CONSTRUINDO O CONCEITO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA NO ENSINO MÉDIO

## CONSTRUINDO O CONCEITO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA NO ENSINO MÉDIO

## P. V. S. Souza , R. Donangelo , L.R.F. Abeid 1 2 3

## Resumo

Apresentamos neste trabalho uma proposta alternativa à tradicionalmente apresentada nos livros didáticos para abordagem do conceito de velocidade instantânea no Ensino Médio. Utilizando o ensino por investigação como metodologia, nosso intuito é conceitualizar a velocidade instantânea no contexto de situações reais, próximas da vivência dos alunos. Para isso, discutimos o movimento numa situação de ultrapassagem real que, em seguida, é simulada por uma animação. A busca por respostas às questões propostas deve levar os alunos à construção do conceito supracitado e a percepção de que os conceitos e modelos físicos surgem naturalmente da tentativa de resolver problemas reais. Ademais, o método que sugerimos para a determinação da velocidade instantânea possibilita aos estudantes refletir sobre as propriedades da média aritmética, uma ferramenta importantíssima tanto dentro da escola como fora dela. Em particular, os alunos são estimulados a estimar diretamente as velocidades instantâneas dos carrinhos em simulações de aplicativos para computador, produzir um vídeo e analisá-lo por meio do software VirtualDub® para verificar se os resultados são razoáveis.

Palavras-chave : cinemática, velocidade instantânea, média aritmética

## Prolegômenos

Gradativamente, a cinemática tem ocupado um lugar cada vez mais modesto no currículo de física no Ensino Médio, o que se deve, pelo menos em parte, à forma como seus conceitos são tradicionalmente apresentados: distantes da realidade e exageradamente matematizados. Isto que contrasta com a importância que o estudo dos movimentos tem para a física. Não é de se admirar que, em geral, o único legado deixado pelo estudo da cinemática seja 'o bom e velho ∆ s/ ∆ t'.

De fato, a distância da realidade e os excessos matemáticos têm prejudicado a capacidade de raciocínio dos alunos e contribuído para formação de uma imagem errônea da física, como sendo apenas um acúmulo de fórmulas a serem decoradas e aplicadas em situações evidentemente artificiais, ou seja, alunos aprendem apenas como resolver exercícios, o que o fazem, segundo McDermott (McDERMOTT, 1993), de forma mnemônica, sem desenvolver o raciocínio necessário para aplicar os conceitos e princípios físicos.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Concordamos também, embora o foco de nosso trabalho não seja este, que a cinemática é extremamente importante na caracterização do papel da linguagem matemática no desenvolvimento e estudo das ciências físicas, como apontado, por exemplo, por Gaspar (GASPAR, 1994). Além disso, seu distanciamento da realidade é desnecessário e injustificável haja vista que vivemos num mundo de carros, bolas, bicicletas, aviões, etc. Assim, apresentamos neste texto uma possível abordagem para o conceito de velocidade instantânea que procura aproximar os alunos da compreensão do mesmo.

Este trabalho é uma parte de uma proposta mais abrangente desenvolvida por nós junto ao Programa de pós-graduação em ensino de física da Universidade Federal do Rio de Janeiro (SOUZA, 2011; SOUZA e DONANGELO, 2012) e que hoje, ainda está em desenvolvimento no departamento de física do IFRJ-Nilópolis. Inicialmente, apresentamos um panorama geral da nossa proposta, e de alguns princípios que subsidiaram o seu desenvolvimento e aplicação. Em seguida, são discutidas as atividades em que o conceito essencial, velocidade instantânea, é construído. Por fim, apresentamos alguns comentários finais relativos a aplicação da proposta e a alguns do seus dividendos.

## O desenvolvimento da proposta

Inicialmente, nossa proposta considera seriamente a existência e persistência de concepções espontâneas sobre física nos alunos, como a literatura atesta (ARONS, 1997; McDERMOTT e TROWBRIDGE, 1980; McDERMOTT e ROSENQUIST, 1987; PIAGET, 1970; TEIXEIRA, 1975). Isso implica, em nosso caso, numa tentativa de ensinar tendo em vista aquilo que sabemos que os alunos têm uma maior dificuldade de aprender.

As atividades ora apresentadas foram pautadas na metodologia de ensino por investigação, amplamente discutida na literatura (AZEVEDO, 2004; CARVALHO, 2011; LEWIN e LOMÁSCOLO,1998; RODRIGUES e BORGES, 2008). Procuramos estimular os estudantes a desenvolver sua intuição na aprendizagem e na solução de problemas de física e a atuar como protagonista no processo de ensinoaprendizagem.

Além disso, preocupamo-nos com o desenvolvimento de competências que, segundo esperamos, devem ser úteis tanto na escola como fora dela; isso ocorre por meio do estudo de problemas concretos, correspondentes à realidade vivida e observada pelos alunos, onde os conceitos não são definimos ou enunciados, mas construídos, para, posteriormente, serem nomeados.

Recomendamos fortemente que durante as atividades o professor divida a turma em grupos, de 4 ou 5 alunos, para então apresentar o problema a ser resolvido. Isso possibilita uma participação mais efetiva de cada aluno, que ao invés de debater com a turma toda, num primeiro momento, o faz apenas com um grupo reduzido. Além disso, ao participar de um grupo com alunos com os quais tem mais afinidade, ele se sente mais a vontade para expor suas ideias e defender suas opiniões (ABEID, 2010). Ao final de cada etapa a turma toda pode ser reunida novamente para que cada grupo exponha suas conclusões aos demais.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

## A velocidade instantânea

Com a turma dividida em grupos a atividade se inicia com a apresentação de um pequeno vídeo 1 que mostra dois carros emparelhados durante uma ultrapassagem numa corrida de fórmula 1. Veja a figura 01(a). Depois de exibi-lo algumas vezes, a seguinte questão é proposta: como se comparam as velocidades dos carros durante uma manobra de ultrapassagem exatamente no instante em que os carros estão emparelhados? Qual dos dois tem a maior velocidade? Ou ela é igual para os dois?

Estas perguntas não são triviais, uma vez que a pesquisa em ensino de física revelou que a posição é frequentemente utilizada pelos alunos para comparação de velocidades, o que os leva a concluir que carros que estão na mesma posição têm a mesma velocidade (TEIXEIRA, 1985), e concepções ingênuas podem ser muito resistentes (McDERMOTT e TROWBRIDGE, 1980).

Para que possam buscar a resposta para a pergunta proposta inicialmente, sugerimos estudantes que utilizem um aplicativo para computador produzido na linguagem Flash que simula uma corrida de automóveis . Nele, podemos escolher 2 parâmetros como posição inicial, velocidade inicial e aceleração para dois carrinhos, distintos pela cor, que se moverão numa linha reta com indicador de distância. O layout do aplicativo que utilizamos na simulação mostrada aos alunos pode ser observado na Figura 01(b).

Diante da possibilidade de escolher livremente os valores para os parâmetros utilizados pelo aplicativo, uma nova questão aparece: como adequá-los, de tal forma que ocorra uma ultrapassagem? Assim caberá a cada grupo discutir o problema, a fim de garantir que durante as simulações as ultrapassagens ocorram.

Com os parâmetros selecionados, sendo realizadas as simulações, o professor deve orientar cada grupo para que, durante a ultrapassagem, compare as velocidades dos carrinhos exatamente no instante em que os carrinhos estão emparelhados. Para isso, no entanto, precisamos de um método de estimativa da velocidade instantânea; fazemos isso pela consideração de um problema análogo ao original, o cálculo da média de altura de uma fileira de livros. Apresentamos aos alunos uma fileira de livros, veja a figura 02. A ideia é calcular a média de altura da fileira para configurações diferentes, com cada vez menos livros; desejamos que os alunos percebam que à medida que reduzimos os livros que compõem a fileira, a média se aproxima da altura do livro que está no meio da fileira.

Nosso objetivo é alcançado quando fica evidente que a altura do livro que está no meio da fileira pode ser obtida por uma aproximação da altura média da fileira, quando consideramos cada vez menos livros.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

<!-- image -->

Figura 01(a) : O vídeo mostra os dois veículos lado a lado durante uma ultrapassagem e Figura 01(b): O layout do Aplicativo

<!-- image -->

Depois de desenvolver e discutir o método, retornamos ao problema original. A simulação pode ser convertida em vídeo por meio do software livre Freez Screen Vídeo Capture® e subsequentemente, analisada no VirtualDub® . Nosso objetivo é 3 4 que os alunos se familiarizem com um método de estimativa da velocidade num instante determinado, comparem as velocidades exatamente quando os carros estão emparelhados e construam um conceito, ainda que apenas funcional, de velocidade instantânea . 5

Figura 02 -A fileira de livros que utilizamos

<!-- image -->

## A condução das atividades

Por um lado, como dissemos, as atividades foram elaborados com base na metodologia de ensino por investigação, onde o aluno deixa de ter uma postura passiva, participando ativamente do processo de ensino-aprendizagem. Por outro lado o professor não atua mais como um mero transmissor de conhecimento, mas como um guia, auxiliando os alunos na resolução dos problemas propostos (ABEID, 2010). Nesse sentido, é esperado que o professor oriente a discussão. Em nosso caso, isto ocorreu por meio de perguntas que definiram a diretriz da discussão. Apresentamos a seguir algumas destas perguntas além de alguns comentários que

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

consideramos pertinentes e refletem a experiência que tivemos na aplicação da proposta.

- · Observe animação (feita no aplicativo supracitado). Qual é a velocidade média de cada um dos carrinhos?

Após deixar que os alunos interajam com o aplicativo durante algum tempo, observando e orientando os grupos na escolha dos parâmetros de tal forma que na simulação o carrinho vermelho ultrapasse o azul, o professor deve estimulá-los para que a partir daí, comecem a extrair alguns dados, iniciando pela velocidade média.

- · A velocidade do carrinho vermelho é a mesma durante todo o percurso? E a do carrinho azul?

Aqui desejamos que eles comecem a comparar o movimento dos dois carrinhos, como por exemplo, se os dois, ou apenas um, são acelerados.

- · Exatamente no momento em que os carrinhos estão emparelhados, que carrinho se movimenta mais rápido? Quanto mais rápido?

Durante a aplicação das atividades percebemos que a maioria dos alunos afirma sem titubear que a velocidade do carrinho vermelho aumenta durante a corrida pois, embora partam do mesmo ponto e o carrinho azul deixe o vermelho para trás inicialmente, posteriormente, o azul é ultrapassado pelo vermelho.

A experiência diária dos alunos lhes impulsiona a afirmar que durante uma ultrapassagem, quem ultrapassa está mais rápido do que quem é ultrapassado, mas quando frisamos que a pergunta refere-se exatamente ao instante que os carrinhos estão emparelhados, a certeza deles dá lugar a uma enorme e explícita interrogação. O aspecto não trivial da questão fica evidente o que nos impele a procurar uma maneira de estimar a velocidade do carrinho.

Neste momento, é apreciável que o professor acompanhe as discussões nos grupos e oriente-os a responder as questões propostas, o que os levará, em última instância, a construir o conceito de velocidade instantânea . Por fim, 6 nomeamos o conceito construído como imaginamos ser razoável para aqueles que se deparam com o conceito pela primeira vez: a velocidade instantânea será a velocidade num dado instante, sem deltas, sem limites, sem fórmulas, etc.

Em seguida, o professor pode conduzir o debate, apontando a necessidade de se ter um método que permita calcular a velocidade instantânea, o que os conduz à atividade com os livros, onde se estabelecem as similaridades entre problemas, do carrinho e dos livros.

Para isso, inicialmente, mostramos aos alunos uma fileira de livros de tamanhos diferentes (Figura 02) e pedimos que calculem a média de altura dos livros que compõem a fileira. Deveras, mostrou-se prático trazer os livros de casa com as alturas já medidas e etiquetas coladas informando a altura. Em nosso caso, realizar esta parte da atividade com auxílio dos alunos foi contraproducente, um desvio de proposta, porque demandou muito tempo. Neste momento, algumas questões pertinentes podem ser propostas:

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

- · Qual a média de altura dos livros? O resultado mudaria se tirássemos alguns livros da fileira? Qual seria o menor valor possível para a média? E o maior?

Pretendemos estimular os alunos a refletir sobre as propriedades da média aritmética. Este conceito é muito importante para dentro da escola, no ínterim da vida acadêmica, como fora dela, em canteiros de obras, oficinas mecânicas, cozinhas, etc. Raciocinar logicamente sobre esta ferramenta é tão importante quanto o conceito que por meio dela desejamos construir, dessa forma, durante aplicação da atividade, consideramos pertinente à discussão de outras questões, a saber:

- · Que livros teríamos de retirar (deixar) para que a média fosse máxima? E mínima?
- · Qual a média de altura dos onze livros localizados mais no centro da fileira?
- O procedimento deve ser repetido para os nove, sete, cinco livros localizados mais ao centro da fileira, ou seja, os alunos refazem a média de altura dos livros considerando cada vez menos deles. Parece-nos ser um bom momento também para enfatizar a importância de utilizar tabelas na organização de informações. Uma pergunta adicional facilita a discussão dos resultados:
- · Conforme tiramos livros, a média se modificou?

Neste momento, os alunos devem perceber que, à medida que retiramos os livros dos extremos da fileira, a média se modifica. Em particular, se aproxima do valor da altura do livro do meio.

- · Ao reduzir o número de livros, a média se aproxima da altura do livro que está no meio. Qual seria a média se cortássemos longitudinalmente os dois livros que estão em volta do livro central em dois pedaços, de modo que seu peso estatístico no cálculo da média fosse reduzido à metade?

Neste caso, o cálculo deve ser repetido considerando que o peso estatístico dos livros que estão em volta do livro que está no centro foi reduzido à metade.

- · Considerando agora apenas 1/4 e, em seguida, 1/8 dos livros nas bordas da fileira. Qual o valor da média neste caso?
- · Perceba que a média se aproxima da altura do livro que está no meio. Esta afirmação independe do livro que está no meio?

É mais que natural que os alunos suponham que o procedimento foi proposto especificamente para aquele livro que estava no meio. A aplicação mostrou a veracidade deste pensamento, uma vez que apenas alguns poucos alunos reconheceram, inicialmente, que o procedimento independente do livro que está no centro da fileira. Assim, propomos que o procedimento seja repetido com outra disposição aleatória dos livros. No entanto, se o tempo disponível para aplicação da proposta for limitado, sugerimos que a segunda realização da tarefa ocorra em casa. Estamos convencidos de que isso não interfere no desenvolvimento do resto da atividade.

Terminada esta tarefa, os grupos podem retornar ao problema inicialmente proposto, tentando determinar a velocidade dos carrinhos no momento em que estão emparelhados.

- · Ao estimarmos a velocidade média do carrinho obtivemo-la a partir de informações de vários instantes. No entanto, se nos restringirmos aos

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

instantes próximos daquele que queremos estudar, nos aproximamos do valor da velocidade no instante desejado, certo? É possível utilizar este método para calcular a velocidade dos carrinhos em um instante qualquer?

A ideia a ser ressaltada é a necessidade que temos de considerar o movimento do carrinho apenas nos instantes em torno do desejado, em que a ultrapassagem ocorre. Ademais, as animações do Flash foram convertidas em vídeo por meio de aplicativo livre, o Freez Screen Video Capture®, capaz de gerar um arquivo de vídeo a partir do que é exibido na tela do computador. Este vídeo, como já descrito, foi analisado por meio de VirtuaDub® que possibilita a análise de m vídeo frame a frame.

- · Repita o procedimento anterior. No entanto, considere dois, três e quatro instantes em volta do desejado. O que ocorre com o valor da velocidade?

Ao realizarem o método inverso, os alunos verificaram que quanto mais instantes em volta do desejado consideram, mais impreciso é o resultado, por um lado. Por outro lado, o cálculo da média quando consideramos apenas o movimento descrito num frame antes e num frame depois daquele que retrata o instante desejado, a média representa uma aproximação bem razoável do valor instantâneo de velocidade.

## Comentários Finais

Inicialmente, ressaltamos que nossa proposta não é única, e não a entendemos como uma panacéia, apenas como uma alternativa a que o professor pode recorrer buscando diversificar sua prática. Ela foi aplicada, experimentalmente, em duas turmas da segunda série do C.E. Ministro Raul Fernandes, na cidade de Vassouras-RJ no primeiro semestre letivo de 2011, durante o que, percebemos algumas coisas que consideramos muito positivas, como mudanças significativas na participação dos alunos, que deixam de ter uma postura passiva, de meros expectadores. Muitos daqueles que, em geral, eram apáticos, envolveram-se ativamente nas discussões, o que podemos atribuir a dois fatores: o tipo de questão proposta e a forma como as atividades foram desenvolvidas.

As questões formuladas não são triviais, todavia, são convidativas no sentido de que os alunos verificam rapidamente que estão em condições de participar das discussões, que os remetem a problemas do cotidiano, concretos e bem definidos, nos quais é possível identificar elementos de sua própria realidade.

Quando divididos em grupos, eles discutem entre si inicialmente cada questão e, em seguida, participam da discussão entre os grupos, o que permite ao professor, lapidar o linguajar dos estudantes, que têm a oportunidade de se familiarizar com linguagem científica. As conclusões após cada discussão precisavam ser registradas no caderno por todos, cabendo ao professor mediar a discussão, estimulando os alunos a expressar suas opiniões e defender seus argumentos, a fim de que ao final os diferentes grupos chegassem a um consenso.

Cabe ressaltar que a palavra 'errado' não foi usada em nenhum momento, evitando assim que alguns alunos pudessem se sentir receosos em se manifestar. Quando uma resposta era circunstancialmente inapropriada, o professor questionava se alguém tinha uma opinião diferente. Uma ideia que nos parece clara agora é que o 'clima' em que se desenvolve a atividade é fundamental para participação dos alunos. Eles precisam perceber que os problemas que estão sendo

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

discutidos não apresentam, na maioria das vezes, resposta imediata. Sendo assim, suposições, corretas ou não, são bem vindas.

Assim, foi possível, a partir de problemas concretos, subtraídos da realidade vivida e observada pelos alunos, construir o conceito de velocidade instantânea de um modo razoavelmente rigoroso conceitualmente.

## Referências

ABEID. L. R. F. As Forças de Atrito e os Freios ABS Numa Perspectiva de Ensino Médio . Tese (Mestrado em ensino de física) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2010;

ARONS. A. Teaching Introductory Physics . John Wiley &amp; Sons, INC. 1997;

AZEVEDO. M. C. Ensino por Investigação: Problematizando as atividades em sala de aula , In: CARVALHO. A. M. P. (org.), Ensino de Ciências: Unindo a Pesquisa e a Prática, p. São Paulo: Thomson, 2004;

CARVALHO, A. M.P. Ensino e aprendizagem de Ciências: referenciais teóricos e dados empíricos das sequências de ensino investigativas (SEI) . In: LONGHINI. M.D. (org) O Uno e o Diverso na Educação . Uberlândia/MG: EDUFU, 2011;

GASPAR. A. O 'R'de retilíneo . Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, v.11, n.1, p.7-10, abril, 1994;

LEWIN. A.M.F. e LOMÁSCOLO. T.M.M. La metodología científica en la construccíon de conocimientos. Enseñanza de las ciencias, 20(2), p.147 - 1510, 1998;

McDERMOTT. L. C. e TROWBRIDGE. D.E. Investigation of student understanting of the conception of velocity in one dimension , American Journal of Physics, 48(12), p.1020-8, 1980;

McDERMOTT. L. C. e ROSENQUIST. M.L. A conceptual approach to teaching kinematics , American Journal of Physics, 55(5), p.407-15, 1987;

McDERMOTT L.C. Guest commentt: how we teach and how students learn - a mismatch? American Journal of Physics 61(1), Abril, 1993;

PIAGET. J. The Child's Conception of Movement and Speed . Traduzido por G.E.T. Holloway e M.J. Mackenzie. Nova Iorque: Basic Books, INC., Publishers, 1970;

RODRIGUES. B.A. e BORGES. A.T. O ensino por investigação: reconstrução histórica . Atas do XI EPEF, Curitiba, 2008;

SOUZA. P. V. S. Uma abordagem para os conceitos de velocidade e aceleração no ensino médio . Tese (Mestrado em ensino de física) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011;

SOUZA. P.V.S. e DONANGELO. R. Velocidades média e instantânea no ensino médio: Uma possível abordagem . Aceito para publicação na Revista Brasileira de Ensino de Física, 2012;

TEIXEIRA. O. P. B. Desenvolvimento do conceito de velocidade: Um estudo a partir de questões típicas . Tese (Mestrado em ensino de ciências) - Universidade de São Paulo, São Paulo, 1985.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_