14h30

## UM ESTUDO DE CASO RELACIONANDO FORMAÇÃO DE ÁÃ Ç PROFESSORES, MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE FÍSICA

1 Cláudia de Oliveira Lozada 2 Nadja S. Magalhães

1 GT Modelagem Matemática (SBEM), cld.lozada@gmail.com 2 Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo, nadjam@cefetsp.br

## Resumo

Neste trabalho analisa -se o papel da Modelagem Matemática no Ensino de Física com o objetivo de investigar a extensão da utilidade da mesma como ferramenta para o professor dessa disciplina. Avaliam-s-se também as dificuldades que os alunos do Ensino Médio possuem para realizar a Modelagem Matemática na resolução de problemas de Física. Embora os alunos da Licenciatura demonstrem facilidade na compreensão dos fenômenos físicos, os resultados apontam a necessidade de se trabalhar a competência escritora, ou seja, que consigam expressar por meio da escrita suas idéias, hábito que poderá ser ensinado aos alunos quando lecionarem. Outro aspecto a ser ressaltado diz respeito à propositura de problemas numa dimensão investigativa que fará com que os alunos elaborem seus próprios modelos matemáticos e desvinculem-s-se da "cultura dos problemastipo" e da "aplicação de fórmulas", permitindo a autonomia de pensamento e de ação, fomentando o educar pela pesquisa. Ademais, a realização do trabalho cooperativo deve ser freqüente, para que os alunos compreendam a importância de compartilhar saberes na construção do conhecimento e que o mesmo possibilita a aquisição de valores de atitudes, pois s se pretende e formar cidadãos críticos.

Palavras -chave: Ensino de Física, Modelagem Matemática, Formação de Professores, Resolução de Problemas.

## Abstract

In this work the role of mathematical modeling in Physics teaching is analyzed aiming at investigating its usefulness as a tool for the Physics teacher. Also, difficulties that high school students have to perform mathematical modeling for problem solving in Physics are assessed. Although, students of the Graduate show ease in the understanding of physical phenomena, the results indicate the need to work with competence writer, or that they express through writing their ideas, habits that can be taught to students when will teach. Another aspect to be highlighted concerns the commencement of investigative problems in a size that will ensure t that students develop their own mathematical models and desvinculem is the "culture of problems-type" and "application of formulas," allowing the autonomy of thought and action by fostering educate the search. Furthermore, the creation of cooperative work must be frequent, so that students understand the importance of sharing knowledge in the construction of knowledge and that it allows the acquisition of values, attitudes, as it seeks to form citizens critics.

Keywords: Physics Teaching, Mathematical Modeling, Education Teaching, Problem Solving Skills

## Introdução

A resolução de problemas nas aulas de Física no Ensino Médio, como se tem observado muitas vezes consiste na aplicação de fórmulas sem aparente relação com o conceito físico, constituindo-se em mecanização de procedimentos, propagando o que se tem denominado "matematização" do Ensino de Física. Este processo de "matematização" caracteriza-se pela excessiva ênfase na apropriação de conceitos matemáticos para resolver problemas de Física, relegando a segundo plano a conexão com os fenômenos físicos em estudo.

Embora os livros didáticos tragam uma quantidade cada vez maior de problemas contextualizados relacionados ao cotidiano dos alunos, há a necessidade de os professores reverem sua prática pedagógica com o objetivo de tornar a resolução de problemas uma atividade desafiadora que mobilize o processo cognitivo dos alunos. Dessa maneira, estes seriam levados a desenvolver sua capacidade crítica com vistas a discutir os modelos matemáticos desenvolvidos, sua validação, questionando se haveriam outros modelos para um mesmo fenômeno, entre outras questões que podem ser levantadas. Enfim, a resolução de problemas deve estar r diretamente relacionada com a Modelagem MaMatemática e constituir um cenário de investigação.

Nesse sentido, torna-se interessante que a linguagem simbólica seja trabalhada desde as séries iniciais visando o que os alunos possam compreender adequadamente sua relação com os modelos matemáticos. É importante deixar claro desde cedo aos alunos q que os modelos matemáticos desenvolvidos no Ensino de Física possuem um sentido agregado ao fenômeno em estudo, que suas variáveis possuem um significado, não constituindo um conjunto de símbolos vazios.

Com esse embasamento e fundamentando -se na perspectiva da aprendizagem significativa crítica (MOREIRA, 2005), neste trabalho são propostas reflexões sobre a interface entre a Modelagem Matemática e a resolução de problemas por meio de um estudo de caso com alunos de Licenciatura em Física. Procurou -s -se inves tigar a extensão da a utilidade da Modelagem MaMatemática como ferramenta para o professor de Física, bem como avaliar dificuldades que os alunos do Ensino Médio possuem para realizar a Modelagem Matemática na resolução de problemas de Física.

## 1.A interface e entre a resolução de problemas e a Modelagem Matemática

Em diversas passagens dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio a resolução de problemas é citada como uma prática a ser desenvolvida em nossas escolas. Esta postura é reforçada na seção de competências e habilidades.

Outro aspecto a ser considerado é de ordem conceitual. Diversos teóricos discutem acerca do conceito de problema e da resolução de problemas, sendo que várias correntes apontam os requisitos para se considerar um problema e sua resolução (KILPATRICK, 1985; SCHOENFELD, 1985). Outros autores (RABELO, 2004) explicitam que o conceito de problema é relativo ao sujeito a que se destina.

Schoenfeld (op. cit) aponta quatro categorias de habilidades necessárias para se resolver problemas: recursos, heurísticas, controle e convicções. Polya (1995) coloca quatro fases para a resolução de problemas: compreensão do problema, concepção de um plano, execução do plano e visão retrospectiva. Independente da área de ensino, estas quatro fases deveveriam ser ensinadas aos alunos visando

facilitar o processo de resolução de problemas. Por sua vez, Krulik e Reys (1997), enfocam a resolução de problemas como meta, processo e habilidade básica.

Diante do exposto, percebe-se que a Modelagem MaMatemática está diretamente ligada à resolução de problemas. Em geral ela envolve as seguintes etapas: (1ª) definição do problema, (2ª) simplificação e formulação de hipóteses, (3ª) dedução do modelo matemático, (4ª) resolução do problema matemático, (5ª) validação e (6(6ª) aplicação do modelo. É o que observa Gustineli (1990), ao referir -s -se à Modelagem Matemática e à resolução de problemas:

"(...) encarar a modelagem matemática e a resolução de problemas globalmente relacionadas e ressaltar como a criatividade emerge ao se trabalhar com essas duas linhas de pesquisa, como metodologias do ensino da Matemática, tendo em vista o processo de ensino e aprendizagem." (p. XIII - apresentação).

Esta relação com a resolução de problemas é enfatizada pelas Orientações Curriculares do Ensino Médio (2006, p. 84-85):

"(...) A Modelagem MaMatemática percebida como estratégia de ensino, apresenta fortes conexões com a idéia de resolução de problemas (...). Ante uma situação-problema ligada ao mundo real, com sua inerente complexidade, o aluno precisa mobilizar um leque de competências: selecionar variáveis que serão relevantes para o modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem do campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do problema formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo originalmente pensado é matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados empíricos existentes; e eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar o modelo para que este melhor corresponda à situação real, aqui se revelando o aspecto dinâmico da construção co conhecimento."

Em relação aos tipos de problemas, as O Orientações Curriculares para o Ensino Médio alertam sobre a questão da contextualização que está presente em muitos deles e sua influência direta no processo ensino-aprendizagem. A esse respeito colocam que (BRASIL, 2006, p. 83-84):

"A contextualização pode ser feita por meio de resolução de problemas, mas aqui é preciso estar atento aos problemas fechados, porque esses pouco incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problemas, já de antemão o aluno identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores provocações quanto à construção de conhecimento e quanto à utilização de raciocínio matemático"

Os alunos, dessa forma, como o documento referido coloca, operam com os números que estão presentes no problema e não refletem sobre o resultado a que chegam, seja qual for. E o escopo de formar um aluno reflexivo torna-se i insipiente.

## 2. Considerações sobre a Modelagem Matemática e a resolução de problemas em Física

A Modelagem MaMatemática ganhou destaque com a publicação das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), que cita expressamente esta modelagem, destaca-a no bojo de seu texto, demonstrando a sua relevância nas pesquisas em Educação Matemática.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p.84) colocam a Modelagem Matemática "como um caminho para se trabalhar a Matemática na escola " e prosseguem afirmando que a Modelagem Matemática "pode ser entendida como a habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real."

Barbosa (2001, p.3) corrobora esta idéia afirmando que a MoModelagem "é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da da Matemática, situações com referência na realidade." Este

ambiente de aprendizagem, contém um 1"cenário de investigação", como nos coloca Skovsmose (2000, p.69). Santo 1 (2007), repensando a Modelagem MaMatemática, recentemente a definiu "como um processo gerarador de um ambiente de aprendizagem onde é possível trabalhar os conteúdos matemáticos e não matemáticos de forma indissociável, num processo dialógico onde e o conhecimento como um todo vai se construindo sem a necessidade de fragmentação de sua aprendizagemem."

No entanto, dependendo do objetivo que se pretende alcançar com as atividades de Modelagem MaMatemática, esta pode apresentar-se segundo uma das três perspectivas, como aponta Barbosa (2006, p.1): "a pragmática, com ênfase no desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas, a científica, com ênfase na aprendizagem dos conceitos matemáticos e a sócio-crítica, que sublinha a análise do papel dos modelos matemáticos na sociedade."

As perspectivas pragmática e científica são usuais nas escolas brasileiras, seja no Ensino Fundamental ou no Médio, agregadas à resolução de problemas e à aprendizagem de conceitos matemáticos. As atividades de Modelagem MaMatemática constituem um meio para o domínio de ferramentas matemáticas, como se poderá constatar no estudo de caso que adiante será exposto. Kaiser e Messmer (1991, p.85) afirmam que a perspectiva científica "considera a ciência MaMatemática e sua estrutura como um guguia indispensável para ensinar M atemática, a qual não pode ser abandonada."

Em relação à persrspectiva sócio-crítica, esta pode desencadear a denominada Aprendizagem Significativa Crítica defendida por Moreira (2005), na qual o aluno passa a ser perceptor. A resolução de problemas em Física tem sido criticada, sobretudo , pela tendência a reduzir-s-se à aplicação de dados em fórmulas ou algoritmos, não estabelecendo significado com o conceito físico. Ademais, criou-se a "cultura dos problemas-tipo", que não são desafiadores e criam a "mecaniz açação" da resolução de problemas,

Nesse sentido, Peduzzi (1997, p. 230 - 231) apud Zylbersztajn (1998, p. 2) coloca que:

"Particularmente na área de ensino de Física (...) o que se verifica é que o professor, ao exemplificar a resolução de problemas, promove uma resolução linear, explicando a situação em questão como algo cuja solução se conhece e que não gera dúvidas nem exige tentativas. Ou seja, ele trata os problemas como ilustrativos, como exercícios de aplicação de teoria e não como verdadeiros problemas, que é o que eles representam para o aluno."

Essa visão é corroborada pelos PCN (BRASIL,1999, p. 229), que apontam que o Ensino de Física

"enfatiza a utilização de fórmulas, em situações artificiais, desvinculando a linguagem matemática que essas fórmulas representam de seu significado físico efetivo. Insiste na solução de exercícios repetitivos, pretendendo que o aprendizado ocorra pela automatização ou memorização e não pela construção do conhecimento através das competências adquiridas."

## As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 54) corrobora o que foi escrito nos PCN:

"(...) Na prática é comum a resolução de problemas utilizando expressões matemáticas dos princípios físicos e ao modelo utilizado. Isso se deve em parte ao fato já mencionado de que esses problemas são de tal modo idealizados que podem ser resolvidos com a mera aplicação de fórmulas, bastando ao aluno saber qual expressão usar e substituir os dados presentes no enunciado do problema." (...)"essas práticas não asseguram a competência investigativa, visto que não promovem a reflexão e a construção do conhecimento. Ou seja, dessa forma ensina -s -se mal e aprende-e-s-se pior."

Nas escolas brasileiras esta prática é freqüente. Os alunos costumam afirmar que "nas aulas de Física estudam Matemática", pois não há uma relação entre o conceito físico e o modelo matemático; não há a prática de se resolverem problemas em Física com o objetivo de se elaborar r um modelo matemático. Há uma ilusão de que os alunos "resolvem os problemas", uma vez que mecanizam os procedimentos de resolução. Os resultados obtidos, via de regra, não são questionados nem analisados com vistas a debater o fenômeno estudado. A resolução do problema encerra-se quando se obtém um resultado numérico. Neste caso, será que há uma aprendizagem significativa?

Larkin e Reif (1979) realizaram estudos comparando a forma com que novatos e especialistas resolvem problemas e verificou que os novatos costumam recorrer a fórmulas. Constataram, por outro lado, que os especialistas costumam partir de uma representação física seguida da elaboração de um esquema e, de acordo com este, resolvem o problema, trabalhando desde o enunciado à incógnita.

Kuhn (1975) defende os "problemas-tipo", afirmando que estes são fundamentais na aprendizagem da Física. Zylbersztajn (1998, p. 7) explica que na na visão de Kuhn os alunos, ao resolverem os problemas exemplares, aprendem a aplicar as versões apropriadas das leis (generalizações simbólicas) a contextos específicos, um processo através do qual novos problemas passam a ser encarados como casos análogos àqueles já encontrados previamente. Kuhn (1975, p. 235) apud Zylbersztajn (1998, p. 8) enfatiza que este processo de similaridades também ocorre na história da Ciência: " Os cientistas resolvem quebra-c-cabeças modelando-os de acordo com soluções anteriores, , freqüentemente com recursos mínimos, às generalizações simbólicas."

Esses "problemas-tipo" são criticados por Gil-Perez et al. (1988; 1992), pois , segundo o autor, levam os alunos a adotarem um "operativismo mecânico".

Uma pesquisa realizada por Sousa e Fávero (2003, p.19-20) apontou que "pelo menos a metade dos sujeitos vê a resolução de problemas como aplicação da teoria, isto é, aplicação e transferência de conhecimento adquirido". E prosseguem: "O aluno não toma consciência de que a relação entre teoria ia e prática é interativa, de modo que é normal ter dificuldades em resolução de problemas, pois esta é também responsável pela aprendizagem da teoria. Ante esta falta de conscientização, o aluno recorre ao uso mecânico de fórmulas como se estivesse aí a aplicação da teoria que ele não consegue assimilar."

Salienta -s -se, contudo, que, da maneira como a resolução de problemas vem sendo freqüentemente trabalhada no Ensino de Física, não se está oportunizando suficientemente o desenvolvimento dos modelos matemáticos, tendo em vista que a Física é uma Ciência que trabalha com formulação de teoria, elaboração de modelo matemático e experimentação (LOZADA et al, 2006). ). É importante fomentar a correlação entre a teoria e o fenômeno físico e seu modelo matemático. Amiúde não são atribuídos significados às "fórmulas". Sob tais condições o Ensino de Física torna -se vazio, sem significado, prejudicando a aquisição do conhecimento.

O conhecimento significativo é aquele dotado de significado, que faz sentido para o aluno e m mobiliza seu processo cognitivo.

## 3. Um estudo de caso com alunos da Licenciatura em Física

No início do ano letivo de 2008 procedeu-se a uma pesquisa qualitativa com um grupo de alunos do 5º semestre do período matutino da Licenciatura de Física do

Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo 2 , localizado na cidade de São Paulo. Participaram da pesquisa 15 alunos, sendo que formaram 5 grupos com 3 componentes. Optou-s-se por um trabalho cooperativo (FREINET, 1985), pois propicia uma compreensão compartrtilhada dos saberes , ativando a zona de desenvolvimento proximal (VYGOTSKY, Y, 1991).

- O objetivo central da pesquisa a foi investigar a utilidade da Modelagem Matemática como ferramenta para o professor de Física no Ensino Médio, bem como avaliar dificuldades que os alunos do Ensino Médio possuem para realizar a Modelagem MaMatemática na resolução de problemas de Física. Para tanto, os grupos participaram de uma atividade supervisionada que consistiu na resolução de um problema relacionado a um fenômeno físico, no qual deveriam elaborar o modelo matemático correspondente e responder a perguntas referentes ao problema. Ao final da atividade, os alunos foram questionados acerca da resolução de problemas e as dificuldades que o envolvem.

## 3.1. A atividade supervisionada e o questionário

O problema proposto para os alunos procurou priorizar vários conceitos de Física desenvolvidos anteriormente de modo que os alunos pudessem relacioná-los, percebendo a integração de conceitos, e apresentando-s-se por meio de uma situação fática a qual estão acostumados a enfrentar ou presenciar. Abaixo, seguem transcritos a atividade supervisionada e o questionário, sendo este foi respondido individualmente:

## A ATIVIDADE SUPERVISIONADA

OBJETIVO: Elaboração de um modelo matemático relativo a um fenômeno físico.

Orientação: Deverá ser lido o problema a seguir, discutido em grupos e serão respondidas pelo grupo as questões solicitadas.

Problema: Um homem empurra um automóvel de uma tonelada em uma rua plana. Inicialmente, o carro estava paradado. Após 5 segundos de esforço (força) constante realizado pelo homem, o veículo atinge a velocidade de 1 m/s. DeDetermine a força média (em N) que o homem teve que exercer para o automóvel atingir essa velocidade nesse intervalo de tempo, supondo que não houve forças resistivas atuando.

Questões a serem respondidas pelo grupo:

- a)Citem a qual fenômeno físico o problema se refere.
- b)Expliquem com suas palavras o fenômeno físico relativo ao problema acima.
- c)Façam um desenho relativo ao fenômeno físico referente a o problema acima.
- d)Elaborem um modelo matemático relativo ao fenômeno apresentado pelo problema.
- e)Expliquem por que vocês elaboraram esse modelo, por que optaram por elaborá-lo da maneira como escreveram.
- f) Vocês conseguem relacionar as variáveis do modelo matemático com o fenômeno estudado no problema? Se sim, listem essas relações.

## QUESTIONÁRIO (Individual)

- 1. Você considera a resolução de problemas em aulas de Física uma atividade importante? a) sim b) não
- 2. Caso considere a resolução de problemas em aulas de Física uma atividade importante, aponte no máximo quatro motivos principais:
- a)Ela favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato;
- b)Ela permite o contato com situações cotidianas;
- c)Ela contribui para o desenvolvimento da cidadania;

d)Ela favorece uma participação ativa no processo ensino-o-aprendizagem;

e)Ela desenvolve o senso crítico;

f)Outro(s):.........................................

- 3. Durante as aulas de Física quando você estudava no Ensino Médio, a quantidade de problemas para se resolver foi:
- a) Insuficiente para deixá-á-lo à vontade com a modelagem matemática dos fenômenos;
- b) Suficiente para deixá-á-lo à vontade com a modelagem matemática dos fenômenos;
- c) Bem superior ao necessário para deixá-lo à vontade com a modelagem matemática dos fenômenos.
- 4. Em relação aos problemas de Física propostos durante sua formação no Ensino Médio, eles consistiam mais de (pode marcar mais de uma opção):

a)Aplicação de "fórmulas";

- b)Situações relacionadas ao cotidiano;
- c)Situações que exigiam raciocínio e pesquisa sobre o fenômeno abordado.
- 5. Sobre o problema proposto nesta atividade supervisionada, aponte a(s) característica(s) pertinente(s): a)Os dados não estavam evidentes e houve a necessidade de uma leitura mais aprofundada do enunciado;
- b)Os dados do problema estavam evidentes e não houve a necessidade de uma leitura mais aprofundada do enunciado;
- c)Diante da necessidade de se elaborar um modelo matemático para resolver o problema, constatou-se que o grupo apresenta dificuldade com a linguagem simbólica;
- d)Diante da necessidade de se elaborar um modelo matemático para resolver o problema, constatou-se que não houve dificuldade na elaboração desse modelo; e)Outros:.............................................
- 6. Durante a resolução do problema proposto nesta atividade supervisionada, o grupo criou uma imagem mental da situação que está relacionada ao problema, para tentar solucioná-á-lo? a) sim; b) não.
- 7. Em sua opinião, os problemas contextualizados relacionados ao cotidiano podem contribuir de modo mais significativo para a assimilação de conceitos físicos que os problemas não-o-contextualizados? a) sim b) não c) às vezes
- 8. Em sua opinião, o, os problemas de Física podem contribuir para resgatar conteúdos de Matemática, permitindo um trabalho interdisciplinar?
- a) sim b) não
- c) às vezes
- 9. Em sua opinião, a resolução de problemas em grupo (trabalho cooperativo) pode contribuir para melhorar a compreensão de conteúdos de Física?
- a) sim b) não

## c) às vezes

- 10. Na lista abaixo, aponte no máximo duas dificuldades principais que os alunos costumam apresentar no Ensino Médio em relação a resolução de problemas em Física:
- a)Dificuldade com leitura e interpretação de enunciado;
- b)Dificuldade no manejo de operações matemáticas;
- c)Dificuldade de elaboração de modelos matemáticos;
- d)Outros:.............................................

## 3.2. Análise dos protocolos de pesquisa e do questionário e considerações preliminares

Pela análise dos protocolos de pesquisa, verificou-se que os grupos não tiveram dificuldades de identificar os fenômenos físicos que no caso do problema em tela referia -se às Leis de Newton.

Em geral, os grupos apresentaram sucintamente a explicação acerca do fenômeno físico envolvido no problema, como podemos ver pelas rerespostas abaixo dadas a questão B, com destaque para a resposta do grupo 5 que relacionou a 2ª Lei de Newton com a quantidade de movimento, uma vez que nas aulas de Física, costumeiramente os professores utilizam outra abordagem (F = ma):

- G1: "Entre tantos que listamos, fizemos a opção, por exemplo, por explicar a 1ª Lei de Newton (Inércia). Esta lei diz que o corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, na ausência de forças resultantes que o acelere. Assim sendo, temos a inércia no primeiro momento (antes do homem começar a empurrar o carro) e no final (quando o homem deixa de empurrar o carro, e este continua o MRU com velocidade de 1m/s)
- G2: " O fenômeno físico em questão é o movimento; ele ocorre através do esforço do homem sobre o automóvel." (grifo nosso)
- G3: " Um objeto (o (o carro) sai de seu estado de inércia (parado em relação ao solo) através da aplicação de uma força nele pelo homem e começa a acelerar."
- G4: " O fenômeno físico é o deslocamento de um móvel em virtude da ap licação de uma força "
- G5: " O problema acima pode ser analisado de diversos ângulos: 1º) Princípio da Ação e Reação: ao aplicarmos uma força no carro, este aplica uma força contrária, porém, deveremos aplicar uma força maior. 2ª

Lei de Newton: para movimentar o carro, pois este adquire uma massa maior. 2ª) Quantidade de Movimento: porque a quantidade de movimento se relaciona com o impulso:

Q = mv1 - mv2

I = mv2

F. Dt = mv2

F = mv2/D/Dt

3ª) Teorema da Energia Cinética: pois se há variação de movimento, logo, há variação de energia, portanto, existe trabalho realizado:

```
Ec = mv²/2 -> Ec = t = F.d F.d = mv² /2 F= mv² / 2d
```

Para a questão c, não houve dificuldades na representação gráfica, uma vez que os alunos representaram vetorialmente as forças que atuam sobre o carro. No entanto, os grupos 1, 4 e 5, apresentaram outros detalhes na descrição gráfica, similar a uma simulação do que ocorreria na realidade se um homem empurrasse um carro.

Para a pergunta d, os modelos matemáticos apresentados foram os seguintes:

G1: velocidade: V = DS/D/Dt ; espaço: Ds =V. Dt Dt ; tempo: Dt = v/D/DS; força, massa e aceleração: Fr = m.a -> DvDv/D/DtDt Força resultante: Fr (m) = m. DvDv/D/Dt -> m. ( v - vo)/(t-t-to)-> m.(1m/s)/5s -> m.1/5 m/s² -> Fr (m) = 0,2 m/s² G2: a = DvDv/Ax, pois conhecemos a veloc idade final e o tempo gasto para acelerar, conhecendo a 2ª Lei de Newton, relacionar os dados propostos no exercício e obtido na fórmula da aceleração, conseguimos determinar a força aplicada. G3: Fx = m.a Fy = N + P = 0 G4: Modelo matemático: obtençnção da aceleração: Vf = Vo + at 2ª Lei de Newton: para determinar a força=> f =m.a Cálculo: Vo = 0, to= 0 ; vf = 1m/s, tf = 5s -> 1m/s = 0 +a (5s) a = 1m/s/5s = 0,2 m/s² F = m.a -> F = 10³ kg (o,2 m/s²)-> F = 0,2 . 10³ N = 200N G5: F = m.a ; v = vo+at; m = 1000 kg; = 1/5 m/s² F = 1000.1/5 = 200 N; V² =vo² + 2a DS -> DS = 5/2m Ec = mv²/2 -> t = mv²/2 -> F.d = mv²/2 F.d = mv²/2d -> 100.1 -> F = 200 N 2.5/2 Q = mv1 - mv2 I = mv2 F. Dt = mv2 F = mv2/D/Dt -> F = 1000.1/5 = 200 N

Para a pergunta e, sobre os modelos matemáticos apresentados, as justificativas foram as seguintes:

- G1: Optamos por escrever nosso modelo como força resultante em função da massa do carro por não termos o último dado no enunciado do exercício. Assim, para qualquer massa do automóvel, podemos chegar a um valor de Fr.
- G2: Sabemos que a 2ª Lei de Newton relaciona massa com aceleração e possuímos a massa do carro; para ficar mais fácil a resolução, optamos por localizar a aceleração e relacioná-la através da 2ª Lei de Newton - F = m. a .
- G3: Porque partindo do conhecimento das Leis de Newton do Movimento, fizemos a análise das forças nas direções relevantes.
- G4:Para obedecer a sistemática adotada e medidas SI preconizadas inicialmente, utilizamos a equação de Cinemática do MRU para encontrar a aceleração. Após isso, levamos o valor da aceleração para a fórmula de força (2ª Lei de Newton) e obtemos o valor da força média.

G5: A explicação é dada no item b.

Para a questão f, as respostas foram as seguintes, sendo que o grupo 3 deixou de respondê-la:

- G1: Sim, conseguimos relacionar. A partir da variação do tempo, da velocidade e da 2ª Lei de Newton, chegamos a uma aceleração de 0,2 m/s², que é o coeficiente que relaciona a massa do carro com a Fr feita pelo homem para empurrá-á-lo.
- G2: Sim, nos temos a velocidade dada, tempo gasto para acelerar e conhecendo a massa do veículo é possível relacionar as variáveis: velocidade, tempo, massa.
- G4: Sim. Variável aceleração: altera a velocidade do móvel; variável tempo: determina o períoíodo em que a força foi aplicada; variável espaço: deslocamento do móvel.

G5: As variáveis estão citadas no item d.

Analisando as respostas às questões propostas, percebemos que, em geral, os alunos não estão habituados a expressar-s-se na forma escrita para explicar os fenômenos físicos. Nota -se que na visão dos alunos "a explicação" está "inserida" na resolução matemática do problema e até mesmo na representação gráfica. Os alunos também costumam referir -s -se aos modelos matemáticos como "fórmulas", o que denota que o ensino de Física ainda padece da cultura da aplicação de fórmulas, a "matematização" da Física, na qual se torna mais "fácil" explicar procedimentos matemáticos do que fenômenos. Por outro lado, os alunos conseguiram visualizar outros fatores que influenciam no estudo do fenômeno e que estão além do que se costuma abordar quando se ensinam as Leis de Newton, como pôde se observar pela remissão à teoria da Energia Cinética e à quantidade de movimento.

Salientamos que 15 alunos participaram da pesquisa, mas apenas 14 entregaram o questionário respondido. Um dos participantes não respondeu à questão 3, e as questões 6 e 10 só foram respondidas por 11 participantes.

Para a questão 1, 14 alunos consideram a resolução de problemas em Física uma atividade e importante e para tanto, apontaram os motivos pelos quais a consideram importante: 13 alunos afirmaram que " ela favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato " , 11 apontaram que ela " permite o contato com situações cotidianas " , 1 apontou que ela " contribui para o desenvolvimento da cidadania " , 10 apontaram que ela " favorece uma participação ativa no processo ensino -aprendizagem " , 6 assinalaram que ela " desenvolve o senso crítico " e 3 apontaram outros motivos, a saber:

Ela ajuda na análise dos fenômenos qualitativos.

Permite a prática na manipulação e uso do ferramental matemático.

Relaciona física com temas com os quais os alunos podem se relacionar .

Para a questão 3, 12 alunos afirmaram que a quantidade de problemas que tiveram que solucionar quando cursavam o Ensino MéMédio foi insuficiente para deixálos à vontade com a Modelagem Matemática dos fenômenos e apenas 1 deles afirmou que a quantidade era bem superior ao necessário para deixá-lo à vontade coma Modelagem Matemática dos fenômenos. Esta visão é decorrente da prática de que na resolução de problemas de Física o modelo matemático é dado por uma fórmula e basta apenas achar o valor numérico, sem a necessidade de se elaborar o seu próprio modelo matemático para a resolução do problema, utilizando outros símbolos. Nesse compasso, sugerimos que os problemas adquiram uma dimensão investigativa de modo que os alunos habituem-se a elaborar modelos matemáticos diversos daqueles que costumam ver nas "fórmulas".

Para a questão 4, 14 alunos afirmaram que a resolução de problemas quando cursavam o Ensino Médio consistia na aplicação de fórmulas, o que corrobora a idéia da "cultura dos problemas-tipo" e da aplicação de fórmulas. Já para a questão 5, 2 alunos afirmaram que os dados do problema não estavam evidentes e houve a necessidade de uma leitura mais aprofundada do enunciado, 6 apontaram que os dados do problema estavam evidentes e não houve a necessidade de uma leitura mais aprofundada do enunciado e 4 alunos apontaram outras características, a saber:

Tivemos dificuldade porque houve diversas interpretações sobre o problema proposto.

Tivemos dificuldade com múltiplas interpretações, como por exemplo: se não há forças resistivas, não há atrito entre o chão e a sola do calçado do homem, o que implica na na impossibilidade do movimento gerado no carro pelo homem.

Penso que o exercício "deva" muitas interpretações, mas, não tivemos dificuldades em resolver. Surgiram várias saídas para o problema, o que gerou uma análise um pouco mais detalhada.

Pelas respostatas dadas inferimos que o trabalho cooperativo gera discussões e suscita vários posicionamentos em relação a resolução de problemas, o que é extremamente positivo, pois conceitos podem ser revistos, debatidos, o que mobiliza o processo cognitivo dos alunos.

Para a questão 6, 11 alunos afirmaram que conseguiram formar uma imagem mental da situação problema proposta pela atividade supervisionada, o que ressalta a importância dos modelos mentais como auxiliares no processo de resolução de problemas, pois permitem questionamentos acerca do fenômeno em tela. Neste caso, a Teoria dos Modelos Mentais (JOHNSON -LAIRD, 1983) mostra-se adequada para a compreensão de como os alunos constroem os modelos conceituais.

Para a questão 7, 8 alunos afirmaram que os problemas cocontextualizados podem contribuir significativamente para a assimilação dos conceitos físicos e 3 deles afirmaram que esse fato ocorre às vezes. Para a questão 8, 9 alunos assinalaram que os problemas de Física podem contribuir para o resgate de conteúdos matemáticos, o que enseja , certamente a relevância do trabalho interdisciplinar e apenas 2 assinalaram que esse resgate de conteúdos matemáticos ocorre às vezes. Para a questão 9, 4 afirmaram que o trabalho cooperativo pode contribuir para uma melhor compreensão dos conteúdos de Física e 7 afirmaram que não, o que nos faz inferir , que a compreensão do significado do trabalho cooperativo deva ser trabalhada objetivando que os alunos percebam que ele é um veículo para compartilhar saberes e construir conhecimentos.

Para a questão 10, 10 alunos apontaram que os alunos do Ensino Médio costumam apresentar dificuldades em leitura e interpretação dos enunciados dos problemas, o que sugere um trabalho interdisciplinar com Língua Portuguesa e também a leitura de textos de divulgação científica, contribuindo para que adquiram o hábito de leitura; 7 afirmaram que os alunos do Ensino Médio apresentam dificuldades no manejo de operações matemáticas, o que infere a defasagem na assimilação das ferramentas básicas que deve ser adquirida nas séries iniciais de alfabetização e 5 apontaram que os alunos do Ensino Médio apresentam dificuldades na elaboração dos modelos matemáticos, o que certamente é herança da "cultura" de que a resolução de problemas em Física consiste na aplicação de fórmulas.

Uma análise geral das respostas do questionário nos faz inferir que os alunos ainda possuem uma visão tecnicista e tradicional da resolução de problemas, decorrente da formação que tiveram no Ensino Médio e que a carregam em sua formação docente, sendo que provavelmente será reproduzida ao lecionarem. Curi (2004), afirma que os alunos da Licenciatura em geral tendem a reproduzir os modos de lecionar de seus professores. Necessário que os futuros docentes percebam a relevância do trabalho cooperativo, como uma troca de saberes, que também possibilita o desenvolvimento de valores de atitudes.

Por outro lado, as disciplinas pedagógicas do curso de Licenciatura como Psicologia da Educação e Metodologia e Prática de Ensino podem colaborar para ra que os alunos reflitam sobre o processo de construção de conhecimentos nas aulas de Física e sobre sua própria prática a (PONTE, 2002; SERRAZINA e OLIVEIRA, 2002), implantando atividades que estimulem os alunos a discutir os fenômenos físicos e elaborarem o os seus próprios modelos matemáticos.

Concluímos que a atividade supervisionada foi importante no sentido de fornecer indícios da visão dos futuros docentes sobre a resolução de problemas em Física e a elaboração dos modelos matemáticos, sugerindo que este trabalho

cooperativo seja continuado para que os alunos adquiram novas posturas em relação ao Ensino de Física.

## 4. Conclusão

Embora o contexto em que se insere a Física seja outro, a Matemática é uma constante ferramenta de auxílio, sobretudo na resolução que culminam em modelos matemáticos. A esse respeito, Barbosa (2003, p. 5) coloca: "Apesar das situações terem origem em outros campos que não a matemática, os alunos são convidados a usar idéias, conceitos, algoritmos da matemática para abordá-los."

Na resolução de problemas sugere-s-se que se oportunize ao aluno o contato com situações cotidianas para que possa desenvolver modelos matemáticos, compreendendo seu significado agregado ao conceito físico. A Modelagem Matemática ser considerada ambiente de aprendizagem para o ensino de Matemática (BASSANEZI, 1994; BORBA, MENEGHETTI e HERMINI, 1997) e também de Física. Esta idéia é corroborada por Barbosa (2001, p. 5)5): "Modelagem, para mim, é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade."

Dessa maneira, o cotidiano possibilita fornecer diversas situações para um trabalho dinâmico em modelagem matemática na sala, sobretudo pelo fato de os alunos poderem observar o mundo que os cerca e modelar os fenômenos físicos, implicando numa abordagem interdisciplinar entre Física e Matemática, pautando-se por uma relação didática significativa, com uma dimensão investigativa, favorecendo o aprender a aprender (POZO, 1998).

## 5. Referências Bibliográficas

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