A COMPLEMENTARIDADE DAS LINGUAGENS NARRATIVAS E MATEMÁTICA NO CONTEXTO DA ELABORAÇÃO DA RELATIVIDADE GERAL

## A COMPLEMENTARIDADE DAS LINGUAGENS NARRATIVAS E MATEMÁTICA NO CONTEXTO DA GESTAÇÃO DA RELATIVIDADE GERAL

## Danilo Cardoso 1 , Ivã Gurgel 2

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Universidade de São Paulo/ Instituto de Física/ danilo.luiz@usp.br

² Universidade de São Paulo/Departamento de Física Experimental/ gurgel@usp.br

## Resumo

O trabalho a ser apresentado tem a intenção de buscar na epistemologia características da ciência, encontradas no período de gestação de uma teoria, que deem indicativas de possíveis abordagens do conhecimento científico no ensino de Física. Para tanto é feita uma análise de alguns textos de Albert Einstein no contexto da elaboração de dois elementos da Teoria Relatividade Geral, o Princípio de Equivalência e a Distorção do espaço-tempo. A análise tem como pano de fundo teórico dois tipos de pensamentos, o pensamento lógico científico e pensamento narrativo, que foram propostos pelo psicólogo estadunidense Jerome Bruner. O estudo crítico dos textos de Einstein trouxe indícios de que a construção do conhecimento físico pode ser vista através de uma complementaridade entre estes dois tipos de pensamentos/linguagens. Por fim, destacamos o papel das narrativas, não como tentativa de criar valores entre estes dois tipos de linguagem, mas pelo fato da narrativa raramente ser associada como um dispõe para compreender a natureza.

Palavras-chave : epistemologia, relatividade geral, matemática, narrativas

## Introdução

Perspectivas atuais apontam que o objetivo do ensino básico está longe de ser o de formar cientistas. Como aponta Pietrocola (2002, p.91) ' o ensino das ciências no ensino médio não pode e não deve, ser visto como um estágio anterior a uma formação científica profissional. ' Entretanto isto não significa que as particularidades do conhecimento científico não devam ser levadas em consideração no ensino de ciências. As características próprias da ciência podem ser exploradas a fim de se formar cidadãos pensantes, críticos, que compreendam cada vez mais as complexidades do mundo que os cercam. O potencial que o ensino de ciências tem para formar pessoas com tais características são algumas das motivações para que ela tenha espaço no currículo da escola básica.

Como indica os parâmetros curriculares nacionais, a formação de cidadãos através do ensino de ciências, mais especificamente do ensino da Física, é possível desde que ela se apresente da seguinte maneira:

Como um conjunto de competências que permitam perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos, presentes tanto no cotidiano mais imediato quanto na compreensão do universo distante, a partir de princípios, leis e modelos por ela construídos. Isso implica, também, na introdução à linguagem própria da Física, que faz uso de conceitos e terminologia bem definidos, além de suas formas de expressão, que envolvem, muitas vezes,

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20 a 25 de janeiro de 2013

tabelas, gráficos ou relações matemáticas (BRASIL, 2002, p.59, grifos nossos).

Com isto, pode-se formar estudantes com competências, como por exemplo, a investigação. O desenvolvimento desta competência se daria desde o ensino fundamental, onde o enfoque seria mais descritivo, até o ensino médio, onde os alunos podem passar a identificar ' relações mais gerais e com a introdução de modelos explicativos específicos da Física, promovendo a construção das abstrações, indispensáveis ao pensamento científico e à vida ' (BRASIL, 2002, p.62).

Assim sendo, vemos que além de aspectos 'externalistas' da ciência, como a relação entre conhecimento científico e tecnologia, economia, ética e política, também há necessidade de se apresentar a Física levando-se em conta a identidade epistemológica deste conhecimento. Além das competências que os alunos podem desenvolver através da apreensão de aspectos próprios da ciência, tal abordagem se mostra necessária, pois frequentemente os alunos apresentam visões ingênuas acerca do conhecimento científico e de sua produção.

Neste contexto, podemos notar a relevância de se investigar questões específicas relacionadas à natureza da ciência para o ensino de Física. Assim, propomos neste trabalho discussões relacionadas à epistemologia da Física, mais especificamente, sobre como se estrutura o pensamento no âmbito da construção do conhecimento físico no contexto da gestação de dois elementos da Teoria da Relatividade Geral: o princípio de equivalência e distorção do espaço-tempo .

## Dualidade Narrativa-Matemática

Para as discussões que se seguem nos basearemos em dois tipos básicos de linguagens que estruturam o pensamento e tornam possível uma leitura da realidade. Trata-se dos pensamentos lógico científico e narrativo . Estes tipos de pensamentos foram propostos pelo psicólogo norte americano Jerome Bruner (Nova Iorque, 1915). Entretanto, em suas obras, o autor dá ênfase a discussões relacionadas às narrativas. Bruner aponta que as narrativas não são algo sem referência no mundo, aliás, pelo contrário. Além de dar forma ao que existe no mundo real também confere uma espécie de direito à realidade (BRUNER, 2002). Tomando-se o cuidado de que essa realidade a que ele se refere é uma realidade construída e não uma apreensão de verdades absolutas, ' sem recair no extremo do anti-realismo, é preciso admitir que nosso acesso à realidade é mediado por construções ' (GURGEL, 2010, p.188).

Uma boa narrativa, segundo Bruner, não seria uma forma simples de explorar os acontecimentos, mas sim a capacidade que ela tem de lidar com situações problemáticas. Isto faz com que ela seja um bom instrumento para lidar com o que não é conhecido.

Conceber uma história é o meio que nós dispomos para enfrentar as surpresas, os acasos da condição humana e também para remediar a condição insuficiente que nos é dada. As histórias fazem com que o inesperado pareça menos surpreendente, menos inquietante: elas domesticam o inesperado o tornando mais comum (BRUNER, 2002 p.189)

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- O pensamento narrativo se caracteriza pela presença de um enredo e de 'personagens'. Isto significa que uma narrativa não pode ser construída apenas com um protagonista (ideia central de uma teoria), mas necessita também de elementos criativos que configurem um determinado enredo. Não podemos dar significado a uma teoria ou a um conceito a partir de uma ideia apenas, ' o significado do conceito é dado pelas linhas que o interligam a outros conceitos, dentro de uma dada estrutura ' (ROBILOTTA & BABICHAK, 1997, p. 41).

A criação do enredo pode ser entendida como uma forma de contextualização, onde estariam presentes a descrição de eventos, conflitos, etc. Isto tudo ocorrendo em um cenário onde as personagens se relacionam. Entendemos que a criação desses elementos que configuram a narrativa é uma forma que o cientista dispõe não só para interpretar e compreender os comportamentos da natureza, mas de tornar suas ideias inteligíveis e possíveis de serem comunicadas aos pares, isto é, torná-las intersubjetivas.

Porém a narrativa não é a única linguagem presente na produção do conhecimento científico. É notável a presença da linguagem matemática ( pensamento lógico científico ) na Física. Entretanto é necessário que se tenha claro qual o papel dessa linguagem na constituição do conhecimento físico. Encontramos na literatura abordagens dadas ao pensamento lógico científico que, a nosso ver, são coerentes com as ideias de Bruner. Pietrocola (2002), por exemplo, também considera a linguagem como uma forma de pensamento. Isto fica claro quando diz que ' a linguagem humana estrutura o mundo imaginário das ideias [...] A linguagem deve ser entendida como a forma que temos de estruturar nosso pensamento' ( PIETROCOLA, 2002, p.101). Para este autor, a Matemática não se relaciona à Física apenas como uma ferramenta cuja função é relacionar seus conceitos. A Matemática vai além, ela também tem um papel na construção do conhecimento físico, ' sua maior importância está no papel estruturante que ela pode desempenhar quando do processo de produção de objetos que irão se constituir nas interpretações do mundo físico ' (PIETROCOLA, 2002, p.101).

Esta posição, com referência à relação entre Matemática e Física, também é compartilhada por Silva (2005). Para esta autora a Matemática se manifesta, no contexto do conhecimento físico, de forma que a matematização não seja uma mera tradução da teoria para a linguagem matemática, mas sim uma etapa integrante do processo de construção da teoria (SILVA, 2005). A escolha da Matemática como uma linguagem tão presente na Física não foi meramente estética. Como aponta Silva (2005) esta linguagem traz vantagens à produção do conhecimento físico.

As vantagens da matematização não se limitam à máxima precisão. Ela aumenta a potência dedutiva da teoria (ou seja, a capacidade de deduzir novos enunciados); permite constatações empíricas mais finas; facilita a identificação de defeitos e inconsistências e a comparação da teoria com outras rivais (SILVA, 2005, p.23)

A intenção deste trabalho não é criar uma hierarquia entre as linguagens citadas anteriormente. Entendemos que numa dada situação os pensamentos lógico científico e o narrativo podem se apresentar congruentemente na construção dos conceitos físicos, ou seja, existiria uma espécie de complementaridade entre essas linguagens. A seguir apresentaremos exemplos de como é dada essa relação no

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contexto da gestação da Relatividade Geral. Para tanto, faremos uma análise de textos de Albert Einstein, focados em dois princípios fundamentais da Relatividade Geral, o princípio de equivalência e a distorção do espaço-tempo .

## Princípio da Equivalência

Após a formulação da relatividade restrita, Einstein não se deu por satisfeito, principalmente por esta teoria não englobar fenômenos relacionados à gravitação, além de um incômodo originado principalmente pela indagação de Mach, 'por que distinguir os sistemas de inércia entre todos os outros sistemas de coordenadas?'

Depois de se haver comprovado o princípio da relatividade especial, é tentador para toda mente que aspira à generalização dar o passo em direção ao princípio da relatividade geral (EINSTEIN, 1999, p.55)

O fato de ser a teoria da relatividade restrita apenas o primeiro passo de um desenvolvimento necessário só se tornou evidente para mim quando procurei representar a gravitação na estrutura dessa teoria (EINSTEIN, 1982, p.63)

O princípio de equivalência é um conceito de extrema importância para entender o princípio da Relatividade Geral, o qual diz que ' todos os corpos de referência K, K' etc. são equivalentes para a descrição da natureza (ou para a formulação das leis gerais da natureza), qualquer que seja seu estado de movimento ' (EINSTEIN, 1999, p.54). Segundo Einstein, a 'inspiração' para interpretar os fenômenos gravitacionais surgiu através de uma de suas famosas experiências de pensamento.

Estava sentado numa cadeira na repartição de patentes em Berna quando de súbito me ocorreu um pensamento: se uma pessoa cai livremente, não sente o próprio peso. Fiquei abismado. Este simples pensamento provocoume uma impressão profunda. Impeliu-me para a teoria da gravitação (EINSTEIN apud PAIS, 1993, p.225)

Uma das expectativas de Einstein era interpretar um resultado que já era obtido pela mecânica Newtoniana, a partir da qual é possível obter-se um valor numericamente idêntico para as massas inercial e gravitacional através de uma expressão matemática estruturada dentro desta teoria. Além da igualdade numérica, Einstein ainda tinha 'evidências empíricas' de que a massa gravitacional de um corpo é igual à sua massa inerte, especialmente através de experiências sobre o equilíbrio da torção, de Eötvös (EINSTEIN, 1984, p.64). Para interpretar tal resultado, igualdade entre as massas inerciais e gravitacionais, Einstein constrói, em seus textos analisados, uma estrutura com características de uma história, ou mais precisamente, de uma narrativa. Nesta narrativa criada por Einstein aparecem elementos como uma 'grande caixa em forma de aposento', na qual existe um observador provido de aparelhos. O enredo, ou contexto, é criado da seguinte maneira. Inicialmente a caixa está em um local do universo livre de gravidade (esta 'grande caixa' serve como corpo de referência). No centro do teto desta caixa há um gancho com uma corda, a qual será puxada ( por um ser cuja natureza não interessa ). Caso seja observado de outro corpo de referência (outra personagem, assim como o observador dentro da caixa), seria observado esta caixa assumir altas velocidades. Mas, e para o observador que está no mesmo referencial da caixa? Nesse caso, este observador, através de experiências como a queda de um objeto, por exemplo, chegará à conclusão de que, junto com a caixa, ele se encontra em um

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campo gravitacional que é constante no tempo. O observador poderia se perguntar por que a caixa não cai neste campo gravitacional, mas ao observar a corda presa no teto e tensionada chega à conclusão lógica de que a caixa se encontra em repouso suspensa no campo gravitacional. A conclusão do observador de que a caixa está 'em repouso' e com a presença de um campo gravitacional se ' baseia na propriedade fundamental do campo gravitacional de conferir a todos os corpos a mesma aceleração, ou, o que significa o mesmo, na proposição da igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional ' (EINSTEIN, 1999, p.60).

Einstein continua sua narrativa imaginando outros experimentos possíveis de serem feitos pelo observador dentro da caixa.

Suponhamos que o homem na caixa prenda na face interna do teto da caixa uma corda, e que na extremidade livre desta ele amarre um corpo. Por influência deste, a corda ficará tensa e pendurada 'verticalmente'. Perguntamo-nos pela causa da tensão da corda. O homem na caixa dirá: 'O corpo suspenso experimenta no campo gravitacional uma força para baixo, que é equilibrada pela tensão da corda; o que determina o valor da tensão da corda é a massa gravitacional do corpo suspenso'. Mas, por outro lado, um observador que flutue livremente no espaço há de considerar a situação da seguinte maneira: 'A corda é forçada a acompanhar o movimento acelerado da caixa e transmite este movimento ao corpo preso a ela. A tensão na corda tem justamente o valor necessário para produzir a aceleração deste último. O que determina o valor da tensão na corda é a massa inercial do corpo' (EINSTEIN, 1999, p.60)

A partir desta narrativa obtém-se uma interpretação física para a igualdade entre massa gravitacional e massa inercial. Entretanto, o próprio Einstein alerta que com esta construção ficamos tentados a pensar que a existência de um campo gravitacional é sempre aparente, ' o que não é verdadeiro para todos os campos gravitacionais [...] Assim, por exemplo, é impossível escolher um corpo de referência tal que, em relação a ele, o campo gravitacional da terra desapareça (em toda sua extensão) ' (EINSTEIN, 1999, p.61). Juntamente com esta interpretação, se faz necessário uma nova maneira de encarar o significado métrico das coordenadas, como aponta Einstein quando conclui:

Começamos com um espaço vazio, sem campo, como é o caso - em relação ao sistema de inércia - na teoria da relatividade restrita, como a situação física mais simples que se pode imaginar. Se pensarmos agora em um sistema não-inerte introduzido no pressuposto de que o novo sistema é uniformemente acelerado contra o sistema da inércia (numa definição tridimensional) em uma direção (convenientemente definida), então existe, com referência a esse sistema, um campo gravitacional paralelo estático. O sistema de referência pode ser rígido, euclidiano, nas suas propriedades métricas tridimensionais. Mas o tempo em que o campo aparece como estático não é medido por relógios estacionários igualmente constituídos . Com esse exemplo, reconhecemos que o significado métrico imediato das coordenadas desaparece quando se admitem as transformações nãolineares das coordenadas . Contudo, essa admissão é obrigatória , se quisermos fazer justiça à igualdade da massa gravitacional e da massa inerte (EINSTEIN, 1982, p.67, grifos nossos em itálico)

A seguir apresentaremos mais exemplos de construções como as apresentadas acima, desta vez focando a distorção do espaço.

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## Distorção do Espaço-Tempo

Uma consequência importante dos trabalhos acerca da Relatividade Geral é uma nova interpretação da geometria do espaço-tempo, isto implica que ' nesse novo universo, não há espaço e tempo absolutos, e a gravidade não é uma força não é um puxão entre dois objetos -, mas uma propriedade do espaço e do tempo' (CREASE, 2011, p.175). Encontramos, nos textos analisados, construções que culminam em problemas formais, principalmente com relação à geometria.

Um desses problemas pode ser identificado em uma narrativa feita por Einstein, a qual novamente se caracteriza pelas experiências de pensamento. O 'enredo' desta questão se dá em um referencial em rotação. Um disco plano (referencial K ') que gira uniformemente em seu próprio plano em torno do seu centro. O contexto é criado da seguinte maneira. Há um observador sentado sobre o disco K ', mas fora de seu centro , que sente então uma força atuante na direção radial 'para fora'. Para um observador que em repouso com relação a um referencial K (corpo de referência, referencial inercial), a força sentida em K ' é devida ao efeito de inércia. Entretanto, o observador em K ' pode interpretar, graças ao princípio da Relatividade Geral, como estando em um referencial 'em repouso' e submetido a um campo gravitacional no sentido oposto ao centro do disco. Este observador em K ' está provido de relógios e réguas a fim de fazer algumas experiências. Numa primeira experiência o observador coloca um relógio sobre o centro do disco e outro sobre a periferia do mesmo. Para o observador em K o relógio anda a uma taxa mais lenta no centro do disco. Este é um resultado da relatividade restrita, já que o relógio no centro do disco não tem velocidade com relação a K , ao contrário do relógio que se encontra na periferia, que devido sua rotação apresenta uma velocidade com relação a K . O observador em K ' chegaria à mesma conclusão se imaginarmos ele sentado no centro do disco .

Einstein continua sua narrativa imaginando a seguinte experiência:

Com efeito, se o observador que está em movimento de rotação com o disco aplica sua unidade de medida (que deve ser uma régua pequena com relação ao raio do disco) na periferia do disco, tangencialmente a este, o comprimento da mesma, observado a partir do sistema galileano, é inferior a um, porque os corpos em movimento experimentam um encurtamento na direção do movimento. Mas, quando ele coloca sua régua na direção radial, ela, vista de K , não experimenta encurtamento nenhum. Se, portanto, com a sua régua o observador medir primeiro o perímetro do disco e depois o diâmetro do mesmo, e dividir o primeiro resultado pelo segundo, ele há de encontrar por quociente não o célebre número π = 3,14..., mas sim um número maior [...].(EINSTEIN, 1999, p.69)

Com isto Einstein chega à conclusão de que ' as proposições da geometria euclidiana não podem ser perfeitamente válidas sobre um disco em rotação e, portanto, de maneira geral, em um campo gravitacional ' ( ibid , 1999, p.69).

Em outro exemplo, que mais uma vez demonstra a vasta quantidade de 'experiências imaginárias' feitas por Einstein, mostra tanto a presença da narrativa, ao criar a própria experiência, e o contexto onde ela é produzida, quanto ao pensamento lógico científico (matemática), principalmente no que se refere à interpretação geométrica dos fenômenos gravitacionais. Nesta narrativa encontramos elementos como uma mesa plana, 'pequeninos bastões' e gradiente de temperatura. O contexto é criado da seguinte maneira. Forma-se sobre a mesa quadrados utilizando os bastõezinhos, um ao lado do outro, de tal forma que, no

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interior do desenho, cada lado de um quadrado pertence a dois quadrados e cada vértice pertence a quatro quadrados. Supõe-se que a mesa é aquecida em seu centro, de tal forma que há um gradiente de temperatura decrescente do centro para as bordas. Os bastõezinhos do centro se dilatam, enquanto os das bordas não, com isto toda a estrutura montada sobre a mesa plana se desorganiza totalmente. Com esta 'experiência', Einstein conclui:

Com relação aos nossos bastõezinhos - definidos como unidade de medida - a superfície da mesa não é mais um contínuo euclidiano, e nós não temos mais condições de, com sua ajuda, definir diretamente coordenadas cartesianas [...] então o método das coordenadas cartesianas tem que ser abandonado e substituído por um outro que não exija a validade da geometria euclidiana para corpos rígidos (EINSTEIN, 1999, p.73)

As investigações feitas por Einstein, principalmente no contexto da gestação da Relatividade Geral, levaram-no a reconhecer a matemática como uma linguagem essencial para compreensão da natureza.

Eu agora estou trabalhando exclusivamente no problema da gravitação, e acredito que posso superar qualquer dificuldade com o auxílio de um amigo matemático, aqui. Uma coisa é certa: nunca em minha vida dei tanta importância a algo, e agora tenho o maior respeito pela matemática, cujas partes mais sutis eu considerava, até agora, em minha ignorância, puro luxo (EINSTEIN apud CREASE, 2011, p.173)

Após muitas investigações e reflexões, Einstein chega a sua equação covariante do campo gravitacional, que entre outros atributos foi capaz de obter uma previsão empírica para a precessão do periélio de Mercúrio melhor do que a teoria newtoniana. Além disso, a teoria do espaço-tempo curvo previa a deflexão da luz das estrelas próximas a corpos massivos, como por exemplo, o sol. A seguir está representada a equação covariante do campo gravitacional:

<!-- formula-not-decoded -->

Nesta equação temos do lado esquerdo uma referência à geometria do espaço-tempo, enquanto o lado direito faz referência à distribuição de energia e momento na malha espaço-temporal. Uma interpretação interessante desta equação é dada pelo físico John Wheeler, que dizia que ' lendo da esquerda para direita, temos o espaço-tempo dizendo como a matéria deve se mover, lendo da direita para esquerda, temos a massa dizendo como o espaço-tempo deve se curvar ' (CREASE, 2011, p.175).

## Considerações finais

Podemos notar que, nas construções dos textos analisados, apresenta-se tanto aspectos relacionados às narrativas quanto à Matemática, onde ambas as maneiras de pensar tornaram possível uma interpretação física para um determinado comportamento da natureza, no caso de nossa análise, relacionada ao princípio de equivalência e distorção do espaço-tempo . E ainda forneceram meios para as ideias serem compreensíveis e possíveis de serem comunicadas, serem intersubjetivas. Consideramos que há indícios de que as linguagens matemática e narrativa se apresentam conjuntamente no contexto da gestação de conceitos/princípios científicos, o que chamamos de complementaridade entre estas linguagens. Dos aspectos discutidos neste trabalho, vale salientar o papel das

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narrativas como forma de produção de conhecimento científico, pois enquanto há certo consenso de que há relação direta entre Matemática e Física (mesmo que não haja consenso enquanto seu caráter estruturante), as narrativas são raramente vistas como uma forma de compreensão do mundo.

Temos a expectativa que a identificação de aspectos importantes relacionados à construção do conhecimento físico podem dar boas indicativas de como trabalhar com a Física em sala de aula. As características que analisamos, em particular, têm potencial de serem exploradas no processo de ensino aprendizagem. Trabalhando com as narrativas os alunos podem, além de usarem seus conhecimentos prévios, desenvolver habilidades (competências) como fazer uso de articulações argumentativas usando conceitos científicos, sem contar a necessidade de que cada aluno passe a usar sua própria criatividade, o que o colocaria em um papel ativo na sua relação com o conhecimento. Com relação à Matemática, uma abordagem que não dê ênfase apenas ao seu formalismo, mas ao seu potencial como linguagem, também pode colocar o aluno em uma posição ativa, já que uma vez que ele se apropriar desta linguagem poderá usá-la como um dos meios de ver e interpretar o mundo.

## Referências

BRASIL, PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias (MEC-SEMTEC, Brasília, 2002).

BRUNER, J. Pourquoi Nous Racontons-nous des Histories?: Le Récit au Fondement de la Culture et Le L'identité Individuelle. Paris: Agora, 2002.

CREASE, R. As grandes equações: a história das fórmulas matemáticas mais importantes e os cientistas que as criaram ; tradução Alexandre Cherman. - Rio de Janeiro: Zahar, 2011.

EINSTEIN, A. A teoria da Relatividade Especial e Geral ; tradução do original alemão Carlos Almeida Pereira. - Rio de Janeiro: Contraponto, 1999.

EINSTEIN, A. Notas Autobiográficas ; Ed. Comemorativa/ traduzida e anotada por Paul Arthur; tradução de Aulyde Soares Rodrigues. - Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1982.

GURGEL, I. Elementos de uma Poética da Ciência: Fundamentos Teóricos e Implicações para o Ensino de Ciências . Tese, Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2010.

PIETROCOLA, M. A Matemática como estruturante do conhecimento físico . Caderno Catarinense de Ensino de Física, v. 19 , n. 1 , p.89-109, agosto de 2002.

ROBILOTTA, M. &amp; BABICHAK, C. Definições e conceitos em Física ; Cadernos cedes 41; Ensino da ciência, leitura e literatura; 1ª edição - 1997.

SILVA, C. Uma análise histórica do uso de modelos no eletromagnetismo . Atas do IV ENPEC , Águas de Lindóia, 2005.

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