Duas experiências dinâmicas com grãos de açúcar e arroz e bolinhas de gude

## Duas experiências dinâmicas com grãos de açúcar e arroz e bolinhas de gude

## J. López , T. Demarchi, A. K. Gregoldo, * A. I. C. Arce

Departamento de Ciências Básicas, Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos (FZEA), Universidade de São Paulo, *jlopez@usp.br

## Resumo

Foram realizados experimentos usando grãos de arroz e açúcar e bolinhas de gude de vidro procurando entender as propriedades dinâmicas destes materiais. As experiências requerem poucos recursos e foram pensadas para que possam ser desenvolvidas na sala de aula ou num laboratório de ensino, especialmente no contexto dos estudantes de Engenharia de Alimentos da FZEA-USP. Estudamos uma situação análoga aos vasos comunicantes para líquidos. Colocamos os grãos dentro de um cilindro preso a uma plataforma vibratória. O cilindro foi subdividido em duas metades por uma tábua que deixa um espaço livre no fundo deste. Em outro experimento similar a altura da coluna de grãos tinha sido reportada como diferente dos dois lados da barreira após certo tempo de vibração da plataforma ( CLEMENT, C. P. et al. ), mas nossos testes não confirmaram o anterior. Também investigamos o 'Brazil Nut Problem' utilizando a mesma plataforma vibratória. Foram colocados dois tipos de grãos (arroz ou açúcar e bolinhas de gude de vidro). Inicialmente, as bolinhas foram colocadas no fundo do cilindro. Quantificamos o tempo necessário de vibração da plataforma para que ¼ das bolinhas de gude subissem à superfície em função da altura inicial dos grãos.

Palavras-chave : Propriedades dinâmicas, grãos, líquidos.

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## Introdução

É amplamente reconhecido que o uso de experimentos no ensino de Física torna mais significativo e esclarecedor a aprendizagem. Porém, na prática, devido às dificuldades extras envolvidas na preparação e manejo das experiências, poucos professores usam. Esperamos que nosso trabalho aporte algumas idéias de experiências com grãos para os educadores.

A área de fluidos nos livros de Física Básica é tipicamente associada com gases e líquidos Newtonianos. Pouco se discutem os líquidos não Newtonianos e praticamente nada o fluxo de materiais granulares. Isto acontece apesar do fato que sistemas de grãos, como areia, feijão ou arroz, estão muito presentes na vida cotidiana. Eles têm um papel protagonista em indústrias como mineração, construção, agricultura, de alimentos e na indústria farmacêutica. Praticamente, tudo o que é ingerido teve sua origem em um conjunto de grãos ou pós.

Uma configuração experimental típica para estudar meios granulares é colocá-los num recipiente cilíndrico sobre uma plataforma vibratória. Supondo que a coordenada vertical, y(t) , do topo da plataforma pode ser aproximada por uma equação do tipo y(t) = A cos (w t) , onde A é a amplitude e w é a frequência da oscilação. A amplitude da aceleração da plataforma (tomada da segunda derivada da equação anterior) será Aw 2 . O parâmetro adimensional usado como referencia para estudar estes sistemas foi Г = Aw 2 /g , onde g é a constante da aceleração da gravidade.

Quando Г supera a unidade, o movimento dos grãos perto da superfície é próximo à queda livre e tem início um fenômeno chamado de convecção. Isto é, os grãos sobem à superfície na região central e descem próximo às paredes. A superfície dos grãos passa de plana a côncava para baixo. O sentido do fluxo pode ser revertido mudando o formato do recipiente para um com forma de taça (menor no lado inferior) ou fazendo com que o atrito entre os grãos seja maior que entre estes e as paredes. Uma forma de conseguir isto é com um fluxo contínuo de ar nas paredes do recipiente.

Do ponto de vista teórico, as colisões entre os grãos podem ser simuladas como um processo caótico que leva a uma dinâmica cooperativa. A convecção seria um estado 'macro', ordenado, que surge a partir de outro, 'micro', desordenado. A convecção em grãos é diferente da convecção em fluidos, onde o mecanismo predominante é a lei de Arquimedes (Flotação) e as paredes não são essenciais. Nos grãos o movimento horizontal é induzido pelas colisões e pelo tamanho finito do recipiente, o estresse acumulado faz com que os grãos sigam em direção ao topo em algum ponto. Para valores de Г muito maiores que a unidade, não só os grãos perto da superfície passam ao estado fluido com convecção, todo o volume dos grãos no recipiente participa deste estado fluido e é dito que os grãos estão fluidizados.

Um dos resultados, contra-intuitivo, que mais tem chamado a atenção da comunidade científica nos últimos anos é denominado na literatura de 'Brazil Nut Effect' (BNE). Usualmente quando se agita uma combinação de duas ou mais substâncias, estas se homogeneízam de maneira mais satisfatória. Em caixas de cereais vendidas comercialmente se misturam uniformemente nozes (usualmente de

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origem brasileira) com aveia e farelo. Porém, quando a caixa chega ao destino final e é aberta, as nozes brasileiras, que são maiores e de maior massa específica, ficam majoritariamente na parte superior da caixa.

Assumindo que não existam interações atrativas entre os grãos, este resultado parece violar a intuição e a segunda lei da Termodinâmica ou lei do crescimento da entropia. Do ponto de vista estatístico, a entropia de um sistema desordenado é maior que a de um sistema ordenado. Contudo, conceitos termodinâmicos ordinários para estes sistemas carecem de sentido, uma vez que a escala de energia relevante não é associada à temperatura e sim à aceleração gravitacional. Adicionalmente, se os grãos forem pensados como líquidos que não se misturam, também é difícil entender como os cereais, com maior densidade, sobem à superfície, contrariando o princípio de flutuação. Uma possível explicação é que as partículas grandes (devido ao maior volume) não encontram espaço para seguir as menores durante o fluxo descendente.

Neste artigo discutimos dois experimentos que visam entender as diferenças das propriedades dinâmicas dos materiais granulares comparadas às propriedades dinâmicas dos líquidos. O trabalho contou com a participação de duas estudantes do curso de graduação em Engenharia de Alimentos, coautoras deste artigo, com o intuito de apresentar posteriormente os resultados mais relevantes na sala de aula. Estes tópicos são especialmente relevantes para estudantes do curso de Engenharia de Alimentos porque eles terão provavelmente que lidar com o fluxo de grãos em uma linha de produção.

A nosso entender, a inovação do trabalho está em tentar introduzir na área de ensino um assunto ainda pouco citado nos livros de textos básicos de Física e que começou a ser de interesse intenso de pesquisa há mais de uma década. Outros dois artigos (LÓPEZ, Juan; VERCIK, Andrés e COSTA, Ernane; 2008) e (LÓPEZ, Juan et al. 2010) nesta mesma área já foram publicados por parte dos autores deste trabalho.

## Métodos e Resultados

CLEMENT, C. P. et al. estudaram o comportamento de um sistema de esferas de titânio e bário agitados verticalmente em um recipiente dividido em duas colunas que se conectam inferiormente. Quando o sistema foi agitado os grãos se movimentaram para um único lado.

A foto na figura 1 e o diagrama na figura 2 ilustram o aparelho construído por nosso grupo para repetir este tipo de experimento, porém utilizando grãos de arroz e feijão, relevantes na área de engenharia de alimentos. O eixo de um motor de corrente contínua foi acoplado a outro eixo mais comprido na região inferior de uma plataforma. A este último eixo foram soldadas duas porcas, formando um sistema excêntrico para aumentar as vibrações.

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Figura 1: Plataforma vibratoria com cilindro preso a esta. O cilindro é subdividido em duas metades por uma tábua que deixa um espaço livre no fundo deste. A fonte de corrente alimenta o motor que gera a vibração por meio do giro de um eixo com duas porcas colocadas assimetricamente. Neste caso o eixo de giro é perpendicular à tábua divisória dentro do cilindro. Um curto vídeo que mostra este sistema em funcionamento pode ser visto em http://www.youtube.com/watch?v=2mB6JWZP6Zc

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Figura 2: Diagrama dos elementos do aparelho experimental.

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O diagrama na figura 3 indica, em uma vista superior do cilindro, a posição onde foram medidas as diferentes alturas após 5 minutos de vibração. A voltagem nos terminais do motor de corrente contínua foi de 33,0 V e a corrente no circuito de 0 ,17 A . Os grãos de açúcar eram aproximadamente esféricos, com diâmetro médio de 1,0 mm e os de arroz, cilíndricos, com comprimento médio de 6,3 mm e diâmetro médio de 1,8 mm . O diâmetro do cilindro foi de D=190 mm . A altura do espaço livre por baixo da divisória foi mantido constante em 1 cm .

Figura 3 : Diagrama com vista superior do aparelho experimental com a barreira perpendicular (a) e paralela (b) ao eixo de vibração do motor.

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A figura 4 descreve a variação de altura dos grãos após 5 minutos de vibração da plataforma, na configuração em que a divisória é perpendicular ao eixo de rotação do motor, como função da altura inicial uniforme dos grãos. Os símbolos usados são os mesmos representados na figura 3a. A diferença de altura entre os lados direito e esquerdo nos dois lados da barreira está indicada com quadrados na frente ( HdmHem ) e círculos no fundo ( Hdf-Hef ), os símbolos abertos foram medidos com arroz e os cheios com grãos de açúcar.

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Figura 4: Variação da altura da coluna de grãos após 5 minutos de vibração da plataforma em função da altura inicial dos grãos de Arroz (símbolos abertos) e de Açúcar (símbolos preenchidos).

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Devido ao incremento de peso dos grãos sobre a plataforma com o aumento da altura inicial H , as diferenças de altura após 5 minutos de vibração da plataforma, em geral, diminuem. Mais longe do motor as vibrações são maiores, bem como a diferença de altura medida na parte posterior da barreira em relação à parte anterior, para os dois tipos de grãos.

A figura 5 mostra a variação de altura dos grãos após 5 minutos de vibração da plataforma, na configuração em que a divisória é paralela ao eixo de rotação do motor, como função da altura inicial dos grãos. Os símbolos usados são os mesmos representados na figura 3b. A diferença de altura entre os lados direito e esquerdo da barreira está indicada com quadrados embaixo ( Hid-Hie ) e círculos acima ( HsdHse ), os símbolos abertos foram medidos com arroz e os cheios com grãos de açúcar.

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Figura 5: Variação da altura da coluna de grãos após 5 minutos de vibração da plataforma em função da altura inicial dos grãos de Arroz (símbolos abertos) e de Açúcar (símbolos preenchidos).

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Nesta configuração, a diferença de altura entre os lados da barreira após ter submetido o sistema a vibração durante 5 minutos é muito pequena, os resultados se superpõem com a margem de erro das medidas.

Colocando dois tipos de grãos diferentes em um mesmo recipiente e agitando em seguida, esperamos entender melhor em que condições acontece o 'Brazil Nut Effect' discutido na introdução.

Algumas experiências iniciais também foram feitas neste sentido utilizando a mesma plataforma vibratória. Foram colocados dois tipos de grãos (arroz e bolinhas de gude de vidro). Inicialmente, as bolinhas foram colocadas no fundo do cilindro. Após certo tempo de vibração da plataforma, as bolinhas de gude subiram à superfície, como mostrado na figura 6. Este comportamento parece paradoxal se extrapolarmos para os grãos nossa intuição de líquidos, uma vez que bolinhas de gude, feitas de vidro, são mais densas que grãos de arroz.

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Figura 6: Após 10 minutos de agitação do cilindro, as bolinhas de gude, com densidade maior que os grãos de arroz, ocuparam preferencialmente a superfície do recipiente.

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Outro fato importante a ser notado é que as bolinhas sobem à superfície preferencialmente nos locais onde a intensidade de vibração é maior, ou seja, longe do motor. Um vídeo feito durante o experimento e que auxilia a compreensão do efeito com grãos de arroz e bolinhas de gude pode ser visto em: &lt;http://www.youtube.com/watch?v=aPEKKDvg9CQ&gt;.

A figura 7 mostra o tempo que demoram ¼ das bolinhas de gude, colocadas inicialmente no fundo do cilindro, a subir à superfície como função da altura da coluna de grãos de arroz ou de açúcar. Os experimentos foram feitos com 8 , 20 e 40 bolinhas de gude. O diâmetro médio das bolinhas de gude foi de 17 mm .

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Figura 7: Tempo de espera para que ¼ das bolinhas de gude, colocadas inicialmente no fundo do cilindro, subam à superfície. As medidas foram feitas com 8, 20 e 40 bolinhas de gude.

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Com o aumento do número de bolinhas de gude, de 20 para 40 com grãos de arroz e de 8 para 20 com grãos de açúcar, tem-se um aumento no peso resultante sobre a plataforma, o que leva à diminuição da amplitude de vibração e ao aumento do tempo necessário para que ¼ das bolinhas de gude subam até a superfície. Intuitivamente, podia ser esperado o contrário, porque uma maior densidade de bolinhas de gude aumentaria as colisões entre estas. Mas este efeito não se mostra preponderante.

Também contrário à intuição, o fato do volume dos grãos de açúcar ser menor comparado aos grãos de arroz não acelera a subida das bolinhas de gude. Dado o mesmo número de bolinhas de gude ( 20 ), estas demoram mais para chegar à superfície com os grãos de açúcar que de arroz. Isto derruba o modelo que tenta explicar o BNE pela diferença de volume entre os grãos (arroz ou açúcar) e os intrusos (bolinhas de gude).

Em determinadas circunstâncias, os grãos grandes quando agitados não sobem à superfície, mas afundam. Este efeito é conhecido como 'Inverse Brazil Nut Effect' ou IBNE, em contraposição ao 'Brazil Nut Effect' ou BNE (BREU, A. P. J. et al.). Além do tamanho e da massa específica, outros fatores como amplitude e a frequência das vibrações, as forças de atrito entre os grãos e com as paredes do recipiente, tamanho e geometria do recipiente, número de camadas de grãos e presença ou não de fluidos intersticiais podem produzir o BNE, o IBNE ou, ainda, nenhum dos dois.

## Conclusões

Este trabalho discute duas experiências que visam entender as propriedades dinâmicas dos materiais granulares. Foram usados grãos de arroz e açúcar e bolinhas de gude de vidro. Estudamos uma situação análoga aos vasos

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comunicantes para líquidos. Colocamos os grãos dentro de um cilindro preso a uma plataforma vibratória. O cilindro foi subdividido em duas metades por uma tábua que deixa um espaço livre no fundo deste. Em outro experimento similar a altura da coluna de grãos tinha sido reportada como diferente dos dois lados da barreira após certo tempo de vibração da plataforma, porem nossos resultados não confirmaram o anterior. Também investigamos o 'Brazil Nut Problem' utilizando a mesma plataforma vibratória. Foram colocados dois tipos de grãos (arroz ou açúcar e bolinhas de gude de vidro). Inicialmente, as bolinhas foram colocadas no fundo do cilindro. Quantificamos o tempo necessário de vibração da plataforma para que ¼ das bolinhas de gude subissem à superfície em função da altura inicial dos grãos. Os experimentos requerem poucos recursos e foram pensados para que possam ser desenvolvidos na sala de aula ou num laboratório de ensino.

## Agradecimentos

Agradecemos a FAPESP pelo Auxílio Financeiro a Pesquisa 2009/16899-7.

## Referências

BREU, A. P. J.; ENSNER, H-M.; KRUELLE, C. A. e REHBERG, I.; Phys. Rev. Lett. 90 , 014302 (2003)

CLEMENT, C. P.; PACHECO-MARTINEZ, H. A.; SWIFT, Michael R. e KING, P. J., Phys. Rev. E 80 , 011311 (2009)

LÓPEZ, Juan; VERCIK, Andrés e COSTA, Ernane , Meios granulares e experimentos simples para a sala de aula , Revista Brasileira de Ensino de Física , 30 (1) 1308 (2008). http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/301308.pdf

LÓPEZ, Juan; DEMARCHI, Tayrine; AKAMATSU, Melina e VERCIK, Andrés, Estudo comparativo de algumas propriedades dinâmicas de líquidos e grãos na sala de aula, Revista Brasileira de Ensino de Física , 32 (1) 1301 (2010), http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/321301.pdf

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