CONSTRUINDO O CONCEITO DE VELOCIDADE MÉDIA NO ENSINO MÉDIO

## CONSTRUINDO O CONCEITO DE VELOCIDADE MÉDIA NO ENSINO MÉDIO

## P. V. S. Souza , R. Donangelo , L.R.F. Abeid 1 2 3

## Resumo

O distanciamento entre o que os professores ensinam em sala de aula e a realidade observada pelos alunos é, muitas vezes, abismal, sobretudo no ensino de física. Focalizemos nossa atenção na cinemática. Embora tenha historicamente uma importância capital para a física, já não causa estimula nem aos professores nem aos alunos, talvez pelo matematização maciça dos conceitos, talvez pela artificialidade das discussões. Concordemente, apresentamos neste trabalho uma proposta alternativa para abordagem do conceito de velocidade média no ensino médio pautada no construtivismo de Piaget colocado em prática por meio de atividades investigativas onde discutimos se uma miniatura é tão rápida quanto um carro real de acordo com a escala informada pelo fabricante. A busca por esta resposta deve levar os alunos a construir o conceito de velocidade média, perceber que os conceitos físicos surgem naturalmente no tratamento de problemas reais, descobrir que há erros intrínsecos em qualquer processo de medição e aprender a utilizar recursos eletrônicos visuais na minimização dos erros. Em particular, os alunos são estimulados a estimar diretamente a velocidade média do carrinho utilizando uma trena e um relógio e, em seguida, gravar um vídeo e analisá-lo no software VirtualDub® para verificar se os resultados são harmoniosos e finalmente, resolver o problema da miniatura sendo assim também estimulados a desenvolver competências e atitudes que lhes serão úteis não apenas na vida acadêmica, mas também no exercício da cidadania.

Palavras-chave : Ensino de física, cinemática, velocidade média.

## Preâmbulo

O distanciamento entre a realidade vivida pelos alunos e o que é ensinado nas escolas é gritante e salta aos olhos, em particular, no ensino de física, como aponta, por exemplo, M. Pietrocola (2005). Focalizemos nossa atenção na cinemática. Gradativamente, a cinemática tem ocupado um lugar cada vez mais modesto no currículo de física no ensino médio. A desilusão de professores e alunos com a cinemática se deve, pelo menos em parte, à forma como seus conceitos são tradicionalmente apresentados: distantes da realidade e exageradamente matematizados. De fato, a distância da realidade e os excessos matemáticos têm prejudicado a capacidade de raciocínio dos alunos e contribuído para formação de

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20 a 25 de janeiro de 2013

uma imagem errônea da física, de que esta é um acúmulo de fórmulas a serem decoradas e aplicadas em situações evidentemente artificiais. Este afastamento da realidade se contrasta com a importância que o estudo dos movimentos teve para a construção das ciências naturais: o estudo do movimento é o germe da física, como a própria história da ciência testifica. Por exemplo, o que seria da ciência se o problema eleático não tivesse sido proposto e subsequentemente solucionado por Aristóteles pela construção das primeiras categorias do pensamento em física (ARISTÓTELES, 1952; GUTHRIE, 1978; DIJKTERUIS, 1986)? Assim, apresentamos neste texto uma possível abordagem para o conceito de velocidade média que, segundo acreditamos, se contraste com o quadro atual e possibilite a construção do conceito. Este trabalho é uma fração do resultado de uma pesquisa mais abrangente desenvolvida por nós junto ao Programa de Pesquisa em Ensino de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro (SOUZA, 2011; SOUZA, 2012) e que hoje, ainda está em desenvolvimento no departamento de física do IFRJ-Nilópolis. Inicialmente, apresentamos um panorama geral de nossa proposta, e de alguns princípios que subsidiaram o seu desenvolvimento e aplicação. A seguir são discutidas as atividades em que os conceitos essenciais são construídos. Alguns resultados preliminares e comentários sobre os dividendos de nossa proposta são apresentados. Por fim, apresentamos um apêndice com o questionário que norteou a aplicação da proposta.

## A proposta - Uma visão geral

Nossa proposta consiste na investigação de um problema concreto, proposto aos alunos pelo professor, que promove a construção do conceito de velocidade média. Nesta seção, apontamos, muito brevemente, alguns aspectos de nossa proposta que, segundo pensamos, merecem menção.

Inicialmente, consideramos seriamente a existência e persistência de concepções espontâneas sobre física nos alunos, como a literatura atesta (ARONS, 1997; McDERMOTT e TROWBRIDGE, 1980; McDERMOTT e ROSENQUIST, 1987; LIMA e SOARES, 2009; TEIXEIRA, 1975). Isso implica, em nosso caso, numa tentativa de ensinar tendo em vista aquilo que sabemos que os alunos têm uma maior dificuldade de aprender.

Entendemos que o aluno deve ser protagonista de sua própria aprendizagem. Assim, nossa proposta é embasada no construtivismo de Piaget e colocada em prática por meio de atividades investigativas. Veja por exemplo (PIAGET, 1978; AZEVEDO, 2004).

Além da construção do conceito de velocidade, nossa proposta contempla o desenvolvimento de competências que, segundo esperamos, devem ser úteis tanto na escola como fora dela; isso decorre do estudo de problemas concretos, correspondentes à realidade vivida e observada pelos alunos.

## O problema da Miniatura

Em nossa proposta, o conceito de velocidade média é construído a partir da investigação de um problema concreto: é a escala de uma miniatura de carro aplicável a sua rapidez? Nosso objetivo é que os alunos descubram uma forma de

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estimar a rapidez da miniatura, discutam a confiabilidade de seu método, determinem se a escala é aplicável ou não e, no processo, construam o conceito de velocidade média.

Inicialmente, apresentamos aos alunos o carrinho e discutimos suas características.

Figura 1 - A miniatura

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Depois de proposta a questão principal, a saber, a da escala, discute-se como é possível determinar a rapidez do carrinho, o que leva os alunos à construção de uma pista e à medição da rapidez da miniatura. Em nossa aplicação da proposta, a pista foi inicialmente construída marcando com giz o chão da quadra do colégio . As 1 dificuldades inerentes de se medir o tempo, o que foi feito, por sugestão dos próprios alunos, com os cronômetros dos seus telefones celulares, permitiram-nos discutir a confiabilidade das medições e, consequentemente, dos resultados. O professor propõe então um método mais preciso de medição, em que são utilizados recursos eletrônico-visuais, a saber: produzir um vídeo e analisá-lo com o programa VirtualDub . Assim, remarcamos a pista, desta vez, de metro em metro, com 2 suportes de balão de festa que permitissem sua visualização no vídeo. A utilização de câmeras digitais no estudo da cinemática é amplamente discutida na literatura (CORVELONI et al., 2009; DIAS, AMORIM e BARROS, 2009).

No decurso da investigação, o conceito de velocidade média é discutido e construído para, por fim, ser nomeado. A atividade é conduzida por meio de perguntas que orientam o debate . O formato que escolhemos para esta atividade é 3 diametralmente oposto àquele adotado pela maioria dos livros didáticos onde, inicialmente, o conceito é apresentado e nomeado para, em seguida, ser aplicado. De fato, durante o curso das atividades, os alunos discutiram a velocidade da miniatura sem saber que o estavam fazendo, é neste sentido que dizemos o conceito é construído e, por fim, nomeado.

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Figura 2 - A pista na quadra do colégio Figura 3 - O layout do VirtualDub®

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## Comentários Finais

A proposta descrita acima foi aplicada, experimentalmente, em duas turmas da segunda série do C.E. Ministro Raul Fernandes, na cidade de Vassouras-RJ no primeiro semestre letivo de 2011. As atividades foram desenvolvidas pelos próprios alunos com auxílio do professor, que atuou como tutor, apresentando as perguntas e questionando os argumentos dos alunos. Na aplicação de todas as atividades, nas duas turmas, percebemos algumas coisas que consideramos muito positivas. Notáveis mudanças na postura e participação dos alunos foram observadas: muitos daqueles que, em geral, eram apáticos, envolveram-se ativamente nas discussões. Imaginamos que isso é devido a dois fatores: o tipo de questão proposta e a forma como as atividades foram desenvolvidas.

As questões formuladas são convidativas porque remetem os alunos a problemas do seu cotidiano, problemas concretos e bem definidos, nos quais é possível identificar elementos de sua própria realidade.

A forma como as atividades são desenvolvidas também é um fator importante. Numa aplicação, todos os alunos foram dispostos em semicírculo e na outra, foram divididos em grupos de quatro alunos. Quando dispostos em semicírculo, os alunos foram orientados sobre como proceder durante a aplicação da atividade. Cada aluno deveria ler uma das questões propostas nos slides que foram projetadas na tela branca; cada questão foi apresentada em um slide. Depois que uma questão era lida por um dos alunos, o aluno que o sucedia no semicírculo era o primeiro a comentar a pergunta e/ou a elaborar uma estratégia para desenvolver uma solução. Depois deste esboço inicial, a discussão se tornava aberta, sendo apenas mediada pelo professor. Quando divididos em grupos, os alunos deveriam, inicialmente, discutir entre si cada questão e, em seguida, participar de uma discussão entre grupos, também mediada pelo professor. As conclusões após a discussão cada discussão foram registradas por todos os alunos. Acreditamos que este método surtiu efeito: o desenvolvimento pareceu aos alunos quase como uma gincana, um jogo, em que a regra pétrea é que todos deveriam participar. Quando uma resposta era circunstancialmente inapropriada, o professor questionava se alguém tinha uma opinião diferente. Uma ideia que nos parece clara agora é que o 'clima' em que se desenvolve a atividade é fundamental para participação dos alunos. Eles precisam perceber que os problemas que estão sendo discutidos não apresentam, na maioria das vezes, resposta imediata. Sendo assim, suposições, corretas ou não, são bem vindas.

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Concluímos assim que é possível construir uma abordagem para o conceito de velocidade média que seja razoavelmente rigorosa conceitualmente, que parta de problemas concretos, subtraídos da realidade vivida e observada pelos alunos, e onde os conceitos não são definidos ou enunciados, mas construídos, discutidos e por fim, nomeados. Investigar problemas cuja solução não seja imediata, mas, ainda assim pareça possível, mostrou-se muito eficaz, senão para compreensão cabal dos conceitos físicos estudados, ao menos na promoção de uma mudança atitudinal nos alunos, que participaram ativamente de todas as atividades, pensaram, refletiram, discutiram e palpitaram mesmo quando a solução parecia distante.

## Apêndice 1

Neste apêndice apresentamos o questionário que norteia a discussão da atividade, acrescido de comentários que consideramos significativos ao leitor e refletem nossa experiência com a aplicação da proposta. As perguntas apresentadas nesta seção forma feitas aos alunos e discutidas com a supervisão do professor. Inicialmente mostramos aos alunos um carrinho na caixa. O carrinho utilizado, uma miniatura de uma Ferrari® F248 licenciada pela própria marca, pode ser observada na figura 1. Ele pode ser adquirido na internet e na época em que comprado, no segundo semestre de 2010, custou cerca de R$300, 00. A caixa do carrinho apresenta um símbolo, 1:10, que representa a proporção entre a Ferrari® real e a miniatura. Depois de mostrar a caixa aos alunos passamos a primeira pergunta, a saber:

- 1.1) Observem a expressão 1:10 na caixa. O que significa ? Esta pergunta que, em nossa primeira experiência, foi respondida com facilidade por um grande percentual dos alunos (cerca de 80%), pretendia trazer à tona a proporção entre o carro real e a miniatura.
- 1.2) Será que o carrinho também é tão rápido quanto o carro real na escala 1:10? Ou seja, será que o carrinho é 10 vezes menos rápido do que o carro real? Nosso intuito foi chamar atenção à possibilidade da escala se aplicar também à rapidez do carrinho. Neste momento evitamos utilizar a palavra velocidade mesmo que algum aluno a use.
- 1.3) Se uma Ferrari F248 real anda a 300km/h nas retas, quantos metros anda em uma hora? Quantos metros anda em um minuto? Quantos metros anda em um segundo? Nesta questão os alunos fizeram a primeira estimativa quantitativa em nossas atividades. Este foi um momento muito oportuno para estudar transformações de unidades.
- 1.4) Para que o carrinho seja 10 vezes menos rápido do que o carro real, aproximadamente, quantos metros ele teria de andar em um segundo? Podemos verificar se isso é realmente assim? Lembre-se que o carrinho não tem velocímetro. Foi de responsabilidade dos alunos propor um método para determinar quantos metros a miniatura se move em um segundo. A ausência do velocímetro direcionou a atenção dos alunos para o fato de a estimativa precisar ser realizada diretamente. Salientamos a importância dos alunos perceberem que é possível resolver o problema, que não é algo além da capacidade deles.
- 1.5) Como poderemos medir as distâncias? E o tempo? Com esta pergunta, tencionamos reforçar que atividade estava 'ao alcance de todos' (e este é um aspecto essencial da proposta) e referia-se a um problema real, concreto. Por

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isso, lembramos aos alunos que a distância e o tempo podem ser medidos com objetos comuns tais como régua, trena, relógio, celular, etc.

- 1.6) Como faremos para verificar se medimos corretamente? Como podemos saber se não erramos na medida? Por exemplo, como saber se não erramos uma conta de multiplicar? Desejamos conscientizar os alunos da existência de erros intrínsecos ao processo de medição. Todavia, apresentamos também uma possível solução para minimizar os erros: repetir e comparar. Ao utilizarmos a média aritmética dos valores, minimizamos os erros.
- 1.7) Qual o tamanho ideal para pista? O tamanho ideal da pista foi atrelado a quantidade de metros que o carrinho teria de andar por segundo se a escala fosse aplicável a rapidez da miniatura numa situação idealizada. Os alunos conseguiram afirmar com certo conforto que o carrinho precisaria andar 30km/h, i.e., 8,3 m/s para que a escala fosse aplicável a rapidez. Sendo assim, a pista deveria ter pelo menos 8,3m para que uma medida 'confortável' do tempo fosse realizada. A pista que construímos tinha 10 metros.
- 1.8) Queremos determinar a quantidade de metros que o carrinho percorre por segundo para comparar com o resultado que obtivemos na questão 1.3. Já temos uma medida de distância, por meio das referências da pista, e já sabemos como medir o tempo, por meio do cronômetro do celular. No entanto, como calcularemos quantidade de metros que o carrinho percorre por segundo? Vamos nos inspirar: Suponha que após um ano guardando dinheiro da mesada, Carlos juntou 3000 reais. Em média, quanto poupou por mês? Este foi o primeiro momento em que utilizamos analogias com situações envolvendo dinheiro. Acreditamos, o que se verificou de fato, que exemplos com dinheiro são aceitos pelos alunos de forma bem natural porque correspondem a questões que direta ou indiretamente fazem parte de seu dia-dia.
- 1.9) No exercício anterior, tomamos o valor total poupado por Carlos e dividimos pelo tempo, em meses, que ele demorou para reuni-lo. O resultado nada mais é do que a relação R$ /mês, ou seja, a quantidade de dinheiro que, em média, ele guardou a cada mês. Se ao invés de dinheiro (R$) tivéssemos a distância percorrida pelo carrinho (metros), qual será o significado de dividir essa distância pelo tempo? Este foi o momento que escolhemos para realizar o experimento: marcamos a pista; colocamos o carrinho para funcionar e medimos o tempo. Com esta informação nas mãos, passamos à próxima pergunta.
- 1.10) Qual é a relação metros/segundos para o movimento do carrinho? Lembre-se do que fizemos na questão 1.9. O que representa esta relação? Em outras palavras, o que nós calculamos? Ou ainda, que informação do carrinho está contida na relação metros/segundos? Ao fim desta etapa, o conceito de velocidade é apresentado de forma tão particular quanto possível. Consiste apenas em nomear algo com que os alunos já se familiarizaram. Eles devem perceber que aquilo que buscaram e encontraram mediante a consideração das perguntas precedentes foi à velocidade do carrinho. Em harmonia com isso, resolvemos que 'a quantidade de metros que o carrinho anda em um segundo' se chama velocidade. Ademais, adjetivamos esta velocidade de média porque é calculada para a totalidade do percurso e não para algum ponto específico, considerando que, em geral, a velocidade varia ao longo de um movimento.
- 1.11) A Ferrari real e a miniatura alcançam, dentro da escala informada pelo fabricante, a mesma velocidade numa situação ideal?

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- 1.12) Como podemos verificar a confiabilidade do procedimento que realizamos? Como se faz isso nos esportes em geral, como por exemplo, no atletismo? Como podemos utilizar recursos eletrônicos e/ou áudio visuais para verificar a confiabilidade de nosso experimento? A confiabilidade da experimentação é um aspecto importante de nossa investigação. O sucesso da atividade depende em muito dos alunos 'acreditarem' e confiarem no que estão fazendo por si mesmos. Pretendemos com esta pergunta voltar a atenção dos alunos à possibilidade de utilizar recursos eletrônicos e/ou áudio visuais para testar a veracidade do resultado obtido. O que fizemos foi produzir um vídeo do movimento do carrinho e levá-lo ao computador para analisá-lo no já descrito VirtualDub®.
- 1.13) Utilizando o programa VirtualDub®, analise o vídeo. Quanto tempo o carrinho demora para percorrer cada metro? Em média, quanto tempo demora o carrinho para percorrer um metro? Como este software nos possibilita analisar o vídeo produzido quadro a quadro, podemos construir uma tabela com o intervalo de tempo correspondente a cada metro de nossa pista .Esclarecemos ao 4 leitor que a utilização do aplicativo permite-nos, além de estimar com precisão os tempos associados ao movimento do carrinho, apresenta aos alunos um novo modo de encarar o estudo de física, uma nova ferramenta que, pela facilidade de manipulação, poderá ser utilizada em ocasiões posteriores.
- 1.14) Ainda utilizando o VirtualDub®, você consegue estimar que distância o carrinho anda, em média, por segundo? Neste momento os alunos são confrontados diretamente com um método capaz de permitir-lhes comparar os dados.
- 1.15) Os dois métodos oferecem o mesmo resultado? Quantos quilômetros o carrinho andaria em uma hora? Depois de verificar que os dados estão em harmonia, pede-se dos alunos que traduzam os dados obtidos em uma unidade diferente. O contato que os alunos já tiveram com a ideia de troca de unidade leva-nos a crer que não se surpreenderão em saber que assim como podemos medir o tempo e a distância em diferentes unidades, a velocidade também pode 'aparecer' medida em diferentes unidades. Concordemente, dali para diante, a velocidade foi apresentada como a distância percorrida no intervalo de tempo considerado independente das unidades. Pensamos esta generalização como um aprofundamento natural e necessário do conceito. Por exemplo, quando conhecemos alguém por encontrá-lo pela primeira vez, nos apresentamos e dificilmente falamos nosso nome todo. Parece-nos razoável que o primeiro nome seja o suficiente num primeiro contato. Não mentimos, apenas fornecemos a informação incompleta ou imprecisa porque acreditamos que naquele momento, ela basta. A intimidade torna necessária uma apresentação mais completa. O mesmo acreditamos ser para o estudo de física, em particular, para o estudo da cinemática. Assim, o conceito amadurece e se torna mais preciso à medida que o contexto e os problemas exigirem isso.

## Referências

ARISTÓTELES. Physics , (séculos IV-III a.C.); in: R.M. Hutchins (editor). Great Books of the Western World, Encyclopædia Britannica, 54 vols, vol.8 (1952);

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ARONS. A. Teaching Introductory Physics . John Wiley &amp; Sons, INC. 1997;

AZEVEDO. M. C. Ensino por Investigação: Problematizando as atividades em sala de aula , In: CARVALHO. A. M. P. (org.), Ensino de Ciências: Unindo a Pesquisa e a Prática, p. São Paulo: Thomson, 2004;

CORVELONI. E. P. M., GOMES. E. S., SAMPAIO. A. R., MENDES. A. F., COSTA. V. L. L. e VISCOVINI. R. C. Utilização de máquina fotográfica digital ( multi-burst ) para aulas experimentais de cinemática - queda livre. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 31, n. 3, 3504, 2009;

DIAS. M.A., AMORIM. H.S. e BARROS. S.S. Barros. Produção de fotos estroboscópicas sem lâmpada estroboscópica. Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, v. 26, n. 3: p.492-513, dez. 2009.

DIJKTERUIS. E. J. The Mechanization of the World Picture , (1959). Traduzido para o inglês por C. Diskhoorn, Oxford University Press, 1961, 1969; Princeton University Press, (1986);

GUTHRIE. W. K. C. The Greek Philosophers (from Thales to Aristotle) , Methuen &amp; Co.Ltda(1950); republicado em 1967, 1978 (citações referem-se à publicação de 1978);

LIMA. M. F. C. e SOARES. V. O ensino de cinemática reforçando o problema: A percepção da velocidade como causa da aceleração. Atas do XIII Encontro de Pesquisa em Ensino de Física - Foz do Iguaçu - 2011;

McDERMOTT. L. C. e TROWBRIDGE. D.E. Investigation of student understanting of the conception of velocity in one dimension , American Journal of Physics, 48(12), p.1020-8, 1980;

McDERMOTT. L. C. e ROSENQUIST. M.L. A conceptual approach to teaching kinematics , American Journal of Physics, 55(5), p.407-15, 1987;

PIAGET. J. e INHELDER. B. A Psicologia da Criança . Rio de Janeiro: Difel, 1978;

PIETROCOLA. M. Construção e realidade: o papel do conhecimento físico no entendimento do mundo em Ensino de Física, Conteúdo, metodologia e epistemologia numa concepção integradora, 2ª edição, organizador: Maurício Pietrocola, Editora da UFSC. Florianópolis: 2005;

SOUZA. P. V. S. Uma abordagem para os conceitos de velocidade e aceleração no ensino médio. Tese (Mestrado em ensino de física) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011;

SOUZA. P. V. S. e DONANGELO, R, J, Velocidade média e instantânea no ensino médio: uma possível abordagem. Aceito para publicação na Revista Brasileira de Física, 2012;

TEIXEIRA. O. P. B. Desenvolvimento do conceito de velocidade: Um estudo a partir de questões típicas. Tese (Mestrado em ensino de ciências) Universidade de São Paulo, São Paulo, 1985.

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