O PEIXE QUE SUMIU NO AQUÁRIO

## O PEIXE QUE SUMIU NO AQUÁRIO

Eric Barros Lopes , Carlos Eduardo Aguiar 1 2 , Antonio Carlos Fontes dos Santos 3 , Walter Silva Santos 4

1 Instituto Federal Fluminense e Universidade Federal do Rio de Janeiro, eb\_lopes@yahoo.com.br

2 Universidade Federal do Rio de Janeiro, carlos@if.ufrj.br

3 Universidade Federal do Rio de Janeiro, toni@if.ufrj.br

4 Colégio Pedro II, walter.s.santos@uol.com.br

## Resumo

Para certos ângulos de observação, um peixe num aquário esférico fica invisível se estiver suficientemente próximo à parede de vidro. Esse fenômeno, familiar aos possuidores de aquários, é geralmente atribuído à reflexão interna total da luz que vem do peixe. Nós mostramos neste trabalho que a ótica envolvida no desaparecimento do peixe é mais sutil e interessante, envolvendo a formação de um arco-íris. Demonstramos que a 'zona cega' de onde o peixe não pode ser visto é limitada, de um lado, pela reflexão interna total e, do outro, por um arco-íris. A presença do arco-íris diminui a região de onde não podemos ver o peixe, em relação ao que se esperaria se a reflexão interna total fosse o único mecanismo de ocultação. O desaparecimento do peixe no aquário é um bom exemplo de como o arcoíris, geralmente associado apenas ao fenômeno atmosférico que lhe dá o nome, pode ser encontrado em uma grande variedade de situações físicas.

Palavras-chave : óptica, arco-íris, reflexão interna total

## Introdução

Um peixe num aquário esférico nem sempre está visível. Se o peixe chegar perto do vidro do aquário ele desaparecerá para certos ângulos de observação. Esse efeito é bem conhecido, mas costuma ser mal explicado. Por exemplo, em artigo recente Zhu e Shi [Zhu 2009] atribuem o desaparecimento do peixe à reflexão interna total da luz. Entretanto, como veremos a seguir, o fenômeno envolve uma ótica bem mais rica: um arco-íris define uma das fronteiras da 'zona cega' de onde o peixe não pode ser visto.

## Reflexão interna total

Vamos considerar um aquário esférico de raio R , com o peixe a uma distância a de seu centro. A figura 1 mostra um raio luminoso que parte do peixe (o ponto vermelho à direita do centro) e é refratado para fora do aquário. O raio faz inicialmente um ângulo γ com a linha que vai do peixe ao centro do aquário, e atinge a parede de vidro com um ângulo de incidência . i

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20 a 25 de janeiro de 2013

Figura 1: Raio luminoso com origem no peixe.

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onde R a x / = é a distância do peixe ao centro em unidades do raio do aquário. Após a refração o raio deixa o aquário fazendo um ângulo r com a direção de incidência normal (figura 1). Usando a lei de Snell e a equação (1) obtemos

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onde n é o índice de refração da água em relação ao ar (desprezamos a espessura da parede de vidro).

O papel desempenhado pela reflexão interna total no desaparecimento do peixe pode ser entendido da seguinte maneira. Como sen 1, vemos da equação ≤ r (2) que os raios que conseguem sair do aquário devem partir com um ângulo γ tal que

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Se o peixe não estiver muito longe do centro do aquário - mais exatamente, se n R a / &lt; - então 1 e a equação (3) não coloca qualquer restrição sobre o &lt; nx ângulo γ . Nesse caso todos os raios luminosos que partem do peixe saem do aquário. Por outro lado, se n R a / &gt; (o peixe está perto da parede de vidro), 1 e &gt; nx a equação (3) define uma região angular

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na qual a reflexão interna total impede que os raios deixem o aquário. A largura dessa região é ) , um resultado que pode ser obtido da equação (3) 1 arccos( δ /nx = com um pouco de trigonometria.

É útil definir o 'ângulo de observação' Θ , entre o raio emergente e a linha que passa pelo peixe e o centro do aquário. Da figura 1 vemos que

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Caso Θ cresça monotonamente com γ , a região de reflexão interna total dada pela equação (4) deve ser mapeada no intervalo

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onde ) é o ângulo de incidência crítico, correspondente a um ângulo 1 ( arcsen /n i c = de refração de π /2.

Se a reflexão interna total for o único mecanismo responsável pelo desaparecimento do peixe, a região de onde ele não pode ser visto deve ser dada pelo intervalo definido na equação (6) [Zhu 2009]. Entretanto, como discutiremos a seguir, a zona cega é menor que esse intervalo, o que está relacionado ao surgimento de um arco-íris.

## Um arco-íris no aquário

Os raios luminosos que têm origem no peixe e saem do aquário estão mostrados na figura 2. O peixe é representado pelo ponto vermelho à direita do centro do aquário, e por clareza não desenhamos os raios no interior da água. A figura é uma implementação da lei de refração, equação (2), em um ambiente de geometria dinâmica [Tabulae] (detalhes sobre o uso da geometria dinâmica no ensino de ótica podem ser encontrados em [Aguiar 2009, Santos 2011]).

A zona cega de onde não se pode ver o peixe corresponde à lacuna larga entre os raios da figura 2. Podemos notar que, à direita da figura, a zona cega é limitada por raios que emergem do aquário tangenciando a superfície esférica. Isso indica que, desse lado, a reflexão interna total é responsável pelo desaparecimento do peixe, e o ângulo em que isso ocorre corresponde ao limite inferior da equação (6). A outra fronteira da zona cega é mais complicada. A observação cuidadosa da figura 2 mostra que essa fronteira não é formada por raios que deixam o aquário tangencialmente e, portanto, nesse caso a reflexão interna total não pode ser o mecanismo por trás do desaparecimento do peixe.

O que acontece nessa fronteira da zona cega é mais facilmente analisado com auxílio da figura 3, que mostra o gráfico do ângulo de observação Θ como função de γ (calculada juntando as equações (1), (2) e (5)). Três curvas são mostradas, correspondentes a três valores diferentes do parâmetro de distância x . Para x = 0,7 o peixe está sempre visível, pois nesse caso 1 (tomamos &lt; nx n = 1,33 para o índice de refração água-ar). Para valores maiores de x (0,7 e 0,8), 1 e as &gt; nx curvas apresentam uma descontinuidade, correspondente à zona de invisibilidade. O intervalo de ângulos γ subentendido pela descontinuidade é o dado pela equação (4). A lacuna no ângulo de observação Θ , entretanto, é menor que a definida na equação (6). Isso se deve ao comportamento não-monotônico apresentado pela função Θ γ ( ) próximo ao limite superior da interrupção. Vemos na figura 3 que à medida que γ aumenta para além da descontinuidade o ângulo de observação

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diminui, atingindo valores inferiores a δ π + -c i que seriam vedados pela equação (6). Só após passar por um mínimo local o ângulo Θ volta a crescer de maneira sistemática.

Figura 2: Raios luminosos com origem no peixe (o ponto vermelho à direita), ao deixarem o aquário. A figura é uma implementação da lei de refração, equação (2), em um ambiente de geometria dinâmica.

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Figura 3: O ângulo de observação Θ como função de γ , para três valores do parâmetro de distância: x = 0,7 (curva vermelha, embaixo), x = 0,8 (curva azul, centro) e x = 0,9 (curva preta, topo),

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Além de encurtar a zona cega, o mínimo da função Θ γ ( ) tem outras consequências. Um ponto extremo (máximo ou mínimo) em Θ γ ( ) sinaliza a existência de um arco-íris no ângulo de observação correspondente [Whitaker 1974, Walker 1976]. Isso significa que a zona cega termina em um arco-íris. O agrupamento dos raios de luz em torno do mínimo local faz com que término da zona de invisibilidade se dê de forma particularmente abrupta, com o surgimento

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repentino de uma faixa brilhante e bem definida (o arco-íris). Em contraposição, na outra fronteira da zona cega há apenas uma transição gradual de claro para escuro para, associada ao surgimento da reflexão interna total.

A existência desse arco-íris é confirmada na figura 4. Ela mostra a fotografia de um recipiente circular de vidro, contendo água, na qual está imersa uma pequena lâmpada (convenientemente isolada). A fotografia pode ser comparada à simulação da figura 2. As áreas iluminadas fora do recipiente são os pontos de onde se pode ver a lâmpada (ou o peixe) e as regiões mais escuras correspondem à zona cega. O arco-íris pode ser facilmente percebido na fronteira bem definida entre as zonas iluminada e escura. A segunda fronteira, bem mais difusa, está associada à reflexão interna total. Uma visão mais próxima do arco-íris está apresentada na figura 5, revelando a característica separação de cores causada pela dispersão da luz.

Figura 4: Luz de uma lâmpada (o 'peixe') colocada num recipiente de vidro cheio de água (o 'aquário'). A lâmpada não pode ser vista da área escura. A fronteira brilhante entre as áreas escura e iluminada é um arco-íris.

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Figura 5: Separação de cores no arco-íris gerada pela dispersão da luz.

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## Conclusão

Em resumo, dois efeitos óticos distintos são responsáveis pelo desaparecimento do peixe no aquário: a reflexão interna total e o arco-íris. As descrições do fenômeno encontradas na literatura fazem referência apenas à reflexão interna. Mas, como mostramos, essa é apenas parte da explicação - a compreensão correta do processo envolve o reconhecimento do papel desempenhado pelo arco-íris. Em particular, o arco-íris diminui a região de onde o peixe não pode ser visto, em relação ao previsto quando se considera apenas a reflexão interna total.

O arco-íris é geralmente associado apenas ao fenômeno atmosférico que lhe dá o nome. O desaparecimento do peixe no aquário é um bom exemplo de que o arco-íris pode ser encontrado em uma grande variedade de situações físicas.

## Referências

AGUIAR, C.E. Óptica e geometria dinâmica. Revista Brasileira de Ensino de Física , v. 31, art. 3302, 2009.

SANTOS, W.S.; SANTOS, A.C.F.; AGUIAR, C.E. Refração negativa: um estudo com geometria dinâmica. Anais do XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física , Manaus, 2011.

TABULAE. Programa de geometria dinâmica, disponível em http://tabulae.net

WALKER, J.D. Multiple rainbows from single drops of water and other liquids. American Journal of Physics , v. 44, p. 421-433, 1976.

WHITAKER, R.J. Physics of the rainbow. The Physics Teacher , v. 12, p. 283-286, 1974.

ZHU, Y.; SHI, F. Why does the goldfish disappear in the fishbowl? The Physics Teacher , v. 47, p. 424-426, 2009.

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