A história da Ciência ajudando a desvendar algumas dificuldades no ensino do produto vetorial

## A HISTÓRIA DA CIÊNCIA AJUDANDO A DESVENDAR ALGUMAS DIFICULDADES CONCEITUAIS NO ENSINO DO PRODUTO VETORIAL

Cibelle Celestino Silva a [cibelle@ifi.unicamp.br] Roberto de Andrade Martins b [rmartins@ifi.unicamp.br]

- a Grupo de História de Teoria da Ciência, Departamento de Raios Cósmicos, Instituto de Física "Gleb Wataghin", Unicamp

## 1. Introdução

A importância da história da ciência como um dos elementos do ensino de ciências é resultado das pesquisas em ensino de física dos últimos anos e é um consenso entre a maioria dos pesquisadores da área 1 . Um dos aspectos interessantes do uso da história da ciência no ensino é esclarecer conceitos ensinados em sala de aula a que nem sempre são óbvios e diretos como os livros texto insistem em nos fazer crer.

O conceito de vetor é amplamente usado na física, tanto em nível universitário quanto em nível médio. O estudo histórico desenvolvido no presente artigo permite tornar claro algumas das dificuldades conceituais e pedagógicas envolvidas no ensino do conceito de vetor e das operações vetorias. O conhecimento das dificuldades envolvidas com certos conceitos ensinados em sala de aula é fundamental para a superação das barreiras epistemológicas existentes no processo de ensino-aprendizagem.

A análise histórica do desenvolvimento do cálculo vetorial é um exemplo de como a história da ciência pode fornecer elementos úteis para a estruturação da prática pedagógica, especialmente com relação à física e matemática. O ensino tradicional produz simplificações nos conteúdos apresentados, muitas vezes torna-os impossíveis de serem entendidos pelos estudantes. Vamos analisar o caso particular das dificuldades conceituais envolvidas com o produto vetorial no ensino da teoria eletromagnética.

O ensino da teoria eletromagnética apresenta muitas dificuldades. Além do caráter abstrato do campo eletromagnético, há vários conceitos matemáticos novos para serem ensinados junto

com m os novos conceitos físicos. Este trabalho problematizará uma questão aparentemente simpmples - o produto vetorial - e analisará algumas dificuldades relacionadas com m o uso do produto vetorial no eletromagnetismo, mostrando que essas dificuldades têm m raízes históricas profundas que surgem m da deficiente elucidação conceitual nos trabalhos dos fundadores do eletromagnetismo e da análise vetorial.

## 2. O produto vetorial

O produto vetorial é normalmente introduzido nos cursos fundamentais de física 2 nos capítulos sobre dinâmica da rotação. No entanto, é na teoria eletromagnética que o produto vetorial adquire um m papel essencial. Como exempmplo de uma questão intrigante envolvendo o produto vetorial, vamos analisar a força F agindo sobre uma carga elétrica q com m velocidade v em m um m campmpo magnético uniforme B. A força F é dada por F=qv×B .

Isto significa que a força que age sobre a carga é perpendicular ao campmpo e à velocidade. Como o campmpo magnético e a força definem m um m plano, seria esperado que a carga continuasse a se mover neste plano; no entanto, não é isso que ocorre. Aparece uma força perpendicular ao plano, sem m nenhum m motivo aparente, que desvia a carga para fora do plano. Qualquer um m poderia se perguntar: como o movimento da carga no mesmo plano do campmpo pode criar algo perpendicular ao plano? Alguém m poderia tentar r responder: "Porque o produto vetorial em F=qv×B produz um m vetor perpendicular a v e B, cujo sentido é dado pela regra da mão direita." Mas essa não é uma explicação física; apenas descreve a regra matemática utilizada.

A regra da mão direita é apenas uma regra mnemônica. Por que a força F tem m esse sentido e não o oposto? A resposta usual para esta questão é que isso é uma "convenção". Na realidade, a direção do produto vetorial é de fato uma convenção. No entanto, por trás desta convenção há propriedades de simetria dos vetores não arbitrárias. Existem m os vetores polares e os vetores axiais, e eles têm m propriedades de simetria mumuito diferentes, como discutido anteriormente. r

É tambmbém m necessário ressaltar a diferença entre uma quantidade vetorial e sua representação gráfica. Para representar graficamente uma quantidade vetorial polar ou axial, normalmente usamos setas, isto é, usamos o mesmo símbmbolo para representar coisas diferentes. Tanto a regra da mão direita quanto a representação gráfica de um m vetor foram m discutidas pelos fundadores do cálculo vetorial e do eletromagnetismo no final do século XIX e início do século XX.

## 3. A natureza e simetria dos vetores

Para exibir as propriedades de simetria de um m vetor, vamos considerar reflexões em m planos paralelos e perpendiculares ao vetor. Um m vetor simétrico não mumuda de sinal em m uma reflexão e um m antissimétrico mumuda. Vetores polares (como os que correspondem m a deslocamento, velocidade, força e campmpo elétrico) são simétricos com m relação a reflexões em m um m plano paralelo pois o vetor refletido possui a mesma direção que o vetor original (Fig. 1). Por outro lado, os vetores polares são antissimétricos com m relação a reflexões em m um m plano perpendicular pois a direção do vetor refletido é oposta ao vetor original (Fig. 2).

Figura 1. Um vetor polar é simétrico com m respeito a uma reflexão paralela. Figura 2. Um m vetor polar é antissimétrico com m relação a uma reflexão perpendicular.

<!-- image -->

Os vetores axiais (tais como os que correspondem m a velocidade angular, torque, momento angular e campmpo magnético) são antissimétricos com respeito a reflexões em m um m plano paralelo (Fig. 3) e simétricos com m relação a reflexões em m um m plano perpendicular (Fig. 4) 3 . Tanto um vetor polar quanto um m axial tem m três compmponentes e o mesmo símbmbolo é usado para representar amb mbos, mas eles são dois objetos compmpletamente diferentes.

Figura 3. Um m vetor axial é antissimétrico com m relação a uma reflexão em m um m plano paralelo . Figura 4. Um m vetor axial é simétrico com m relação a uma reflexão perpendicular.

<!-- image -->

Pela mumultiplicação de dois vetores é possível gerar novos objetos. Por exempmplo: o produto vetorial de dois vetores polares é um m vetor axial 4 . Para entender isso, vamos analisar um m caso

simpmples do produto vetorial C=A×B no qual as compmponentes A z e B z são nulas. De acordo com as regras usuais para o produto vetorial, C tem m apenas uma compmponente C z =A x B y y-A y B x.

Figura 5. Um m vetor polar A cuja compmponente z é nula. O vetor C é um m vetor axial .

<!-- image -->

Vamos considerar um m plano de reflexão σ paralelo ao plano x xz z (Fig. 5). As compmponentes A x e B x são simétricas quando consideramos uma reflexão paralela em σ, isto é, σA x = A x e σB x = B x . Mas as compmponentes A y e B y são antissimétricas em m relação a uma reflexão perpendicular em σ , isto é σA y = -A y e σB y = -B y. Portanto, σC = σ(A x B y - A y B x ) = (-A x B y + A y B x ) = -C logo o vetor C se compmporta como um m vetor axial sob reflexões em m um m plano paralelo σ.

Quando se representa um m vetor polar como , os símbmbolos são entendidos como vetores polares unitários e as compmponentes de (isto é, A A r A i j k r r r r = A x + A y + A z A r C r i r r = C x + i , j , k r r r C r x , A y e A z ) são escalares. Mas se tentarmos representar um m vetor axial como C surge um problema: se os símbmbolos forem m entendidos como vetores unitários polares, então tambmbém m deveria ser entendido como um m vetor polar pois a adição de vetores polares produz vetores polares. j k r r C y + C z i , j , k r r r

O produto entre um m vetor polar e um m pseudo-escalar é um m vetor axial e vice-versa. Portanto, se assumirmos que são vetores polares, é possível representar um m vetor axial l como , desde que C i , j , k r r r C i j k r r r r = C x + C y + C z x , C y , C z sejam m pseudo-escalares.

Tambmbém m seria possível considerar como vetores axiais. Neste caso, no entanto, seria impmpossível, à primeira vista representar um m vetor polar (tal como posição) como r = ai + bj bj + ck . No entanto há uma solução para este problema. A resposta está em m C i , j , k r r r x , C y , C z . A resposta está em m interpretá-los como pseudo-escalares . Se um m número real A é uma função do vetor posição r de tal modo A(r) = ± A(-r), então A é ou um m escalar ou um m pseudo-escalar, se o sinal + ou - prevalecer.

É possível representar um m vetor polar A como , com como vetores axiais, se A A i j k r r r r = A x + A y + A z i , j , k r r r x , A y , A z forem m entendidos como pseudo-escalares. Assim A é um m vetor polar pois é a soma de pseudo-escalares mumultiplicados pelos vetores axiais 5 . Contrariamente, se considerarmos como vetores p polares, é possível representar um m vetor axial l como C = ai + bj bj + ck k desde que C i , j , k r r r x , C y , C z sejam m pseudo-escalares. Isto está pressuposto impmplicitamente na álgebra vetorial usada pelos físicos, embmbora os livros-texto não discutam m esses conceitos.

No início do século XX, alguns autores com Paul Langevin e Woldemar Voigt discutiram assuntos conceituais e a melhor notação para representar os diferentes tipos de vetores. Paul Langevin propôs 6 em m 1912 uma seta arredondada para identifificar vetores axiais, uma seta reta para identificar vetores polares e um m ponto abaixo da letra usada para representar uma grandeza pseudo-escalar. Os símbmbolos propostos são , B and r . Woldemar Voigt propôs 7 em m 1910, o uso de símbmbolos diferentes para representar os vetores polares e axiais sem m propor nenhum símbmbolo especial para representar as grandezas pseudo-escalares:

Figura 6: Os símbmbolos propostos por Voigt t para representar vetores polares e axiais .

<!-- image -->

Estas propostas nunca foram m aceitas e atualmente ainda se usa o mesmo símbmbolo (uma seta) para representar grandezas com m propriedades matemáticas diferentes.

## 4. Um paradoxo interessante

Entre as várias leis físicas associadas com o produto vetorial, vamos considerar a expressão da força magnética F . Alguém m pode se perguntar como pode ser possível o produto entre o vetor polar e o vetor axial B produza o vetor polar F . Isto não é óbvio e devemos olhar com m mais atenção para a natureza destes vetores para obtermos uma resposta. v B r r r = q × v r r r

Vamos adotar a interpretação usual para os símbmbolos como vetores unitários p polares Como discutido acima, as compmponentes de e devem m ser escalares e as compmponentes de devem m ser pseudo-escalares para que sejam m vetores polares e axiais respectivamente. i , j , k r r r F r v r B r

.

Temos então i , j , k como vetores polares; r r r x y B z B , B , ( ( ( 8 como pseudoescalares; e v x , v y , v z como escalares. A força F é obtida pelo produto vetorial q r v × r e de acordo com m o método usual de cálculo, pode ser escrita como

<!-- formula-not-decoded -->

- F i j k r ( ( r ( ( r ( ( r q(v B v B ) q(v B v B ) q(v B v B ) ∴ = y z - z y + z x - x z + x y - y x . (1)

A carga elétrica q é um m escalar. Na expressão final, cada quantidade entre parênteses é um pseudo-escalar pois o produto e o quociente entre dois números da mesma classe é um m escalar puro, enquanto que o produto e o quociente entre dois números de classes diferentes são um pseudo-escalar.

Portanto, o produto vetorial deveria ser um m vetor axial pois é a soma de produtos entre um m pseudo-escalar e vetores polares, isto é, é uma soma de vetores axiais. Desta forma, um paradoxo emerge: como a força F é um m vetor polar e o lado direito da equação parece ser um vetor axial? Este paradoxo surge porque interpretamos como sendo vetores polares desde o início. v B r r × r i , j , k r r r

Além m disso, como discutimos na seção 3 o produto vetorial de dois vetores é um m vetor axial, então os símbmbolos que aparecem m na equação (1) são vetores axiais pois são o os produtos . Esta nova propriedade de simetria trazida pelo produto vetorial não aparece explicitamente pois usamos o mesmo símbmbolo para representar vetores polares e axiais. Se no entanto usarmos uma seta arredondada, teremos i , j , k r r r k i r r i j k , j k i , , = × j r r r r r r r = × , = × j k r r = × etc. Porém m isso é uma inconsistência pois escolhemos no começo que i , j , k são vetores polares e é impmpossível termos r r r e formando uma base ao mesmo tempmpo, então é impmpossível construir uma álgebra vetorial fechada. i r

Uma solução para o paradoxo seria interpretar como vetores axiais e usar setas arredondadas para representá-los, isto é, i , j , k r r r , , . Neste caso, as compmponentes da velocidade deveriam m ser pseudo-escalares e as compmponentes do campmpo magnético deveriam m ser escalares para que possamos ter a velocidade como um m vetor polar e o campmpo magnético x y z v , v , v ( ( ( x y B z B , B , v r como um m vetor axial. Portanto, teríamos k r j r = × , etc., e a força F poderia ser calculada como r F = v × r r q :

<!-- formula-not-decoded -->

No entanto, notemos que agora temos um m novo conjunto de vetores unitários , , e que isso é inconsistente com m a interpretação usual de i , j , k como vetores polares. r r r

Se quisermos manter apenas o conjunto antigo de vetores unitários polares, é necessário usar um m pseudo-escalar unitário e introduzir as novas regras , etc. Neste caso, ao invés da equação (2) podemos escrever: i , j , k r r r 1 ( j k i r r (r × = 1

<!-- formula-not-decoded -->

É impmpossível construir uma álgebra vetorial fechada usando apenas vetores polares (ou axiais) e grandezas escalares pois o produto vetorial gerará vetores axiais dos vetores polares (e vice-versa). Portanto, quando se representa vetores por suas compmponentes, há duas possibilidades: ou se usa vetores polares e axiais junto com m escalares e regras de mumultiplicação apropriadas (tais como j k r r = × etc.) ou se usa apenas vetores polares ou axiais junto com escalares e pseudo-escalares com m regras de mumultiplicação convenientes (tais como , etc.). Qualquer que seja a escolha, será útil usar símbmbolos difeferentes para representar escalares, pseudo-escalares, vetores polares e vetores axiais. j k i r r (r × = 1

Suponha, por exempmplo, que escolhemos usar apenas vetores unitários axiais, isto é, , , . Neste caso, as compmponentes da velocidade devem m ser pseudo-escalares e as compmponentes do campmpo magnético B deve ser escalares para que a velocidade seja um vetor polar e o campmpo magnético x y z v , v , v ( ( ( x y B z , B , v r um m vetor axial. A foforça F pode ser calculada como r F = v × r r q . Esta força é a soma de termos vetoriais polares tais como ( B v B ) y z z y ( v - ( .

A notação tradicional de setas para representar os vetores polares e axiais dificulta que se perceba que a força e a velocidade são grandezas físicas com simetria polar enquanto que o campo magnético tem simetria axial. Esta tradição começou no final do século XIX com a invenção do sistema vetorial atual por Gibbs e Heaviside a partir do sistema de quaternions.

## 5. A invenção do cálculo vetorial a partir do sistema de quaternions

O desenvolvimento da teoria eletromagnética no século XIX trouxe consigo o conceito de campo, novas grandezas vetoriais relacionadas com o campo e também a necessidade de uma análise vetorial para lidar com tantas grandezas de uma forma mais prática 9 .

Na última década do século XIX houve um grande debate para saber qual seria o melhor formalismo matemático para representar as novas grandezas vetoriais no espaço tridimensional. De um lado estavam Peter G. Tait, Cargil Knott, e Alexander MacFarlane, que defendiam o uso da álgebra de quaternions como a melhor ferramenta para lidar com as novas grandezas vetoriais. De outro lado, estavam Willard Gibbs e Oliver r Heaviside que defendiam o uso da análise vetorial 10 . Ambos os grupos foram influenciados por James Clerk Maxwell que usou o cálculo de coordenadas e também o cálculo de quaternions em seu Treatise on Electricity and Magnetism publicado em 1873 11 . Maxwell teve um importante papel para o desenvolvimento do cálculo vetorial, tendo introduzido o uso do símbolo ∇, os nomes divergente e rotacional e também a interpretação atual dessas operações vetoriais. Um m dos aspectos mais importantes que torna este debate interessante é fato de que todos os debatedores eram importantes físicos importantes da época com interesses matemáticos 12 .

Quaternions 13 são entes matemáticos formados por quatro componentes inventados por Willian Hamilton em 1843 a partir de suas tentativas de generalização dos números complexos (z = a + bi). Um quaternion pode ser escrito como q = a + bi + cj cj + zk, onde i, j, k k obedecem às seguintes regras:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Um quaternion q = a + bi + cj cj + zk k contém uma parte escalar (a) e uma parte vetorial (bi + cj cj + zk)k). Um quaternion da forma q = bi + cj cj + zk k é chamado 'quaternion puro' e se parece com um vetor comum - mas esta é apenas uma similaridade superficial, como mostraremos a seguir.

Hamilton definiu operações aritméticas (soma, subtração, multiplicação e divisão) entre dois quaternions de modo que o resultado dessas operações também é um quaternion. A maioria das propriedades aritméticas ordinárias continuam válidas para o cálculo de quaternions, exceto a propriedade comutativa da multiplicação.

O produto quaterniônico, ou produto completo, entre dois quaternions puros α α = (ix+j+jy+kzkz) e β β β = (iu+j+jv+kwkw) é obtido usando as regras acima para multiplicação de i, j, k:

<!-- formula-not-decoded -->

Portanto, na teoria de quaternions, o produto completo entre dois quaternions puros é composto por duas partes. A parte escalar Sαβ β = - (xu +yv +zw) que possui sinal negativo e a parte vetorial Vαβ β = i(yw - zv) + j j(zu - xw) + k(k(xv - yu) que é um quaternion puro. Portanto,

<!-- formula-not-decoded -->

Os quaternions foram estudados e aplicados na física intensivamente durante a segunda metade do século XIX e começo do século XX. Atualmente são estudados pelos matemáticos como um exemplo interessante de álgebras não comutativas e raramente são usados pelos físicos - que preferem usar vetores ou tensores.

Os vetores (no espaço tridimensional) têm três componentes espaciais (X, Y, Z) e podem ser representados como V V = Xi + Yj Yj + Zk. É possível definir adição e subtração para vetores e há dois tipos de produtos, que são análogos às partes escalar e vetorial do produto quaterniônico. A operação de divisão não é definida para vetores.

Alguns autores atuais interpretam um quaternion puro como um vetor em R³. Jack Kuipers, por exemplo, define um quaternion como "a soma de um escalar e um vetor" 14 . Ele considera óbvia a identificação de vetor com um quaternion puro:

Como pode um m quaternion, que vive no R4 R4 , agir como um m vetor, que vive no R 3 ? Há uma resposta para esta questão que pode parecer óbvia para alguns: Um m vetor v∈R³ pode simpmplesmente ser tratado como se fosse um m quaternion q∈R 4 cuja parte real é zero 15 .

Claro que há uma correspondência entre o conjunto de vetores e o conjunto dos quaternions puros pois ambmbos são tripletos. No entanto, nem m todo tripleto pode ser considerado como vetor pois um m vetor é um m tripleto que tem propriedades específicas .

A notação usada para vetores e quaternions tambmbém m ajuda a aumentar a confusão. Em ambmbos o caso, se usa i , j j , k k e isso induz a uma identificação entre quaternions puros e vetores. No entanto no caso dos vetores i , j j , k k são vetores unitários nas três direções perpendiculares. No caso dos quaternions, i , j j , k k são unidades imaginárias (da mesma forma que i = -1 ).

Simon L. Altmann mostra, de um m ponto de vista moderno, o quanto é perigoso identificar diretamente um m quaternion puro com m um m vetor 16 . Um m quaternion puro e um m vetor não têm m as mesmas propriedades de simetria. O quaternion puro se compmporta com m respeito a transformações de coordenadas como um vetor axial, enquanto que um m vetor comumum m se compmporta como um vetor polar 17 .

Do ponto de vista histórico, a álgebra vetorial surgiu a partir da álgebra de quaternions. No entanto, entender como isso ocorreu já que ambmbas entidades têm m propriedades tão diferentes e por que elas são tão similares em m alguns aspectos é assunto para um m outro trabalho 18 .

Do ponto de vista educacional, o não esclarecimento das propriedades de simetria dos vetores, principalmente os gerados pelo produto vetorial, pode dificultar bastante o entendimento de alguns conceitos fisicos

## 6. Conclusão

A notação tradicional de setas para representar tanto vetores polares quanto axiais, dificulta mumuito a compmpreensão dos estudantes de que a força e a velocidade são grandezas físicas com simetria polar enquanto que o campmpo magnético tem simetria axial. Esta tradição começou no final do século XIX com m a invenção do sistema vetorial por Gibbs e Heaviside a partir do sistema de quaternions.

Uma análise das propriedades de simetria mostra que é errado identificar um quaternion puro como um vetor (polar) comum, como Gibbs e Heaviside fizeram quando desenvolveram sua álgebra vetorial e como alguns autores ainda fazem hoje em dia.

Gibbs e Heaviside, no final do século XIX, desenvolveram a álgebra vetorial contemporânea em R³ a partir do sistema de quaternions, embora tivessem negado qualquer influência dos quaternions sobre seu sistema. Eles interpretaram um quaternion puro como um vetor e introduziram novas definições para o produto entre dois. Um quaternion puro não é equivalente a um vetor polar no R³ pois dentro da teoria de quaternions, as unidades i, j, k são versores isto é, vetores axiais bem como o quaternion puro. Mas o vetor comum no espaço euclidiano é um vetor p polar .

Finalmente, a raiz do mal entendido entre quaternions puros e vetores comuns pode ser encontrada nos significados conflitantes atribuídos a i, j, k k por Hamilton e Tait e no uso do mesmo símbolo para representar o que chamamos atualmente de vetores polar e axial.

No início do século XX, alguns autores com Paul Langevin e Woldemar Voigt propuseram novos símbolos para representar os diferentes tipos de vetores. No entanto, eles não conseguiram fazer suas sugestões aceitas e incorporadas na notação usada pelos físicos e matemáticos.

O assunto discutido neste trabalho surgiu de um estudo histórico dos fundamentos da análise vetorial. Neste caso específico, o estudo histórico nos permite rever as raízes de dificuldades conceituais que permeiam o ensino do produto vetorial, permitindo com isso uma melhor compreensão destes conceituais pelos estudantes. No entanto, a solução para essas dificuldades não é puramente histórica: ele requer uma profunda discussão das propriedades de simetria dos dois tipos de vetores e o uso de uma nova notação.

## 7. Bibliografia

ALONSO, Marcelo &amp; , FINN, Edward J. P Physics. Wokingham : Addison-Wesley, 1992.

ALTMANN, Simon L. I Icons and symmetries. Oxford : Clarendon Press, 1992.

ALTMANN, Simon L. Rotations, quaternions, and double groups. Oxford: Clarendon Press, 1986.

CROWE J. M. A history of vector analysis: the evolution of the idea of a vectorial system . London: Universty of Notre Dame Press, 1967.

GIBBS, Josiah Willard. The scientific papers of J. Willard Gibbs, vol 2. New York: Dover, 1961

HALLIDAY, David, RESNICK Robert &amp; WALKER, Jearl. Fundamentals of physics . New York ; Chichester : Wiley,1997.

HAMILTON, William Rowan. Elements of quaternions. New York: Chelsea Publishing Company, 1969.

KUIPERS, Jack B. Quaternions and rotations sequences, a prime with applications to orbits, aerospace, and virtual reality. Princeton: Princeton University Press, 1999.

LANGEVIN, Paul. Notions Géométriques Fondamentales. Encyclopédie des sciences mathematiques, Vol V, Paris: Gauthier Villars, 1912.

MATTHEWS, M. R. Science Teaching - The role of History and Philosophy of Science. New York: Routledge, 1994.

MAXWELL, James. C. Treatise on Electricity and Magnetism, New York: Dover, 1954.

SILVA, Cibelle Celestino &amp; MARTINS, Roberto de A. Polar and axial vectors versus quaternions. A American Journal of Physics 70: 2002 (no prelo).

VOIGT, Woldemar. L Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig: Druck und Verlag, 1910.

WHITTAKER, E. T. A A History of the Theories of Aether and Alectricity. Humanities Press: New York, 1973, Vol. 1.