A Falácia do Arredondamento Correto

## A FALÁCIA DO ARREDONDAMENTO CORRETO

## Fernando Machado Matias 1

1 IFRJ, fernando.matias@ifrj.edu.br

## Resumo

Existem duas técnicas de arredondamento normalmente ensinadas pelos Professores de Física. A mais simples considera que se o algarismo não significativo de maior ordem for 0, 1, 2, 3 ou 4 arredonda-se 'para baixo' e, nos outros casos, 'para cima'. Alguns Professores ensinam outra técnica de arredondamento, que trata o algarismo 5 não significativo como especial , e a apresentam como o 'Arredondamento Correto'. Neste trabalho discute-se não só o equívoco de se denominar um tipo de arredondamento como sendo 'O Correto', como também a falácia cometida na justificativa da denominação. Após uma análise do problema geral de arredondamento, mostra-se que os argumentos normalmente utilizados para corroborar o uso desta técnica são baseados na identificação equivocada entre o algarismo zero e o número zero. Também são analisados argumentos estatísticos para mostrar que os possíveis ganhos obtidos no uso desta técnica não se justificam. Com base nos argumentos apresentados propõe-se que os Professores que cobram o uso desta técnica reavaliem sua atitude, pois o uso de uma técnica mais simples se mostra mais eficiente em termos técnicos, práticos e didáticos.

Palavras-chave : Arredondamento, medição, incerteza, algarismos significativos, algarismo duvidoso.

## Arredondamento Segundo o IEEE Computer Society

- O problema do arredondamento é o de substituir adequadamente um número, cuja representação possui uma quantidade de dígitos maior do que se deseja, por outro, com um número máximo de dígitos pré-definido. Este é um problema fundamental na área de computação com números em ponto flutuante, já que o tamanho da memória utilizada para representar números é finita e, normalmente, pré-definida.

Essa limitação no tamanho da representação pode gerar uma série de erros em cálculos e simulações que algumas vezes são subestimadas, como ressaltado em vasta bibliografia [KALBASI, 1990], [MONNIAUX, 2008], [GOLDBERG, 1991].

- O Technical Committee on Microprocessors and Microcomputers of the IEEE Computer Society criou duas normas específicas para trabalhar com números no formato de ponto flutuante: a IEEE 754 e a IEEE 854. A primeira destas normas trata, em detalhes, do caso específico da representação dos números na base binária. A segunda, a despeito de o título fazer menção a ser independente de base, trata de algumas adaptações para que a norma seja válida para as bases binária e decimal. Isto significa que ao seguir os padrões recomendados pela IEEE 854 automaticamente também estarão sendo seguidos os padrões da IEEE 754. Portanto a análise se dará em torno da IEEE 854.

Dentre as várias recomendações da IEEE 854, encontra-se uma que trata especificamente da questão do arredondamento. Nesta parte são considerados válidos quatro tipos distintos de arredondamento, descritos a seguir.

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## Arredondamentos Diretos

São definidos três tipos de Arredondamento Direto: para + ∞ , -∞ e para 0, ou seja, respectivamente, arredondamento para cima, para baixo e para cima em módulo.

## Arredondamentos para o mais próximo

É o arredondamento default. Arredonda-se sempre para o mais próximo. Se houver dois números igualmente distantes do que deve ser substituído, opta-se por aquele cujo dígito menos significativo seja par. A ideia subjacente aqui é a de que metade das vezes isto resultará em um arredondamento para cima e, na outra metade, para baixo. Com isto, em média, não haverá um desvio sistemático nos resultados. Não se pode dizer o mesmo dos arredondamentos diretos, os quais, em compensação, são mais simples [EVEN, 2000].

## Arredondamentos em Geral

A maior parte da bibliografia relativa à questão do arredondamento, além da relativa aos computadores, trata, essencialmente, do número de algarismos significativos a ser mantido, sem entrar em detalhes sobre como proceder ao arredondamento necessário para a redução deste número [AGUT, 2006], [DEIDDA, 2007]. Também há trabalhos que tratam dos erros de arredondamento envolvendo cálculos que envolvam conversão decimal-binário-decimal [van EMDEN, 2007], ou sobre como calcular incertezas de medição [INMETRO, 2003], os quais são igualmente omissos sobre os detalhes do arredondamento. Nem mesmo o Vocabulário Internacional de Metrologia [VIM, 2012] se encontra uma definição de arredondamento.

Uma busca sobre arredondamento em sítios brasileiros na INTERNET encontra várias referências à Norma 886/66 do IBGE. E isto vai de apostila de Estatística para Concursos a Processos envolvendo percentuais do Orçamento a serem aplicados em determinadas áreas como saúde e educação.

Na maioria destas páginas os documentos encontrados descrevem esta Norma como sendo o aqui chamado de 'Arredondamento Correto' [SILVEIRA, 2012], mas outros a descrevem como o aqui chamado de 'Arredondamento Simples', [BANCO DO BRASIL, 2009], [IBRAM, 1011]. Curiosamente, um documento de estatísticas de autoria próprio IBGE, [IBGE, 2008], descreve explicitamente qual regra de arredondamento foi utilizada, no caso a simples, sem fazer referência a tal Norma. Para esclarecer a questão seria necessário verificar o texto desta Norma o que não pode ser feito quando da redação deste trabalho devido à greve do IBGE.

Como atualmente uma boa parte dos estudos é feita com o auxílio de ferramentas da MICROSOFT, como o EXCEL, por exemplo, vale a pena ver como esta empresa trata a questão do arredondamento. Em um dos sítios de ajuda da MICROSOFT, http://support.microsoft.com/kb/196652/pt, a questão do comportamento dos aplicativos desta empresa em relação ao arredondamento é explicitada. Nesta página são descritos oito tipos diferentes de arredondamento, com suporte a cada um variando entre os diversos aplicativos. Lá o arredondamento simples é denominado como aritmético e o correto como bancário.

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Se alguém ainda não estiver consciente da importância da correta definição de qual deve ser o arredondamento a ser executado, vale a pena citar o caso da conversão de algumas moedas europeias quando as mesmas foram substituídas pelo Euro. Em [M'RAÏHI, 2000] é mostrado que, dependendo da forma como se realizasse o arredondamento, poderiam ser efetuadas fraudes através de transações eletrônicas de conversão de moedas, denominadas de ' rounding attacks '. Neste caso específico, por exemplo, os autores propõem o que eles chamam de 'Arredondamento Probabilístico' para evitar fraudes.

## Arredondamentos Simples e Correto

A despeito de toda a discussão anterior sobre os diversos tipos possíveis de arredondamento, em sala de aula são, normalmente, discutidos apenas dois tipos de arredondamento, na base 10 e tomando o valor absoluto no caso de números negativos. O mais frequentemente ensinado é o aqui chamado de arredondamento simples, o qual pode ser definido como no sítio da MICROSOFT:

Quando arredondar sempre por defeito ou por excesso, o número resultante não é necessariamente o mais próximo do número original. Por exemplo, se arredondas 1,9 por defeito para 1, a diferença é muito maior do que se arredondar por excesso para 2. É fácil de ver que os números entre 1,6 e 2,4 devem ser arredondados para 2.

No entanto, como deve ser arredondado 1,5, que é equidistante de 1 e 2? Por convenção, o número equidistante é arredondado por excesso.

…

Conforme ensinado na escola, o arredondamento é normalmente aritmético…

Por exemplo, 2,5 e 2,51 são ambos arredondados por excesso para 3, enquanto que 2,4 e 2,49 são ambos arredondados por defeito para 2.

No mesmo sítio vê-se a seguinte definição para o aqui chamado arredondamento correto:

O arredondamento bancário arredonda 0,5 por excesso algumas vezes e por defeito outras vezes. A convenção é arredondar para o número par mais próximo, de modo a que 1,5 e 2,5 são ambos arredondados para 2 e 3,5 e 4,5 são ambos arredondados para 4. O arredondamento bancário é simétrico.

…

Por exemplo, com o arredondamento bancário, 2,5 é arredondado por defeito para 2 e 2,51 é arredondado por excesso para 3.

O argumento normalmente utilizado para justificar a simetria do arredondamento correto e que, aparentemente, o torna coerente com a IEEE 854, é o seguinte. Considere um resultado que é obtido com mais algarismos do que a quantidade pré-determinada de algarismos significativos. Se o primeiro algarismo não significativo for 1, 2, 3 ou 4 arredonda-se para baixo, ou seja, trunca-se o resultado mantendo inalterado o algarismo duvidoso, por ser este o número mais próximo com a quantidade correta de algarismos significativos. Se o algarismo excedente for 6, 7, 8 ou 9 arredonda-se para cima, ou seja, acrescenta-se uma unidade ao algarismo duvidoso, com eventuais carregamentos devido a estouro de base, e trunca-se o resultado, pelo mesmo argumento acima. E se o algarismo excedente for 5, que é equidistante dos números de cima e de baixo? No chamado arredondamento simples arredonda-se para cima. No chamado arredondamento correto, procede-se como descrito abaixo.

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- · Se o 5 for seguido de algum outro algarismo não significativo diferente de 0, arredonda-se para cima, por ser este o número mais próximo.
- · Se todo algarismo não significativo que segue o 5 for 0 verifica-se a paridade do algarismo duvidoso. Se for par, arredonda-se para baixo; se for ímpar, arredonda-se para cima.

A ideia subjacente ao procedimento acima é a de que, como a paridade do algarismo duvidoso seria aleatória, isto garantiria que metade das vezes o arredondamento se desse para baixo e, na outra metade, para cima. Isto evitaria um acúmulo devido a um desvio sistemático para cima que ocorreria no caso do arredondamento simples!

A figura 1 exibe a ideia do arredondamento correto em dois exemplos em que se tenha 2 algarismos significativos seguidos de apenas um algarismo nãosignificativo

Figura 01 : Exemplos de arredondamento correto

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## A Falácia do Arredondamento Correto

Quando na seção anterior se analisou como proceder, caso o primeiro algarismo não significativo seja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, mas a base 10 tem 10 algarismos! Não se comentou o procedimento a ser adotado quando este algarismo for o que está faltando para completar a base: o 0. Neste momento argumenta-se que, quando o primeiro algarismo não significativo for o 0, não haverá arredondamento já que 'tirar o 0 é o mesmo que não tirar nada'. Logo, segundo este raciocínio, truncar o número para a quantidade correta de algarismos significativos quando o primeiro algarismo não significativo for 0 não deve ser considerado um procedimento de arredondamento!?!?

Em [Salmon, 1981] vê-se a seguinte definição de falácia.

As premissas de um argumento logicamente incorreto podem dar a impressão de que sustentam a conclusão, embora na realidade isto não aconteça. Argumentos logicamente incorretos são chamados 'falácias'.

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A origem desta falácia está na confusão entre o algarismo 0 e o número zero . Para esclarecer a diferença veja-se o seguinte.

- · Ao subtrair zero de vinte, se continua tendo vinte. Neste caso se pode dizer que nada foi tirado.
- · Ao retirar o algarismo 0 da representação numérica de vinte, 20, resta a representação numérica de dois, 2. Neste caso não se pode dizer que nada foi tirado.

Estas diferenças de comportamento devem ser consideradas na discussão do arredondamento porque este processo trata da substituição de um número por outro, através da eliminação dos algarismos não significativos. A questão assume sua forma mais clara na seguinte situação.

- · Ao retirar o algarismo 0 mais à direita de 20,00 obtém-se 20,0. Neste caso se pode dizer que nada foi tirado?

A resposta para a questão acima é não. As representações acima refletem diferentes graus de precisão em uma experiência. Portanto, em certo sentido, não representam o mesmo número. Isto fica mais evidente quando se trata do arredondamento de, por exemplo, 3,4700036 para três algarismos significativos. Nota-se claramente que o arredondamento deve resultar em 3,47, embora os enunciados acima anteriormente citados não citem o que fazer quando o primeiro algarismo não significativo for o zero. Isto fica mais claro comparando a figuras 2 abaixo com a figura 1.

Figura 02 : Exemplos de arredondamento simples

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Redefinindo o arredondamento simples da seguinte maneira:

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- · Quando o primeiro algarismo não significativo for 0, 1, 2, 3 ou 4, se arredonda para baixo.
- · Quando o primeiro algarismo não significativo for 5, 6, 7, 8 ou 9, se arredonda para cima.

Vê-se que, na verdade, é o arredondamento simples que é estatisticamente equilibrado. Considerando uma distribuição homogênea para os algarismos não significativos, em média 50% das vezes haverá arredondamento para cima e 50% das vezes para baixo. E isto independente da quantidade de algarismos não significativos.

Uma breve análise do caso em que se tenha apenas um algarismo não significativo mostra que, no caso do dito arredondamento correto, as probabilidades passam a ser de 45% das vezes para cima e 55% das vezes para baixo, ou seja, gera-se um desvio sistemático indevido para baixo.

## Arredondamento Correto em Laboratórios para Ensino

Utilizando uma calculadora comum de 8 dígitos, e supondo que se trabalhe em uma experiência cujo resultado deva ter 3 algarismos significativos, a probabilidade de se obter um resultado em que se tenha um número par como algarismo duvidoso seguido e como algarismos não significativos um 5 seguido apenas por zeros, ou seja, o caso onde o arredondamento simples e o correto fornecem resultados diferentes, é de 0,5×10 -5+ze , onde ze é o número de zeros à esquerda do resultado. Espera-se que o aluno conheça o procedimento de eliminação dos zeros à esquerda para que não cometa o erro de calcular algo como 1÷(3,00×10 ) = 0.0000003 = 3×10 6 -7 , quando o resultado correto seria 3,33×10 -7 . Se for este o caso, a probabilidade de que os dois procedimentos forneçam um resultado diferente passa a ser de 0,5×10 -5 , ou seja, em média, uma vez em cada 200.000 arredondamentos!

Um problema clássico na definição da ementa de uma disciplina é de que o tempo necessário para trabalhar o conteúdo que se considera importante ensinar é sempre maior do que o tempo disponível. Daí a importância de se discutir quais conteúdos devem ser mais aprofundados e quais podem, sem maior prejuízo a formação do aluno, ser dispensados. Supondo que o dito arredondamento correto seja realmente correto, será que o prejuízo em não ensiná-lo não é pequeno o suficiente para que o mesmo possa ser dispensado? E mesmo no caso de disciplinas como as da área de Estatística, Metrologia ou Física de Partículas [NAKAMURA, 2010], em que se considere relevante a explicitação da técnica de arredondamento utilizado, não é mais importante discutir as diferenças entre as técnicas que se pode utilizar sem entrar no mérito de qual seria a correta, e sim de qual seria a mais adequada?

## Conclusão

A questão do arredondamento correto pode ser analisada sobre três aspectos a seguir.

- · Técnico: Os argumentos utilizados neste trabalho, os quais levantam, no mínimo, dúvidas sobre a validade do arredondamento correto. Além disto, autor está trabalhando em simulações computacionais

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cujos resultados preliminares mostram que tanto o arredondamento simples quanto o correto convergem para o resultado correto para grandes amostras, mas que o arredondamento simples converge mais rápido! Estas simulações, as quais depois de melhoradas devem ser submetidas à publicação, mostram que, no aspecto técnico, o arredondamento correto é, na verdade, incorreto ou, no mínimo, desnecessário.

- · Prático: Como mostrado neste trabalho, em termos práticos a possível melhoria nos resultados, que o arredondamento correto poderia trazer, é tão pouco provável e de tamanho tão desprezível, comparados aos erros normalmente cometidos em procedimentos de medida nos laboratórios escolares, que não há, em termos práticos, justificativa para o trabalho excedente exigido por esta técnica.
- · Didático: Os argumentos acima mostram que as possíveis contribuições que o arredondamento correto poderia trazer são questionáveis e de baixo impacto. Mostra-se válido, portanto, investir mais tempo discutindo o conceito de Algarismos Significativos versus Algarismos não Significativos, e a técnica de se trabalhar em notação científica para exprimir adequadamente o resultado, do que sacrificar parte deste tempo discutindo detalhes de uma técnica de arredondamento de difícil compreensão por parte do aluno. O arredondamento simples é de fácil aprendizagem e rápida utilização, ajudando a manter o aluno atento a questões muito mais relevantes em práticas de laboratório.

Com base nos argumentos acima se considera que a cobrança do chamado 'Arredondamento Correto', praticada, por exemplo, em algumas Escolas Técnicas Federais, não se mostra adequada. O autor recomenda que os adeptos desta prática a repensem ou que, no mínimo, se contraponham a este trabalho para que esta discussão possa ser mais enriquecida.

## Referências

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