MODELOS CINEMÁTICOS NO ATLETISMO E NATAÇÃO

## MODELOS CINEMÁTICOS NO ATLETISMO E NATAÇÃO

## José Luiz dos Santos , Carlos Eduardo Aguiar , Anderson Miron 1 2 3

1 UFRJ / Instituto de Física e Colégio Brigadeiro Newton Braga, joseluiz@if.ufrj.br

2 UFRJ / Instituto de Física, carlos@if.ufrj.br

3 UFRJ / Instituto de Física, andersonjohnson@bol.com.br

## Resumo

O ensino da cinemática costuma ocupar boa parte de um ano letivo nas escolas brasileiras. Apesar do tempo que lhe é dedicado, o tema desperta pouco entusiasmo nos professores e menos ainda nos estudantes. Uma parte do problema parece ser a ênfase excessiva dada aos aspectos mais matemáticos e formais da cinemática, sem relacioná-la a situações interessantes ou utilizá-la para responder questões práticas. Neste trabalho usamos um exemplo da física dos esportes para mostrar que a cinemática pode ser empregada em atividades de modelagem e investigação. Estudamos as provas de velocidade no atletismo e natação e introduzimos um modelo puramente cinemático para descrever essas competições. O modelo fornece parâmetros que caracterizam a performance de atletas de alto nível (recordistas mundiais) e faz previsões que estão em bom acordo com os resultados obtidos em pistas e piscinas. O modelo proposto é muito simples, e alunos do ensino médio podem compreendê-lo e aplicá-lo com facilidade, inclusive a modalidades esportivas não discutidas no presente artigo.

Palavras-chave : cinemática, física dos esportes, modelos

## 1. Introdução

O ensino de cinemática nas escolas brasileiras tem sido muito criticado nas últimas décadas. Os argumentos mais comuns são que a cinemática tem pouca relação com conceitos fundamentais da física, não é muito útil na análise de situações de interesse prático, não é importante para estudos posteriores, e seu ensino costuma dedicar tempo demasiado ao tratamento de movimentos específicos e à solução de problemas algébricos repetitivos e pouco instrutivos.

É verdade que o ensino da física tira pouco benefício do tempo excessivo gasto com equações horárias apresentadas sem base dinâmica e problemas formais envolvendo sempre os mesmos algoritmos e fórmulas memorizadas. Mas afirmar que os conceitos desenvolvidos no estudo da cinemática têm pouca relevância e utilidade é, no mínimo, um exagero [Gaspar 1994]. A cinemática não é um conjunto arbitrário de definições; conceitos como o de referencial, trajetória e taxa instantânea de variação estão entre as idéias mais importantes já produzidas pela ciência. É difícil imaginar uma abordagem compreensiva da física que não inclua a discussão desses conceitos básicos.

Além de desempenhar um papel estrutural na física, os conceitos estudados na cinemática têm uma utilidade prática nem sempre reconhecida. Há um grande

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número de questões de interesse real que podem ser respondidas com as ferramentas da cinemática, sem necessidade de recurso a modelos dinâmicos mais complicados. Infelizmente essas aplicações raramente são encontradas nos cursos introdutórios de física, onde geralmente são substituídas pelos problemas puramente matemáticos que tanta crítica despertam.

Neste trabalho damos exemplos de como a cinemática pode ser utilizada para analisar situações de interesse prático. Na seção 2 estudamos as corridas de pista do atletismo e introduzimos um modelo puramente cinemático para descrever essas provas. Parâmetros que caracterizam a performance de atletas de alto nível (recordistas mundiais) são obtidos com esse modelo. Uma previsão surpreendente feita pelo modelo é que a prova mais rápida para os atletas de hoje não seria nem a de 100 metros nem a de 200 metros rasos, mas uma de 140 metros. Na seção 3 estendemos o modelo a provas de natação, e novamente encontramos informações importantes sobre o rendimento dos recordistas mundiais nesse esporte. A seção 4 contém nossos comentários finais e conclusões.

## 2. Cinemática do atletismo: um modelo para corridas

Qual é a velocidade máxima com que o ser humano pode correr? Como essa velocidade depende da distância a ser percorrida? Quem é o 'homem mais rápido do mundo': o recordista dos 100 ou dos 200 metros rasos? Quanto tempo é perdido (ou ganho) durante a largada das corridas? Essas e outras perguntas surgem frequentemente em discussões sobre corridas de pista, as competições mais populares do atletismo. Como veremos, muitas vezes elas recebem respostas que parecem óbvias, mas estão erradas.

Estudaremos neste trabalho apenas as corridas de curta distância: 100, 200 e 400 metros rasos (sem barreiras). Os recordes mundiais masculinos nessas provas estão mostrados na tabela 1, assim como as velocidades médias (distância/tempo) atingidas.

Tabela 1: Recordes mundiais em provas masculinas de curta distância.

Olhando para esses dados é tentador afirmar, por exemplo, que a velocidade máxima que o ser humano pode atingir hoje em dia corresponde ao recorde dos 100 m, cerca de 10,4 m/s. Uma análise mais cuidadosa, entretanto, mostra resultados diferentes. Para ver isso vamos supor que, após um breve período inicial de aceleração, as provas são corridas com uma velocidade instantânea constante V(D) , que depende da distância total percorrida D . Com isso, o tempo T em que a prova é completada é dado por

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onde TL é o tempo perdido no processo de largada (ou ganho, se TL &lt; 0). Vemos que, devido a esse atraso, em geral a velocidade V(D) será diferente da velocidade média D / T .

- É razoável supor que a velocidade V(D) diminua com o aumento da distância. Uma forma simples de descrever essa redução é dada pela função

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que tem dois parâmetros, V0 e λ . Essas quantidades têm significados importantes. A velocidade V0 descreve quão rápido os atletas seriam capazes de correr se não sofressem desgaste físico. Seu valor é uma boa estimativa para a velocidade máxima que o ser humano pode atingir. O segundo parâmetro, o comprimento λ , define a que distâncias o desgaste físico dos velocistas torna-se significativo (note que V( λ ) = ½ V0 ).

Juntando as equações (1) e (2) obtemos uma função quadrática

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onde a2 = 1 / ( λ V0 ), a1 = 1 / V0 e a0 = TL . Os três parâmetros a2 , a1 e a0 podem ser facilmente determinados com os dados da tabela 1. Substituindo na equação (3) os valores de D e T listados na tabela, obtemos um sistema de três equações e três incógnitas ( a2 , a1 e a0 ) que pode ser facilmente resolvido. O resultado é a2 = 7.95 ×10 -5 s/m , 2 a1 = 0.0723 s/m e a0 = 1.56 s. Como λ = a1 a2 / , V0 = 1/ a1 e TL = a0 , temos finalmente que

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A figura 1 mostra o tempo previsto pelo modelo para provas de diferentes distâncias. Os recordes das provas de 100, 200 e 400 m, que foram usados para definir os parâmetros do modelo, estão mostrados como losangos. Os círculos representam os recordes nas provas de 60, 150 e 300 m. Vemos que os tempos previstos pelo modelo cinemático estão em ótimo acordo com os resultados dessas provas nãotradicionais.

- O conhecimento dos parâmetros V0 , λ e TL torna possível responder as questões formuladas no início desta seção. Por exemplo, uma boa estimativa para a velocidade máxima que o ser humano pode alcançar é, como já mencionamos, o valor de V0 , cerca de 14 m/s. Esse resultado é bem superior à velocidade média registrada na prova de 100 metros, que é 10,44 m/s. Portanto, esta última não é a velocidade máxima que o ser humano pode atingir hoje, ao contrário do que se pensa. A 'velocidade de cruzeiro' V(D) na prova de 100 m é 12,47 m/s, também superior à velocidade média devido ao tempo perdido na largada.

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Figura 1: Recordes mundiais em corridas de curta distância. A curva representa o modelo cinemático definido pelas equações (1), (2) e (4). Os tempos nas provas olímpicas estão representados por losangos e foram usados para definir os parâmetros do modelo. Os círculos são os recordes em distâncias não-tradicionais.

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A distância λ , que caracteriza a redução de velocidade causada pelo desgaste físico, vale aproximadamente 1 km. É curioso notar que esse valor está na faixa que define as corridas de meia distância, entre as provas de velocidade e de fundo.

O terceiro parâmetro, o tempo de largada TL , também fornece informações interessantes. A primeira delas é que os atletas perdem tempo na largada, já que TL é positivo. O atraso TL não deve ser confundido com o tempo de reação do atleta ao sinal de partida, que é muito menor. O valor de TL reflete, basicamente, o tempo gasto no período de aceleração. Considerando que ao final desse período a velocidade é V(D) , podemos estimar que a aceleração média dos atletas no início da prova é da ordem de

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Com os parâmetros do modelo, encontramos que a aceleração média nas provas de 100 m é de aproximadamente 4 m/s . 2

Outro resultado digno de nota pode ser observado na figura 2. Esta mostra a velocidade média dos recordistas mundiais em provas de curta distância e a previsão de nosso modelo cinemático. Vemos que, segundo o modelo, a velocidade média atinge um máximo para distâncias de aproximadamente 140 m. Não existem provas oficiais com essa distância mas, numa corrida de exibição no Manchester City Games em 2009, Usain Bolt percorreu 150 m em 14,35 s. Isso corresponde a uma velocidade média de 10,45 m/s, maior que as alcançadas nas corridas recordes dos 100 m e 200 m, como se vê na tabela 1. Esse resultado parece confirmar a previsão de nosso modelo.

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Figura 2: Velocidade média dos recordistas mundiais nas provas de curta distância. A curva representa nosso modelo cinemático.

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## 3. Cinemática da natação

O modelo cinemático que descrevemos na seção anterior pode ser facilmente estendido a provas de natação. Vamos considerar as competições de nado livre masculino, cujos recordes mundiais estão listados na tabela 2. Assim como no caso das corridas, consideraremos apenas as provas mais velozes (50 m, 100 m e 200 m).

Tabela 2: Recordes mundiais em provas masculinas de nado livre em piscinas de 50 m.

A natação tem um aspecto que não está presente nas corridas: as viradas. O tempo que o nadador ganha (ou perde) executando viradas contribui para o resultado da prova e deve ser considerado no modelo. Se a piscina tem comprimento L , o número de vezes que ela é percorrida numa prova de distância D é

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e o número de viradas é N -1. Assim, o tempo que o nadador leva para completar a prova é

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onde TL e TV são os tempos ganhos na largada e em cada virada. Note que mudamos a convenção usada no caso das corridas, onde TL era o tempo perdido na largada. Fizemos isso em antecipação aos resultados que encontraremos mais à frente, que mostram que os nadadores ganham tempo na largada e nas viradas. Como no caso das corridas, V(D) é a velocidade do nadador na prova, suposta constante no modelo. A diminuição dessa velocidade com a distância, causada pelo desgaste físico, é descrita pela mesma função que adotamos nas corridas:

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Juntando as equações (6), (7) e (8) obtemos

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onde a2 = 1 / ( λ V0 ), a1 = (1/ V0) -TV L / e a0 = TV -TL . Com os dados da tabela 2, podemos obter os valores de a2 , a1 e a0 . O resultado é a2 = 2,06 ×10 -4 s/m 2 , a1 = 0.489 s/m e a0 = -4,06 s. Ao contrário do que encontramos no caso das corridas, esses resultados não determinam univocamente os parâmetros que caracterizam o rendimento dos atletas, V0 , λ , TL e TV . São quatro parâmetros e temos apenas três dados (os valores de a2 , a1 e a0 ). Mais informação é necessária. Esta pode vir das competições em piscinas de 25 m, com as quais podemos estimar o tempo de virada TV . A prova de 50 m tem uma virada nas piscinas curtas (25 m), e nenhuma virada nas piscinas longas (50 m). Portanto, a diferença de tempos nas duas piscinas é uma medida de TV . O recorde mundial dos 50 m livres em piscina curta é 20,30 s, mais rápido que os 20,91 s em piscina longa. A diferença é o tempo ganho na virada, e portanto

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Com isso podemos determinar os demais parâmetros do modelo. O resultado é

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Esses números nos permitem afirmar que:

- (1) a velocidade máxima no nado livre é de aproximadamente 2,0 m/s;
- (2) em provas de nado livre os nadadores ganham cerca de 4,7 s na largada e 0,6 s a cada virada; e
- (3) a distância que caracteriza o desgaste físico de velocistas no nado livre é de aproximadamente 2400 m.

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Esses são os principais resultados de nosso modelo para a natação. É um exercício interessante estender a análise a outros estilos de nado e comparar os resultados.

## 4. Comentários finais

Ao ensinar cinemática, muitos professores tendem a apresentá-la como uma parte pouco interessante da física - isso quando não a transformam num exercício de matemática. Na maioria dos cursos, o típico problema de cinemática consiste em identificar dados e incógnitas em um conjunto memorizado de equações, e resolvêlas. Raramente esses problemas abordam situações reais. Há uma justificada desconfiança de que não se aprende muita física com esse procedimento, que mesmo assim permanece inalterado há gerações [Nicioli Jr 2006]. Mais ainda, existem fortes evidências de que sequer os conceitos básicos de cinemática são realmente aprendidos desta maneira [Trowbridge 1980, Rosenquist 1987, Arons 1996].

Nós mostramos neste trabalho que é possível abandonar essa rotina pouco inspiradora e aplicar os conceitos estudados na cinemática à investigação de problemas concretos, tentando responder perguntas sobre o mundo real e não apenas questões de prova. O modelo cinemático que apresentamos trata da física dos esportes, um tema que sempre atrai a atenção dos estudantes. O modelo revela aspectos importantes do rendimento de atletas de elite nas provas de corrida e natação, e é simples o suficiente para ser discutido no ensino médio. Em particular, os alunos podem aplicá-lo a situações que não exploramos aqui, como corridas com barreiras, revezamentos, outros estilos de natação, provas femininas, etc.

Modelos baseados apenas na cinemática não são muito comuns - sistemas mecânicos são geralmente descritos a partir da sua dinâmica. Esperamos ter demonstrado que isso nem sempre é necessário, e que o uso da cinemática como instrumento de modelagem e investigação pode enriquecer consideravelmente o ensino dessa disciplina.

## Agradecimentos

Este trabalho foi financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (Faperj).

## Referências

ARONS, A. B. Teaching Introductory Physics . Wiley, 1996.

GASPAR, A. O 'r' de retilíneo. Caderno Catarinense de Ensino de Física , v. 11, n. 1, p. 7-10, 1994.

NICIOLI JR, R. B. ; MATTOS, C. R. Uma análise de livros didáticos de física das décadas de 50 e 60. Anais do X Encontro de Pesquisa em Ensino de Física , Londrina, 2006.

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ROSENQUIST, M. L.; MCDERMOTT, L. C. A conceptual approach to the teching of kinematics. American Journal of Physics v. 55, n. 5m p. 407-415, 1987.

TROWBRIDGE, D. E.; MCDERMOTT, L. C. Investigation of student understanding of the concept of velocity in one dimension. American Journal of Physics , v. 48, n. 12, p. 1020-1028, 1980.

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