O Ensino de Mecânica Clássica auxiliado por elementos da Física Moderna

## O ENSINO DE MECÂNICA CLÁSSICA AUXILIADO POR ELEMENTOS DA FÍSICA MODERNA

## I. L. Shapiro , G. de Berredo-Peixoto 1 2

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ICE/Departamento de Física, UFJF, shapiro@fisica.ufjf.br

2 ICE/Departamento de Física, UFJF, guilherme@fisica.ufjf.br

## Resumo

de disciplinas, nas quais conteúdos em diferentes níveis de abordagens são expostos. Essa estrutura de ensino freqüentemente é alvo de críticas pelo caráter fragmentário de conhecimento que está potencialmente implícito na abordagem pedagógica. Nosso objetivo aqui não é fazer uma crítica a esse sistema, já consagrado pela experiência, mas mostrar como uma visão unificada da ciência pode atenuar esses aspectos advindos da compartimentalização do ensino. Nosso trabalho pretende abordar o ensino de Mecânica Clássica nos cursos de Física, e se refere basicamente ao nosso trabalho junto com os alunos do curso de Física da UFJF, lecionando a disciplina Mecânica Clássica I por vários períodos. Como resultado final desse trabalho, escrevemos um livro ( Introdução à Mecânica Clássica ) que está sendo editado pela editora Livraria da Física (São Paulo). A importância e a relação que a Mecânica Clássica possui com todas as áreas da Física (e até com demais ramos do saber) são evidentes: desde a Física Quântica até a Matéria Condensada, passando não só pelo Ensino de Física, mas também áreas mais específicas, como a Nanotecnologia ou a Astrofísica, são seus pré-requisitos conhecimentos prévios de Mecânica Clássica. Consideramos aqui a utilização de conceitos de áreas mais avançadas (e.g., Relatividade Geral) que simplificam significativamente o ensino da matéria, não só pelo efeito motivador induzido no aluno, mas pelo efeito positivo concreto na própria aprendizagem.

Palavras-chave : Mecânica Clássica, Relatividade Geral, Interdisciplinaridade.

## Introdução

O presente trabalho é um relato do ensino de Mecânica Clássica I no Departamento de Física da Universidade Federal de Juiz de Fora e especialmente no seu produto final na forma de um livro. Este curso é obrigatório para alunos de graduação em Física (bacharelado ou licenciatura) e normalmente é destinado a alunos do quarto período. O conteúdo do curso pode ser caracterizado num nível intermediário entre Física I e Mecânica Analítica , cujo enfoque é baseado no princípio da ação mínima, das equações de Lagrange e de Hamilton. A diferença principal da nossa abordagem com a abordagem convencional em Física I é o uso mais amplo de Cálculo e especialmente das equações diferenciais, e consequentemente a abordagem de problemas mais difíceis, bem como a exposição mais aprofundada dos conceitos físicos. Em particular, uma grande parte do texto é dedicada à construção das equações diferenciais e à sua análise.

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30 de janeiro a 04 de fevereiro de 2011

Quando começamos a ministrar esta disciplina, descobrimos a falta de livros-textos adequados. Os livros mais próximos pelo seu nível de apresentação são de autoria de K.R. Symon [1] e de W. Greiner [2] (este somente em inglês). Esses livros são muito volumosos para o uso prático do aluno médio, e em muitos casos (especialmente no primeiro), o grande número de páginas dedicadas a alguns assuntos não corresponde à necessidade real. Então, na preparação dessas notas de aula para publicação, o nosso objetivo foi preparar um texto conciso, com todos os problemas acompanhados de resposta, além de um número razoável de problemas resolvidos. Além dos livros acima citados, existe o livro de J.L. Synge e B.A. Griffith [3], que foi muito popular nas universidades americanas e brasileiras há algumas décadas atrás. No Brasil, podemos citar o livro de K.R. Symon [1] como um dos mais conhecidos nas universidades, além do livro de L.P.M. Maia [4], publicado pela editora da UFRJ, de abordagem pouco prática para o aluno médio.

Obviamente, um livro-texto, nesse nível, não pode ser completamente original. Na preparação dessas notas, nós usamos, além do livro de Greiner, vários livros-textos publicados na Rússia (I. E. Irodov, D. V. Sivukhin e I. V. Saveliev) [5-7] e também o livro de mecânica da coleção Curso de Berkeley , de C. Kittel, M. Rudermann e W. Knight [8]. Em particular, o livro que nos influenciou pela sua abordagem e maneira compacta de transmitir os conteúdos foi o primeiro volume do curso de I. E. Irodov [5]. Ao mesmo tempo, nós apresentamos alguns exemplos e novas soluções de problemas interessantes, que, até onde sabemos, não se encontram nos outros livros. Alguns desses exemplos e exercícios têm relação com assuntos mais avançados, como o problema da Matéria Escura e as curvas de rotação em galáxias e a precessão de periélio de Mercúrio na Relatividade Geral. Em todos os casos, nós mantemos o nível da apresentação adequado para um curso de mecânica clássica em nível de graduação.

## O Ensino de Mecânica Clássica no cenário universitário

A Mecânica Clássica representa um primeiro passo para quem começa a estudar Física Teórica. Podemos dizer que neste caso, o primeiro passo, como em muitas outras situações da vida, é o mais importante. Na verdade, os mesmos assuntos tratados em Mecânica são frequentemente abordados em outros cursos, como Eletrodinâmica, Mecânica Quântica ou Mecânica Estatística. É claro que nesses cursos os mesmos conceitos aparecem numa forma mais sofisticada e às vezes mais interessante. Ao mesmo tempo, quase sempre isso implica que a mesma forma é mais complicada e às vezes mais difícil de aprender. Por isso, quem estudou bem Mecânica Clássica leva uma vantagem e pode aprender melhor outras disciplinas.

O curso de Mecânica Clássica para estudantes de física é tradicionalmente dividido em duas partes. A primeira parte é mais simples do que a segunda, esta última normalmente chamada de Mecânica Analítica. Nesta disciplina, os instrumentos matemáticos e teóricos utilizados são mais complicados e isso permite considerar os assuntos numa forma mais geral e profunda. Ao mesmo tempo, para muitos alunos é importante iniciar o estudo da Me\-câ\-ni\-ca Analítica com preparação adequada, e para tal, o curso de Física I geralmente não é suficiente. Para suprir essa deficiência, existe o curso de Mecânica Clássica I, o assunto do presente livro. A principal diferença entre os cursos de Mecânica Clássica e de

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Mecânica Analítica é que no primeiro caso as opções mais limitadas para o uso dos métodos matemáticos deixam mais espaço para a intuição física. Daí a conveniência de se estudar Mecânica Clássica I antes de Mecânica Analítica.

Acreditamos que os livros-textos dirigidos aos alunos devem possuir uma importante qualidade: eles têm que levar em conta as realidades da vida acadêmica, quando o aluno tem muitas disciplinas para estudar num tempo reduzido. Por isso os livros-textos devem ser suficientemente breves. No livro a que se refere o presente trabalho, nós tentamos ser tão breves o quanto possível e o objetivo principal foi evitar, por exemplo, escrever três páginas onde uma página já é o suficiente. Então, o livro é técnico e tem como objetivo esclarecer as principais noções e mostrar como resolver problemas de dificuldade considerada padrão, além dos problemas mais difíceis.

## Uso de conceitos da Relatividade Geral no ensino de mecânica

Muitos problemas em Mecânica Clássica possuem soluções demasiadamente complexas, o que sempre representa um fator que contribui para a desmotivação da aprendizagem. Mostramos que boa parte dessas soluções pode ser ensinada ao aluno mediano, pelo uso do Princípio da Equivalência, tal como concebido por Albert Einstein. Este princípio constitui um dos fundamentos da Relatividade Geral, e numa linguagem simples pode ser formulado como se segue: num referencial local, é impossível distinguir a presença de um campo gravitacional (uniforme) de uma aceleração uniforme. Neste sentido, as duas situações distintas são fisicamente equivalentes.

Para ilustrar tal princípio, consideremos um exemplo. Imagine um elevador parado dentro de um edifício. É óbvio que o seu ocupante sabe que o elevador mesmo de portas fechadas - se encontra parado por diversas razões (ele entrou no elevador que não acusou alteração no display, etc). Porém, se repentinamente o ocupante fosse privado dessa sorte de conhecimento, ele não teria como saber se o elevador realmente está parado nas proximidades da Terra ou se ele está uniformemente acelerado (para cima) no espaço sideral livre de qualquer influência gravitacional. Então nisto consiste o Princípio da Equivalência: as leis físicas num referencial imerso num certo campo gravitacional uniforme e as leis físicas num referencial sem campo gravitacional e uniformemente acelerado em relação a um referencial inercial são idênticas. Daí a equivalência entre ambos os referenciais.

## Máquina de Atwood dupla

É claro que a discussão sobre esse princípio pode seguir um caminho mais aprofundado, mas na prática nossa experiência indica que o melhor a se fazer para otimizar o aprendizado é evitar essa possibilidade e apenas ilustrar o princípio através do exemplo do elevador. Entendido o Princípio da Equivalência, é possível mostrar ao aluno uma solução relativamente simples, por exemplo, do problema da máquina de Atwood dupla (veja a Figura 1).

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Figura 1: Máquina de Atwood dupla.

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A solução convencional deste problema, como é de conhecimento de todo professor de Física, é bem complicada, e a tarefa de explicá-la aos alunos é algo consideravelmente arriscado. Para dar uma idéia do problema, é preciso definir três acelerações (uma para cada bloco). A solução pode ser simplificada se aplicarmos o Princípio da Equivalência, de modo que, por exemplo, só há necessidade de definir duas acelerações.

Podemos aplicar a Segunda Lei de Newton para o bloco de massa M da forma padrão, e considerar o Princípio da Equivalência apenas na análise dos demais blocos. Esta análise é realizada no referencial da roldana menor, que está acelerada para cima. Neste referencial, a roldana menor está parada. De acordo com o Princípio da Equivalência, podemos tomar este referencial (que está acelerado) como se fosse um referencial inercial imerso num campo gravitacional de módulo dado por g + A (ao invés de simplesmente g ), sendo A o módulo da aceleração do bloco de massa M. Desta forma, a aplicação da Segunda Lei de Newton para esse subsistema possui a mesma simplicidade da aplicação numa Máquina de Atwood simples, com a única modificação apropriada da gravidade.

## Plano inclinado móvel

Outro problema interessante cuja solução é consideravelmente simplificada pelo uso do Princípio da Equivalência é o problema do plano inclinado móvel (veja a Figura 2). Trata-se de um plano inclinado de massa M que pode se mover livremente sem atrito com a superfície horizontal, que apóia um bloco de massa m não havendo atrito entre eles. O sistema está inicialmente em repouso (isto é, sem nenhum

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deslizamento), e pergunta-se os módulos das acelerações do plano inclinado e do bloco.

Figura 2: Problema do plano inclinado móvel.

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A solução padrão desse problema é tão complicada, que ensiná-la a qualquer aluno mediano se torna uma tarefa quase impossível. Em contraste, o uso do princípio da Relatividade Geral transforma esse problema difícil num problema de dificuldade mediana, compatível com o nível de uma sala de aula típica. A solução é simplificada tomando-se o referencial do plano inclinado, que possui aceleração constante horizontal. O fator decisivo é que neste referencial o problema se torna idêntico ao problema do plano inclinado fixo, com uma componente 'gravitacional' extra como o único ingrediente adicional.

No referencial do plano inclinado, basta aplicar a Segunda Lei de Newton normalmente, e no caso das forças sobre o bloco, considerar a decomposição nas direções paralela e perpendicular à superfície inclinada, levando-se em conta duas forças para a esquerda de módulos Ma e ma aplicadas respectivamente ao plano inclinado e ao bloco. O somatório das forças que atuam sobre o bloco na direção paralela ao plano deverá ser nulo. Na solução padrão desse problema, a componente desse somatório nessa direção não será nula, o que dificulta em muito a resolução.

## Conclusões

Mostramos que o Princípio da Equivalência, apesar de ser um elemento de uma teoria mais avançada e complexa do que a mecânica newtoniana, pode apresentar grande utilidade na resolução de problemas de Mecânica Clássica considerados difíceis. Esse recurso simplifica o entendimento desses problemas, tornando suas soluções algo mais acessível. Este efeito não só é positivo pela ampliação do aprendizado propriamente dito, mas também por despertar no aluno o interesse por novas teorias e supri-lo de elementos no sentido de uma concepção da unidade da Ciência.

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## Agradecimentos

Gostaríamos de expressar nossa gratidão às agências de fomento científico FAPEMIG, CNPq e FAPES, e à Pró-Reitoria de Pós-Graduação da UFJF.

## Referências

- [1] SYMON, Keith. Mecânica . Campus: Rio de Janeiro, 1982.
- [2] GREINER, Walter. Classical Mechanics: point particles and Relativity . Springer-Verlag: Nova York, 2004.

[3] SYNGE, John; GRIFFITH, Byron. Principles of Mechanics. McGraw-Hill: Nova York, 1959.

- [4] MAIA, Luiz. Mecânica Vetorial. UFRJ: Rio de Janeiro, 1984.
- [5] IRODOV, I. Fundamental Laws of Mechanics. Mir: Moscou, 1980.
- [6] SIVUKHIN, D. General course of Physics: Mechanics. Mir: Moscou, 1990.
- [7] SAVELIEV, I. Curso de Física General: Vol 1 (em espanhol). Mir: Moscou,
- 1984.

[8] KITTEL, Charles; KNIGTH, Walter; RUDERMAN, Malvin. Mechanics: Berkeley Physics Course (vol 1) McGraw-Hill: Nova York, 1965. .

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