QUEDA DE UMA PARTÍCULA SOBRE UMA SUPERFÍCIE OSCILANTE: DA INTEGRABILIDADE AO CAOS

## QUEDA DE UMA PARTÍCULA SOBRE UMA SUPERFÍCIE OSCILANTE: DA INTEGRABILIDADE AO CAOS

## Francisco das Chagas Nóbrega Junior 1 , Julio Santiago Espinoza Ortiz , Ana 2 Rita Pereira 3

## Resumo

Estudamos o vôo de uma partícula de massa unitária sobre uma superfície que pode oscilar com uma determinada frequência e amplitude constantes, sujeita à ação do campo gravitacional. São analisados diferentes tipos de colisões da partícula com a superfície oscilante, para isso são considerados coeficiente de restituição de diferentes valores a fim de determinar o tipo de colisão: sendo igual ou diferente de um para colisões do tipo elásticas ou inelásticas. O objetivo deste experimento numérico, que pode ser colocado em prática e analisado utilizando simples programas computacionais de livre acesso com ferramentas úteis e fácil sintaxe computacional (como são o Modellus e o SuperLogo) consiste em mostrar ao estudante de uma forma prática e amena o conceito físico de caos na mecânica clássica. Assim, são obtidos diferentes regimes de movimento clássico desde o integrável ao caótico, variando simplesmente a razão da frequência de oscilação da superfície em relação à velocidade inicial da partícula que movimenta-se em direção à superfície que oscila. Um mapa de evolução dinâmica da partícula sujeita a sucessivas colisões é obtido e utilizado para classificar o tipo de movimento.

Palavras-chave : Colisão elástica e inelástica, Integrabilidade, Caos.

## Introdução

A mecânica clássica tem sido objeto de especial atenção a respeito do estudo do comportamento dos sistemas dinâmicos ao longo do tempo [1]. Historicamente, a primeira noção sobre caos apareceu ao final do século XIX quando o problema da estabilidade do sistema solar era um importante foco de interesse científico. O problema teria sido proposto da seguinte maneira [2]:

Para um sistema qualquer de massas pontuais que se atraem umas às outras de acordo com as leis de Newton, na hipótese que os pontos não colidem, encontre as coordenadas dos pontos individuais para todo instante de tempo como sendo a soma de uma série uniformemente convergente cujos termos sejam representados por funções conhecidas.

- O resultado da análise deste problema desenvolvido por Henri Poincaré foi conhecido através do seu famoso comentário [3]:

Pode acontecer que pequenas mudanças nas condições iniciais produzam grandes diferenças para o resultado final do fenômeno em questão. Um pequeno erro no primeiro produz um erro enorme no último. Predições se fazem impossíveis e nós temos um fenômeno fortuito.

- O termo caos é utilizado para se referir a esta imprevisibilidade marcada pela instabilidade dinâmica do sistema, que é uma das características centrais do caos. Na verdade a dinâmica do sistema pode em geral mostrar situações bem variadas. Umas vezes este pode ser considerado imprevisível no sentido que pequenas mudanças nas condições inicias resultam em movimentos radicalmente diferentes, onde trajetórias com condições inicias muito próximas se afastam

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rapidamente. Outras vezes a dinâmica pode ser previsível no sentido que pequenas variações nas condições iniciais podem acarretar numa pequena diferença da dinâmica do sistema em relação ao movimento inicial. Pode inclusive existir uma situação intermediaria entre estas duas situações extremas. O problema apresentado neste trabalho demonstra de maneira geral a existência de uma hierarquia deste tipo de movimento a medida que o caos aumenta [4].

## O Problema

Trata-se de uma partícula de massa unitária movimentando-se apenas na direção vertical, sujeita à aceleração gravitacional, podendo colidir sucessivas vezes com uma superfície horizontal. Para esta última são consideradas várias situações envolvendo diferentes tipos de colisões. Como será mostrado a seguir, o resultado é um inesperado comportamento dinâmico da partícula.

Note-se que para a situação mais simples a partícula pode colidir elasticamente com a superfície em repouso. Precisamente sobre a superfície, a velocidade da partícula permanece constante mesmo após sucessivas colisões. Além de mais a energia mecânica permanece constante, isso implica que a altura máxima que esta alcança após colidir também permanece constante. Nesta situação estamos frente a um sistema integrável. O caso inelástico a pesar de mudar o módulo da velocidade da partícula após repetidas colisões com a superfícieaumentando ou diminuindo o módulo da velocidade- ainda é integrável, pois pequenas variações das condições iniciais (por exemplo da velocidade inicial) refletirá em pequenas variações das variáveis dinâmicas da partícula. Como iremos estudar a seguir, o caso mais geral consiste em considerar que a superfície pode oscilar com certa amplitude e frequência constante, mas antes de analisarmos este caso mostraremos como este simples problema atraiu a atenção da comunidade científica na procura por um mecanismo de aceleração estocástico de partículas.

## Breve Histórico do Problema

O mecanismo de aceleração estocástico de partículas foi sugerido por Fermi [5] para explicar a origem das partículas rápidas na radiação cósmica. Segundo este mecanismo partículas carregadas colidindo com nuvens movendo-se aleatoriamente no espaço interestelar devem em média acelerar. Se uma nuvem é considerada uma partícula gigante de grande massa, a causa da aceleração das partículas pode ser construída da seguinte maneira: em colisões individuais uma partícula ganha ou perde energia dependendo de se a nuvem se move na direção ou afastando-se dela. Se a velocidade dos corpos com os quais a partícula colide está aleatoriamente distribuída podemos pensar que o número de partículas deslocando numa determinada direção é aproximadamente a mesma daquelas se deslocando na direção oposta. Isto significa que o número de colisões com os corpos deslocando em direção à partícula será bem grande em número, porque tais encontros são mais frequentes. Daí que a partícula mais frequentemente ganhará energia ao em vez de perdê-la e isto produziria uma aceleração efetiva, chamada de aceleração de Fermi.

Entretanto, em condições reais a dinâmica das nuvens macroscopicamente grandes pode ser puramente regular e a pergunta que surgiu é de se a aceleração de Fermi pode aparecer sem a prévia suposição das nuvens com velocidades

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aleatórias. Em conexão com este problema Ullam [6] sugeriu o simples modelo de uma partícula se movimentando entre duas paredes horizontais, sendo que uma das paredes está em repouso enquanto a outra pode oscilar periodicamente.

Na mesma direção deste último problema, Zaslavsky propôs a idéia de um motor gravitacional [7] onde um campo gravitacional variável, por exemplo o campo de uma estrela binária, pode ser utilizado para acelerar seja uma nave espacial ou um determinado corpo. Se ignorarmos os detalhes relativos ao tempo requerido para tal aceleração, a pergunta é se a partícula pode acumular energia suficiente como para alcançar altitudes cada vez maiores em sucessivas colisões com a superfície.

## Análise do Problema

Na figura mostramos a trajetória oscilante da partícula sujeita a ação da aceleração gravitacional em função do parâmetro tempo, este último discretizado de forma a fornecer informação precisa da ocorrência de cada colisão. Focados no instante de tempo (ti, ti+1) , após a i-ésima colisão da partícula é possível escrevermos as seguintes equações dinâmicas para o deslocamento e a velocidade; respectivamente:

Figura 01: Uma partícula colidindo com uma superfície oscilante. Os tempos discretos referem ao instante da i-ésima colisão onde também são mostradas as velocidades Ui antes e Vi depois da mesma.

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Ainda é preciso considerar o movimento da superfície que oscila harmonicamente com uma frequência ( w ) e amplitude de oscilação ( A ) pré-estabelecidas. Sendo que no instante ti a posição vertical da superfície S(ti)=Axsin(wxti) será igual à posição vertical da partícula yi , isto nos permite reescrever a primeira equação:

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É preciso ainda relacionar as variáveis Ui+1 e Vi+1 , isso porque estamos interessados em construir um mapa de evolução dinâmica da partícula, que relaciona as variáveis Vi e ti . Para isso contamos com mais uma relação que estabelece o tipo da colisão mecânica, esta refere ao coeficiente de restituição e :

onde a derivada da função Ś (ti) no instante ti é igual a wxAxcos(wxti) . É vantajoso agora fazermos uma mudança de variáveis, realizada de forma que as novas variáveis tornem-se adimensionais:

Assim, o novo conjunto de equações escreve-se da seguinte forma:

Reinterpretando as três últimas equações a cima, τ i e v i são condições iniciais: A relação (9) fornece a variação ∆τ i+1, esta equação é não linear e pode ser resolvida usando o método da bisseção. Uma vez encontrado ∆τ i+1 passar-se a encontrar τ i+1 e vi+1 a partir das relações (8) e (10), respectivamente. Este conjunto não linear de equações é denominada de mapa dinâmico, que descreve a evolução da partícula na vizinhança do ponto de equilíbrio da superfície oscilante (y=0) . Iterando estas equações de forma sucessiva são encontrados o conjunto de pontos discretos ( τ i+1, τ i); pré-conhecidos os i-ésimos pontos anteriores.

## Resultados

Nossa investigação considera os diferentes tipos de colisões possíveis, como é o caso de uma colisão elástica quando e=1 , assim como os casos de colisões inelásticas onde: para o caso endotérmico e&lt;1 e o caso exotérmico e&gt;1 . Em todos esses casos, com fins comparativos, são considerados os seguintes parâmetros: v 1 = 1,75 ; enquanto que a variável a pode tomar três valores diferentes: a= 0,200 ;a= 0,285 ;a= 0,500 ; respectivamente. Note que mudar a variável a implica em mudar a frequência de oscilação da superfície o que segue da equação (7).

Em adiante para os diferentes casos a cima especificados, nas figuras à esquerda são representadas em linha-continua-preta a evolução da partícula e em linha-contínua-vermelha a evolução da superfície oscilante em função de τ i. Já nas figuras à direita são representados os diferentes valores da velocidade da partícula na vizinhança do ponto de equilíbrio da superfície (y=0) . Esta última é chamada de

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seção de Poincaré, onde são considerados em torno de (15.000) quinze mil iterações ou sucessivas colisões.

## O caso elástico, e=1:

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Figura 02: A trajetória da partícula e da superfície oscilante como função da variável τ . À direita a curva regular fechada representa os diferentes valores da velocidade da partícula na vizinhança de y=0 . Este é um caso integrável onde a= 0,200 .

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Figura 03: A integrabilidade começa a ser quebrada para a= 0,285 , a figura à direita perdeu regularidade. Pontos discretos aparecem na vizinhança da curva fechada (a cima). A evolução da trajetória da partícula e da superfície oscilante estão representadas na figura à esquerda.

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## O caso endotérmico, e&lt;1:

Figura 04: O caos toma conta da seção de Poincaré quando a= 0,500 , a figura à direita perdeu totalmente a sua regularidade. A evolução da trajetória da partícula e da superfície oscilante estão representadas na figura à esquerda.

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Figura 05: À esquerda a trajetória da partícula e da superfície oscilante em função de τ . À direita são representados diferentes valores da velocidade da partícula na vizinhança de y= 0 . Há uma certa acumulação de pontos discretos na vizinhança da amplitude máxima de oscilação da superfície. Este caso é não integrável onde a= 0,200 .

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Figura 06: As trajetórias da partícula e da superfície oscilante a esquerda. À direita temos a evolução da velocidade da partícula na vizinhança de y=0, quando a= 0,285 . Certa regularidade aparece no extremo direito da figura, mas uma pequena região caótica ainda se manifesta afastado dela.

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Figura 07: As trajetórias da partícula e da superfície oscilante à esquerda. À direita temos a evolução da velocidade da partícula na vizinhança de y=0, quando a= 0,500 . Há uma mistura de regularidade local no extremos direito da figura, mas globalmente manifesta-se ainda certa irregularidade.

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## O caso exotérmico,e&gt;1:

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Figura 08: Uma quase completa aleatoriedade global toma conta da seção de Poincaré na Figura à direita quando a= 0,200 , enquanto a velocidade da partícula aumenta incrivelmente.

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Figura 09: Uma irregularidade global quase que total quando a= 0,285 , enquanto a velocidade da partícula aumenta ainda mais em relação ao caso a cima.

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Figura 10: Uma total aleatoriedade toma conta da seção de Poincaré quando a= 0,500 , enquanto a velocidade da partícula continua aumentando incrivelmente

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## Considerações Finais

A implementação deste experimento tem como propósito didático estudar e observar fenômenos físicos em tempo real, os mesmos que se manifestam apenas nos sistemas dinâmicos de caráter não linear. Estudos estes que são realizados através da utilização de métodos estândar para a análise do caos. Pretende-se mostrar de forma sistemática e simples que os processos caóticos são diferentes dos processos periódicos assim como dos processos aleatórios.

O sistema estudado é um sistema mecânico que consiste de uma partícula que bate e rebate repetidas vezes sobre uma superfície que oscila que (diferentemente do caso usual no qual considera-se que a superfície seja estacionária) demonstra ter um comportamento dinâmico que vai da integrabilidade ao caos dependendo da escolha dos parâmetros apropriados. Comportamento este aqui demonstrado utilizando de simples cálculos iterativos numéricos. Frente a esta diversidade de um complexo comportamento dinâmico podemos afirmar que o caos é caraterizado por um comportamento que parece ser aleatório. Em contrapartida sistemas caóticos não são aleatórios, más são determinísticos, isto é seu comportamento futuro pode ser totalmente determinado a partir das condições iniciais. Certamente sistemas caóticos são determinísticos e para estes sistemas suas órbitas são instáveis na medida que outras órbitas inicialmente na sua vizinhança irão se afastar das mesmas exponencialmente no tempo.

É certamente notório que o sistema aqui apresentado demonstra um claro comportamento dinâmico diferenciado daqueles apresentados nos livros introdutórios de física. Entretanto, devido à complexidade do comportamento físico do sistema e os conceitos físicos nele envolvidos, pretende-se que o experimento aqui descrito seja também utilizado por estudantes de física e áreas afins numa forma totalmente ativa. Para isso estamos trabalhando na implementação de um material de ambiente experimental completo onde o experimento seja realizado pelo próprio usuário, quem irá participar ativamente observando e analisando o movimento a partir de diferentes valores para os parâmetros como a amplitude de

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vibração da superfície, coeficiente de restituição bola-superfície, queda da bola sobre a superfície.

## Análise dos dados experimentais

Existem vários métodos utilizados para analisar sistemas caóticos. Dentre eles, aqui são utilizados a análise do sistema no espaço dos parâmetros e a análise do sistema no espaço de fase, este último também chamado de Seção de Poincaré. Não descartando a utilização de métodos mais complexos como a de Poder espectral e de Correlação dimensional (medida fractal), que também podem ser introduzidos de forma simples.

N o espaço dos parâmetros, o nosso sistema apresenta três a seguir: 1) A frequência da superfície oscilante, 2) A amplitude de oscilação e 3) O coeficiente de restituição da superfície. Mapeando o comportamento do sistema para diferentes valores podemos construir um mapa paramétrico. Um mapa paramétrico permite-nos identificar regiões de comportamento periódico inclusive o caótico.

Um retrato de fase não é mais do que uma simples representação da trajetória dos sistema no espaço de fase. O espaço de fase é descrito pelas variáveis posição e velocidade. Note-se aqui que uma mera representação da trajetória da partícula, ou seja posição versus tempo, não permite fazer uma distinção da natureza dinâmica do sistema, impossibilitando afirmarmos se esta é integrável ou caótica.

Enfatizamos que a descrição dos experimentos uma vez implementados deverá conter também alguns comentários gerais que irão permitir que o aluno possa ter uma visão inicial pelo menos intuitiva sobre a física do sistema estudado. Esperando que uma vez entrado no campo dos fenômeno físicos não lineares o estudante encontre seu próprio caminho para adentrar nos seus próprios espaços de interesse relativos a área aqui introduzida e porque não da física em geral.

## Conclusões

Os resultados mostram a quebra da regularidade da seção de Poincaré para diferentes tipos de colisões entre uma partícula e uma superfície oscilante. O caso e ≥ 1 demonstra uma tendência mais caótica produzindo um aumento considerável no módulo da velocidade da partícula. Enquanto que o caso e&lt; 1 demonstra um menor grau de caos, isso por causa da diminuição da velocidade da partícula após cada colisão que tenta conduzir esta a certa regularidade.

Estamos trabalhando na direção de medir o grau do caos neste sistema, isso através do cálculo do expoente de Lyapunov [1]. Em paralelo estamos trabalhando na implementação experimental deste sistema, onde a superfície oscilante consiste de um falante emitindo som numa certa frequência e a partícula de uma bola elástica. O experimento será analisado utilizando os programas Modellus [8] e Super-Logo [9], programas estes que nos permitem importar vídeos e realizar análises do movimento em tempo real.

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## Referências

- [1] A.J. Lichtemberg and M.A. Lieberman, Regular and Stochastic Motion, New York Springer (1983).
- [2] J. Moser, Math. Intell 1 , 65 (1978).
- [3] I. Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System, W.H. Freeman New York (1993).
- [4] A.M. Ozorio de Almeida, Sistemas Hamiltonianos : Caos e Quantização (1990) Editora da Unicamp.

[5] E. Fermi, Phys. Rev. 75 , 1169 (1949).

- [6] S. Ullam, Proc. 4 th . Berkeley Symposium on Mathematics and Probability 3 , 315 (1961).
- [7] G. M. Zaslavsky, Phys. Rep. 80 , 157 (1981).
- [8] V. Duarte Teodoro, Modellus 2.01,Universidade de Lisboa(Portugal, 2000).
- [9] B. Harvey, Computer Science Logo Style (MIT PRESS, 1977).

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