Pêndulo Simples Gigante: Estudo Qualitativo e Quantitativo

## PÊNDULO SIMPLES GIGANTE: ESTUDO QUALITATIVO E QUANTITATIVO

## Graziele Pimentel Coelho Almeida , Nathalia Dielle Kistenmacker , 1 2 Mário Márcio Dias Júnior , Nicole Ferreira Werneck , Geruza Miquelito 3 4 Bressan 5 , Bruno Gonçalves 6

- 1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia/Departamento de Educação e Ciências/Núcleo de Física, pimentelgrazi@hotmail.com
- 2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia/Departamento de Educação e Ciências/Núcleo de Física, nathaliadielle@gmail.com
- 3 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia/Departamento de Educação e Ciências/Núcleo de Física, mardiasjr@yahoo.com.br
- 4 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia/Departamento de Educação e Tecnologia, niwerneck@hotmail.com
- 5 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia/Departamento de Educação e Tecnologia, geruzabressan@hotmail.com

## Resumo

O Pêndulo Simples é constituído por um corpo suspenso em um fio de massa desprezível e inextensível e quando afastado de sua posição de equilíbrio estável, oscila no plano vertical, em torno do ponto de fixação do fio, devido ao fato de a energia mecânica do sistema se conservar, alternando entre as formas de energia potencial e energia cinética (NUSSENVEIG, 2002). Por ser objeto de estudo comum entre os estudantes, pode ser usado tanto em disciplinas de ensino médio quanto em disciplinas do ciclo básico de cursos superiores da área de exatas. Ainda carrega o fato de ser facilmente montado e o rigor para sua montagem não precisar ser tão alto (VILLANI, CARVALHO, 1994). Embora este seja um assunto comum em cursos do Ensino Superior e Médio, como se pode medir a constante gravitacional com um pêndulo? Neste estudo é explicado com clareza como é possível obter essa constante, além de demonstrar como a variação do comprimento do pêndulo pode influenciar na precisão da medida obtida.

## Palavras-chave: pêndulo simples, movimento harmônico, gravidade,

## Introdução

O Pêndulo Simples é constituído por um corpo suspenso em um fio de massa desprezível e inextensível e quando afastado de sua posição de equilíbrio estável, oscila no plano vertical, em torno do ponto de fixação do fio, devido ao fato da energia mecânica do sistema se conservar, alternando entre as formas de energia potencial e energia cinética (NUSSENVEIG, 2002).

Com o uso do pêndulo simples é possível introduzir vários conceitos de física experimental. Em um experimento simples cujo objetivo é obter o valor da gravidade local, pode-se ensinar ao aluno noções de estatística básica, propagação de erros de medidas, classificação de erros e vários outros conceitos relacionados à prática laboratorial (BARROSO ET AL, 1991). Neste trabalho específico, tem-se

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como objetivo fazer um estudo matemático e estatístico das possíveis diferenças que pode haver entre o aparato disponível em sala com outro pêndulo de comprimento consideravelmente maior. É esperado que com um aumento do comprimento da corda que segura o corpo, haja maior precisão no resultado do experimento. O foco principal aqui é determinar se a diferença entre o que se faz dentro de sala com os alunos e o mesmo experimento com maior grau de complexidade e um comprimento bem maior é considerável. Estabelecemos como comprimento comum utilizado em laboratório o comprimento da corda (L) de até 1 metro e como pêndulo gigante o L de até uma ordem de grandeza acima. O experimento em si consiste em calcular o valor da gravidade local e para isso usamos L diferentes, massas diferentes, corpos de formatos diferentes e ambientes diferentes.

O maior problema técnico frequentemente encontrado para a realização do experimento em sala de aula é a dificuldade em medir o período de oscilação do pêndulo. Isso ocorre, pois seu período é muito curto, o que aumenta a dificuldade em medi-lo. Por essa razão, o indicado é fazer 10 oscilações e dividir o período total por 10. Já no pêndulo gigante a dificuldade encontrada é a montagem do mesmo, pois demanda muito espaço, segurança especializada, equipamentos específicos, além de precisar ser realizado em local externo e demandar muito tempo. Por esse motivo, foi realizada parceria com o Corpo de Bombeiros Militar de Minas Gerais para a execução do experimento com comprimento grande. E o grupo ficou sob os cuidados do Tenente Diogo Braga Chelini e do Segundo Sargento Denilton Dias Ferreira. O pêndulo grande foi montado sob orientação do Prof. Dr. Bruno Gonçalves e dos militares supracitados, especialistas em escalada. Por esses motivos, o grupo objetivou sanar todas as dificuldades técnicas realizando diversas medidas, com a finalidade de obter um melhor tratamento estatístico.

Ao montar o experimento, o grupo buscou demonstrar que a gravidade obtida com L gigante seria mais precisa em relação ao mesmo experimento realizado com comprimento pequeno.

Nas fotos 1 e 2 pode-se observar a realização do experimento com L gigante. A diferença entre as massas pode ser observada e essa mesma proporção foi mantida no experimento com L pequeno. Partimos da hipótese que o período de oscilação não depende da massa, como é previsto pela teoria (que veremos a seguir) e através desse experimento buscou-se essa análise.

FIGURA 02: Pêndulo gigante com massa maior

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FIGURA 01: Pêndulo gigante com massa menor

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- 1 - Corda do pêndulo
- 2 - Corda de segurança
- 3 - Aparato para determinar o início das oscilações
- 4 - Bombeiro
- 5 - Corpo utilizado como massa do pêndulo simples
- 6 - Início da delimitação da área de segurança

## Metodologia

Para a realização das medidas foram utilizados dois pêndulos, o primeiro foi denominado pêndulo pequeno , com L até 1 m, o segundo foi denominado pêndulo gigante , com L a partir de 1,50m até uma ordem de grandeza acima.

Para o pêndulo pequeno o sistema experimental era composto de base, suporte, fio de nylon, pesos cilíndricos, cronômetro e trena. O fio de nylon foi preso ao suporte com um nó cego e os corpos utilizados para oscilação foram presos com vários nós cegos de forma que não houvesse nenhum movimento rotacional em relação ao seu centro de massa. Para a obtenção das medidas havia dois operadores, o primeiro operador fez o pêndulo oscilar, no mesmo instante um segundo operador deveria acionar o cronômetro (ARNOLD ET AL, 2011) a cada oscilação completa. É necessário ressaltar que o cronômetro utilizado era um cronômetro de volta, portanto, a cada toque dado o aparelho marcava o tempo e prosseguia sem zerar.

Já no pêndulo gigante, o sistema experimental era composto por corda, bouldrier, freio oito, freio ATC, fita anel costurada, mosquetão e capacete. Foi necessário utilizar um espaço do Batalhão do Corpo de Bombeiros, esse local possuía vários andares e no meio havia uma plataforma móvel vazada, através da qual era possível escolher qual a altura desejada pelo grupo e passar pelos vários andares do edifício. A altura máxima entre a pessoa e a plataforma era no máximo 1,5m, para garantir a segurança. Além do espaço cedido, foi essencial a colaboração dos militares para assegurar que o local a realizar o experimento estivesse dentro das normas de segurança. Foi colocada uma corda em volta da área a realizar o experimento onde cada um prendia-se com o mosquetão e impossibilitaria que os estudantes sofressem queda, pois estariam ancorados à corda de segurança. O primeiro bombeiro passou a corda pelo gancho que estava preso ao teto e foi preso o primeiro corpo à corda. Esperou-se a corda (dinâmica) estender ao máximo para então medir qual o comprimento (L) da mesma. Feito isso foi possível estimar o ângulo de abertura por trigonometria, pois havia as medidas do L (cateto adjacente) e da distância da posição de equilíbrio (OLIVEIRA, 2006) ao centro de massa de corpo (cateto oposto). A distância entre a posição de equilíbrio e o centro de massa do corpo pôde ser melhor observada ao colocar uma trena presa entre dois bancos. Foi coincidida a posição de equilíbrio com o zero da trena, isso possibilitou a medição com menor erro possível. Além disso, o grupo registrou todo o experimento com uma filmadora digital posicionada à frente, a uma distância de 3 metros da trena. Após isso, iniciou-se o experimento com massas proporcionais às utilizadas no pêndulo pequeno e com os mesmos operadores no cronômetro.

Teoria

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Supondo que o pêndulo oscile no mesmo plano, em uma corda inextensível e de massa desprezível (conforme figura 1). Podemos aplicar a segunda lei de Newton (BARBOSA, MORAES, 2010)

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onde é o peso da esfera, é a tração exercida no fio, at é a força de atrito do ar.

Figura 03: Esquema de um pêndulo simples

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Tomando o sistema de coordenadas da figura 1, temos que:

Em : y

) ( cos y ma T mg = + -θ ,

onde ) ( y a corresponde à componente da aceleração no eixo y e θ é o deslocamento angular em relação à posição de equilíbrio.

Para o pêndulo pequeno usamos fio de nylon que possui coeficiente de elasticidade ( k ) desprezível para a faixa de massas utilizada nesse experimento. O mesmo foi obtido após pendurar massas previamente aferidas em escala conveniente e medindo as elongações correspondentes com trena (±0,05cm).

Para o pêndulo gigante, apesar de termos usado uma corda dinâmica de escalada, esperou-se a corda chegar ao máximo de sua elongação para iniciar o experimento. Foi verificado por observação dos participantes e posteriormente por revisão da filmagem feita no dia, que a corda não se alongava. Com isso, podemos inferir que seu k também é desprezível, logo temos que ) ( y a é tão pequeno que não influencia nos resultados físicos, tomamos então 0 ) ( = y a . Com isso obtemos em y

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Em x :

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onde ) ( x a corresponde à componente da aceleração no eixo x .

Supondo ainda que a força de arraste tem a forma analítica mais simples possível (ALONSO, FINN, 1999) e levando em conta que ela depende apenas da forma do objeto do corpo e de sua velocidade, temos que

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onde ρ corresponde ao coeficiente de arraste.

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Na figura 2 tem-se uma representação esquemática da montagem do pêndulo gigante. O ponto A corresponde a localização do Bombeiro 1, responsável pela segurança do corpo pendurado no ponto C. Este corpo ficava sobre uma plataforma de segurança, de forma que sua distância máxima entre ele e o chão era de até 1,5 metros e oscilava entre os pontos B e D. O ponto laranja foi o local em que a corda era presa e este ponto pode ser considerado como fixo, visto que o Bombeiro localizado no ponto A realizava uma força no sentido de seu corpo. Vale ressaltar que a área foi cercada com corda por outro Bombeiro responsável pela segurança de todos os participantes do experimento, pois o mesmo foi realizado em um prédio com área central vazada, e à medida que se desejava aumentar o comprimento do pêndulo, bastava que o Bombeiro 1 soltasse um pouco mais de corda e efetuasse nova medição.

Figura 04: Esquema de montagem do pêndulo gigante

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Supondo que o ponto de apoio é fixo (pois no pêndulo pequeno demos um nó cego preso em um parafuso, e no pêndulo grande o bombeiro localizado no ponto A exercia uma força na direção contrária ao seu próprio corpo, o que fazia com que a corda não se desgarrasse do ponto laranja), ou seja, não há movimento de translação do sistema. Assim, a velocidade pode ser escrita da seguinte forma

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Substituindo a equação (4) na equação (3) e seu resultado na equação (2), levando em conta que 0 ) ( = y a (veja texto acima da equação (1)), temos que a x a = ) ( , então

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Como a velocidade tem apenas a componente angular, a mesma propriedade se aplica para a aceleração, visto que por definição esta é a derivada da velocidade. Então, a equação (5) pode ser reescrita da seguinte forma

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Na realização do experimento, utilizou-se θ ≤ 10 (CARVALHAES, SUPPES, û 2009), isso gerou grande dificuldade ao realizar o experimento no pêndulo gigante, pois não havia possibilidade de usar um transferidor. Por isso foi necessário utilizar uma trena fixa atrás do centro de massa do corpo pendurado na corda. Como o L e a distância do local da posição de equilíbrio ao ponto em que se encontrava era conhecido, por trigonometria foi possível obter o ângulo (YOUNG, FREEDMAN,

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1994). No pêndulo pequeno não houve esse problema, pois foi utilizado o transferidor. Nesse caso, podemos escrever:

Sen θ ≈ θ (LEITHOLD, 1994)

Logo (6) toma a seguinte forma:

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onde m ρ γ = e l g = 2 0 ω .

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onde A é a amplitude do movimento.

Depois de realizar alguns cálculos de álgebra, chegamos a solução da EDO (7) (LEITHOLD, 1994)

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onde ϕ é a fase inicial.

A forma final fica:

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onde t e A A γ -= .

Através do experimento, pode ser observado que resistência do ar ( ρ ) não influencia o resultado do pêndulo pequeno, pois a duração do experimento é curta e por esse motivo ela pode ser englobada no erro estatístico. No pêndulo gigante, apesar de ser uma situação adversa (vento e altura consideráveis), víamos pela trena (durante o experimento e na filmagem) que a amplitude não diminuía, comparando com a precisão do instrumento que utilizamos para medir.

Nesse caso, a equação (9) torna-se a equação de MHS (HALLIDAY, 2008). Matematicamente, significa que o coeficiente de arraste é desprezível, então temos que 0 ω ω = e A A = . Logo, a equação (10) toma a forma

) cos( ) ( 0 ϕ ω θ + = t A t ,

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Substituindo (10.1) em (10.2) chegamos ao resultado final

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## Resultados

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Tabela 01: Dados obtidos de aceleração da gravidade e erro das medidas

Na tabela acima, temos os valores de g obtidos para o pêndulo gigante, intermediário e pequeno. É possível notar o aumento do erro das medidas realizadas à medida que o comprimento do pêndulo diminui.

Realizou-se então um cálculo do erro percentual relativo às medidas obtidas, e foi possível a construção do gráfico a seguir. Nele, pode-se observar o aumento da precisão obtida através do decaimento do erro percentual em relação ao aumento do comprimento do pêndulo:

Figura 05: Gráfico de erros percentuais

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Quanto maior for o comprimento do pêndulo, menor é o erro relativo e maior a precisão da medida, dentro dos limites com os quais trabalhamos.

## Conclusão

O experimento foi considerado satisfatório já que os objetivos propostos pelo grupo foram alcançados. Pudemos observar que à medida que o comprimento do pêndulo aumenta a precisão da medida da aceleração da gravidade também é aumentada. Torna-se necessário um cuidado especial na obtenção das medidas do comprimento, pois foi notória a diferença obtida na precisão entre os valores medidos pelos alunos e os medidos pelos bombeiros.

Através do experimento, também pode ser comprovado que o coeficiente de arraste pode ser desprezado no pêndulo pequeno ao repetir diversas vezes a experiência. O mesmo pode ser feito no pêndulo gigante, se o experimento for feito com duração longa se comparado com a quantidade que a amplitude pode diminuir em cada oscilação. Quando se leva em conta que a precisão do instrumento para medir distâncias nesse caso não pôde ser muito alta de tal forma que inviabilizava a leitura, já que por questões de segurança o observador que acionava o cronômetro, estava a aproximadamente 3 m da trena.

Os dados que obtivemos irão gerar um novo trabalho que pretendemos submeter a uma revista indexada especializada na área com análise quantitativa do experimento descrito.

## Referências

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física. São Paulo: Addison Wesley, 1999.

BARROSO, R. C. R. S. et al. Métodos Numéricos no Ensino da Física Experimental. Caderno Brasileiro de Ensino de Física , Florianópolis, v. 8, nº2, 125 - 136. 1991.

CARVALHAES, Cláudio G.; SUPPES, Patrick. O cálculo de alta precisão do período do pêndulo simples. Revista Brasileira de Ensino de Física , São Paulo, v. 31, n 2, û 2701-1 - 2701-6, jun. 2009.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 1. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 2. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, São Paulo, 1994.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica 1. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 2002.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica 2. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 2002.

VILLANI, A.; ORQUIZA DE CARVALHO, L. Dificuldades de um Estudante na Análise de Experimentos Qualitativos. Revista Brasileira de Ensino de Física , São Paulo, v. 16, n s, 1 - 4, mai. 1994. û

YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física 2. Rio de Janeiro: LTC, 1994.

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