UMA PROPOSTA PARA ENSINAR OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA NO ENSINO MÉDIO COM O AUXÍLIO DE UM INTERFERÔMETRO VIRTUAL DE MACH-ZEHNDER: UM EXEMPLO SOBRE O ESTADO DE POLARIZAÇÃO DO FÓTON

## UMA PROPOSTA PARA ENSINAR OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA NO ENSINO MÉDIO COM O AUXÍLIO DE UM INTERFERÔMETRO VIRTUAL DE MACH-ZEHNDER: UM EXEMPLO SOBRE O ESTADO DE POLARIZAÇÃO DO FÓTON

Alexsandro P. Pereira , Fernanda Ostermann , Cláudio J. H. Cavalcanti 1 2 3

- 1 Instituto de Física/PPG em Ensino de Física/UFRGS, alexsandro.pereira@ufrgs.br
- 2 Instituto de Física/Departamento de Física/UFRGS, fernanda.ostermann@ufrgs.br
- 3 Instituto de Física/Departamento de Física/UFRGS, claudio.cavalcanti@ufrgs.br

## Resumo

Este trabalho apresenta uma proposta pedagógica para ensinar os postulados da mecânica quântica no ensino médio. A estratégia consiste em promover uma 'tradução' da teoria quântica para uma linguagem acessível aos estudantes de ensino médio na qual os postulados são apresentados a partir de uma discussão conceitual e fenomenológica. Ao invés de recorrer ao formalismo matemático, propomos o uso de um interferômetro virtual de Mach-Zehnder para simular alguns fenômenos que possam servir de exemplo de aplicação dos postulados da mecânica quântica. Uma versão conceitual desses postulados pode ser formulada da seguinte maneira: 1) antes de uma medição, assume-se que o sistema físico está em uma superposição de estados (uma cominação linear dos seus autoestados); 2) a medição normalmente muda o estado do observável que está sendo medido, a menos que ele já esteja em um de seus autoestados; 3) o resultado de uma medição é sempre um dos autoestados do observável que está sendo medido. O processo de medição seleciona um dos seus autoestados, rejeitando todos os outros; 4) as leis da mecânica quântica não prevêem o resultado de uma medição mas apenas a probabilidade do sistema colapsar em um de seus autoestados; 5) medições sucessivas de um mesmo observável levam sempre ao mesmo resultado; 6) o estado de um sistema físico muda com o tempo. Essa proposta pedagógica está em processo de avaliação e os resultados deverão estar disponíveis em março de 2011.

Palavras-chave : Ensino de Física, postulados da mecânica quântica, interferômetro de Mach-Zehnder, simulação computacional.

## Introdução

No campo da pesquisa em Ensino de Física, diversos estudos têm focado em como ensinar tópicos de mecânica quântica no ensino médio de maneira apropriada para esse nível de ensino. A maioria desses trabalhos é motivada pelas dificuldades formais e conceituais que são intrínsecas à teoria quântica. Conforme alguns autores têm destacado (HOEKKZEMA et al ., 2007), uma vez que muitas das dificuldades conceituais são inevitáveis, simplificar a matemática torna-se uma questão primordial. Alguns autores têm enfatizado uma abordagem conceitual para o princípio da incerteza (JOHANSSON e MILSTEAD, 2008). Outros têm utilizado a equação de De Broglie para calcular os níveis de energia de uma partícula em uma caixa, em um poço quadrado finito, no átomo de hidrogênio e de um oscilador harmônico simples (GIANINO, 2008).

Para complementar esses trabalhos, o presente artigo apresenta uma proposta pedagógica baseada na formulação canônica da mecânica quântica, na

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qual seis postulados desempenham um papel fundamental. Essa proposta consiste em uma 'tradução' da teoria quântica para uma linguagem acessível aos estudantes de ensino médio na qual os postulados são apresentados a partir de uma discussão conceitual e fenomenológica. Ao invés de evocar termos como ket , bra , operadores e outras entidades matemáticas bastante abstratas, a ideia é focar apenas os conceitos que são diretamente relacionados à realidade física, tais como estado, autoestados, autovalores e observáveis. Além disso, noções como superposição, probabilidade, colapso e evolução temporal também devem ser introduzidas. No intuito de evitar o formalismo matemático, propõe-se o uso de simulação computacional para ilustrar exemplos de aplicação dos postulados.

A simulação computacional em questão, pensada para a presente proposta, consiste em uma bancada virtual do interferômetro de Mach-Zehnder (OSTERMANN et al ., 2006; PEREIRA et al. , 2009). Esse programa foi desenvolvido para demonstrar o fenômeno de interferência quântica a partir da simulação um feixe de luz constituído de apenas um único fóton. Experimentos reais com fótons únicos têm sido realizados desde os anos 80 em pesquisas avançadas em Física Experimental. Atualmente, versões didáticas desses experimentos têm sido desenvolvidas para laboratórios de ensino em nível superior (GALVEZ et al ., 2005). Infelizmente, os recursos tecnológicos apropriados para a realização desses experimentos são muito caros para a maioria das escolas, o que torna quase impossível demonstrar o fenômeno de interferência quântica no ensino médio. Acreditamos que o Interferômetro Virtual de Mach-Zehnder (IVMZ) pode preencher essa lacuna.

## Sobre o interferômetro de Mach-Zehnder

O interferômetro de Mach-Zehnder é um dispositivo óptico simples, desenvolvido independentemente por Ludwig Zehnder (1854-1949) e por Ludwig Mach (1868-1951) por volta de 1891-1892. Esse experimento demonstra o fenômeno da interferência luminosa através da divisão de amplitudes (ZETIE et al., 2006). Na figura 1, um feixe luminoso é dividido em duas componentes, A e B, por um divisor de feixes S1. Cada uma dessas componentes é refletida por um espelho, M1 e M2. Um segundo divisor de feixes S2, subdivide cada uma dessas componentes em duas subcomponentes e então as recombina antes de atingirem os detectores D1 e D2.

Para um ângulo de incidência de 45º com relação à normal, cada reflexão causa uma mudança de fase na onda luminosa de π /2, o que corresponde a uma diferença de caminho óptico de λ /4, onde λ é o comprimento de onda do feixe de luz (DEGIORGIO, 1980). Na direção de D1, as duas componentes em questão são refletidas duas vezes, permanecendo em fase uma em relação à outra e interferindo construtivamente. Na direção de D2, por outro lado, uma das componentes (caminho B) é refletida três vezes enquanto que a outra (caminho A) é refletida apenas uma vez. A diferença de fase entre elas é de π , o que corresponde a uma diferença de caminho óptico de λ /2 (interferência destrutiva). Como resultado, um feixe de luz é projetado em D1 e nada é detectado em D2.

De acordo com alguns autores (ADAMS, 1998; OSTERMANN et al. , 2009, PESSOA JR., 1997, 2003; SCARANI, 2006; SCARANI e SUAREZ, 1998), o interferômetro de Mach-Zehnder pode ser uma ferramenta poderosa para discutir conceitos fundamentas de mecânica quântica. Para isso, é necessário apenas considerarmos um feixe de luz constituído de apenas um único fóton. Essa

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consideração nos leva diretamente para o problema da escolha do caminho pelo fóton (SCARANI e SUAREZ, 1998). Essa discussão pode ajudar os estudantes a perceber desde o início o quanto os fenômenos quânticos diferem de nossas experiências clássicas diárias (MÜLLER e WIESNER, 2002). Apesar de ser amplamente utilizado em pesquisas sobre óptica não-linear e outras aplicações tecnológicas (veja, por exemplo, KANSERI et al ., 2008), o interferômetro de MachZehnder é raramente mencionado em livros didático de Física, o que o torna pouco familiar para a maioria dos professores de física do ensino médio.

Figura 01: Representação esquemática do interferômetro de Mach-Zehnder.

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## Os postulados da teoria quântica

Na mecânica quântica, o 'estado' representa um conjunto completo de informações acerca de um sistema físico. Os 'observáveis' (momentum linear, posição, energia, spin, etc.) representam as quantidades físicas mensuráveis do sistema. Todos os possíveis resultados de uma medição são definidos como os 'autovalores' do observável que está sendo medido. Os estados físicos associados com esses autovalores definidos como 'autoestados'. Eles correspondem a alternativas mutuamente excludentes. Observáveis incompatíveis como posição e momentum linear numa dada direção não possuem um conjunto completo de autoestados simultâneos . Essa afirmação constitui o princípio de incerteza segundo a formulação canônica da mecânica quântica.

De acordo com Cohen-Tannoudji (1977), os postulados da mecânica quântica podem ser formulados da seguinte maneira:

## Primeiro postulado

Em um instante fixo t 0 , o estado de um sistema físico é definido pela especificação de um vetor de estado | ψ ( t 0 ) pertencente ao espaço de estado . 〉 ε

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Uma vez que ε é um espaço vetorial, o primeiro postulado implica um princípio de superposição: uma combinação linear de vetores de estado também é um vetor de estado.

## Segundo postulado

Toda quantidade física mensurável A é descrita por um operador  que atua em ; este operador é um observável. ε

## Terceiro postulado

Os únicos resultados possíveis da medição de uma quantidade física A são os autovalores do observável correspondente Â.

## Quarto postulado

Quando uma quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado | ψ〉 , a probabilidade P an ( ) de obter o autovalor não-degenerado an do observável correspondente  é:

<!-- formula-not-decoded -->

onde |un 〉 é o autovetor normalizado de  associado com o autovalor an .

## Quinto postulado

Se a medição de uma quantidade física A de um sistema no estado | ψ〉 tem como resultado o valor an , o estado do sistema imediatamente depois da medição é a projeção normalizada de | ψ〉 no autoespaço associado com an .

## Sexto postulado

A evolução temporal de um vetor de estado | ψ ( ) t 〉 é governado pela equação de Schrödinger:

<!-- formula-not-decoded -->

onde H t ( ) é o observável associado com a energia total do sistema.

Estes seis postulados descrevem o comportamento dos sistemas físicos em nível microscópico, mas eles também estabelecem uma relação direta entre a realidade física e as entidades matemáticas, conforme mostra a figura 2.

No intuito de evitar o formalismo matemático, a presente proposta consiste em substituir os postulados da mecânica quântica por seis regras que se referem apenas ao domínio da realidade física. Essas regras baseiam-se na descrição do processo de medição conforme a explicação de Dirac (1947) e a de Sakurai (1994). A versão conceitual e fenomenológica dos postulados da mecânica quântica pode ser enunciada da seguinte maneira.

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Figura 02: Conexão teórica entre a realidade física e o formalismo matemático.

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## Regra 1

Antes de uma medição, assume-se que o sistema físico está em uma superposição de estados (uma cominação linear dos seus autoestados).

## Regra 2

A medição normalmente muda o estado do observável que está sendo medido, a menos que ele já esteja em um de seus autoestados.

## Regra 3

- O resultado de uma medição é sempre um dos autoestados do observável que está sendo medido. O processo de medição seleciona um dos seus autoestados, rejeitando todos os outros.

## Regra 4

As leis da mecânica quântica não prevêem o resultado de uma medição mas apenas a probabilidade do sistema colapsar em um de seus autoestados.

## Regra 5

Medições sucessivas de um mesmo observável levam sempre ao mesmo resultado.

## Regra 6

O estado de um sistema físico muda com o tempo.

## Um exemplo de aplicação dos postulados com o auxílio do IVMZ

Muitos aspectos dos postulados da mecânica quântica podem ser facilmente ilustrados com o auxilio do IVMZ. A figura 3, por exemplo, mostra o layout do IVMZ operando a partir de uma configuração bastante simples. Nessa configuração, o segundo divisor de feixes foi retirado do experimento e foram colocados dois filtros

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polaróides, um em cada braço do interferômetro, para determinar a direção de polarização do feixe luminoso. O filtro polaróide 1 (mais à esquerda na figura 3) tem seu eixo de polarização orientado na direção horizontal (0º), enquanto que o filtro polaróide 2 (mais à direita) está orientado na vertical (90º com relação e essa mesma direção).

Figure 03: Aproximadamente metade dos fótons é detectada no segundo anteparo.

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De acordo com esse arranjo experimental, o feixe luminoso, emitido pela fonte, é dividido em duas componentes pelo divisor de feixes. Cada componente é direcionada para um dos filtros polaróides, colocados na direção dos anteparos. Após repetir o experimento inúmeras vezes, pode-se observar que aproximadamente metade da intensidade do feixe luminoso (ou seja, aproximadamente metade dos fotos emitidos) é detectada no anteparo 2 (mais à direita na figura 3), enquanto que nenhum fóton é detectado no anteparo 1 (mais à esquerda). É importante destacar que, nesse caso, cada fóton está num certo estado de polarização (DIRAC, 1947). Sabendo-se que cada fóton tem igual probabilidade de ser refletido ou refratado pelo divisor de feixes, é possível concluir que os fotos emitidos pela fonte encontram-se no estado de polarização horizontal! Isso porque todos os fótons que foram refletidos pelo divisor de feixes foram bloqueados (absorvidos) pelo filtro polaróide 2.

Ao ajustar os filtros polaróides para que ambos estejam orientados à 45º com relação à direção horizontal, no entanto, pode-se observar que após muitas medidas aproximadamente metade dos fótons são detectados no anteparo 1, enquanto que o restante dos fótons são detectados no anteparo 2 (conforme mostra a figura 4). Lembrando-se de que em cada medição o feixe luminoso é constituído de apenas um único fóton, como é possível explicar esse resultado?

De acordo com os postulados da mecânica quântica, o estado de polarização do fóton, que nesse caso está orientado segundo à direção horizontal, deve ser pensado em termos da superposição de dois autoestados mutuamente excludentes: o autoestado de polarização paralelo ao eixo de polarização dos filtros

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polaróides e o autoestado de polarização perpendicular a essa mesma direção de polarização. Isto significa que o fóton encontra-se parcialmente polarizado na direção paralela ao eixo de polarização dos filtros polaróides e parcialmente polarizado na direção oposta (perpendicular). Ao ser submetido à observação, o fóton, no entanto, é forçado a pular para um dos seus autoestados. Em outras palavras, o fóton subitamente deixa de estar parcialmente em um autoestado de polarização e parcialmente em outro para estar completamente em um dos possíveis autoestados de polarização, que nesse caso é a direção paralela ou perpendicular ao eixo de polarização dos filtros polaróides. Desse modo, o fóton ou é transmitido com a mesma direção de polarização definido pelo filtro polaróide (modificando seu estado inicial), ou é absorvido pelo mesmo.

Figure 04: Aproximadamente um quarto dos fótons é detectado em cada anteparo.

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Esse colapso é o resultado do distúrbio causado pelo processo de medição. Antes de observação, é impossível determinar qual será o estado de polarização do fóton. Apenas é possível determinar a probabilidade de encontrar o fóton em um dos autoestados de polarização possíveis, o que neste caso resulta em 50% de chance para cada direção de polarização (paralelo e perpendicular ao eixo de polarização dos filtros polaróides).

## Considerações finais

Nesse trabalho, apresentamos uma proposta instrucional para o ensino de mecânica quântica no ensino médio. Essa abordagem se baseou na formulação canônica da mecânica quântica na qual seis postulados desempenham um papel fundamental. Os postulados foram apresentados a partir de uma versão conceitual na qual o formalismo matemático foi evitado. Alguns dos postulados foram discutidos à luz das simulações apresentadas no Interferômetro Virtual de Mach-Zehnder (IVMZ).

Como exemplo de assistência computacional, apresentamos no presente trabalho apenas um simples experimento no qual a medição do estado de

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polarização do fóton é descrita em termos dos postulados da teoria quântica. Porém, o uso do IVMZ, conforme proposto nesse trabalho, envolve a detecção de um único fóton (figuras 4) e o fenômeno da interferometria quântica (figura 5). Essa proposta instrucional será testada com uma turma de estudantes do ensino médio de uma escola da rede pública em outubro desse ano. Os resultados dessa avaliação didática deverão estar disponíveis em março de 2011.

Figure 05: Detecção de um único fóton.

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Figure 06: Interferência para fótons únicos.

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Uma nova versão do IVMZ está sendo desenvolvida pelo nosso grupo de pesquisa. A ideia é incluir detectores de não-demolição para discutir questão como o

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problema da medida e o quinto postulado da mecânica quântica. Além disso, um cristal KDP deverá estar disponível para substituir o primeiro divisor de feixes no intuito de demonstrar o fenômeno de emaranhamento. A versão preliminar do IVMZ utilizado nesse trabalho está disponível no seguinte endereço eletrônico:

## www.if.ufrgs.br/~fernanda

## Agradecimentos

A terceira autora do presente trabalho agradece o Comitê Nacional de Pesquisa (CNPq) pelo auxílio financeiro.

## Referências

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