Aprendizagem versus memorização: como não se privilegia uma aprendiz significativa

Antonieta Teixeira de Almeida; Marta Feijó Barroso; Eliane B.M. Falcão

Aprendizagem versus memorização: como não se privilegia uma aprendiz significativa

Antonieta Teixeira de Almeida, Marta Feijó Barroso, Eliane B.M. Falcão

Evento: Encontro de Pesquisa em Ensino de Física ↗ (EPEF)
Edição: XVIII
Ano: 2002
Data: 05/06/2002
Linha de pesquisa: Ensino Aprendizagem
Tipo: Comunicação

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## APRENDIZAGEM VERSUS MEMORIZAÇÃO: COMO NÃO SE PRIVILEGIA UMA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA ♦

Maria Antonieta Teixeira de Almeida a [antoniet@if.ufrj.br] Marta Feijó Barroso a [marta@if.ufrj.br] Eliane B.M. Falcão b [elianeb@nutes.ufrj.br]

a Instituto de Física - UFRJ

b NUTES - Núcleo de Tecnologia Educacional para a Saúde - UFRJ

## Resumo

Um m grande número de alunos, no ensino de Física de nível superior, utiliza o recurso da memorização da solução de problemas como técnica de aprendizagem. A pesquisa das causas deste compmportamento foi feita para um caso específico, o da aprendizagem m da lei de conservação do momento linear para um m sistema de partículas. Foram m analisados a estrutura do conteúdo, os exempmplos e os exercícios apresentadas para este tópico nos livros didáticos geralmente adotados nas disciplinas introdutórias de Física. Verificou-se que faltam m na estrutura deste material didático conexões cognitivas necessárias para que ele faça sentido para o aprendiz, indicando que o compmportamento de busca de memorização parece favorecido, e mesmo promovido, nestes textos, não favorecendo uma aprendizagem m significativa.

## 1. INTRODUÇÃO

A teoria cognitiva da aprendizagem m proposta p por Ausubel et al. [1] ressalta a dimensão organizadora das informações no cérebro humano. Segundo esta teoria, a aprendizagem m se daria à medida que novas informações, ou conteúdos, encontrassem m seu lugar conectando-se a uma organização cognitiva previamente estabelecida. A conexão ocorreria quando o aprendiz percebesse um significado nos novos conteúdos. Este significado seria assim m o relacionamento, feito pelo estudante, de novas informações com m aquelas que ele já conhece. O aluno, como ressalta Novak [2], precisa estar consciente desta necessidade, precisa deliberadamente buscar significado no seu processo de aprendizagem. Mas o estudante não está sozinho neste processo, está com m professores, colegas e livros. No mínimo, livros! E a qualidade do material que veicula a informação é fufundamental para a busca de significado [2]. Esta qualidade é dada pela organização interna do material a ser aprendido: este material precisa fazer sentido, precisa de significado próprio. Um m texto com m idéias desarticuladas, seja por redação confusa, seja por omissão de elementos informativos, não seria apropriado como recurso de aprendizagem. Em m resumo, não favoreceria o trabalho intelectual do aluno de produzir sentido, de relacionar tal conteúdo com m seu repertório pessoal, isto é, de aprender, de reorganizar sua estrutura cognitiva.

Nessa concepção de organização, encontra-se o pressuposto da hierarquização: informações mais compmplexas requerem , para se estruturar, a aprendizagem m de outras mais simpmples. Para que o estudante aprenda, ele precisa, antes de mais nada, estar diante de um conteúdo potencialmente dotado de sentido, isto é, seus diversos elementos devem m estar relacionados de forma clara, estando então disponível para que ele próprio, o estudante, possa

realizar o seu trabalho de aprender. A ausência de determinados conhecimentos poderia inviabilizar a aquisição de outros.

Este modelo teórico de aprendizagem m permite a análise de um m fenômeno bastante freqüente nas salas de aula de Física: a insistência dos alunos em m memorizar problemas relacionados a alguns tópicos e conceitos, estabelecendo assim m um m hábito de estudo que, longe de promover a aprendizagem, induz a erros. De acordo com m Ausubel [1], poderíamos dizer que tal hábito de memorização estaria se dando por dificuldade dos alunos em m conectar o que estaria sendo ensinado com m a bagagem m intelectual prévia, ou que o material de ensino a eles de ensino apresentado não seria dotado intrinsecamente de sentido. Os alunos, pela insistência em m memorizar, estariam m expressando uma estagnação no processo de aprendizagem, ou por decisão pessoal (falta de interesse), ou por lhes faltarem m elementos cognitivos necessários. A hipótese deste trabalho é que esta memorização tem m como uma das causas a qualidade deficiente do material didático oferecido aos estudantes. Os livros apresentam-se deficitários na exposição dos conteúdos, sobretudo omitindo elementos informativos que compmpõem m teorias, conceitos e exempmplificações. O resultado seria uma falta de sentido experimentada pelos alunos: novas informações estariam m sendo oferecidas sem condições potenciais de serem m aprendidas.

À luz deste referencial, analisaremos um m caso típico que ocorre com m as tentativas de ensino da lei de conservação do momento linear para um m sistema de partículas. Trata-se de um m tópico do curso introdutório de Mecânica, em m geral ensinado no primeiro ano dos cursos universitários das áreas de ciências exatas e tecnológicas. O que usualmente se observa, como resultado destas tentativas, é um m leque de erros manifestados por grande parte dos alunos nas suas buscas de solucionar problemas, relacionados ao tópico, a eles proposto. No entanto, é possível dentro deste leque de erros caracterizar-se um m padrão, isto é, encontrar alguns dos caminhos intelectuais percorridos pelos alunos, caminhos estes que se repetem , ou que são os mais freqüentes. Este padrão tem m como característica principal a dificuldade de identificar e de justificar as situações em que ocorre a conservação, exata ou aproximada, do momento linear de um m sistema de partículas.

Os livros disponíveis e utilizados nas disciplinas de Física no terceiro grau formam m um conjunto pequeno, usado praticamente em m toda a pararte. Os mecanismos usuais de avaliação de aprendizagem m envolvem m provas, em m sua maioria baseadas em m problemas a serem m resolvidos. Analisamos a estrutura de abordagem m do tópico de conservação do momento linear para um sistema de partículas em m alguns livros deste conjunto [3]. A estrutura é comumum m aos textos avaliados, sendo apresentada na seqüência

## i. enunciado das leis

- ii. exempmplos que ilustram m as aplicações destas leis

As leis são demonstradas ou mencionadas, e a seguir aplicadas a exempmplos. De forma geral, os exempmplos são organizados de acordo com m o grau de dificuldade, com m os mais simpmples apresentados no início. Na discussão de momento linear para um m sistema de partículas, inicialmente são apresentados exempmplos em m que há conservação de momento linear. A seguir são analisadas as situações onde existe uma conservação apenas aproximada, como nas colisões.

- O levantamento realizado nestes livros mostra dois argumentos como justifificativas para a aplicação da conservação aproximada a do momento linear em m colisões onde a força resultante externa não é nula:
- 1. As colisões ocorrem em tempos muito curtos.
- 2. As forças internas em uma colisão são muito mais intensas do que as forças externas. Por isso, o impulso devido à força resultante externa que atua no sistema é desprezível.

São citados como exempmplos de forças externas desprezíveis em m uma colisão a força de atrito e a força peso. Essa afirmativa é corroborada pela compmparação dessas forças com m a estimativa do valor médio da força interna em m colisões.

Os argumentos anteriores porém m constituem-se basicamente numa modelagem m dos problemas considerados. As hipóteses básicas que permitem m a utilização das leis de conservação não são compmpletamente verificadas ou discutidas, fazendo com m que o material apresentado não se conecte de forma lógica à discussão da lei de conservação. Os mesmos argumentos são válidos em m outras situações nas quais a lei de conservação não é válida. Portanto, do ponto de vista de aprendizagem, não fazem m sentido, não satisfazendo às condições para o aprendizado significativo; mais do que isso, induzem m a erro os estudantes.

O artigo foi organizado da seguinte forma: na a Seção 2 fazemos a discussão da lei para a conservação de momento linear aproximada. Na Seção 3, os exempmplos mais comumuns, do pêndulo balístico e a colisão de uma bala com m uma barra rígida, são discutidos. Na Seção 4 indicamos sugestões de elaboração do material didático para este tópico com m base na avaliação anterior. Na Seção 5, apresentamos as conclusões, e nos Apêndices apresentamos material com m cálculos ou justificativas para os exempmplos apresentados utilizando conceitos mais apropriados, como o de conservação de momento angular.

## 2. A CONSERVAÇÃO APROXIMADA DO MOMENTO LINEAR

A variação no momento linear de um m sistema de partículas é igual ao impmpulso das forças externas:

onde I F e dt , e é a força resultante externa sobre o sistema. res ext = ∫ F ext r r res Fe Fext r

Esta lei é (neste nível de ensino) demonstrada como uma conseqüência das leis da m ecânica para uma partícula. Para a sua apresentação, é crucial a compmpreensão do que são as interações internas ao sistema e as interações externas ao sistema. A lei de conservação do momento linear para o sistema de partículas diz que "sempmpre que o sistema for isolado, ou quando a resultante das forças externas agindo sobre ele for nula, o momento linear total do sistema é conservado."

Um m conceito que tambmbém m já pode ser introduzido nesta fase, sem m dificuldades, é o de força média. A força média associada a uma força que atua durante um m intervalo de tempmpo ∆t é

Da definição de impmpulso de uma força, pode-se fazer a relação entre o impmpulso e a força média num m dado intervalo de tempmpo: o impmpulso associado à força r está relacionado com m a força média e com m o intervalo de tempmpo em m que ela atua através da expressão: F

Se o impmpulso da força resultante externa ( F r t ext ext F res ∆ r r I = ) for nulo, o momento linear do sistema se conserva. Se existir força resultante externa, não há conservação momento linear.

Se o impmpulso da força resultante externa for desprezível compmparado ao momento linear inicial, dizemos que existe um conservação aproximada a de momento linear para o sistema. Em m termos matemáticos, isto é escrito como

A argumentação apresentada nos livros citados [3] faz a compmparação entre o impmpulso das forças internas ao sistema e o impmpulso das forças externas a ele. No entanto, não é cabível esta compmparação. Considerando um m sistema constituído de duas partículas (1 e 2), podemos escrever para a variação do momento linear de cada uma dessas partículas

A variação do momento linear total do sistema constituído por 1 e 2 é a soma das variações dos momentos lineares das d u as partículas d u ,

uma vez que as variações no momentos internos, isto é, as variações devidas às interações internas ao sistema, se cancelam .

As equações (5) mostram m que, quando se trata de analisar a variação do momento linear de uma das partículas que compmpõem m o sistema, devemos compmparar o impmpulso interno com m o externo. Todavia, quando se trata da análise da variação do momento linear do sistema de partículas, interessa apenas o impmpulso externo. Assim , não cabe a compmparação entre impmpulso externo e impmpulso interno nesta análise; para alterar o momento linear total do sistema de partículas, temos que provocar impmpulsos externos ao sistema considerado.

Para a análise da variação do momento linear, devemos compmparar o impmpulso externo resultante com m o momento linear inicial do sistema -como na equação (4)- e verificar se essa variação está dentro da barra de erro ou incerteza experimental das medidas que podem ser realizadas para o sistema modelado. É essa análise compmparativa que fornece a base teórica para a verificação da validade aproximada da conservação momento linear do sistema.

## 3. OS EXEMPLOS APRESENTADOS

Um m dos primeiros exempmplos ou exercícios apresentado nos textos considerados, logo após a apresentação da lei de conservação do momento linear e de alguns exempmplos de conservação exata, é chamado problema do pêndulo balístico. O problema corresponde a determinar a velocidade de uma bala (de arma de fogo) através da medida da altura a que se eleva um m bloco pendurado por um m fio a um m ponto fixo, quando a bala penetra e fica dentro do bloco. Alguns dos livros o apresentam m como um m exempmplo resolvido, outros como um exercício a resolver.

Quando há a solução deste problema, é suposto a priori que há conservação (aproximada) do momento linear. Levam-se em consideração os argumentos citados na seção anterior,

- 1. As colisões ocorrem em tempos muito curtos.
- 2. As forças internas em uma colisão são muito mais intensas do que as forças externas. Por isso, o impulso devido à força resultante externa que atua no sistema é desprezível.

Vamos analisar o problema do pêndulo balístico, e um m problema bastante semelhante, em m que em m vez de atingir um m bloco rígido (que pode ser tratado como uma partícula) preso ao

teto por um m fio, a bala atinge uma barra rígida. Nas duas soluções, partiremos da equação (4) como a condição básica a ser satisfeita para garantir a possibilidade de uso da conservação aproximada do momento linear do sistema. Para o problema com m a barra, não será possível demostrar a equação (4) - e a conservação aproximada do momento linear não pode ser utilizada. No Apêndice 1 o problema do pêndulo balístico e da barra serão resolvidos utilizando-se a conservação do momento angular. Esta resolução confirma que há conservação aproximada do momento linear para a o pêndulo balístico e não há conservação de momento linear, sequer de forma aproximada, para o sistema com m a barra.

## 3.1 O PÊPÊNDULO BABALÍSTITICICO - O PROBLEMA

Um m pêndulo balístico, como o mostrado na Figura 1, é um m dispositivo que foi projetado e utilizado para medir as velocidades de projéteis antes do desenvolvimento de dispositivos eletrônicos de medição. Esse pêndulo consiste de um m grande bloco de madeira de massa M, M, pendurado por fios longos. Uma bala de massa m é disparada para dentro do bloco, parando rapidamente. Então, o sistema bloco+bala desloca-se para cima, seu centro de massa elevando-se uma distância vertical h antes que o pêndulo pare momentaneamente ao final do seu arco. Os dados que usaremos, típicos do problema, são M M = 5,4 kg, m = 9,5 g e h=6,3 cm .

Figura 1

O que se deseja determinar é a velocidade (com m módulo v 1i v r 1i ) da bala, imediatamente antes da colisão com m o bloco.

## 3.2 O PÊPÊNDULO BABALÍSTITICICO - A A SOLUÇUÇÃO

A discussão desse problema começa com m a análise da variação do momento linear entre o instante imediatamente anterior àquele em m que a bala atinge o bloco, e o instante em que ela pára em m relação ao bloco. Existem , nos livros analisados, duas versões para a solução. A primeira versão para a solução argumenta que:

r

Imediatamente após a colisão, o sistema bala+bloco têm m velocidade v (de módulo v f f) f). Aplicando a conservação do momento linear à colisão temos = . Portanto o módulo da velocidade final, v 1i f mv m M v r r ( + ) f, f, vale

A segunda versão para a solução argumenta que:

A colisão da bala com m o bloco dura um m tempmpo tão curto que o pêndulo não se eleva apreciavelmente neste intervalo. Podemos tratar a colisão então como um m processo unidimensional. A conservação do momento linear r na direção da velocidade inicial nos dá , e portanto o módulo da velocidade do sistema imediatamente após a colisão é 1i f mv = (m + M )v

As equações obtidas com m os dois argumentos, (7a) e (7b), são idênticas. A partir dessa etapa, a resolução é a mesma em m todos os textos.

Como o bloco e a bala permanecem m unidos após o choque, a colisão é totalmente inelástica, e não há conservação de energia cinética no processo. Após a colisão, no entanto, a energia mecânica é conservada porque nenhuma das forças (peso e trações) atuando sobre o sistema tem m capacidade para dissipá-la. Conseqüentemente, a energia cinética do sistema no instante em m que o bloco está no ponto mais baixo de seu arco (logo ao fim m da colisão) deve ser igual à energia potencial do sistema quando ele está no ponto mais alto de sua trajetória:

A eliminação de entre as equações (7) e (8) fornece a r relação procurada entre a velocidade do projétil e a altura atingida pelo pêndulo: f v

Com m os dados citados, os valores numéricos de e v1i são f v

## 3.3 O PÊPÊNDULO BABALÍSTITICICO - A ANÁLISE DAS SOLUÇUÇÕES

A hipótese que o momento linear do sistema se conserve durante o período em m que a bala penetra o bloco ou não é justificada (na primeira versão de solução) ou tem m uma justificativa incompmpleta (na segunda versão).

A utilização da conservação do momento linear exige uma argumentação além m da usada na segunda versão: é necessário compmpletar a justificativa aplicando a lei expressa pela equação (1). Iniciemos a nossa argumentação isolando o sistema constituído pela bala e pelo pêndulo balístico. As forças externas que atuam m no sistema estão representadas na Figura 2; são as forças peso e as trações na corda, desprezando-se qualquer força de resistência.

A variação do momento linear do sistema bala+bloco durante a colisão, que ocorre entre os instantes t inicial = 0 e tfinal = τ, é

onde T é a resultante das trações nas cordas que sustentam m o bloco. T1 T1 T2 T2 r r r = +

A expressão (10) mostra que não há conservação exata de momento linear neste caso. O que existe é uma conservação aproximada, que precisa ser discutida para ter significado. Fazendo a decompmposição das forças externas ao sistema segundo dois eixos x e y como os mostrados na Figura 2, obtemos

O argumento utilizado na segunda versão de solução, que "a colisão da bala com o bloco dura um tempo tão curto que o pêndulo não se eleva apreciavelmente neste intervalo" , apenas garante que o ângulo é pequeno. Mostraremos num m exempmplo a seguir que a validade deste argumento não assegura a conservação aproximada de momento linear. θ(θ(τ )

Para pequenos ângulos as equações (11) se reduzem m a

A velocidade do sistema no instante τ é obtida através da aplicação do princípio da conservação da energia entre os momentos final da colisão, t , e o instante em m que o sistema atinge o ponto mais alto de sua trajetória: = τ

A velocidade da bala imediatamente após a sua penetração compmpleta no bloco vale

No caso de pequenos ângulos esta velocidade se reduz a

Por este motivo, e com m esta hipótese, a compmponente y y da variação do momento linear se reduz a

O limite superior para a compmponente x x do momento linear pode ser obtido utilizando-se (12b) e (13b):

Podemos estimar, com m os dados do problema, as variações nas compmponentes do momento linear no caso em m que θ(θ(τ )= 0,01 rad e τ = 0,001s:

Esses valores são pequenos compmparados ao momento inicial da bala, que é da ordem m de 6,0 N.s.

## 3.4 UM UM CONTRTRA -E -EXEMPLPLO

Consideremos agora um m exempmplo mumuito similar ao discutido. O fio e o bloco são substituídos por uma barra de massa M. M. Um m enunciado típico deste problema seria o apresentado a seguir.

"Uma barra de massa M M está pendurada em m um m pino e pode girar livremente sem atrito. Ela é atingida por uma bala com m massa m e velocidade inicial v , como indicado na Figura 3. A bala fica encravada na barra, e o centro de massa da barra atinge uma altura máxima H. H. A bala penetra rapidamente na barra e ela quase não se eleva durante a colisão. Calcule a velocidade inicial da bala". 1i r

Figura 3

A solução deste problema pode ser feita nas mesmas linhas do problema do pêndulo balístico. O sistema barra+bala tem , como forças externas atuantes, as forças peso e sustentação r no pino, desprezando atritos. A direção da força de sustentação no pino não é conhecida por nós, a priori, como no caso da tração da corda. F

Nesse caso, a aplicação da lei (1) ao sistema fornece, para cada uma das compmponentes da variação do momento angular do sistema bala+barra,

onde novamente τ é o instante no qual a bala e a barra ficam m em m repouso relativo, e ω é a velocidade angular da barra neste instante.

Não há conservação de momento linear neste problema. A resultante das forças externas sobre o sistema não é nula. Vamos verificar se há conservação aproximada do momento linear.

A altura máxima atingida pelo centro de massa da barra é H. H. Podemos calcular o ângulo máximo que a barra faz com m a vertical:

Conseqüentemente, a altura máxima atingida pela bala encravada é

.

A conservação da energia fornece uma relação entre a velocidade angular de rotação ω e a altura máxima H:

onde 2 M l 3 1 I = M l é o momento de inércia da barra em m relação ao ponto de sustentação. A

equação (18), para valores pequenos de θ(θ(τ ), se reduz a

Nesse caso a velocidade angular da barra se transforma em

Portanto, para pequenos ângulos, a compmponente do momento linear na direção vertical (y(y) é proporcional a θ(θ(τ ), e pode ser desprezível.

A força que o pino exerce sobre a barra durante a colisão não tem m a direção da barra. Isso significa que o ângulo que esta força faz com m a vertical não é igual ao ângulo , e portanto não precisa ser pequeno. Conseqüentemente, nesse caso, a manipulação das equações (20) e (17) não permitirá que seja obtido um m limite para a variação da compmponente horizontal do momento linear como função dos parâmetros do sistema, do ângulo e do tempmpo de colisão. Apesar do sistema praticamente não se mover durante a colisão, não é possível verificar a conservação aproximada do momento angular utilizando-se a equação (1) . Na realidade, a resolução desse problema através da utilização da lei de conservação do momento angular β θ θ (conforme indicamos no Apêndice 1) mostra que nesse caso não há conservação aproximada de momento linear.

## 4. SUGESTÕES PARA UMA ELABORAÇÃO DIDÁTICA POTENCIALMENTE DOTADA DE SENTIDO

Dentro do referencial teórico da teoria da aprendizagem m significativa, observa-se da discussão do tópico de lei de conservação do momento linear que a condição de aprendizagem - a necessidade que o material didático faça sentido, tenha significado próprio, não está sempmpre presente nos textos analisados. O material disponível nos livros induz ao recurso da memorização, ao fazer uma utilização de exempmplos e justificativas que não são razoáveis nem sequer inteiramente corretas, não fazendo sentido e não permitindo que o aprendiz perceba um m significado nestes conteúdos.

Consideramos que uma estratégia de aprendizagem m da lei de conservação de momento linear não pode omitir as passagens onde se faz a verificação da validade das hipóteses necessárias à aplicação da lei. No problema do pêndulo balístico a aplicação da lei não é simpmples porque a força externa (tensão) não tem m uma expressão empmpírica que limite o seu valor.

A preocupação com m a aprendizagem m nos leva a indicar a existência de outros exempmplos cuja modelagem m permite a utilização absolutamente correta e simpmples da lei de conservação exata e aproximada do momento linear. Nestes casos, as forças externas ao sistema envolvidas estão relacionadas com m interações que têm m uma representação funcional estabelecida ou limitada, como nos casos das forças peso, de atrito estático e cinético, e a força elástica.

Os problemas sugeridos, no caso da conservação exata, são a penetração de uma bala num m bloco apoiado horizontalmente numa mesa sem m atrito; a penetração de uma bala num bloco ligado por uma mola a uma parede rígida, ou a outro corpo, tambmbém m numa mesa sem atrito. No caso da conservação aproximada, temos a explosão de uma granada, pois neste caso a forca peso é limitada e pode-se ter a condição (4) válida. Tambmbém m podemos considerar o atrito entre o bloco e a superfície nos exempmplos citados antes.

Os enunciados e as resoluções destes exempmplos estão no Apêndice 2. O exempmplo do pêndulo balístico, presente em m quase todos os textos, deveria ser apresentado no contexto da discussão do momento angular - neste caso, a força de tensão, que é uma força de vínculo, desaparece da resolução. Para fazer o caso do pêndulo balístico, é necessária a discussão da justificativa do uso da lei de conservação - e se esta discussão não é possível o exempmplo não deve ser apresentado. A ausência de sentido na sua apresentação sem m uma discussão apropriada pode ser uma causa da opção dos estudantes pelas técnicas de memorização.

## 5. CONCLUSÕES

O papel do professor, num m contexto de ensino, em m particular no ensino superior, seria intervir deliberada e objetivamente de forma a estabelecer condições de ensino-aprendizagem , que se traduziriam m por identificar toda uma hierarquia de elementos cognitivos necessários à aprendizagem m do tópico. A partir desta identificação, freqüentes diagnósticos seriam realizados buscando identificar e sanar nos alunos as possíveis falhas de tais elementos cognitivos. Esta seria uma estratégia de trabalho docente tecnicamente apropriada.

No tópico da apresentação das leis de conservação do momento linear de um m sistema de partículas, as hipóteses que permitem m a utilização destas leis nos exempmplos ilustrativos escolhidos devem m ser verificadas. A não verificação de forma explícita da validade destas hipóteses pode representar o fracasso de uma estratégia de trabalho docente que vise uma aprendizagem m significativa. Os textos disponíveis para esta discussão todos, ao não

apresentarem m de forma clara esta discussão, induzem m ao erro e à utilização da técnica de memorização de problemas como técnica de aprendizagem m por parte dos estudantes.

## APÊNDICE 1

Os problemas apresentados na análise da conservação aproximada do momento linear dos problemas do pêndulo balístico e da barra ficam m mais transparentes quando se utiliza a lei que fornece a variação do momento angular e as condições de validade da lei de conservação do momento angular,

r r

( ) (i) ext F i ext r x e F r r τ = é o torque da força externa F e sobre a partícula i em m relação ao ponto O . Ou seja, todas as vezes em m que a soma dos torques das forças externas que agem m sobre o sistema se anula, o momento angular do sistema é conservado, em m relação ao ponto O. (i) F ext

## Solução do problema do pêndulo balístico

A aplicação da equação (A.1) ao pêndulo balístico fornece:

No caso em m que a colisão ocorre em m um m intervalo de tempmpo mumuito curto, e o sistema praticamente não se move durante a colisão, escrevemos que

Esta expressão mostra que, no caso do pêndulo balístico, se a colisão ocorre num m tempmpo curto e o sistema praticamente não se move durante a colisão, há conservação aproximada do momento angular e tambmbém m do momento linear.

Solução do problema da barra presa ao teto e atingida por uma bala:

A aplicação equação (A-1) à barra fornece:

Se a colisão ocorre em m um m tempmpo mumuito curto τ e o sistema praticamente não se move durante a colisão temos

ext p I r r ∆ = BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- B Ö 15/05/02 BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ

- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- BÖ- imediatamente após a colisão é

Para pequenos ângulos θ(τ), a variação no módulo da compmponente x do momento linear do sistema em m τ é

Uma compmparação entre as expressões (A-5) e (A-6) mostra que nesse caso não não existe a conservação aproximada da compmponente x do momento linear do sistema, apesar de existir conservação aproximada do momento angular.

## APÊNDICE 2

Apresentamos aqui algumas sugestões de exempmplos que consideramos serem adequados ao processo de aprendizagem m significativa do tópico de conserva ção de momento linear. Na solução, apresentamos apenas a parte relativa à aplica ção da lei de conservação aproximada, em m particular com m a discussão da verificação da validade da conservação.

## Exemplo proposto 1 - explosão de uma granada

"Uma granada com m massa m=300g é largada de um m edifício com m altura H=16m. Quando ela está a uma altura de 8m m do solo ela explode, dividindo-se em m dois pedaços com m massas iguais. Imediatamente após a explosão, uma das partes tem m velocidade inicial vertical e para baixo com m módulo =20m/m/s. Calcule o tempmpo que cada uma das partes da granada leva para atingir o solo". 1 v

## Solução:

O cálculo do tempmpo de queda de cada um m dos pedaços da granada depende da compmponente vertical da velocidade de cada um m dos pedaços imediatamente após a explosão. A velocidade do pedaço 1 é dada no problema; só é necessário o cálculo da velocidade do pedaço 2. A única força externa agindo sobre a granada durante a explosão é a força peso. O módulo da velocidade e do momento linear da granada no momento da explosão são respectivamente iguais a v = 2gH ≅ 13m / s o = m g τ = 2 , 9τ externo τ < 0 . 01s e P o . O módulo do impmpulso da força peso é I (τ é o tempmpo de explosão). Como o tempmpo de explosão da granada é pequeno ( ) o impmpulso externo é desprezível em m relação ao momento linear P m , N / s P o = v o ≅ 3 9 o . Portanto é possível se aplicar a conservação aproximada do momento linear para se obter a velocidade v 2 do pedaço 2 da granada imediatamente após a explosão.

## Exemplo proposto 2 - colisão de uma bala com um bloco numa superfície com atrito

"Um m bloco de massa m 2 está inicialmente em m repouso sobre um m plano horizontal com atrito. Uma bala com m massa m 1 e velocidade inicial colide com m o bloco ficando retida no mesmo. Após a colisão, o bloco e a bala percorrem m uma distância d d e param . Supondo os coeficientes de atrito estático e o cinético entre o bloco e o plano respectivamente iguais a 0,3 e 0,2, a massa do bloco m o v r 2 = 5,4 kg, a massa da bala m 1 = 9,5g e a distância d=0,3m, calcule a velocidade inicial da bala."

Solução parcial:

O conhecimento da distância d d permite obter a compmponente horizontal da velocidade do sistema formado pelo bloco e pela massa imediatamente após a colisão. Como o bloco é mumuito mais pesado do que a bala e o tempmpo de colisão pequeno é razoável se supor que o bloco praticamente não se movimenta durante a colisão. A força resultante externa que atua no sistema formado pela bala e pelo bloco durante a colisão é r r r . A variação da compmponente horizontal do momento linear da do sistema é produzida apenas pela força de atrito. Durante a colisão a força de atrito é menor ou no máximo igual a força de atrito estática máxima, isto é, fa . Portanto, o impmpulso da força de atrito é . O impmpulso horizontal da bala imediatamente antes da colisão é . Como o tempmpo de colisão da bala com m o bloco é pequeno ( s) e a velocidade estimada da bala é grande ( m/m/s), é possível considerar-se que há conservação aproximada da compmponente horizontal do momento linear durante a colisão, e calcular a velocidade inicial da bala. Fe Fexterna (m m )g N fa r = 1 + 2 + + τ < 0 , 01 ≤ µ est (m 1 + m 2 )g v o > 100 ≤ µ + τ = 17τ I(fa) est (m 1 m 2 )g 1 v o 0 3v o P o m , P ox = =

## Exemplo proposto 3 - colisão de uma bala com um bloco ligado a uma mola

"Um m bloco de massa M=M=5,4kg ligado a uma mola de constante elástica k=k=100N/m m está inicialmente em m repouso apoiado sobre um m um m plano horizontal sem m atrito. Uma bala com massa m=300g e velocidade inicial r (v o v o =500m/m/s) colide com m o bloco ficando retida no mesmo. Calcule a velocidade do sistema imediatamente após a colisão."

Solução parcial:

A força resultante externa que atua no sistema formado pelo bloco e pela bala durante a colisão é F e r r r . Como a massa do bloco é mumuito maior do que a massa da bala, é razoável supor que o bloco se desloca mumuito pouco durante a colisão. A variação da compmponente horizontal do momento linear do sistema é igual ao impmpulso da força elástica da mola. O módulo do impmpulso da força da mola é I (∆ x é o deslocamento do bloco e τ é o tempmpo de colisão). A compmponente horizontal do momento linear inicial do sistema é P o N.s. Como o tempmpo de colisão é pequeno ( τ ) e o deslocamento do sistema tambmbém m é pequeno durante a colisão, é possível considerar que há conservação aproximada de momento linear. F externa g N Fe Fel (m m ) r = 1 + 2 + + P ox = mv o = (F e) = k ∆x τ = 100 τ F el ∆ x 1 , 50 < 0 , 01s

## Referências:

- [1] AUSUBEL, D. P., NOVAK, J.D., HANESIAN, H. (1998), Educational Psyychology: a Cognitive View. New York, Holt, Rinehart and Winston.

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- [2] NOVAK, J. D. (1998), Learning, Creating and Using Knowledge - Concept Maps as Facilitative Tools in Schools and Corporations. Lawrence Erlbaum m Associates, Publishers, New Jersey
- [3] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J., Fundamentos da Física vol 1, 4a edição. Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos S.A.

HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K.S. (1996), Física vol. 1, 4 a edição. Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos S.A.

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- [4] MOREIRA, Marco Antonio (1999), Aprendizagem Significativa. Brasília, Editora Universidade de Brasília.

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