O BALDE GIRANTE, A FORÇA RESULTANTE E A INÉRCIA VACILANTE DE NEWTON

## O BALDE GIRANTE, A FORÇA RESULTANTE E A INÉRCIA VACILANTE DE NEWTON

## Elika Takimoto 1

1 Cefet-RJ/PPGFIL-UERJ, elikatakimoto@gmail.com

## Resumo

Isaac Newton, ao sugerir a interação entre corpos materiais e o espaço absoluto, acabou sendo alvo de severas críticas, tanto de seus contemporâneos George Berkeley e Gottfried Wilhelm Leibniz, como de Ernst Mach quase duzentos anos mais tarde. O esforço de Newton em defender a existência do espaço absoluto pode ser entendido quando se considera que ele tem uma função lógica em sua teoria do movimento, estabelecendo o requisito conceitual para a validade da primeira lei, ou melhor, a lei da inércia. O trabalho aqui proposto poderá ser usado pelos professores durante as aulas de dinâmica como um apoio para desconstruir a visão de que a ciência detém um critério absoluto de verdade ou que se trata de um conhecimento linear e cumulativo. Expomos algumas das dificuldades reais enfrentadas por Newton através, por exemplo, da experiência de pensamento do balde girante realizada por ele no Principia como uma sugestão para que essa discussão seja levada para sala de aula como um instrumento de reflexão sobre algumas questões pertinentes à natureza da física e do conhecimento científico.

Palavras-chave : Newton, Filosofia da ciência, Ensino, Inércia

## Introdução:

Ao longo das últimas décadas, a pesquisa em ensino de ciências tem evidenciado a relevância do papel desempenhado pela História e da Filosofia da Ciência (HFC) no ensino e aprendizagem das ciências. Há um número grande de artigos publicados em revistas especializadas da área que destina espaços específicos para essa temática. Do ponto de vista mais prático, a HFC pode ser pensada como estratégia didática facilitadora na compreensão de conceitos, modelos e teorias. Diversos autores convergem nessa direção, defendendo e expondo razões para a presença da HFC nas salas de aula dos diversos níveis de ensino [p. ex.: PEDUZZI, 2001; EL-HANI, 2006; MARTINS, 2006]. A necessidade de uma abordagem histórico-filosófica dos conteúdos das disciplinas científicas aparece, também, a partir de outras perspectivas, como a representada pelo movimento CTS para o ensino de ciências [SANTOS, 2001].

- O trabalho aqui proposto poderá ser usado pelos professores durante as aulas de dinâmica como um apoio para desconstruir a visão de que a ciência detém um critério absoluto de verdade ou que se trata de um conhecimento linear e cumulativo. Concordamos com El-Hani (2006) sobre a opinião de que um ensino de ciências preocupado com a discussão sobre a Natureza da Ciência é fundamental para que os alunos percebam a ciência como uma atividade humana, dinâmica e viva.
- O Princípio Fundamental da Dinâmica, mais conhecido pelo nome de 2 Lei a de Newton, diz que a mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida

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20 a 25 de janeiro de 2013

[NEWTON, 1729]. Vale ressaltar que a 2 Lei de Newton, escrita na forma a diferencial, foi proposta somente em 1750 pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783). Assim, podemos hoje dizer que o Princípio Fundamental da Dinâmica pode ser escrito na forma F= dp/dt , sendo p = mv a quantidade de movimento associada a um certo corpo de massa inercial m movendo-se com velocidade v em relação a um referencial inercial. Nos livros didáticos, entretanto, de uma forma mais clara a vemos escrita como F = ma , ou seja, a resultante F das forças que atuam em um certo corpo é igual ao produto de sua massa inercial m por sua aceleração resultante a , sendo que a aceleração do corpo é medida em relação a um referencial inercial. Mas o que vem a ser um referencial inercial?

Ao apresentar parte da explicação feita por Newton sobre a pergunta feita no parágrafo anterior, mais especificamente, a experiência de pensamento sobre um balde girante, acreditamos que o significado do conceito 'referencial inercial' será melhor entendido, assim como também será revelado o 'porquê' de certas categorias conceituais da ciência. A despeito da experiência do balde não ser citada em muitos livros didáticos usados no ensino médio [por ex.: ALVARENGA, 2010; FUKE,2010; GASPAR, 2011], acreditamos que expor as dificuldades reais enfrentadas por Newton é uma forma do professor oferecer aos seus alunos alguns subsídios para refletir sobre algumas questões pertinentes à natureza da física e do conhecimento científico. Por exemplo: A concepção de ciência que temos hoje é a mesma daqueles que a iniciaram? O que é necessário dispor para se conseguir elaborar uma descrição matemática do movimento?O que constitui uma lei natural? Em que medida a linguagem matemática serve para descrever a natureza?

## 'E onde termina o espaço se chama morte ou infinito?'(Pablo Neruda)

Newton em sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural , iniciou a definição de tempo, espaço, lugar e movimento, estabelecendo o contexto onde os movimentos se realizam e as leis que regem estes movimentos tem validade. Para remover 'certos preconceitos', Newton distingue entre aquilo que é absoluto do que é relativo, aquilo que é verdadeiro do que é aparente, matemático e comum. E assim:

- O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si, e pela sua própria natureza, flui uniformemente, sem observar qualquer coisa externa, e é chamado, também, de duração: o tempo relativo, aparente e comum, é uma medida perceptível e externa (seja precisa e variável) de duração por meio do movimento, que é comumente utilizada em vez do tempo verdadeiro, como uma hora, um dia, um mês, um ano.

Espaço absoluto sem relação com qualquer coisa externa, permanece sempre similar e imóvel. Espaço Relativo é alguma dimensão ou medida móvel do espaço absoluto, a qual nossos sentidos determinam por sua posição com relação aos corpos e é comumente tomado por espaço imóvel; (...)

- O lugar é uma parte do espaço que o corpo toma, e é, de acordo com o espaço, ou absoluto, ou relativo...
- O movimento absoluto é a translação de um corpo de um lugar absoluto para outro; e o movimento relativo, a translação de um lugar relativo para outro. (...)
- O tempo absoluto, em astronomia, distingue-se do tempo relativo pela equação ou correção do tempo vulgar, pois os dias naturais são verdadeiramente desiguais, embora sejam comumente considerados iguais, e usados como medida do tempo.

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- (...) Todos os movimentos podem ser acelerados e retardados, mas o progresso real, ou uniforme, do tempo absoluto, não é passível de mudança. [NEWTON, 1729, p7]

Como Newton acredita que 'nas investigações filosóficas, devemos nos abstrair de nossos sentidos' , o grau último de exatidão só poderia ser alcançado em referência e esse espaço absoluto, do qual o espaço relativo era apenas uma medida. Assim, apesar do Espaço Absoluto e o Tempo Absoluto não serem acessíveis, pois, 'suas partes eram imperceptíveis e indistinguíveis para os nossos sentidos', o espaço e o tempo relativos (que nada mais são que os sistemas de coordenadas) o são e tem a mesma natureza que aqueles e é através deles que Newton descreverá os movimentos e suas causas. Segundo o Principia , portanto, as forças impressas nos corpos produzem acelerações verdadeiras (ou absolutas) que tem o mesmo valor tanto no referencial do espaço absoluto quanto num referencial do espaço aparente e em movimento retilíneo e uniforme em relação ao Espaço Absoluto.

- A famosa primeira lei do movimento afirma que todo corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado por forças imprimidas sobre ele. Seria possível conceber a inércia sem recorrer ao conceito de espaço absoluto? O 'realismo matemático levou Newton a dotar esse conceito - que ainda era meramente uma estrutura matemática -de existência ontológica independente'[JAMMER,2010]. Mas, perguntas surgem, naturalmente, nesse ponto: como, então, sabemos que há o espaço absoluto? Se o espaço absoluto 'permanece sempre similar', ou seja, suas partes são indistintas umas das outras, como Newton pode afirmar que um determinado corpo está em repouso absoluto?
- O próprio Newton confirma que 'é, realmente, uma questão de grande dificuldade descobrir, e distinguir adequadamente, os movimentos reais de certos corpos dos movimentos aparentes, porque as partes do espaço imóvel nas quais os movimentos ocorrem não chegam, de forma alguma, à observação dos nossos sentidos'. Mas, como ele continua dizendo, 'ainda assim, o caso não é, de todo desesperador, pois dispomos de alguns argumentos para nos guiar (...)'. Newton apresenta uma famosa experiência de pensamento pela qual pode ser demonstrado e medido o movimento absoluto: a experiência do balde girante. O físico, inicialmente, considera um balde com água em seu interior, ambos em repouso em relação à Terra. Verificamos que a superfície da água apresenta um formato plano. Em seguida, numa segunda situação, ele considera a água e o balde girando juntos com uma velocidade angular constante, novamente em relação à Terra. Verificamos agora que a superfície da água apresenta um formato côncavo. Por que a superfície da água é plana em uma situação e côncava em outra? O que causa essa mudança de formato? Quem interage com a água quando o balde está girando?

Pode-se pensar em três possíveis causas responsáveis pela concavidade da água: sua rotação em relação ao balde, em relação à Terra ou em relação às estrelas fixas. Que a rotação em relação ao balde não é responsável pela mudança no formato da superfície da água pode ser compreendido imediatamente observando que não há movimento relativo entre a água e o balde nas duas situações citadas anteriormente. Assim, qualquer que seja a força exercida pelo balde sobre a água na primeira situação, ela será a mesma na segunda situação, já que a água estará em repouso em relação ao balde nos dois casos. A rotação da água em relação à Terra também não pode ser responsabilizada pelo resultado da

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experiência, já que a força exercida pela Terra sobre os corpos que se encontram em sua superfície é atrativa para baixo em direção ao seu centro e não centrífuga em direção às paredes do recipiente em rotação, como se verifica com a água do balde. Ou seja, estando a água em repouso ou em rotação, a Terra só a puxa para baixo. Com relação às estrelas fixas, sabe-se que, ao relatar a experiência do balde no Principia, Newton disse:

De início, quando o movimento relativo da água no recipiente era máximo, não havia nenhum esforço para afastar-se do eixo; a água não mostrava nenhuma tendência à circunferência, nem nenhuma subida na direção dos lados do recipiente, mas mantinha uma superfície plana, e, portanto, seu movimento circular verdadeiro ainda não havia começado. Mas, posteriormente, quando o movimento relativo da água havia diminuído, a subida em direção aos lados do recipiente mostrou o esforço dessa para se afastar do eixo; e esse esforço mostrou o movimento circular real da água aumentando continuamente, até ter adquirido sua maior quantidade, quando a água ficou em repouso relativo no recipiente. E, portanto, esse esforço não depende de qualquer translação da água com relação aos corpos do ambiente, nem pode o movimento circular verdadeiro ser definido por tal translação.[NEWTON,1729]

Além disso, na Proposição XIV, Teorema XIV do livro III do Principia, Newton afirmou:

E como estas estrelas não estão sujeitas a nenhuma paralaxe perceptível devido ao movimento anual da Terra, elas não podem ter nenhuma força, devido a sua imensa distância, para produzir qualquer efeito perceptível em nosso sistema. Sem mencionar que as estrelas fixas, dispersas em todo lugar no céu de forma desordenada, destroem suas ações mútuas devido a suas atrações contrárias, pela Prop. LXX, Livro I. [NEWTON, 1729, p 422.Seção XII - As forças atrativas de corpos esféricos, Proposição LXX. Teorema XXX]

Newton sabia que utilizando a sua Lei da Gravitação Universal para calcular a força que uma casca esférica exerce sobre um corpo que se encontra em seu 1 interior, o resultado era igual a zero, independentemente de o corpo estar em rotação ou não em seu interior, já que a Lei da Gravitação Universal não depende da velocidade ou da aceleração entre os corpos interagentes. Deste modo, a rotação em relação às estrelas fixas também não pode ser apontada como a causa do surgimento de qualquer força centrífuga exercida sobre a água do balde em rotação. Isto mostra que, na Mecânica Newtoniana, a superfície côncava da água não pode ser explicada pela rotação entre a água e o balde, nem entre a água e a Terra, e nem entre a água e as estrelas fixas. Para Newton, a mudança no formato da superfície da água era devida à rotação da água em relação ao espaço absoluto.

## 'A inércia é o meu ato principal' (Manoel de Barros)

O esforço de Newton em defender a existência do espaço absoluto pode ser entendido quando se considera que ele tem uma função lógica em sua teoria do movimento, estabelecendo o requisito conceitual para a validade da primeira lei, ou melhor, a lei da inércia. Isso providenciou o que chamamos hoje de sistemas inerciais de referência, a condição ideal em que suas leis de movimento pudessem ser aplicadas de uma forma rigorosa.

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Burtt faz uma crítica rigorosa a Newton afirmando que espaço e tempo absolutos negam, por sua própria natureza, a possibilidade de que os corpos perceptíveis possam mover-se em relação a eles, pois, 'tais corpos só podem mover-se neles, com referência a outros corpos' [BURTT,1024]. Isso ocorre porque eles, espaço e tempo absolutos, são entidades infinitas e homogêneas, uma parte deles é indistinguível de qualquer outra parte igual. Se onde quer que um corpo esteja ele está circundado por uma quantidade infinita de espaço similar em todas as direções, qualquer posição é idêntica. Assim, só faz sentido falar que as coisas se movem no espaço absoluto se houver referência a outro corpo.

Jammer justifica o fato de Newton ter julgado demonstrar que o espaço tinha existência própria e independente dos corpos que o contem. Newton não se deu conta de que seu procedimento violava os princípios do método que ele mesmo defendia, visto que ele foi um contemporâneo mais jovem de Henry More (o principal disseminador das ideias cabalísticas judaico e neoplatônicas), com quem travou conhecimento na juventude e de cujos ensinamentos, por meio de Isaac Barrow, recebeu enorme influência. Na geometria de Barrow, o espaço era a expressão da onipresença divina, assim como o tempo era a expressão da eternidade de Deus. Jammer, no entanto, observa que a comparação entre a primeira edição do Principia e as edições posteriores mostra que a identificação do espaço absoluto com Deus, ou com um dos seus atributos, só passou para o primeiro plano do pensamento de Newton no fim da vida, ou seja, no começo do século XVIII.

## 'Talvez; ele tem quase tudo, só falta um pouco de força e de massa.' (Rubem Fonseca no conto 'A Força Humana']

Newton baseou sua primeira lei do movimento na relação entre 'força' - como uma ação externa que gera mudança no movimento - e 'inércia' - como uma propriedade fundamental da matéria que fazem os corpos manterem seus estados, seja ele de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme. Sabemos que Newton definiu 'força inata, essencial e inerente de um corpo ( vis insita ) como 'um poder pelo qual todo corpo resiste ou continua em seu estado seja de repouso ou de movimento uniforme em linha reta'. O conceito de 'força de inércia' implica, visto somente por essa definição, uma força interna nos corpos. Mas, Newton repensa sobre toda essa questão, e passa a tratar vis insita exclusivamente em termos da força pelo qual o corpo resiste a mudanças do seu estado e não mais como uma força pelo qual o corpo mantem o seu estado. Stephen Gaukroger percebe três estágios nessa reformulação de Newton:

- 1º - Newton afirmou que uma força é necessária para manter o corpo em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme.
- 2º- Newton refletiu no fato que o movimento retilíneo e uniforme e repouso poderiam ser dinamicamente indistinguíveis. Em resposta a essa observação, ele fez a vis insita ser responsável por manter o corpo em repouso e em movimento retilíneo e uniforme.
- 3º - Newton percebeu que há uma diferença em manter o corpo em repouso e em movimento retilíneo e uniforme e em resistir a uma mudança de estado e relacionou a última situação com 'força', vis insita , deixando a primeira situação podendo ser considerada sem que nenhuma força atue no corpo. Ou seja, ele passa a considerar que uma força atua no corpo somente quando se verifica uma mudança no seu estado.

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Para Newton, o mundo da matéria era possuidor, essencialmente, de características matemáticas. Era composto, em última análise, de partículas absolutamente rígidas, indestrutíveis, equipado com as mesmas características que tinham então se tornado familiares sob o título de qualidades primárias , com 2 exceção de que a descoberta de Newton e sua definição precisa de uma nova qualidade dos corpos, matematicamente exata (como veremos adiante) a vis inertiæ , induziu-o a juntá-la à lista [HARMAN, 1982]. Todas as mudanças na natureza devem ser vistas como separações, associações e movimentos desses átomos permanentes [NEWTON, I. Opticks, 1721].

Os átomos, na filosofia natural de Newton, também são considerados como predominantemente matemáticos, porém, não passam de elementos menores de objetos acessíveis a nós. Pois, para o filósofo-matemático, como não conhecemos a extensão dos corpos senão pelos sentidos e, aprendemos pela experiência que a maior parte dos corpos é dura, nós podemos inferir a dureza dos átomos, partículas indivisíveis, pois, 'a dureza do todo deriva da dureza das partes'. Assim, 'não é da razão, mas sim da sensação que concluímos que todos os corpos são impenetráveis'. Sabemos, diz Newton, que os corpos que lidamos são impenetráveis, daí conclui-se que 'a impenetrabilidade é uma propriedade universal de todos e quaisquer corpos'. E então,

Somente inferimos que todos os corpos podem ser movimentados, e dotados de certos poderes (que chamamos vires inertiæ) de perseverar em seu movimento, ou em seu repouso, a partir das propriedades similares observadas nos corpos que já vimos. A extensão, dureza, impenetrabilidade, mobilidade e vis inertiæ do todo resultam da extensão, dureza, impenetrabilidade, mobilidade e vires inertiæ das partes; e daí concluímos serem as menores partículas de todos os corpos também dotadas de extensão, duras, impenetráveis, capaz de serem movimentadas e dotadas de suas próprias vires inerti æ .[NEWTON, 1729]

Em suma, o conceito de inércia que explica a perseverança de um corpo em manter seu estado de repousou ou de movimento uniforme em linha reta é concebido como uma propriedade das substâncias materiais. Para justificar o fato de também a inércia ser um conceito matematicamente exato, pela segunda lei verificamos que se uma força for impressa ao corpo haverá uma modificação na quantidade de movimento do mesmo. Newton percebeu que essa variação era suscetível de formulação quantitativa exata. Sob aplicação de uma mesma força corpos diferentes partem diferentemente do estado do repouso ou do movimento retilíneo e uniforme, em outras palavras, eles são acelerados de formas diferentes. Assim, podemos tomar todos os corpos como possuidores da vis inertiæ , ou inércia, que é uma característica matematicamente exata tanto quanto seja mensurável pela aceleração aplicada a eles por uma dada força externa. Quando falamos de corpos como massas, queremos dizer que, além das características geométricas, eles possuem esta qualidade mecânica de vis inertiæ . Pelo que já foi dito, força e massa são termos inteiramente correlativos.

A descoberta de que a mesma massa tem pesos diferentes se localizados à distâncias diferentes do centro da Terra, junto com a elaboração matemática das leis de movimento de Kepler, conduziu gradualmente à formulação de Newton da lei da gravitação, que uniu a astronomia e a mecânica em uma ciência matemática de

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matéria em movimento. Todo corpo no nosso universo permeado pelo Espaço Absoluto, tende a mover-se em direção a qualquer outro em uma proporção direta ao produto de suas massas e em proporção inversa ao quadrado da distancia entre os seus centros. Percebemos, então, como é difícil conceber quaisquer mudanças no movimento que não sejam redutíveis matematicamente nos termos de Newton. Porém, como observado por Max Jammer, Newton fez uma clara distinção entre peso e massa (ou 'quantidade de matéria'), pois pressupunha que alguma propriedade característica do corpo precisa ser invariante com relação à sua posição. O termo 'massa', assim, foi pela primeira vez explicitamente e conscientemente reconhecido como um conceito básico na mecânica.

Em tempo, vale observar que uma vez feita a descoberta da massa, definiuse força em termos de massa (e da aceleração), e não vice-versa, uma vez que força é invisível, enquanto uma massa padrão é um objeto físico que pode ser percebido e usado. No que diz respeito a essa definição, Alfred North Whitehead afirma que Newton 'teve aqui um golpe de sorte, pois, do ponto de vista de um matemático, a mais simples lei possível, isto é, o produto das duas [massa e aceleração], revelou-se bem sucedida'.

## Considerações finais:

Isaac Newton supriu as definições de alguns conceitos fundamentais necessários à submissão completa do movimento à lei matemática. O fato de ele ter conseguido reduzir os maiores fenômenos de todo o universo da matéria a uma simples lei matemática foi um trabalho intelectual sem precedentes na história. Mas, como filósofo...teria ele sido tão preciso e consistente?

Vimos nesse trabalho como Newton descreveu certas 'entidades', especialmente espaço e tempo absolutos e como chegou ele a reunir as características irredutíveis dos corpos sob o termo 'massa'. Verificamos, em parte, qual foi o embasamento metafísico usado por Newton para poder formular a lei da inércia, onde afirma que todo corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme a menos que uma força atue sobre ele. A inércia, tal como foi enunciada nem sequer é motivo de observação no dia a dia e precisava ter um alto grau de confiabilidade, pois, juntamente com outros conceitos como força, por exemplo, a mecânica foi fundamentada.

Enfim, um breve estudo dos fundamentos metafísicos na obra newtoniana ofereceu-nos a possibilidade de vislumbrarmos como o método de Newton foi indissociável de um projeto filosófico. Como medir a resistência de um corpo em movimento? Há necessidade de considerar uma propriedade intrínseca à matéria? Que papel cabe ao meio externo que também oferece uma força de resistência ao movimento? Teria Newton acreditado que a Lei da Inércia revelava uma propriedade essencial e necessária dos corpos? As fórmulas, leis e equações estabelecidas pelo físico-matemático depois que a Lei da Inércia foi formulada foram extraídas da essência da matéria ou foram deduzidas de certas propriedades fundamentais que Deus conferiu aos corpos, sem que elas, entretanto, lhes pertençam, ou seja, que os efeitos que observamos são devido a causas que jamais teremos acesso? Não seria interessante que perguntas como essas fossem feitas em sala de aula (simplificadas no ensino médio e de forma mais elaborada na graduação), na introdução desses conceitos?

Enfim, acreditamos que as questões aqui apontadas forneçam, ainda que reconheçamos que a discussão aqui tenha sido resumida, algumas ferramentas para

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que, a partir da compreensão das dificuldades reais enfrentadas por um dos principais fundadores da mecânica, o professor possa durante as aulas de dinâmica refletir em sala de aula sobre alguns problemas pertinentes à natureza da física e do conhecimento científico.

## Referências

ALVARENGA, B., MÁXIMO, A., Curso de Física , Scipione, 2011, vol1.

BURTT,E.A., The Methaphysical Foundations of Modern Physical Science ,1924.

EL-HANI, C. N. Notas sobre o ensino de história e filosofia da ciência na educação científica de nível superior. In: SILVA, C.C. (Org.) Estudos de história e filosofia das ciências: subsídios para aplicação no ensino. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006, p. 3-21.

FUKE, L.F., YAMAMOTO,K., Física para o Ensino Médio , Saraiva, 2010. vol 1.

GASPAR, A., Compreendendo a Física , ática, 2011, vol1.

HARMAN, P.M. Methaphysics and Natural Philosophy -The Problem of Substance in Classical Physics , The Harvester Presss. Sussex, New Jersey, 1982.

GAUKROGER, S., The emergence of a scientific cuture and the shaping of modernity , Oxford Universtity press, Oxford, New York, 2006. p449

JAMMER , M., Concepts of force: a study in the foundations of dynamics, Dover Publivation, Inc, Mineola, New York, 1999.

JAMMER, M., Conceitos de Espaço: A história das teorias do espaço na física , tradução Vera Ribeiro, Contraponto, Editora PUC Rio, 2010.

MARTINS, R. de A. Introdução: a história das ciências e seus usos na educação.In: SILVA, C.C. (Org.) Estudos de história e filosofia das ciências: subsídios para aplicação no ensino. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006, p. xviixxx.

NEWTON, I. Mathematical Principles of Natural Philosophy and his System of the World, traduzido para o inglês por Andrew Motte em 1729. Apêndice histórico e explicativo por Florian Cajori, University of California Press, Berkeley, Los Angeles, London, 1934

NEWTON, I. Opticks , 3ª edição, Londres, 1721

PEDDUZZI, L. O. Q. Sobre a utilização didática da História da Ciência. In: PIETROCOLA, M. Ensino de Física : conteúdo, metodologia e epistemologia numa concepção integradora. Florianópolis: Editora da UFSC, 2001. cap. 7, p151-170.

SANTOS, M. E. A cidadania na Voz dos Manuais Escolares . Lisboa: Livros Horizonte, 2001.

WHITEHEAD, A. N. , A Ciência e o Mundo Moderno , Tradução de Hermann Herbert Watzlawick, São Paulo: Paulus, 2006.

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