UM ESTUDO DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO E FORÇA CENTRAL MODELADAS ATRAVÉS DA ÁLGEBRA DE CLIFFORD

E.De Góes Brennand; Raoni Sávio De Negreiros Moreira; Marcílio Veras Cardoso; Thiago Brito Gonçalves Guerra; Jardél Lucena Da Silva; Morgana Lígia De Farias Freire

UM ESTUDO DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO E FORÇA CENTRAL MODELADAS ATRAVÉS DA ÁLGEBRA DE CLIFFORD

E.De Góes Brennand, Raoni Sávio De Negreiros Moreira, Marcílio Veras Cardoso, Thiago Brito Gonçalves Guerra, Jardél Lucena Da Silva, Morgana Lígia De Farias Freire

Evento: Simpósio Nacional de Ensino de Física ↗ (SNEF)
Edição: XIX
Ano: 2011
Data: 01/02/2011
Linha de pesquisa: Aprendizagem Em Física
Tipo: Comunicação

Abrir o PDF original ↗ Baixar referência .bib Ver todos do SNEF 2011

Texto completo

## UM ESTUDO DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO E FORÇA CENTRAL MODELADAS ATRAVÉS DA ÁLGEBRA DE CLIFFORD

E.de Góes Brennand 1 , Raoni Sávio de Negreiros Moreira2 , Marcílio Veras 2 Cardoso 3 , Thiago Brito Gonçalves Guerra , Jardél Lucena da Silva , Morgana 4 5 Lígia de Farias Freire 6

- 1 UEPB/Departamento de Física/eladiobrennand@uol.com.br
- 2 UFCG/Departamento de Física/raonifisica@gmail.com
- 3 UFCG/Departamento de Física/marcilioveras@gmail.com 4 UFCG/Departamento de Física/tbfisico@gmail.com
- 5 UFCG/Departamento de Física/ jardel.lucena@gmail.com
- 6 UEPB/Departamento de Física/morgana.ligia@bol.com.br

## Resumo

Apesar da grande utilização das Álgebras de Clifford em diversos domínios da pesquisa em Física esse fato não sensibilizou, ainda, a comunidade de físicos que trabalham na área de ensino. Esse descompasso se justiÞca pela desastrosa utilização da matemática, em todos os níveis no ensino de Física, que consiste em aplicações de fórmulas sem aparente relação com os conceitos físicos envolvidos. Neste trabalho desenvolvemos temas importantes da física tais como as simetrias espaciais e força central à luz dessa álgebra. A grande relação existente entre os objetos manipulados nessa álgebra e os objetos geométricos como ponto, reta, plano, etc, nos habilita a desenvolver uma intuição física do problema a partir da própria modelagem dos conceitos físicos trabalhados. Finalmente, um mapa conceitual ausubeliano é sugerido como guia na preparação de material instrucional.

Palavras-chave : Álgebra de Clifford, Modelagem conceitual, Aprendizagem Significativa, Leis de Conservação, Força Central.

## 1. INTRODUÇÃO

As questões acerca de qual sistema matemático é o mais adequado para servir de recurso didático mediador no processo de ensino-aprendizagem da física são muito pouco abordadas. Acreditamos que questões dessa natureza deveriam inquietar a comunidade de pesquisadores que trabalham nesse domínio. Até onde sabemos são poucas as pesquisas que visam encontrar ou adaptar sistemas matemáticos ao ensino da física. Esse quadro é uma conseqüência da dicotomização física-matemática ao nível conceitual que o ensino de Física presencia. O que se vê é a matemática sendo utilizada de forma desvinculada do conceito físico que representa tanto do ponto de vista quantitativo quanto qualitativo. Isso dificulta a compreensão da profunda ligação entre essas duas ciências, conduzindo o aprendiz a uma visão fragmentada da conexão entre os conceitos físicos e a linguagem que nos servimos para representá-los.

Não é muito difícil perceber o grau de importância que a matemática desempenha na nossa concepção da realidade. Para isso basta citarmos dois exemplos históricos, que segundo Hestenes (1999), são suficientes para demonstrar

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

essa importância: o desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo infinitesimal foram indispensáveis para a estruturação por Newton da mecânica clássica, e semelhantemente, a análise tensorial para a criação, por Einstein, da Teoria Geral da Relatividade. Estas duas construções teóricas produzem concepções de universo diferentes: a de Newton governada por forças de ação e reação à distância, enquanto a de Einstein, pela geometria definida pelas massas dos corpos. (De GÓES BRENNAND, 2007)

Inserido nesse contexto, o presente trabalho se propõe a apresentar uma estrutura algébrica, conhecida como álgebra de Clifford ou álgebra geométrica, como candidata a ser uma linguagem adequada para ser utilizada na Física. Esse sistema matemático possui características que permitem sua utilização em todos os domínios da Física e é acessível, do ponto de vista da aprendizagem, aos níveis de escolaridade onde se trabalha com esta ciência. Sua adaptabilidade a diferentes níveis de desenvolvimento cognitivo deve-se ao fato dos objetos dessa álgebra apresentar propriedades geométricas. Isto facilita o processo de 'visualização' do sistema estudado pelo aprendiz.

Assim, propomos nesse trabalho utilizar a álgebra de Clifford domo modeladora dos conceitos físicos envolvidos nos problemas das simetrias espaciais e forças centrais. Nessa abordagem, as grandezas físicas foram representadas por elementos que compõem a álgebra desenvolvida sobre o espaço físico, mostrando, assim, uma consistência descritiva. O processo de modelagem dos conceitos físicos pela álgebra de Clifford proporciona uma incorporação natural de uma das principais características práticas do modelo ausubeliano de aprendizagem (AUSUBEL, 2003) - a apresentação de um conteúdo deve ser feita dos conceitos mais gerais aos mais específicos. Neste sentido, o princípio da diferenciação progressiva como também o da reconciliação integradora norteiam a apresentação desse trabalho e de um mapa conceitual proposto para o seu conteúdo.

## 2. ÁLGEBRA DO ESPAÇO FÍSICO

William Kingdon Clifford formulou na segunda metade do século XIX uma estrutura algébrica hoje conhecida como Álgebra de Clifford. Para isso, ele introduziu o produto quaterniônico de Hamilton dentro da estrutura da álgebra de Grassmann. Desta forma obteve um sistema naturalmente adaptado à geometria ortogonal de um espaço arbitrário (DORAN, 1994).

No nosso caso, consideraremos o espaço físico cujo modelo é o espaço euclidiano tridimensional. Isto significa que a cada ponto do espaço físico associaremos um espaço vetorial com uma norma euclidiana. Denotaremos esse

espaço de Թ 3 .

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Sobre o Թ 3 definimos a álgebra de Clifford a partir de quatro axiomas que

caracterizam a sua base canônica como: (CASANOVA, 2002)

ii) O quadrado de um vetor é dado pela forma quadrática reduzida i i e x x =

que se supõe para todo 0 = + i j j i e e e e ( ) 3 , 2 , 1 , = ≠ j i j i ;

iv) 3 , 2 , 1 , = = i e e i i λ λ para todo λ escalar.

## 2.1. Produto de vetores.

Dados dois vetores i i e a = a r e j j e b = b r o seu produto se escreve como

onde e 3 , 2 , 1 , = j i j i , δ é a delta de Kronecker.

Este produto é chamado de Clifford. Em notação vetorial temos

onde o primeiro termo do lado direito é o produto interno e o segundo é chamado produto exterior. Devido à propriedade anti-comutativa do produto exterior

podemos escrever

revelando que o produto interno é a parte simétrica enquanto o produto externo é a parte anti-simétrica do produto de Clifford. Ou seja, o produto de Clifford estabelece relação de colinearidade e ortogonalidade entre os vetores.

O passo seguinte é estabelecer a álgebra de Clifford associada ao espaço físico, cujo modelo matemático é o espaço euclidiano tridimensional.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

## 2.2. Elementos gerados pela Álgebra de Clifford no espaço físico.

Utilizando os axiomas acima estabelecidos, podemos gerar a álgebra de Clifford associado ao espaço euclidiano tridimensional através dos seguintes conjuntos de elementos:

Este conjunto constitui uma base para essa álgebra. Isto não deve ser estranho, pois por analogia podemos dizer que os números complexos são gerados a partir da base . O interessante é que cada elemento dessa base possui uma representação geométrica (fig. 1), significando que estaremos operando objetos geométricos segundo as regras algébricas. } , 1 { i

Figura 01: Representação geométrica dos elementos algébricos que compõem a base canônica da álgebra de Clifford.

Deste modo, podemos escrever um elemento genérico dessa álgebra como β α + I b I a A + + = r r denominado de multivetor, onde β α , são escalares, b a r r , são vetores e . Esta álgebra codifica todas as propriedades geométricas do espaço físico o que define sua vantajosa aplicação na física. (De GÓES BRENNAND, 2008) 3 2 1 e e e I =

Passaremos a aplicá-la aos importantes problemas das simetrias espaciais e das forças centrais.

## 3. SIMETRIAS ESPACIAIS E LEIS DE CONSERVAÇÃO

Em nossa descrição do problema de simetrias espaciais iremos dispensar a definição tradicional de momento angular como um vetor axial e vamos defini-lo como um bivetor. Este procedimento parece-nos mais natural, pois o bivetor codifica área orientada (fig. 2). (DORAN & LASENBY, 2003)

Figura 02: Representação do momento angular como área orientada.

Portanto, define-se o momento angular como

onde o vetor dá a posição da partícula em relação à origem e o vetor representa o momento linear. x r p r

Vamos definir uma grandeza que chamaremos de trabalho-torque ( Ա ) como,

Essa nova grandeza deve ser interpretada como sendo a medida da energia transferida ao longo de um processo de translação e rotação de um sistema na presença de um campo de força.

Em um processo no qual a variação de Ա é zero, a expressão (6) fornece,

Devido ao fato do produto de Clifford estabelecer uma relação de colinearidade e ortogonalidade entre dois vetores, a relação (7) só pode ser verdadeira se ambos os termos da esquerda forem nulos, pois e não podem ser simultaneamente, paralelos e normais. x r f r

Desse modo, para o primeiro temos que,

Como representa um deslocamento arbitrário (qualquer ponto do espaço), portanto é não nulo, x r x r f obrigatoriamente têm que ser nula. Pela segunda lei de Newton p d f r r = , portanto temos que,

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Mostrando, assim a equivalência entre todos os pontos do espaço físico (homogeneidade espacial).

Já o segundo produto fornece,

Podemos reescrever essa relação como,

onde utilizamos e expressão (5). Portanto, a relação (11) implica na conservação do momento angular. Do ponto de vista geométrico a solução de (10) são todos os vetores que define, portanto, todas as direções possíveis do espaço físico. Isto significa que a constância de x r L esta associada à isotropia espacial.

## 4. FORÇA CENTRAL

Vamos agora tratar do problema de duas partículas massivas interagindo uma com a outra através de uma força agindo ao longo da reta que as unem, sem a presença de ações externas. Nessas condições os momentos, linear total e angular se conservam (KITTEL, 1973). Este tradicional problema é aqui tratado utilizando o formalismo da álgebra de Clifford.

Sejam duas partículas com as posições representadas por 1 x r e 2 x r , com massas 1 m e 2 m , respectivamente. Se f r é a força central entre as partículas, pela segunda lei de Newton as equações do movimento são:

Esse sistema pode ser reduzido a um problema de um único corpo. Para isso vamos introduzir o vetor centro de massa X r e o vetor que representa a separação relativa x r , dados respectivamente, por:

onde M é a massa total 2 m + m1 = M . A força f pode ser escrita agora como

sendo μ a massa reduzida dada por M m m / 2 1 .

Escrevendo o momento angular total do sistema em termos do centro de massa X r e do vetor posição relativa x r utilizando (5), obtemos:

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Como não há ação de forças externas e T L X M & r se conservam e, portanto o momento angular interno

também se conserva. O fato de L ser constante significa que o movimento se realiza no plano definido pelos vetores x r e x & r . O vetor x r varre a área em uma taxa constante. No caso da força gravitacional, a sentença anterior é a definição da segunda lei de Kepler. (DORAN & LASENBY, 2003)

Visto que, podemos escrever x r x ˆ = r , onde r x = r e é o vetor unitário na direção temos, x ˆ x r

Substituindo (17) em (16), encontramos

e como , 1 ˆ 2 = x

é possível escrever (18) em termos do produto de Clifford,

Se for uma força conservativa, a energia total do sistema é da forma , onde V é uma função da posição tal que f r V T + ) ( r V f ∇ = r , denominada energia potencial e 2 2 1 x T & r μ = é a energia cinética. Substituindo a relação (17) na expressão da energia cinética obtemos:

Chamando de l a magnitude de L e observando que , podemos reescrever (21) como 2 4 2 4 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x r x x x x r L & & & μ μ -= =

Então, a energia total ( ࣟ ) do sistema que é uma constante do movimento é

dada por:

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

O mais importante exemplo de força central é a força que varia com o inverso do quadrado da distância. Explicitando essa força como x r k f ˆ 2 -= r , onde é uma constante positiva ou negativa, a equação do movimento a ser resolvida é, k x r k x ˆ 2 -= & & r μ , ou equivalentemente,

Na sua resolução estão envolvidas duas constantes de movimento, uma associada à posição e a outra a velocidade. Apresentaremos uma maneira alternativa de resolvê-la.

Considerando as relações (20) e (24) podemos escrever x k v L & & r ˆ = , ou ainda,

A solução dessa equação é, portanto,

onde é um vetor constante denominado excentricidade. Para achar a equação da trajetória devemos fazer e r

sendo L ~ uma operação denominada reversão (uma espécie de conjugação), tal que, 2 ~ l L L = . Tomando então, a parte escalar da expressão (27), encontramos a equação desejada:

Essa equação representa uma superfície cônica em três dimensões definida pelo valor de e . Como o movimento se realiza do plano (o plano definido por r L ) a intersecção desse plano com a superfície cônica determina a seção cônica que será as trajetórias. Observe que nesse processo de resolução utilizamos duas constantes de movimento: L e . e r

## 5. MAPA CONCEITUAL

Motivados pelas características de objetividade e operacionalidade da teoria cognitiva de David Ausubel, nos servimos dos seus fundamentos para construir um mapa conceitual do conteúdo desse trabalho e que guiou a apresentação do mesmo. (NOVAK, 2000)

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Figura 01: Mapa conceitual referente ao conteúdo abordado.

## 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesse trabalho abordamos dois importantes temas da física fazendo uso de uma linguagem matemática pouco conhecida denominada álgebra de Clifford. Esse sistema matemático quando aplicado à física, pode proporcionar novas interpretações das grandezas físicas que representa, assim como, introduzir novos métodos de resolução.

Devido ao fato de que os objetos dessa álgebra possuem interpretações geométricas simples possibilita ao aprendiz o desenvolvimento mais intuitivo das propriedades físicas do sistema estudado. Além disso, o seu largo espectro de atuação permite a exploração gradual do aprofundamento do conceito físico modelado, não havendo a necessidade de introdução de outro sistema matemático complementar.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Como é possível associar essa estrutura matemática ao 'espaço' que serve de palco aos acontecimentos físicos isso contribui para a indução pelo aprendiz da compreensão do papel modelador da matemática e o de descrição da realidade objetiva pela física. Somando-se a isso, a facilidade que essa abordagem proporciona na articulação dos princípios da teoria cognitiva ausubeliana para a preparação de conteúdo expositivo.

Nesse momento estão em confecção, pelo nosso grupo de pesquisa, vários materiais de diferentes domínios da física onde se utiliza a álgebra de Clifford como meio de modelagem das grandezas físicas, os quais deverão ser aplicados nas salas de aulas nos níveis de ensino tanto médio quanto superior.

## Referências

AUSUBEL, David P. Aquisição e Retenção do Conhecimento: uma perspectiva cognitiva . Tradução Lígia Teopisto. Lisboa: Editora Plátano, 2003.

CASANOVA, Gaston. L'Algebra de Clifford et ses Applications - Survey Article , Advances in Applied Clifford Algebras vol. 12, 1-155, 2000.

De GÓES BRENNAND, Eládio. Álgebra de Clifford e Aprendizagem Significativa: pilares para a construção de uma nova abordagem para o ensino de Física. Campina Grande: UEPB, 2007 (Projeto de Pesquisa - Grupo Álgebra de Clifford como Modeladora de conceitos físicos - Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática).

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. Aplicações Físicas da Álgebra de Clifford. Notas de aula. Campina Grande: UEPB, 2008.

DORAN, Chris. Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics . Ph.D. thesis, University of Cambridge (1994)

DORAN, Chris & LASENBY, Anthony. Geometric Algebra for Physicists . Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

HESTENES David. , New Foundations for Classical Mechanics. London: Kluwer Academic Publishers, 2 nd Edition, 1999.

KITTEL, K., KNIGHT, W. e RUDMANN, M. Curso de Fisica de Berkeley, vol.1 Mecanica . São Paulo: Edgard Blücher, 1973.

NOVAK, J. D. Aprender, criar e utilizar o conhecimento. Mapas conceituais como ferramentas de facilitação nas escolas e empresas . Lisboa: Plátano Universitária, 2000.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Texto extraído automaticamente do PDF: podem existir erros de conversão, especialmente em fórmulas, tabelas e figuras.