INVESTIGANDO O SOM EM TAÇAS DE CRISTAL - UMA EXPERIÊNCIA INTERDISCIPLINAR

## INVESTIGANDO O SOM EM TAÇAS DE CRISTAL - UMA EXPERIÊNCIA INTERDISCIPLINAR

## Pedro Vinícius Garagnani , Gustavo Teixeira Rüdiger , Vinícius da Silva 1 2 Arcanjo 3 , Jorge Alberto Lenz , *Arandi Ginane Bezerra Jr 4 5

1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR, pedro\_garagnani@yahoo.com.br 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR, gustavotrudiger@gmail.com 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR, arcanjov8@gmail.com 4 Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Departamento de Física, lenz@utfpr.edu.br 5 Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Departamento de Física, arandi@utfpr.edu.br

## Resumo

Neste trabalho são apresentados e discutidos resultados de um projeto de pesquisa interdisciplinar envolvendo professores e estudantes de cursos de Licenciatura em Física e de Engenharia de Computação. O objetivo é a investigação experimental de fenômenos físicos com auxílio de programas computacionais de código aberto que permitam o estudo de efeitos físicos não-triviais, mas que, ao serem estudados, podem ser valiosos na elaboração e no desenvolvimento do pensamento científico. Assim, os artefatos usados no ensino devem estar ligados a um estudo aprofundado e circunstanciado que permita seu uso crítico em sala de aula, para explorar situações problema e favorecer o aprendizado significativo. O trabalho consiste em um estudo sobre o fenômeno da ressonância em taças de cristal. A inspiração para o ensino de Física está no interesse de compreender, de forma científica e lúdica, como o ato de esfregar um dedo úmido ao redor da borda de uma taça de cristal faz com que seja emitido um som. Apesar de parecer algo trivial, há uma série de resultados que são pouco intuitivos e que, com o software e a abordagem desenvolvidos neste trabalho, podem ser explorados de forma a despertar a atenção e a contribuir para um ensino mais dinâmico e interessante.

Palavras-chave : Ressonância, Oscilações, Taças de cristal, Laboratório de Física, Ondas sonoras.

## Introdução

Atualmente, há uma série de discussões e reflexões a respeito de como abordar aspectos da Física Experimental e do Laboratório de Física nas aulas de Física (CHAVES e SHELLARD, 2005; GALVEZ e SINGH, 2010; ETKINA et al, 2002). Nota-se também uma tendência interessante, por parte de diversos grupos de pesquisa, de desenvolver e divulgar novas tecnologias educacionais, experimentos e abordagens envolvendo baixo custo e, ao mesmo tempo, alta qualidade acadêmica (CAVALCANTE et al, 2009; BEZERRA-JR et al, 2010). Neste sentido, o trabalho aqui exposto está inserido em um projeto mais amplo que visa à elaboração de experimentos adaptáveis a disciplinas e aulas de laboratório nos diversos níveis de ensino e que possibilitem aos professores realizar melhor a transposição didática em Física, incluindo o uso crítico e referenciado de computadores e tecnologias educacionais (CAVALCANTE et AL, 2009; BEZERRA-JR et al, 2010; BEZERRA-JR et al, 2010; PAUL-JR et al, 2010; FIOLHAIS E TRINDADE, 2003).

O potencial pedagógico das atividades informatizadas precisa estar articulado com os currículos e com a prática pedagógica para que sejam desenvolvidas e usadas ferramentas que despertem o interesse pela Física e elevem o desempenho

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dos estudantes no estudo desta ciência (FIOLHAIS e TRINDADE, 2003). Assim, entendemos que uma excelente maneira de auxiliar no processo de ensinoaprendizagem é aliar as atividades experimentais aos recursos informatizados (DA PAZ, 2007) e aumentar a possibilidade de serem visualizadas figuras, simulações e filmes para uma melhor construção do conhecimento. Além disso, entendemos que, para a realidade educacional brasileira, seja importante desenvolver sistemas e artefatos baseados em tecnologias livres (BEZERRA-JR et al, 2010).

O aspecto interdisciplinar do trabalho está associado à colaboração existente entre professores e estudantes ligados aos cursos de Licenciatura em Física e de Engenharia de Computação da UTFPR. Um dos principais pontos de encontro, discussão e desenvolvimento de projetos voltados ao Ensino de Física tem sido a disciplina de Oficinas de Integração 1, do curso de Engenharia de Computação do Campus Curitiba da UTFPR (MERKLE et al, 2008; MERKLE et al, 2010). Um dos objetivos desta disciplina é, justamente, a articulação de conhecimentos de computação ( software e hardware ) que permitam ao aluno também integrar outros conhecimentos obtidos em matérias de formação geral e específica. Assim, o Ensino de Física tem sido objeto de debate e elaboração neste grupo que extrapola os limites do Departamento de Física - e que, também por isso, permite avanços mais significativos no desenvolvimento e uso de tecnologias computacionais para o ensino. Um exemplo que ilustra esta dinâmica é o projeto que visa a estudar a maneira como taças de cristal emitem som, quando submetidas ao atrito.

Um curioso fenômeno que algumas vezes observa-se é o de fazer uma taça ou copo 'cantar', passando um dedo úmido repetidamente ao redor de sua borda. Tecnicamente, isto corresponde ao fenômeno de ressonância da taça. Apesar de aparentar ser um fenômeno simples, este depende de inúmeros fatores e conceitos físicos relativamente complexos. Devido a diversas propriedades, as ondas sonoras produzidas pelas taças apresentam variações de frequência, timbre e intensidade, entre outras. Uma maneira excelente de avaliar essas características seria a possibilidade de visualizar a onda emitida pela taça e suas propriedades, pois isto permitiria aos professores e estudantes relacionar os elementos estruturais e geométricos da taça com os atributos da onda captada. Oferecer diversas formas de visualizar o problema é uma grande chave para a construção do aprendizado.

## Metodologia

## Uma discussão inicial

No início, o projeto consistiu em um estudo do fenômeno físico por parte dos estudantes de computação. É neste contexto que se apresenta o conteúdo de Física que segue. Esta discussão reflete o trabalho realizado pelos estudantes de Engenharia de Computação no processo de torná-los mais aptos a desenvolver a ferramenta computacional, esta voltada ao Ensino de Física. Por isso, o estudo conjunto da Física permitiu tanto um maior entendimento do problema como - e isto é fundamental neste tipo de trabalho - a aproximação de profissionais de áreas diferentes, numa dinâmica interdisciplinar. A programação, que levou ao artefato a ser usado pelo professor de Física, surgiu desta rica e dialogada interação. Note-se que também a compreensão, por parte dos profissionais da Física, de muitos aspectos computacionais - e da importância e contexto das tecnologias livres - foi ampliada a partir do contato com os profissionais da área de computação.

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## O Problema de Física

Inicialmente, é necessário compreender como se dá a emissão do som pelas taças. Se fizermos duas ou três taças diferentes cantar, é fácil perceber uma variedade sonora muito grande entre elas. Umas terão sons mais graves ou agudos, e, certamente, as de cristal de maior qualidade produzirão um som mais puro e contínuo. Isso se dá por características físicas das taças, tais como sua qualidade, espessura e diâmetro. Mas, para compreender o papel de cada uma, é necessário primeiramente entender o que é a ressonância e como ela se apresenta.

## Definição de Ressonância

Quando um agente externo interage fornecendo energia a um sistema e este passa a vibrar em sua frequência natural, acontece a ressonância (TIPLER, 1984).

Quando a frequência de excitação é igual à frequência natural do oscilador, a energia absorvida por este é máxima. No entanto, todo sistema oscilante tende a diminuir gradualmente suas oscilações devido à dissipação de energia, seja ela por causa do atrito, amortecimento ou qualquer outra força que se oponha ao movimento de oscilação. Para manter um corpo em oscilação, é necessário fornecer energia ao sistema (TIPLER, 1984).

Essa definição pode ser aplicada diretamente ao nosso sistema - de fato, quando se passa um dedo ao redor da borda da taça está apenas fornecendo energia para ela através do atrito e, consequentemente, fazendo-a vibrar em sua frequência natural. Várias são as abordagens possíveis - e em diferentes níveis de profundidade - para compreender este fenômeno (FRENCH, 1983; CHEN, 2005; ARANE, 2009; ROSSING, 1990; BERNER, 2000; ARAUJO, 1997).

## Diferenciação entre o Cristal e o Vidro

Ao se fazer uma taça de cristal ressoar, nota-se uma nota mais intensa e contínua do que numa taça ou copo de vidro comum. De forma sucinta, o que difere o cristal do vidro comum é que, em nível molecular, o primeiro apresenta uma estruturação cristalina, o que não acontece com o segundo. Um sólido cristalino é um sólido que apresenta um arranjo regular de átomos dispostos em uma rede tal que sua estrutura é formada pela repetição de um grupo de átomos denominado base, que é periódica na estrutura. Uma taça de cristal, por exemplo, devido a métodos de fabricação mais sofisticados, apresenta esse arranjo cristalino em sua estruturação molecular. Já no vidro comum, não existe essa periodicidade, sendo o vidro considerado um sólido dito amorfo.

Portanto, quando um agente externo fornece energia para os átomos do cristal, estes aumentam a sua amplitude de vibração de forma mais uniforme do que os átomos presentes no vidro, fazendo com que a ressonância no cristal seja mais bem observada.

Na figura 1, pode-se perceber a diferença entre as duas estruturas: a nãocristalina, caótica e desorganizada e a cristalina, que apresenta uma periodicidade e ordenação em suas moléculas.

## Modos de Vibração

Há diversas maneiras de se provocar a ressonância em uma taça (FRENCH, 1983; CHEN, 2005; ARANE, 2009; ROSSING, 1990; BERNER, 2000; ARAUJO,

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1997). Independentemente do método utilizado, a taça responderá emitindo essencialmente uma mesma frequência - a frequência natural.

Ao contrário do que possa parecer, o som que se escuta não é proveniente de cada molécula do vidro singularmente oscilando, mas sim de toda a taça vibrando como um todo e, dependendo da forma como ocorre a excitação, a taça vibra de formas diferentes (ROSSING, 1990; BERNER, 2000):

Figura 2a

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Figura 1: a -Estrutura atômica não-cristalina . b -Estrutura atômica cristalina.

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Assim, quando se passa o dedo em volta da borda da taça, faz-se com que ela vibre no modo mais baixo de vibração, conhecido por (2,0) conforme a figura 2. Já quando se bate nela com uma colher, faze-se com que ela vibre em outros modos mais altos (ROSSING, 1990).

O que acontece, aproximadamente, nesse modo fundamental de vibração é que a borda muda de circular para elíptica duas vezes por ciclo, como mostra a figura 2b (ROSSING, 1990).

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Figura 2: a -visões da lateral e de baixo de um sino vibrando em dois de seus mais baixos modos de vibração. b -visão (exagerada) do topo de uma taça vibrando em seu modo fundamental (2,0) (ROSSING, 1990).

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## Elementos estruturais presentes na ressonância

Deduzir leis e teoremas para explicar o papel de cada característica estrutural de uma taça de cristal no som que ela pode produzir não é uma tarefa simples. Como não há uma padronização precisa, cada taça pode ser considerada um sistema único. Além disso, elas possuem espessuras e diâmetros variáveis, o que complica ainda mais o formalismo matemático da análise. Dessa maneira, para

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explicar o comportamento das taças segundo suas propriedades, é conveniente tomar um sistema mais simples e associá-lo ao sistema das taças.

Note-se que uma característica dos modos de sino observados nas taças é sua similaridade com os modos vibracionais de pratos planos. Numa taça de cristal, assim como num prato circular plano, o modo fundamental de vibração é o (2,0), e nesse modo a frequência é diretamente proporcional à espessura. Essa relação pode parecer controversa à primeira vista, mas como a frequência de ressonância depende primariamente da rigidez do material e esta, por sua vez, aumenta com a espessura (t) ao quadrado (enquanto a massa aumenta apenas com t na primeira potência); então, concluímos que quanto maior a espessura, ou seja, quanto mais grossa for a borda de uma taça, maior a sua frequência de ressonância (ROSSING, 1990).

Comparando as taças com outro sistema, como a vibração de um cilindro de paredes finas, é possível estabelecer uma relação entre a frequência e o diâmetro. Para estabelecer essa conexão, é preciso entender primeiramente que as ondas estimuladas no interior de um cilindro de paredes finas (visíveis quando ele está cheio d'água) não são ondas sonoras longitudinais, mas 'flexurais' (ROSSING, 1990). Sabe-se, então, que a velocidade destas ondas é proporcional à raiz da sua frequência. Dessa maneira, considerando o tempo que a onda demora em atravessar a circunferência do cilindro como sendo equivalente ao seu período, conclui-se que a frequência é inversamente proporcional ao raio, ou seja, quanto maior o diâmetro da taça, menor sua frequência de ressonância. E, como nessa relação com o cilindro a altura não é uma variável importante, é possível dizer que a altura da taça é um fator praticamente desprezível na determinação de sua frequência (ROSSING, 1990), uma conclusão pouco intuitiva, à primeira vista.

## Como um líquido altera a frequência de uma taça

Na figura 3 a seguir temos uma representação das frequências de uma taça em diversas situações experimentais.

Figura 3: a - da esquerda para a direita, a taça está vazia, cheia por fora, cheia dentro, cheia dentro e fora no mesmo nível, respectivamente. b A frequência f2 de uma taça cheia com água diminui para f4 se uma coluna rígida é inserida no centro, porém, mantendo a água no mesmo nível.

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Figura 3a

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Figura 3b

Assim, visualizam-se, na figura 3, duas situações muito contra-intuitivas: 1) a frequência de uma taça ser maior cheia de água por fora do que cheia dentro; 2) a frequência de uma taça cheia de água é maior do que uma com menos água, porém com uma coluna rígida inserida.

Pode-se perceber, então, como é contraditório afirmar que a frequência da taça depende apenas da quantidade de massa que participa da vibração. No caso 1, observamos que há uma massa maior de água presente na ressonância da taça f 1 do que na da f 2 e, mesmo assim, a frequência produzida pela primeira é maior. No caso 2 é mais surpreendente, pois a coluna, ao diminuir a quantidade de água na taça, reduz ainda mais a frequência emitida. Mais interessante ainda é que, ao

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diminuir a quantidade de água entre a parede da taça e o objeto, ou seja, ao aumentar o volume do objeto - porém, tirando mais água da taça -, a frequência diminui ainda mais. Isso ocorre porque a água é um liquido essencialmente incompressível, e a redução na capacidade da taça devido à imersão de um objeto sólido é acompanhada por um aumento no fluxo lateral do fluido, aumentando a pressão na parede do vidro. Essa crescente pressão do fluido retarda a vibração da taça e diminui a frequência emitida (CHEN, 2005).

## Desenvolvimento do aparato para o ensino

Depois deste processo de estudo, seguiu-se um planejamento em que buscamos criar um software em linguagem Java. Para adequar o software aos propósitos do trabalho, partimos do pressuposto que o mesmo deveria ser livre e aberto, para facilitar sua apropriação e difusão. O software desenvolvido teve basicamente 3 objetivos:

- 1- Permitir ao usuário obter a frequência de uma onda sonora - por exemplo, o som emitido por uma taça real. Com isto, podem-se verificar experimentalmente os aspectos teóricos (em processo de serem) estudados;
- 2- Programar um módulo 'afinador', tornando o software um meio eficiente e simples para se afinar um instrumento musical - ou 'calibrar' a freqüência sonora de uma taça;
- 3- Permitir ao usuário captar uma onda sonora, usando o microfone do computador, e analisá-la através de um gráfico da Intensidade sonora versus Tempo.

Para atingir esses objetivos, primeiramente foi necessário uma maneira de obter a frequência de uma onda sonora. Após breve pesquisa, foi verificado que havia a necessidade de se fazer uso da Transformada Rápida de Fourier, para se obter o espectro da frequência. Basicamente, o funcionamento do programa consiste em captar o som em um determinado intervalo de tempo, fornecido pelo usuário, de forma cíclica. Sendo assim, a frequência predominante no som é exibida na janela do programa, juntamente com o gráfico da Intensidade (relativa ao microfone) pelo tempo. Enquanto o programa estiver executando, é mostrada uma janela complementar como forma de registro de todas as frequências que foram captadas. Além disso, é exibida também outra janela - que é uma interface de um afinador que compara e exibe, através de um código de cores, como a frequência obtida se aproxima de uma nota musical. Ao finalizar a captura do sinal sonoro, o programa permite visualizar um gráfico contínuo de toda a onda, para análise e estudo.

## Resultados e Discussão

Para podermos realizar experimentos com as taças, primeiramente tivemos de comprovar a eficácia do software, ou seja, se as frequências medidas pelo programa eram realmente as frequências emitidas pelas respectivas fontes sonoras. Para isso, foram utilizados diapasões de freqüências conhecidas como de 1700 Hz e outro de 440 Hz. Uma tela do programa e o valor medido da freqüência podem ser vistos na figura 4.

As frequências medidas de 1701,13 Hz (para o diapasão de 1700 Hz), e de 441,43 Hz (para o de 440 Hz), revelam erros de 0,07% e 0,32%, respectivamente, confirmando a eficácia do software desenvolvido. Desta forma, surgiu uma ferramenta importante para o estudo da ressonância em taças de cristal.

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Figura 4: Imagem da tela do programa captando a onda sonora emitida pelo diapasão de 1700Hz (o diapasão é mostrado no detalhe).

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Como foi visto anteriormente, a frequência emitida por uma taça é diretamente proporcional à espessura e inversamente proporcional ao seu diâmetro. Foram utilizadas 4 taças (vide a figura 5) de diferentes tamanhos e formas, para uma verificação experimental.

Figura 5 : Diferentes taças utilizadas e suas freqüências de ressonância medidas com nosso programa: A: 968.99 Hz; B: 791.34 Hz; C: 753.34 Hz; D: 1356.59 Hz.

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Os resultados obtidos, apresentados na figura 5, são satisfatórios, pois, como se pode perceber, a frequência quase sempre diminui da menor para a maior taça, o que corresponde à teoria pesquisada; a única exceção é a taça de cerveja (C) que apresenta uma frequência menor que a de vinho (B) logo a sua esquerda isso se deve ao fato de que a taça de vinho (B), apesar de possuir grande diâmetro, possui uma borda bem mais espessa, assim, o resultado está em acordo com os aspectos teóricos estudados.

Outro fenômeno que também se pode verificar foi a diminuição da frequência de uma taça quando enchida com água. Na figura 6, a taça vazia (796,73 Hz).

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Figura 6: Com taça vazia: frequência = 796,73Hz . A taça aparece no detalhe.

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Figura 7. A taça da figura 6, agora preenchida com água. f= 452,2Hz . Ocorre uma grande diminuição da freqüência, em acordo com o previsto pelas equações. A taça aparece no detalhe.

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Cabe destacar que, quando o software é usado, os estudantes tendem a prestar mais atenção e a demonstrar mais interesse no assunto apresentado. A possibilidade de realizar medições e comparar os resultados com aspectos teóricos da análise da ressonância em taças de cristal contribui para que haja um maior interesse em compreender estes mesmos aspectos, num processo interessante de realimentação: o experimento e a teoria Física vistos como partes de um processo que apresenta uma unidade fundamental, característica e beleza da ciência Física.

## Conclusão

Apresentamos um trabalho de pesquisa interdisciplinar que tem como objetivo o desenvolvimento de artefatos de baixo custo, mas com alta qualidade acadêmica, para o Ensino de Física. Nesta etapa, o objetivo foi explorar a criação de software de apoio educacional, em trabalho envolvendo estudantes e professores de Licenciatura em Física e Engenharia de Computação. Foi elaborado um programa, baseado em Java, que permite obter dados de freqüência sonora de forma simples e rápida. O código do programa é aberto e o seu exame permite aos interessados compreender aspectos importantes da lógica e da linguagem computacional. O

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artefato é livre e pode ser utilizado em aulas de Física para o estudo de ondas sonoras. Neste caso específico, demonstramos a maneira como o programa pode ser explorado no ensino do fenômeno da ressonância em taças de cristal, fenômeno este que apresenta grande complexidade teórica e, ao mesmo tempo, desperta um interesse engajado por parte dos estudantes. Sugerimos que este enfoque é uma alternativa que pode ser usada em abordagens que visam à aprendizagem significativa no Ensino de Física (MOREIRA, 2010). Os interessados em obter cópia do programa podem solicitá-la por correio eletrônico aos autores.

## Referências

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