilharem suas ideias com seus colegas.

Após a etapa de investigação, os ciclos de modelagem seguem com uma discussão pós-laboratorial onde os estudantes apresentam os resultados de suas investigações para o grande grupo por meio dos quadros brancos (idem). Um dos objetivos dessa etapa é desenvolver o discurso dos alunos. Para isso, o professor deve ressaltar o uso de termos técnicos durante o desenvolvimento da discussão. Outra meta dessa fase é o favorecimento do compartilhamento de significados. A exposição das explicações dos alunos possibilita que o professor argumente em favor do significado aceito cientificamente para os conceitos explicitados pelos estudantes. É importante para isso que ocorra sempre um ambiente de abertura entre os alunos para que eles sintam-se à vontade, possibilitando que eles verbalizem suas verdadeiras concepções para os conceitos de Física.

- O último estágio dos ciclos de modelagem é denominado implementação (idem). Nessa etapa, os estudantes utilizam o modelo recém explorado em novas situações para refinar e aprofundar a sua compreensão. Para isso, o professor apresenta novos problemas desafiadores para os estudantes envolvendo os modelos utilizados por eles nas fases anteriores do ciclo. Esse estágio pode incluir questionários, testes, trabalhos em laboratório, implementação computacional, etc.

Na próxima seção, apresentamos um exemplo de um ciclo de modelagem sobre o resfriamento da água. Com o objetivo de enfatizar os limites do domínio de validade da Lei de Resfriamento de Newton, tal problema envolve o decaimento da temperatura da água de dois pratos: um aberto e um fechado.

## 3. Um exemplo de ciclo de modelagem sobre o resfriamento da água

Diferentemente dos ciclos de modelagem tradicionalmente conduzidos por Hestenes e seus colaboradores, a atividade que será apresentada nesse trabalho apresenta uma diferença importante quanto ao nível de estruturação do problema. Em seus trabalhos, Hestenes usualmente utiliza questões bem estruturadas,

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cabendo aos alunos apenas as tarefas de coletar dados e expor suas concussões. Em nossa proposta, buscamos nos valer de problemas mais 'abertos', deixando também a cargo dos estudantes a definição dos procedimentos que executarão, assim como a formulação de hipóteses. Podemos dizer que nossa atividade se encontra no nível 2 de atividade investigativa de Tamir (apud BORGES, 2002). 2 Além disso, não discutimos neste trabalho a fase de implementação do modelo teórico que caracteriza a última etapa dos ciclos de modelagem. Na Quadro 01 apresentamos o enunciado da atividade que aprofundaremos neste trabalho.

Os dados da tabela abaixo apresentam medidas de temperatura de dois pratos cheios de água (um deles aberto e outro fechado) em função do tempo. Também é apresentada a temperatura ambiente do local onde o experimento foi realizado.

No dia em que foi realizado o experimento (início de janeiro em Porto Alegre/RS) a umidade relativa era de 70%. O local onde os dois pratos ficavam era próximo de uma janela que estava aberta. Assim sendo, também havia uma pequena corrente de ar no local. Nessa atividade você deverá, com o auxílio de um experimento real ou virtual, elaborar um modelo teórico que explique a evolução da temperatura dos dois pratos apresentados na tabela.

Quadro 01: Enunciado do ciclo de modelagem sobre o resfriamento da água.

O objetivo da atividade que propomos é enfatizar aos estudantes os limites do domínio de validade da Lei de Resfriamento de Newton. Tal modelo prevê o equilíbrio térmico entre a temperatura dos pratos de água e a temperatura ambiente, o que não ocorre para o caso do prato aberto, onde são atingidas temperaturas menores do que a ambiente. Na próxima seção, apresentamos uma possibilidade de modelo teórico para explicar as discrepâncias entre as temperaturas dos dois pratos do enunciado.

## 3.1 Um modelo teórico para explicar o resfriamento da água

A diferença primordial entre o resfriamento da água do prato fechado e do prato aberto do enunciado apresentado na seção anterior está na evaporação da água. É devido a ela que a água do prato aberto perde energia (e massa também) mais rapidamente do que a água do prato fechado, que não perde energia por tal processo, conservando sua massa. Basicamente, a taxa de evaporação de uma porção de água exposta ao ambiente depende (SCHOUTEN et al., 2011): do fluxo de ar na sua superfície; da radiação incidente sobre ela; da umidade relativa do ar

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circundante; da sua pureza; da sua temperatura; da pressão local; e da área da superfície exposta ao ambiente. Diversos modelos são utilizados para predizer tais taxas de evaporação. Neste trabalho, utilizaremos a equação de Smith-Lof-Jones (apud SCHOUTEN et al., 2011), que nos dá a taxa de evaporação dmH20 dt / , em g/s, por:

<!-- formula-not-decoded -->

onde U é a velocidade do ar na superfície da água em m/s, PVS é a pressão de vapor saturado na temperatura da porção de água em mmHg, UR é a umidade relativa do ar circundante à porção de água, AH20 é a área da porção de água em contato com o ar do ambiente em m , e 2 clatente é o calor latente de evaporação da água em J/g. Em tal modelo, qualquer incidência de radiação na água é desprezada e o fluxo de ar na superfície da água é considerado constante.

A pressão de vapor saturado PVS para a temperatura da água da equação (1) é calculada em nosso modelo por meio da equação de Antoine (apud GESARI, IRIGOYEN &amp; JUAN, 1996):

<!-- formula-not-decoded -->

onde T é a temperatura da água em ºC.

Em nosso modelo, consideraremos que a água do prato e o próprio prato estão em uma mesma temperatura T , ou seja, estão em equilíbrio térmico. Idealizamos também que a temperatura ambiente Tamb é constante durante o fenômeno. Feitas tais consideração, descreveremos o comportamento do fenômeno de estudo por meio das trocas de energia do ambiente com o sistema composto pelo prato somado à água depositada nele.

Considerando que cada molécula de água que evapora no prato aberto absorve uma pequena quantidade de energia das moléculas que ficam no recipiente, a taxa de energia absorvida do sistema Qevap é dada, em J/s, por:

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Assim como é feito na dedução da Lei de Resfriamento de Newton (DICKMAN &amp; DICKMAN, 2007), as taxas de transferência de energia por condução, convecção e radiação são englobadas em uma única variável Qcond\_conv\_rad que é idealmente considerada proporcional à diferença entre a temperatura ambiente Tamb e a temperatura do prato de água T :

<!-- formula-not-decoded -->

onde k é uma constante de proporcionalidade em J/s.ºC.

De posse das taxas de transferência de energia do sistema e desprezando qualquer trabalho realizado sobre ou pelo sistema, podemos calcular a taxa de variação da sua temperatura, em ºC/s, por:

<!-- formula-not-decoded -->

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onde cH20 é o calor específico da água em J/g.ºC, mprato é a massa do prato em g, cprato é o calor específico do prato em J/g.ºC, e Q é a soma das taxas de transferência de energia no sistema em J/s, ou seja, Q = Qevap + Qcond\_conv\_rad .

Na próxima seção, discutimos como o modelo teórico aqui apresentado pode ser explorado por meio do software Modellus.

## 3.2 Uso do software Modellus para descrever o resfriamento da água

Por apresentar uma interface intuitiva que dispensa conhecimentos de programação por parte do usuário, sugerimos o uso do software Modellus para o 3 desenvolvimento de avaliações de comportamentos de modelos científicos. Gratuito e multiplataforma, o Modellus possibilita a implementação computacional de modelos teóricos através da resolução numérica dos mais diversos tipos de equação. Para isso, basta que sejam inseridas as equações que representam o fenômeno estudado na janela 'Modelo Matemático'. A Figura 01 ilustra a implementação do modelo teórico apresentado na seção anterior para representar o resfriamento da água no caso do prato aberto.

Figura 01: Implementação do modelo de resfriamento do prato de água aberto no Modellus.

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Em relação às equações apresentadas na seção 3.1, apenas acrescentamos ao modelo matemático uma equação para a área da água exposta ao ambiente AH20 em função do seu raio r H20 , que foi considerado como 0,1 m, e outra que nos fornece o tempo transcorrido em minutos. Para emular o resfriamento dos pratos, consideramos cH20 = 4,19 J/g.ºC, cprato = 0,67 J/g.ºC, clatente = 2.500 J/g, e Tamb = 27 ºC. A massa inicial de água nos pratos foi de 300 g, e a temperatura inicial foi 59,8 ºC. Idealizamos que a velocidade do vento era desprezível durante o resfriamento dos pratos, ou seja, consideramos U = 0 m/s. Fazendo uma regressão pelo 'método dos mínimos quadrados' para a temperatura do prato fechado em função do tempo com a Lei de Resfriamento de Newton, calculamos o valor de k = 1,2 J/s.ºC. Idealizamos que as taxas de transferência de energia por condução, convecção e por radiação no prato aberto são idênticas ao que ocorre no prato fechado, ou seja, consideramos k = 1,2 J/s.ºC também para o caso do prato aberto. A análise dos dados obtidos com o Modellus nos evidenciou que, usando o mesmo valor de k para o caso do prato aberto, os dados teóricos obtidos apresentam uma boa adequação

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aos dados empíricos. A Figura 02 mostra o gráfico dos dados empíricos e dos teóricos em função do tempo.

Figura 02: Gráfico da predição teórica e dos valores empíricos do resfriamento do prato aberto em função do tempo.

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## 4. Uma implementação em um mestrado profissional

O ciclo de modelagem exposto na seção 3.1 foi implementado em duas aulas de 3,5 horas com um grupo de treze estudantes de um Mestrado Profissional em Ensino de Física (MPEF) no segundo semestre de 2011. Apesar de não ser o enfoque deste artigo, apresentamos aqui sucintamente alguns resultados interessantes dessa atividade. A discussão que exibimos aqui foi baseada nas observações das atividades realizadas pelos estudantes durante o desenvolvimento do ciclo de modelagem e em entrevistas realizadas com sete dos treze estudantes participantes.

O primeiro aspecto que nos surpreendeu foi o conhecimento dos alunos quanto à Lei de Resfriamento de Newton, pois tal tema é pouco discutido em livros de Física básica (e.g. HALLIDAY, 2007), o que nos levava a crer que poucos deles teriam familiaridade com tal teoria. Todos os alunos, que eram professores em exercício, tinham ciencia dele, apesar de nenhum deles reconhecer os limites do seu domínio de validade. Quando questionados sobre o contexto onde tiveram contato com a Lei de Resfriamento de Newton, nenhum dos entrevistados soube especificar precisamente onde foram iniciados a esse assunto.

A dificuldade dos estudantes para desenvolverem atividades pouco estruturadas também foi uma clara característica dessa implementação do ciclo de modelagem. Tal fato, destacado por quatro dos alunos entrevistados, provavelmente seja uma herança das atividades tradicionalmente desenvolvidas com esses estudantes nas quais, de modo geral, eles costumam seguir acriticamente uma série rígida de passos apresentada por seus professores, o que acaba por limitar a capacidade deles para traçarem suas próprias investigações.

As discussões finais em grande grupo evidenciaram também um desenvolvimento no discurso dos estudantes. O uso qualificado de termos como 'modelo', 'validade' e 'idealização' foram frequentes, evidenciando uma evolução em suas concepções de ciência. Apesar de tais alunos já terem participado de discussões sobre o processo de modelagem científica antes do desenvolvimento dos ciclos de modelagem, nossa impressão é de que tais atividades ampliaram o entendimento dos estudantes sobre o assunto, pois promoviam situações empíricas que davam sentido para os conceitos estudados.

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- O uso do computador no ciclo de modelagem se mostrou bastante importante. Três dos quatro grupos de estudantes utilizaram tal ferramenta para emular modelos que envolviam o resfriamento da água. Além do software Modellus, que foi utilizado por dois grupos, o software Excel também foi empregado por um grupo para explorar o modelo teórico que construíram.

## 5. Considerações Finais

Tendo em vista a necessidade de se evidenciar o caráter representacional dos modelos científicos no ensino de Física, os ciclos de modelagem se destacam como uma alternativa. Além disso, o tão estimulado uso do computador também é favorecido por essa metodologia. Com esse foco, temos utilizado ciclos de modelagem desde o segundo semestre de 2011, tanto com alunos de graduação como de mestrado profissional. Apesar do pouco tempo em que exploramos tal estratégia didática e das dificuldades enfrentadas, nosso sentimento geral é de que bons resultados foram obtidos. Mais detalhes sobre ciclos de modelagem podem ser consultados em, por exemplo, Heidemann, Araujo &amp; Veit (2012).

## Referências

BORGES, A. T. Novos rumos para o laboratório escolar de ciências. Caderno Brasileiro de Ensino de Física , Florianópolis, v. 24, p. 9 - 30, 2002. ed. especial.

BUNGE, M. Teoria e Realidade . São Paulo: Editora Perspectiva, 1974.

CARTWRIGHT, N. How the Laws of Physics Lie . New York: Oxford University Press, 1983.

DICKMAN, Adriana G.; DICKMAN, Ronald. A Lei de Resfriamento de Newton: Condução e Radiação . In. XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física. São Luis, Brasil, 2007.

GESARI, S.; IRIGOYEN, B.; JUAN, A. An experiment on the liquid-vapor equilibrium of water. American Journal of Physics , Melville, v.64, n.9, p.1165-1168, Sept 1996.

HALLIDAY, D; RESNIK, R.; WALKER, J. Fundamentals of physics . 8th ed. Toronto: Willey, 2007.

HEIDEMANN, L. A.; ARAUJO, I. S.; VEIT, E. Ciclos de Modelagem: uma alternativa para integrar atividades baseadas em simulações computacionais e atividades experimentais no ensino de Física. Caderno Brasileiro de Ensino de Física , Florianópolis, No prelo, 2012.

HESTENES, D. Notes for a Modeling Theory of Science, Cognition and Instruction . In: GIREP Conference: Modeling in Physics and Physics Education, Amsterdam, Netherlands, 2006.

JACKSON, J.; DUKERICH, L.; HESTENES, D. Modeling Instruction: an effective model for Science Education. Science Educator , Indianapolis, v.17, n.1, p. 10-17, Jan. 2008.

SCHOUTEN P.; LEMCKERT, C.; PARISI, A.; DOWNS, N.; UNDERHILL, I.; TURNER, G. Variable Wind Speed and Evaporation Rates: A Practical and Modelling Exercise for High School Physics and Multi-Strand Science Classes. Teaching Science , Sidney, v. 57, n.2, p. 47-51, June 2011.

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