O PAPEL DO CONHECIMENTO OPERATÓRIO NO ENSINO/APRENDIZAGEM DE MECÂNICA QUÂNTICA

## O PAPEL DO CONHECIMENTO OPERATÓRIO NO ENSINO/APRENDIZAGEM DE MECÂNICA QUÂNTICA

## Glauco Pantoja* , Victoria Herscovitz , Marco Antônio Moreira 1 2 2

1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul/Mestrado Acadêmico em Ensino de Física, glaucopantoja@hotmail.com

2 Universidade Federal do Rio Grande do Sul/Instituto de Física, victoria@if.ufrgs.br, moreira@if.ufrgs.br

Trabalho parcialmente financiado pela CAPES

## Resumo

Os processos de ensino e aprendizagem em Física são bastante complexos. Quando o tema a ser ensinado é a Mecânica Quântica (MQ), o assunto é dificultado e muitas vezes pode até ser controverso. Neste trabalho discutimos a importância do conhecimento operatório nos processos de ensino e aprendizagem de MQ à luz da teoria dos campos conceituais de Gérard Vergnaud, bem como alguns possíveis invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) dos estudantes envolvidos na implementação de uma proposta didática, de 24 horas-aula, para o ensino de conceitos desta disciplina, que envolveu três alunos. A metodologia usada no estudo teve viés qualitativo e consistiu na análise de uma entrevista semi-estruturada realizada com os estudantes. As perguntas realizadas na entrevista foram formuladas a partir das concepções evidenciadas pelos estudantes em trabalhos anteriores. Verificou-se que alguns dos conhecimentos-em-ação, de modo geral, podem facilitar a aprendizagem significativa de conceitos de Mecânica Quântica, enquanto outros podem ser rígidos obstáculos epistemológicos.

Palavras-chave : Campos Conceituais, Aprendizagem Significativa, Mecânica Quântica, Ensino de Física.

## Introdução

O ensino de Mecânica Quântica (MQ) tem se tornado uma linha de pesquisa com relativo crescimento ao longo do tempo e é justificado por vários nomes da área de Ensino de Física, dada a sua importância. Segundo Ostermann e Moreira (2000):

'Gil et al. (1987) acreditam que o ensino de Física Moderna e Contemporânea a alunos secundaristas se reveste de grande importância, uma vez que a introdução de conceitos atuais da Física pode contribuir para dar uma imagem mais correta desta ciência e da própria natureza do trabalho científico'.

Outras justificativas mais incisivas também compõem a linha de raciocínio da inserção da MQ nos currículos acadêmicos e escolares. Como afirma Aubrecht (1989):

'... se um físico do século XIX fosse solicitado a ensinar Física em um nível introdutório usando um texto atual, ele o faria sem grandes dificuldades. Mas se este mesmo físico tentasse ler Physical Review Letters ou Physical Review ou falar sobre pesquisas atuais de física, isto seria impossível para ele' (Ostermann e Moreira, 2000, p.25, apud Aubrecht, 1989).

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Ostermann e Moreira (ibid) ainda expõem justificativas de outros pesquisadores da área de Ensino de Física que completam o quadro argumentativo da inserção da MQ no Ensino Médio.

## Referencial teórico

A questão então posta é: uma vez que é preciso ensinar MQ, quais são os elementos (processos e mecanismos) necessários para a aquisição de conhecimento nesta área da Física, dita extremamente abstrata e contra-intuitiva? Em outras palavras, poderíamos resumir o objeto de estudo aos processos de aquisição de corpos estruturados de conhecimento, considerando que o ser humano adentra estas estruturas de forma não-linear, porém progressiva.

Outro ponto a destacar é que é preciso o estabelecimento de princípios programáticos ou métodos de ensino compatíveis com a forma pela qual o ser humano se apropria do conhecimento. Neste trabalho, faremos a análise deste panorama à luz da teoria dos campos conceituais de Vergnaud.

O primeiro ponto de destaque da teoria de Vergnaud é a distinção entre o conhecimento na forma operatória e o conhecimento na forma predicativa. O primeiro destes consiste no saber-fazer, isto é, no conhecimento ligado à operação, à execução, que é implícito e algumas vezes inconsciente, enquanto a forma predicativa é aquela em que o conhecimento é passível de ser explicitado, ou seja, quando tornamos externo à nossa cognição aquilo que fazemos, ou em outras palavras, definimos objetos, propriedades, etc. (Vergnaud, 1996a, p.13)

Muitas vezes não damos o valor necessário ao conhecimento operatório, seja por falta da percepção dele (quando somos os professores) ou mesmo por desvalorização dele em relação ao conhecimento explícito, que muitas vezes pode ser literal e sem conteúdo cognitivo. Vergnaud ainda comenta que mesmo os professores estão cheios do conhecimento na forma operatória (ibid), o que nos mostra que tal forma do conhecimento não está, necessariamente, associada a alguma falta de maturidade cognitiva, senão que é um processo natural.

Vergnaud, então, propôs uma teoria que explica alguns processos cognitivos que ocorrem com o conhecimento tanto na forma operatória quanto na forma predicativa visto que, segundo o próprio autor, 'um dos problemas da psicologia cognitiva é o de reconstituir os conhecimentos implícitos na ação' (op. cit., p.14). Tal teoria é a denominada teoria dos campos conceituais (TCC).

Um dos conceitos fundamentais na TCC é o conceito piagetiano de esquema. Este é definido como a organização invariante do comportamento para uma dada classe de problemas. Registre-se que não é o comportamento que é invariante, mas sim a sua organização. Quando a mãe pede a seu filho que ele conte quantas pessoas há em casa, o menino conta (apontando com o dedo): um, dois, três, quatro (o número de pessoas na casa) e então exclama: quatro! Neste processo, a criança fez vários gestos que se organizariam da mesma forma em uma mesma classe de situações (o gesto com os olhos, o movimento dos dedos, etc).

O conceito de esquema é o conceito fundamental usado por Vergnaud para estudar as formas de organização do comportamento. Este, porém, inclui atributos que lhe 'dão forma'. O esquema proposto por Vergnaud difere do esquema piagetiano (porém é inspirado neste) pois é mais completo, visto que possui ingredientes que levam em conta o conteúdo, os conhecimentos expressos na ação, que são denominados conhecimentos-em-ação ou invariantes operatórios.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Surge, então, um ponto de convergência na constituição epistemológica da teoria. As situações com as quais um sujeito se depara precisam de conhecimentos específicos para serem dominados e estes conhecimentos devem, de alguma forma, ser representados. Assim, Vergnaud assume que campos conceituais são

'... largos conjuntos de situações cuja análise e tratamento requerem vários tipos de conceitos, procedimentos, e representações simbólicas que estão conectadas umas às outras' (Vergnaud, 1990, p. 23).

Para continuarmos a descrição, precisamos definir segundo a perspectiva de Vergnaud, o que é um conceito. Segundo o psicólogo:

- ' ...precisa-se considerar um conceito C como um tripleto de três conjuntos:

C=(S,I,R),

S: o conjunto de situações que fazem o conceito útil e significativo.

I: um conjunto de invariantes operatórios que podem ser usados por indivíduos para lidar com as situações.

R: o conjunto de representações, lingüísticas, gráficas ou gestuais que podem ser usadas para representar estes invariantes, situações e procedimentos. ' (Vergnaud, 1997, p.6).

Desta forma, temos de um lado o sujeito que possui uma gama de esquemas e as situações com que ele se depara e deve dominar progressivamente. Assim, faz sentido, então, falar de uma interação entre o esquema e a situação.

É plausível, deste modo, a proposição de Vergnaud (1996b, p.201) de que os esquemas possuem elementos componentes, a saber,

- · Objetos e antecipações;
- · Regras de ação, de aprovisionamento e de controle de informação;
- · Invariantes operatórios;
- · Possibilidade de inferência.

Dentre estes, destacamos os invariantes operatórios que, segundo Vergnaud

- '... constituem a base conceitual implícita, ou explícita, que permite obter a informação pertinente, e inferir dela, a partir desta informação e do objetivo por alcançar, as regras de ação mais pertinentes' (ibid).

Os invariantes operatórios formam, então, o conteúdo dos esquemas e fazem com que estes não mais se reduzam a construtos que levem em conta somente estruturas lógicas gerais de pensamento, mas que sejam específicas a classes de situações de certos conteúdos. Para um estudante de Física, por exemplo, faz pouco sentido introduzir um nível de desenvolvimento cognitivo geral, pois ele tem invariantes operatórios que podem estar mais explícitos, formalizados e próximos ao conhecimento científico em uma determinada área que em outra. Isto pode ser expresso na seguinte pergunta:

- - Quem é mais desenvolvido cognitivamente? Um bom estudante em Estado Sólido ou um bom estudante em Física Nuclear?

Como estamos lidando com áreas da Física que são diferentes não faz sentido, então, tratar o conhecimento como formado por uma estrutura lógica de cunho geral.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Vergnaud ainda afirma que o conhecimento-em-ação é composto de teoremas e de conceitos, isto é, teoremas-em-ação e conceitos-em-ação. Os primeiros são proposições consideradas como verdadeiras sobre o real, enquanto os segundos são objetos, atributos, relações que são ou não relevantes no domínio de uma classe de situações.

No ensino de MQ, temos um panorama cognitivo que pode ser descrito e explicado pela TCC, visto que os estudantes apresentam conhecimentos-em-ação quando se deparam com situações como as do tipo:

- - Se medirmos a componente na direção z , do spin do elétron e obtivermos valor e em seguida (em um intervalo de tempo muito curto) medirmos a componente x do spin do mesmo elétron e, por último, repetirmos a medição da componente do spin na direção z , que valor esperamos obter?

Ou

- - Um átomo de hidrogênio encontra-se no nível fundamental de energia. Se medirmos em 1000 átomos, preparados no mesmo estado, a posição do elétron, o que esperamos obter?

Os conceitos de posição, energia, momentum angular, spin, medição, superposição, estado, probabilidade, são relevantes para a análise das situações e fazem parte do campo conceitual da Mecânica Quântica. Além disto, são fundamentais para o domínio deste campo conceitual e para a formulação de teoremas-em-ação.

Vê-se facilmente que a forma operatória do conhecimento está presente nos esquemas de um sujeito quando este é posto a dominar um campo conceitual, logo esta forma de conhecimento não pode ser desvalorizada por vários motivos, dentre os quais:

- · A formulação de teoremas-em-ação é o primeiro passo para a explicitação destes. Este processo de tornar explícito o conhecimento, facilita outro extremamente importante no processo de ensinoaprendizagem: a negociação de significados;
- · O conhecimento na sua forma operatória é prático e funciona;
- · O conhecimento na sua forma operatória é predominante, inclusive nos adultos e profissionais, pois o processo de transição desta forma para a predicativa demanda tempo e esforço cognitivo.

## Metodologia de Pesquisa

O estudo em questão se vincula a um curso de 24 horas-aulas realizado com três graduados em licenciatura em Física sobre conceitos de Mecânica Quântica. Descreveremos, posteriormente, a metodologia de ensino deste curso para a percepção do contexto do estudo. A metodologia de pesquisa teve um viés preferencialmente qualitativo, isto é, os instrumentos de avaliação foram qualitativos, a saber, problemas de lápis-e-papel, entrevistas, gravações, diário de bordo, produção de mapas conceituais, etc. Em cada encontro pedia-se que os estudantes resolvessem um conjunto de problemas do tipo lápis-e-papel e algumas das aulas foram gravadas para que se fizessem notas de campo das mesmas (diário de

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

bordo). Ao final do curso, foi realizada uma entrevista com os participantes, cujos resultados (de um estudante em particular) serão comentados posteriormente.

## Metodologia de Ensino

A tônica do curso foi conceitual, versando o mesmo sobre os conceitos de sistema físico, variáveis dinâmicas, estado de um sistema físico e evolução temporal de sistemas físicos. O desenvolvimento do curso se embasou na introdução destes conceitos no domínio da MQ através de subsunção combinatória (Ausubel, 2000). A introdução do conteúdo foi feita através de situações-problema. Para abordar o conceito de sistema físico foram feitos três questionamentos, a saber, as situaçõesproblema iniciais a seguir transcritas:

- - 'Suponha que você queira estudar um fenômeno teoricamente em Física. Qual o procedimento que você adotará?'
- - 'João larga seu gato do oitavo andar do seu prédio. O que acontece com o gato? Por que?'
- - 'Uma partícula carregada eletricamente é lançada com velocidade inicial não nula em um campo eletromagnético. O que acontece com esta partícula? Você faria alguma colocação acerca do campo?'

Estas situações não são dominadas somente com um conceito, mas com vários. Desta forma, foram introduzidos os conceitos de sistema físico, interações, características externas e estrutura interna. Procuramos, além disso, realizar a diferenciação e reconciliação de cada conceito através do 'sobe-e-desce' nas hierarquias conceituais.

Introduzimos também a situação-problema do átomo de hidrogênio com vistas à MQ. Resumidamente, perguntamos porque o átomo de hidrogênio não pode ser descrito satisfatoriamente pela Física Clássica (FC). Todas as situaçõesproblema eram seguidas de discussões com os alunos.

Em seguida, promovemos, então, a diferenciação progressiva do conteúdo, mais precisamente do conceito de interações. É importante ressaltar que estes procedimentos foram intercalados por resolução de problemas de lápis-e-papel e de elaboração de um mapa conceitual.

Na segunda aula tratamos sobre o conceito de variável dinâmica e analisamos quais as semelhanças e diferenças que existem neste conceito quando inserido na FC e na MQ. Usamos situações-problema da MQ para a introdução do conceito e para tratar dos atributos de um tal conceito como o de estado de um sistema físico, por exemplo.

Buscamos a diferenciação destes conceitos e mais precisamente, do conceito de variáveis dinâmicas, que é mais geral do que seus particulares (embora frequentemente ocorrentes) exemplos (momentum, posição, energia, valores de campo eletromagnético, spin, etc). Tal conceito superordenaria estes exemplares, dado que ele é mais geral e abstrato que os conceitos que iriam ancorá-lo (Ausubel, 2000). As situações-problema, além de nos mostrarem os conceitos-em-ação e teoremas-em-ação dos estudantes, podem fornecer uma ponte cognitiva para a superodenação conceitual.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Destacamos nesta etapa o experimento de Stern-Gerlach como situação problema frutífera, para propiciar os alunos, implicitamente demonstrarem suas intuições clássicas (o que é extremamente plausível). A situação-problema em questão para ser dominada, necessita de vários conceitos, tais como os de variável dinâmica, spin, momento magnético, amplitude de probabilidade (conceito introduzido posteriormente), probabilidade, variáveis dinâmicas compatíveis e incompatíveis, estado de um sistema físico, superposição linear de estados, etc. Desta forma, o experimento de Stern-Gerlach nos foi útil como ponto de partida tanto para a introdução de outras situações-problema (a da molécula de amônia e do átomo de hidrogênio) que precisam de mais conceitos para o seu domínio, quanto de novos conceitos.

Na aula que se seguiu a esta, o tema a ser estudado foi o conceito de estado de um sistema físico que recorreu à mesma lógica de introdução dos outros conceitos (situações clássicas, introdução do conceito na FC, situações quânticas, introdução do conceito na MQ). A diferença é que o experimento de Stern-Gerlach foi a situação à qual demos mais ênfase, pois os alunos parecem tê-la compreendido. Assim, para cada conceito que inserimos, dávamos um novo olhar para a situação do experimento de Stern-Gerlach.

Na mesma aula discutimos a variável dinâmica energia e introduzimos a função hamiltoniana bem como o operador hamiltoniano na MQ, que está associada (o) à primeira. Foram, em geral, discutidos aspectos importantes do conceito, tais como o fato de a hamiltoniana (o operador hamitoniano) gerar a evolução temporal do sistema clássico (quântico), dado que guarda informações sobre as interações, entre outros.

Na quarta e na quinta aula, foram feitas discussões mais voltadas à MQ, no que tange ao conceito de evolução temporal. Seguimos a mesma sequência de introdução do conteúdo, porém após a diferenciação dos processos de evolução temporal na MQ e na FC, focamos na discussão de aspectos mais específicos da evolução temporal em MQ, tais como o tunelamento, a variação das amplitudes de probabilidade na formulação de Schrödinger e a variação, no tempo, das variáveis dinâmicas na formulação de Heisenberg.

Na sexta aula os alunos apresentaram um mapa conceitual sobre os conceitos discutidos e realizamos entrevistas com eles sobre alguns comentários que fizeram na apresentação. Comentaremos a seguir alguns aspectos da entrevista que revelam a importância do conhecimento operatório nestes estudantes.

## Resultados

Em seguida descreveremos alguns resultados parciais da análise da entrevista com um dos três estudantes. Para preservar a identidade do estudante, iremos nos referir a ele por um nome fictício (Ester).

Ester possui um raciocínio fundamentado na Física Clássica, mais especificamente na Mecânica, pois além de usar muito a expressão 'pensando classicamente', quando dá exemplos sempre tende a resgatar os exemplos clássicos, mesmo que seja na MQ. Por exemplo

- -Ester: ... se eu tenho duas bolinhas, uma parada e uma com uma velocidade, então, as interações que vão ter entre elas vão depender das variáveis dinâmicas.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

- - Ester: por exemplo, num choque entre um elétron e um próton (faz um gesto de colisão), por exemplo, eu tenho uma interação, vai depender de mudar depois as variáveis depois da interação. Então, dependendo da interação que eu tiver, as variáveis vão mudar.

Como conseqüência deste raciocínio, a estudante elabora um possível teorema-em-ação do tipo: deve haver uma variável dinâmica velocidade na MQ. Podemos inferir isto do seguinte trecho:

- - Ester: A energia é... por que eu dei o exemplo de energia? (risos) por que a energia é...
- - Entrevistador: A energia cinética mais a potencial, né?
- - Ester: Sim, mas isso pra Clássica, né?
- - Entrevistador: Sim, mas na Quântica, se a gente tem um sistema de análogo clássico...
- - Ester: Sim, mas... eu sei, mas como se escreve a energia cinética e potencial na Quântica?
- - Entrevistador: A gente tem que criar um operador, né?
- - Ester: Sim.
- - Entrevistador: A gente consegue criar um operador posição e um operador momentum...
- - Ester: Sim
- - Entrevistador: A energia cinética é o quê?
- - Ester: É a massa vezes a velocidade, então, o operador velocidade... o que é o operador velocidade?
- - Entrevistador: Não sei, mas tu podes criar um operador momentum...

(Ester faz umas contas)

Mais adiante, Ester retoma a idéia da velocidade como uma variável relevante na Mecânica Quântica, pois afirma que o momentum depende desta. Ainda com esta análise, podemos inferir que Ester pode possuir um possível teorema-em-ação do tipo: Variáveis dinâmicas correlatas têm regras diferentes em domínios diferentes. Tal invariante operatório é compatível com a idéia de que a Energia Mecânica é escrita de forma diferente na MQ.

Ester ainda apresenta um possível teorema-em-ação que pode ser um obstáculo epistemológico, pois enquanto a definição de estado é abstrata (mais próxima de um pólo do racionalismo), a estudante tenta aproximar o estado, implicitamente, de um pólo concreto (mais próximo do empirismo realista). Enunciemos o possível teorema-em-ação de Ester: O estado é um objeto.

- -Entrevistador: Por que tu falaste que o estado modifica a evolução temporal?
- - Ester: Ah, que foi aquele caminho que eu fiz todo, né? (risos)
- - Entrevistador: É (risos). Porque assim... eu entendo pelo formalismo de Schrödinger que a evolução temporal é um processo de modificação do estado... né? No caso da Mecânica de Heisenberg... é... a evolução temporal modifica as

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

variáveis dinâmicas e o estado permanece fixo. Na Mecânica Clássica em geral a evolução temporal altera o estado e não o estado altera a evolução temporal

- - Ester: Tá...
- - Ester: Por que o estado, ele está..., por exemplo, eu tenho um estado aqui e um estado aqui com dois objetos interagindo, por exemplo. Posso ter interação de um mesmo objeto... tá... eu olho ele aqui e olho aqui, vai ter interações diferentes ... não ... no caso vai ter variáveis dinâmicas diferentes, no caso 1 e no caso 2, então vou ter interações diferentes, então teria um hamiltoniano diferente
- - Entrevistador: ...
- - Ester: Vou fazer aquilo que eu tava fazendo na apresentação.
- - Entrevistador: Tá... tu estás refazendo...
- - Ester: O Estado tem interações... vai mudar de Estado para Estado as interações...

Visivelmente, em duas situações, ela confunde o conceito de estado com o de objeto, porém de forma implícita para ela.

Um último teorema-em-ação possível que comentaremos agora é o de que para Ester, o tempo não é importante na Mecânica Quântica, por que ele é um parâmetro e parâmetros para ela são constantes.

- - Entrevistador: ... depois que eu deixei o sistema evoluir livremente...
- - Ester: Este tempo é um intervalo de tempo clássico e quando eu medir que é o intervalo quântico?
- - Entrevistador: Não, na Mecânica Quântica o tempo é um parâmetro...
- - Ester: Por que pra mim, parâmetro é uma coisa que não muda...é isso?
- - Entrevistador: hum... hum, hum (negativo)
- - Ester: Não?
- - Entrevistador: Não nesse sentido. A gente tende a entender parâmetro assim como uma constante, mas um parâmetro é uma coisa que... é um... é uma coisa à qual a gente se refere pra expressar variações em uma outra coisa, por exemplo (dá o exemplo de uma função), então o tempo é um parâmetro. Se o tempo fosse uma variável dinâmica, a gente ia poder fazer isso aqui (escreve num papel um operador 'tempo')... a gente ia ter autoestados de tempo e valores possíveis de tempo.
- -Ester: Deixa eu pensar... no caso de uma mola ela tá tendo um deslocamento ali que tá dependendo da constante elástica. Tá passando o tempo ali, mas o tempo não é importante naquele experimento, então ele seria uma variável?
- - Entrevistador: É importante sim, mas esse é o caso clássico. Eu tenho a molinha aqui (escreve a equação de movimento de x(t)). Eu tenho o tempo aqui, mas eu posso colocar o tempo como o meu parâmetro, mas posso saber t e escrever t como função de x e ter o x como o meu parâmetro, mas eu quero saber como evolui a minha posição ao longo do tempo. Isso aqui é indistinguível, quem é a variável dinâmica e quem é o parâmetro. Na Mecânica Quântica, não.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

- - Ester: É que eu tô pensando em algum exemplo em que o tempo não seja importante na Clássica.
- - Entrevistador: Ah, o tempo só não é importante quando a gente tem configurações estáticas, por exemplo, um objeto parado, um campo eletrostático...
- - Ester: É, mas aí tem interação. Aí seria um parâmetro também?
- - Entrevistador: Pois é, mas o parâmetro não é necessariamente constante.
- - Ester: Mas por exemplo, eu deixo uma coisa aqui parada, tá passando o tempo, ou seja, tem mudança no parâmetro, só que esse parâmetro não tá interferindo no que eu tô observando, então, seria então um parâmetro.
- - Entrevistador: Ok, o tempo seria um parâmetro, mas não por que ele não faz diferença, porque o estado do sistema evolui no tempo e esse tempo ele determina um outro estado em um outro instante de tempo. Se eu começar aqui com o meu sx, meu estado no tempo inicial é o |sx>, o |sx,+>, num instante de tempo aqui qualquer, ele pode estar no |sy,+>, então ele se alterou aqui e o tempo passou: t passou, o estado se alterou.
- - Ester: E na Física Clássica não tem nenhum sistema em que o estado muda, por exemplo, sei lá, no caso...

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

## Conclusões

É visível a importância do conhecimento na sua forma operatória, pois ele é implícito para o sujeito e quando percebido pelo pesquisador, ajuda a estudar a cognição de forma mais aprofundada. Além do mais, a detecção dele é a primeira etapa no processo de explicitação e formalização. Conhecê-lo pode nos ajudar a prover uma sequência de situações potencialmente significativas que façam com que os estudantes evoluam no domínio de um campo conceitual, tomando consciência de seus próprios invariantes operatórios e de sua funcionabilidade como construtos cognitivos.

Neste particular caso analisamos o conhecimento na forma operatória durante uma entrevista, porém outros procedimentos podem ser adotados com igual eficácia.

## Referências

AUSUBEL, David Paul. The acquisition and retention of knowledge : a cognitive view . Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2000.

OSTERMANN, Fernanda; MOREIRA, Marco Antônio. Uma revisão bibliográfica sobre a área de pesquisa 'física moderna e contemporânea no ensino médio'. Investigações em Ensino de Ciências . v.5 n.1, 23-48. 2000.

VERGNAUD, Gérard. et al. Epistemology and psychology of mathematics education. In: Nesher P. & Kilpatrick, J. (Eds.) Mathematics and cognition: A research synthisis by international group for the Psychology of mathematics education . Cambridge. Cambridge University Press. 1990.

VERGNAUD, Gérard. A trama dos campos conceituais na construção dos conhecimentos. Revista do GEMPA , Porto Alegre. n.4., 9-19. 1996a.

\_\_\_\_\_\_. Algunas ideas fundamentales de Piaget em torno a la didáctica. Perspectivas . v.26 n.10, 195-207. 1996b.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_