FÍSICA COM O GOOGLE EARTH

## FÍSICA COM O GOOGLE EARTH

## Anderson R. Souza 1 , Carlos E. Aguiar 2

1 Instituto de Física / UFRJ e Colégio Pedro II, andersoncp2@gmail.com 2 Instituto de Física / UFRJ, carlos@if.ufrj.br

## Resumo

Ondas na superfície da água são observadas com facilidade e fornecem ótimas ilustrações de fenômenos ondulatórios básicos, como reflexão, refração, interferência, difração e dispersão. Imagens aéreas de ondas em mares, rios e lagoas, por exemplo, podem ser transformadas em material instrucional interessante e de grande aplicação prática. Uma fonte quase inesgotável de imagens desse tipo é o Google Earth, um programa gratuito que dá acesso a um conjunto de fotografias aéreas e de satélites que cobrem todo o planeta. Neste trabalho nós propomos utilizar a física das ondas na água para medir a velocidade de barcos que aparecem nas imagens do Google Earth. Isso é possível porque o movimento dos barcos deixa para trás uma esteira de ondas que pode ser observada em detalhe nas fotografias acessadas pelo programa. Com um pouco de cinemática e noções básicas sobre a propagação de ondas na água, podemos relacionar o padrão ondulatório da esteira à velocidade da embarcação. Esse método de medir a velocidade de um barco a partir de fotografias aéreas é muito simples e, com uma discussão prévia a respeito da propagação de ondas na água, pode ser utilizado mesmo no ensino médio. Nós verificamos isso com alunos das três séries do ensino médio de uma escola pública em Niterói, RJ. Eles mediram a velocidade de barcos localizados com o Google Earth nos mais diversos locais do mundo. Uma das embarcações analisadas era utilizada regularmente como meio de transporte por alguns alunos, o que permitiu comparar a velocidade calculada com a velocidade de cruzeiro informada pela companhia que operava o serviço. O uso do Google Earth como ferramenta de análise tornou a atividade atraente aos alunos, e a discussão da física das ondas de superfície permitiu introduzir de forma natural conceitos que raramente são tratados no ensino médio, como dispersão.

Palavras-chave : ondas; ondas na água; Google Earth.

## 1. Introdução.

Ondas na água são encontradas com frequência em situações cotidianas, mas estão pouco presentes nos currículos de física. Essas ondas costumam despertar grande interesse nos estudantes e, ainda que sua análise quantitativa exija um desenvolvimento matemático relativamente avançado, alguns aspectos conceituais podem ser discutidos com proveito em sala de aula. Há várias razões para isso. As ondas na superfície da água estão entre os poucos exemplos de fenômenos ondulatórios que são facilmente observados (ondas sonoras são invisíveis; a luz, embora visível por definição, não manifesta com facilidade sua natureza ondulatória). Outro aspecto interessante das ondas na água é que elas apresentam dispersão - sua velocidade de propagação depende do comprimento de onda. Em abordagens introdutórias de física das ondas, a dispersão só costuma aparecer em discussões do índice de refração da luz. As ondas na água podem ilustrar esse importante fenômeno ondulatório num contexto mais corriqueiro, ajudando a esclarecer seu significado e implicações.

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30 de janeiro a 04 de fevereiro de 2011

As revistas especializadas em ensino de física têm registrado o desenvolvimento de materiais didáticos dedicados às ondas na água, e vários exemplos podem ser encontrados na literatura nacional. Santos (2005) fez uma interessante discussão conceitual sobre a velocidade de propagação e a intensidade do tsunami ocorrido na Indonésia em 2004. Silveira e Varriale (2005) e Meirelles e Violante-Carvalho (2007) analisaram a refração, difração, dispersão e 'empinamento' das ondas oceânicas. Em 2008, Souza Barros e Santos voltaram ao assunto discutindo conceitualmente a propagação das ondas no mar e o movimento das partículas na água devido à ação das forças restauradoras. Recentemente, o comportamento das ondas em águas rasas e profundas foi estudado com maior rigor matemático por Fernandes e Alves (2009).

Neste artigo nós descrevemos uma aplicação prática da física das ondas na água: medimos a velocidade de um barco a partir de uma fotografia da esteira que ele deixa atrás de si. A medida é muito simples e depende apenas de conhecimentos básicos de cinemática e física ondulatória. O método de medida revelou-se bastante atraente aos estudantes, por envolver um instrumento que muitos já utilizavam por diversão - o Google Earth. O artigo está organizado da seguinte maneira. Na seção 2 discutimos brevemente o Google Earth e mostramos que a resolução das fotografias é suficiente para revelar inúmeras imagens de barcos em movimento e detalhes de suas esteiras. A descrição do padrão ondulatório definido por essas esteiras é feita na seção 3. Na seção 4 discutimos como as imagens do Google Earth e a física das ondas na água podem ser usadas para determinar a velocidade de barcos que navegam pelos mais diversos lugares do mundo. A seção 5 contém alguns comentários finais e conclusões. No apêndice 1 apresentamos uma forma simples de calcular a velocidade de propagação de ondas na superfície da água.

## 2. O Google Earth

O Google Earth (http://earth.google.com) é uma espécie de 'navegador' geográfico, lançado pelo Google em 2005. O programa dá acesso online a um enorme banco de dados com fotografias aéreas e de satélites, que cobrem quase toda a superfície terrestre. A resolução das imagens depende da importância do local que se deseja explorar, podendo ir de 10 cm em alguns centros urbanos até 15 m em muitas áreas rurais. Imagens tridimensionais também estão disponíveis em vários locais, e sua resolução vertical pode variar de 10 m a 90 m.

Dada a riqueza de informação disponível aos usuários do Google Earth, é tentador buscar aplicações do programa em contextos educacionais. A Geografia e demais Ciências da Terra são candidatas óbvias, mas existem outras possibilidades. Na Física, uma oportunidade interessante é oferecida pela notável resolução de algumas imagens, que nos permitem localizar barcos em movimento e observar detalhes das ondas produzidas em sua esteira. Um exemplo está na figura 1, que mostra um barco na baía de Sydney, na Austrália. Como veremos a seguir, com os dados disponíveis na foto e um pouco de conhecimento sobre ondas na água podemos facilmente calcular a velocidade do barco.

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Figura 1: Barco na baía de Sydney, Austrália.

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## 3. A esteira de Kelvin

Perto da embarcação, a onda produzida por um barco em movimento apresenta uma estrutura complexa, que depende do formato do casco, da velocidade e de muitos outros fatores. A distâncias maiores a situação torna-se mais simples, e a onda ganha uma forma universal chamada esteira de Kelvin (Thomson, 2001)

As ondas de Kelvin seguem o barco sem mudar de forma, isto é, permanecem estacionárias no sistema de referência do próprio barco. A figura 2 mostra as frentes de ondas da esteira de Kelvin produzida por um barco em águas profundas. A esteira fica restrita a uma região em forma de cunha, delimitada por linhas que fazem um ângulo de cerca de ±19,5° com a direção do movimento do barco. Apenas ondas evanescentes estendem-se além do domínio da 'cunha de Kelvin'. Duas espécies de ondas podem ser notadas dentro da cunha: ondas divergentes, com frentes de onda em formato de 'V' que se afastam da trajetória do barco, e ondas transversais, cujas frentes de onda tendem a seguir o movimento da embarcação.

Figura 2: A esteira de Kelvin em águas profundas. As linhas tracejadas indicam o caminho do barco e a fronteira da cunha de Kelvin. Ondas evanescentes fora da cunha são mostradas como linhas pontilhadas.

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As ondas divergentes e transversais se encontram na fronteira da cunha de Kelvin; além desse limite a amplitude das ondas decai exponencialmente. Um cálculo das frentes de onda de Kelvin baseado em argumentos geométricos pode ser encontrado em Lighthill (2001).

A amplitude ao longo de uma frente de onda não é constante; ela geralmente aumenta perto dos limites da cunha de Kelvin. Ondas divergentes e

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transversais também podem ter amplitudes muito diferentes. Barcos pequenos e rápidos tendem a produzir fortes ondas divergentes e praticamente nenhuma onda transversal. A figura 3 é um exemplo disso (veja também a figura 1). Por outro lado, barcos grandes e lentos têm seus padrões de Kelvin dominados por ondas transversais, como vemos na figura 4.

Figura 3: Ondas divergentes produzidas por barcos pequenos e rápidos na Ilha Grande, RJ, Brasil.

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Figura 4: Ondas transversais num barco em Santarém, PA, Brasil.

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É importante ressaltar que, ao contrário do que sugerem diversos livros de física básica (Tipler, 2000; Alonso e Finn,1972; Nussenzveig, 1990), a cunha de Kelvin não tem a mesma origem do cone de Mach produzido por um avião ultrasônico, por exemplo. O ângulo de abertura da cunha de Kelvin é sempre ± 19,5°, qualquer que seja a velocidade do barco. Já o cone de Mach tem uma abertura que depende da velocidade da fonte sonora. A diferença de comportamentos é causada, basicamente, pela dispersão das ondas na água.

## 4. Medindo a velocidade de barcos com o Google Earth

Para nossos propósitos, a característica mais importante do padrão de ondas de Kelvin é que ele se movimenta junto com o barco. Por causa disso, existe uma relação simples entre a velocidade v do barco, a velocidade (de fase) c das ondas na água e o ângulo θ que as frentes de onda fazem com a direção de movimento do barco:

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A equação (1) é facilmente obtida da cinemática das frentes de onda. Isto pode ser visto na figura 5, que mostra parte de uma frente de onda em dois instantes

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separados pelo intervalo de tempo t . Durante este tempo o barco e o padrão de onda percorrem uma distância vt, da direita para a esquerda. Por outro lado, o deslocamento da onda na direção perpendicular à frente de onda é ct . Aplicando um pouco de trigonometria, obtemos a equação (1).

Figura 5: Seção de uma frente de onda produzida pelo barco, em dois momentos distintos separados pelo intervalo . O barco move-se da direita para a esquerda t com velocidade v , e a velocidade de fase da onda é c .

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Em águas profundas, ondas de comprimento de onda λ têm velocidade de fase dada por

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onde g é a aceleração da gravidade. Uma demonstração simples desse resultado pode ser encontrada no apêndice 1. O fato da velocidade de fase c depender do comprimento de onda λ indica que a propagação de ondas em águas profundas sofre dispersão. Em águas rasas isso não acontece, como também está demonstrado no apêndice 1. Análises detalhadas do comportamento da velocidade em função da profundidade da lâmina d'água podem ser encontradas em Crawford (1968), Feynmann, Leighton e Sands. (1963), Silveira e Varriale (2005) e Fernandes e Alves (2009).

Ao substituirmos a equação (2) em (1), obtemos

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O interessante na equação (3) é que ela nos permite calcular a velocidade do barco a partir de λ e θ , duas quantidades que podem ser medidas diretamente a partir das imagens do Google Earth.

Um exemplo de como isso é feito está na figura 6, que mostra uma embarcação na baía de Guanabara, RJ. A escala de distância foi fixada pelo próprio Google Earth. Utilizando um programa de análise de imagens (usamos o ImageJ , disponível em http://rsbweb.nih.gov/ij/), medimos o comprimento de onda e o ângulo indicados na figura, obtendo λ = 22 m e θ = 43°. Com estes resultados, e considerando g = 9,8 m/s², aplicamos a equação (3) e encontramos v = 31 km/h para a velocidade do barco. A embarcação foi identificada como o catamarã Pégasus , que à época da foto realizava serviços de transporte público entre as cidades do Rio de Janeiro e Niterói. A velocidade de cruzeiro deste catamarã era de 33km/h (informação obtida na Barcas SA , proprietária do barco) em bom acordo com o resultado que calculamos.

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Figura 6: Foto do Google Earth mostrando uma embarcação na Baía da Guanabara. Medidas feitas sobre a imagem mostram que λ = 22 m e θ = 43°. O fator de escala de 50 m é dado pelo Google Earth. A velocidade calculada do barco é 31 km/h.

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Na figura 7 vemos duas medidas independentes da velocidade do barco já mostrado na figura 4. A primeira medida foi realizada próxima do limite da cunha de Kelvin e resultou em λ 1 = 6,0 m e θ 1 = 41,4°, o que leva a uma velocidade de 4,6 m/s. A segunda foi feita ao longo da linha de movimento do barco e resultou em λ 2 = 14,1 m e θ 2 = 90°, dando uma velocidade de 4,5 m/s. A semelhança desses dois resultados mostra que o método é bastante confiável - o valor obtido para a velocidade não depende do ponto da esteira utilizado na medida.

Figura 7: Medidas de λ e θ em pontos diferentes da esteira do barco mostrado na figura 4. Os cálculos indicam que a velocidade do barco é cerca de 4,5 m/s.

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## 5. Comentários finais

Os exemplos acima mostram que a velocidade de barcos pode ser medida facilmente e com boa acurácia através das imagens do Google Earth. O método de medida é muito simples e ilustra propriedades básicas das ondas na água. Nós o utilizamos com sucesso em atividades práticas que envolveram cerca de 60 estudantes das três séries do ensino médio em uma escola pública em Niterói, RJ. O município fica à margem da baía de Guanabara e boa parte dos estudantes já usara o catamarã da figura 6.

Um dos pontos que mais chamou a atenção dos alunos foi a possibilidade de realizar uma tarefa que eles julgavam impossível: medir a velocidade de um objeto a partir de uma foto estática. A simplicidade dos conceitos envolvidos na medida da velocidade e a precisão dos resultados deram aos estudantes um bom

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exemplo de como a Física pode ser usada para compreender o mundo natural e dos objetos tecnológico que estão à nossa volta. A aplicação simultânea de conceitos de cinemática e de física ondulatória durante a análise também foi instrutiva, pois mostrou aos alunos como diferentes áreas da física se complementam quando utilizadas em problemas práticos, uma característica da ciência que nem sempre é percebida devido à excessiva compartimentalização dos currículos escores.

Embora as atividades tenham sido realizadas com computadores, isso não é estritamente necessário. Se as imagens do Google Earth forem impressas em folhas de papel, a mesma análise pode ser feita com régua e transferidor. Entretanto, deve ser ressaltado que o uso direto do Google Earth torna o processo muito mais atraente aos alunos, que têm a oportunidade de utilizar na sala de aula algo normalmente associado a atividades de lazer. Também vale a pena notar que, se for possível, os alunos devem buscar fotos de embarcações utilizadas no transporte público de suas cidades. Com isso eles podem comparar seus cálculos com as velocidades reais dos barcos. Além de confirmar a previsão teórica, os alunos podem achar divertido viajar nos barcos apenas para perguntar ao capitão sobre a velocidade de cruzeiro.

Um aspecto importante das atividades propostas neste artigo é que elas introduzem naturalmente conceitos pouco discutidos no ensino médio, como a dispersão de ondas. A equação (2), que descreve a velocidade das ondas na água em função de seu comprimento de onda, é um exemplo particularmente claro do fenômeno de dispersão. Relações analíticas tão simples entre a velocidade de propagação e o comprimento de onda são raras na física ondulatória, o que torna o estudo de ondas na água um ótimo meio para se introduzir a dispersão e discutir suas importantes consequências.

## Agradecimentos.

Este trabalho foi parcialmente financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ).

## Apêndice 1: A velocidade das ondas na superfície da água

Apresentaremos a seguir um método simples, baseado no princípio de Bernoulli, para obter a velocidade de ondas na superfície de águas muito profundas, ou muito rasas. Para começar, vamos considerar uma onda senoidal de amplitude A , que se desloca para a direita com velocidade c em relação à massa de água (figura 8). As partículas que estão nas cristas e vales da onda deslocam-se, respectivamente, com velocidades horizontais u e u .

Figura 8: O perfil da superfície da água durante a passagem de uma onda de amplitude A movendo-se para a direita com velocidade c .

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Em um referencial que se move junto com a onda (figura 9), as velocidades das partículas nas cristas e vales tornam-se, respectivamente, u-c e -u-c .

Figura 9: Velocidade das partículas de água na crista e no vale, vistas em um referencial que acompanha a onda.

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No referencial da onda, o fluxo de água é estacionário e podemos aplicar a relação de Bernoulli,

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que leva a um resultado muito simples:

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## Ondas em águas profundas

Se a onda está sobre uma lâmina de água profunda, observações mostram que as partículas na superfície executam um movimento circular de raio A , como ilustrado na figura 10.

Figura 10: Ondas em águas profundas. As partículas na superfície realizam movimentos circulares.

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O módulo da velocidade que as partículas têm nos vale e cristas é dado então por

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onde ω é frequência angular da onda e do movimento circular. Reunindo as equações (5) e (6), encontramos

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Lembrando que ω e o comprimento de onda λ estão relacionados por

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podemos juntar as equações (7) e (8) para obter

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Esta é a velocidade de ondas de comprimento de onda λ em águas profundas.

## Ondas em águas rasas

No regime de águas rasas, outra observação experimental nos permite simplificar a análise: as partículas situadas numa mesma linha vertical têm, todas, a mesma velocidade.

Figura 11: Volume de água entre uma crista e um vale da onda. Em águas rasas, as partículas situadas numa mesma linha vertical têm velocidades iguais.

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Analisando o fluxo de água no volume entre uma crista e um vale adjacentes (figura 11), encontramos

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onde M é a massa de água (por unidade de comprimento transversal) e h é a altura da lâmina d'água.

Por outro lado, num intervalo de tempo infinitesimal dt , a onda sofre um deslocamento dx = cdt , como ilustrado na figura 12.

Figura 12: Deslocamento da onda num intervalo infinitesimal dt .

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Observando a figura 12 vemos que variação da massa de água durante o intervalo dt é

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de onde obtemos que

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Comparando as equações (10) e (12), encontramos

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Substituindo a equação (13) na relação de Bernoulli (5), segue que a velocidade da onda em águas rasas é

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Neste caso, todas as ondas viajam com a mesma velocidade, ou seja, não há dispersão.

## Referências.

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