A MODELAGEM MATEMÁTICA E A EXPERIMENTAÇÂO UTILIZADAS COMO RECURSOS PARA A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM FÍSICA

## A MODELAGEM MATEMÁTICA E A EXPERIMENTAÇÃO UTILIZADAS COMO RECURSOS PARA A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM FÍSICA

Luís da Silva Campos 1 , Mauro Sérgio Teixeira de Ataújo 2

1 Universidade Cruzeiro do Sul, proflula@ig.com.br

2 Universidade Cruzeiro do Sul, mstaraujo@uol.com.br

## Resumo

Esse trabalho foi desenvolvido com o objetivo de investigar a viabilidade e as contribuições educacionais da associação de duas abordagens pedagógicas: A Modelagem Matemática e a Experimentação em Ensino de Física, tendo por base as concepções de Modelagem Matemática de Barbosa e as propostas de atividades experimentais de Física defendidas por autores como Ribeiro, Freitas e Miranda, entre outros. Começamos com atividades experimentais estruturadas, com roteiros fechados e migramos gradativamente para atividades semi estruturadas com o objetivo de alcançar propostas não estruturadas, o que permitiria maior liberdade de ação pelos alunos. Entretanto, constatamos que no final do trabalho apenas um grupo realizou de fato uma atividade não estruturada com utilização de modelos matemáticos para explicar os fenômenos observados. Os demais realizaram experimentos semi-estruturados ou realizaram experimentos em que a Modelagem Matemática não foi efetivamente utilizada. Esta constatação sinaliza a necessidade de realização de atividades experimentais ao longo dos outros semestres do curso superior, devendo ser feita de modo a diminuir gradativamente a diretividade e o controle docente para que os alunos consigam realizar trabalhos não estruturados em etapas mais adiantadas do processo, visando uma formação adequada e que gere maior autonomia de ação e de pensamento. Verificamos que a associação dos conceitos de Modelagem Matemática com a Experimentação voltada para o Ensino de Física possibilitou a construção e representação das relações matemáticas que envolveram algumas grandezas de cinemática e de dinâmica, além de aprimorar as habilidades de realizar medidas, escolher adequadamente os instrumentos e analisar os dados obtidos, aspectos que só são efetivados quando os alunos se envolvem mais amplamente na realização das atividades experimentais. A interação entre alunos e destes com o professor foi outro aspecto positivo do trabalho prático, permitindo sanar as dificuldades dos indivíduos e contribuir para o seu processo de construção de conhecimentos.

Palavras-chave: Modelagem Matemática, Ensino de Física, atividades experimentais, Método Científico.

## Introdução

Em vários campos da Física Teórica e Experimental o desenvolvimento dos conceitos matemáticos foi extremamente importante para descrever novas descobertas, com a finalidade de fazer previsões dos fenômenos estudados e possibilitar verificações dos seus limites de validade. Por esse motivo, dentro da Física Teórica foi criada uma disciplina da matemática aplicada denominada Física Matemática (BASSANEZI, 2002, p. 33).

Entretanto, no ensino de Física essa relação já não se estabelece de forma direta. Em muitos casos as equações, os gráficos e as funções que relacionam as grandezas envolvidas são apresentados de forma separada das atividades

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experimentais e das situações concretas. Os problemas propostos são idealizados e pertencem a uma classe que Skovsmose (2000) chama de referência à matemática pura e que aqui podemos chamar de referência à Física Pura.

Motivados pelo interesse de investigar este tema, a fim de esclarecermos alguns elementos que o envolve, pretendemos verificar a viabilidade de associarmos a Modelagem Matemática à Experimentação em ensino de Física e aos conceitos teóricos referentes a essas áreas do conhecimento humano. Nossa hipótese inicial é que essa associação potencializará a compreensão dos fenômenos físicos e a aprendizagem dos conceitos matemáticos se conseguirmos envolver os alunos na realização dessas atividades. Tendo em vista esse panorama e o questionamento de pesquisa mencionado nesse parágrafo, optamos por centralizar a nossa atenção na investigação da importância e das possíveis contribuições da associação de um tema relacionado ao Ensino de Matemática (Modelagem Matemática) a outro relacionado com o Ensino de Física (Experimentação juntamente com os Conceitos Teóricos) para a construção do conhecimento dos alunos.

## A Metodologia de Pesquisa

Esse trabalho possui as principais características da pesquisa qualitativa, como o ambiente natural constituir a fonte direta dos dados, o investigador ser o seu instrumento principal, ser descritiva, interessar mais pelo processo do que pelos resultados ou produtos, os dados serem analisados de forma indutiva e seu significado ter importância vital para o trabalho como aponta Bogdan e Biklen (1994).

A pesquisa foi realizada ao mesmo tempo em que o trabalho pedagógico foi desenvolvido, de modo que não existia um limite muito claro entre os papeis dos professores e dos pesquisadores. Em algumas situações a interferência pedagógica dominava o cenário, em outras tentávamos nos afastar das atividades para que os olhares dos pesquisadores pudessem se destacar e avaliar o desenvolvimento das situações e processos de ensino e aprendizagem. Por esse motivo decidimos utilizar a pesquisa-ação como metodologia adequada para as intervenções, uma vez que entendemos essa metodologia de pesquisa como é definida por Thiollent (2003, p.14), ao nos dizer que:

A pesquisa-ação é um tipo de pesquisa social com base empírica que é concebida e realizada em estreita associação com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo e no qual os pesquisadores e os participantes representativos da situação ou do problema estão envolvidos de modo cooperativo ou participativo.

Nossa pesquisa foi realizada com uma turma de 23 alunos do curso noturno de Licenciatura em Matemática da Universidade Guarulhos, nas disciplinas de Laboratório de Ensino de Física I e II. As atividades realizadas se desenvolveram durante o terceiro e o quarto semestres do referido curso, ao longo do ano de 2009. Utilizaremos como instrumentos de análise desse trabalho os relatórios elaborados pelos alunos após a realização de algumas das atividades experimentais com o intuito de verificar como eles relacionam as grandezas medidas e calculadas com as relações matemáticas que as envolvem.

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## A Escolha da Concepção de Modelagem Matemática

Existem basicamente dois grupos que entendem a Modelagem Matemática de formas diferentes, sendo que um deles associa a modelagem apenas como um método de trabalho para os matemáticos. Podemos entender essa concepção como sendo aquela que relaciona a Modelagem Matemática apenas à concepção de Matemática Aplicada. O outro grupo entende que a Modelagem Matemática também pode ser usada para como recurso para o ensino e a aprendizagem dos conceitos matemáticos aplicados em diferentes áreas do conhecimento humano, conforme salienta Araújo (2002):

Podemos distinguir dois grandes grupos: os que vêem a Modelagem Matemática apenas como um método de trabalho para o matemático e os que vêem tal processo também como um caminho para o ensino e aprendizagem de matemática (ARAÚJO, 2002 p. 16).

Pretendemos aqui utilizar a concepção de Modelagem Matemática que julgamos mais adequada para a realização desse trabalho, tendo em vista a construção da independência intelectual dos alunos. Assim, a perspectiva de Modelagem Matemática proposta por Borba, Meneghetti e Hermini (1997, p. 63) que atribui ao aluno o papel de destaque no processo de escolha do tema e na condução do trabalho nos parece a mais adequada. Na perspectiva desses autores, a modelagem pode ser vista como o esforço de descrever matematicamente um fenômeno que é escolhido pelos alunos com o auxílio do professor. Diferentemente da Matemática Aplicada aqui, a participação dos alunos é de fundamental importância para o desenvolvimento das atividades.

A falta de prática dos alunos para realizar atividades experimentais fez com que optássemos por um planejamento onde as atividades de Modelagem Matemática ocorressem em casos diferentes, seguindo a inspiração e as idéias desenvolvidas por Barbosa (2001, 2004a, 2004b). Assim, pretendemos começar as atividades no caso 1 e terminar o trabalho no caso 3 da modelagem, onde:

No caso 1, o professor apresenta um problema, devidamente relatado, com os dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos a investigação. Já no caso 2, os alunos deparam-se apenas com o problema para investigar, mas tem que sair da sala de aula para coletar dados. [...] no caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas 'não-matemáticos', que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos. Aqui, a formulação do problema, a coleta dos dados e a resolução são tarefas dos alunos (BARBOSA, 2004a, p.6).

Assim, entre nossos objetivos destaca-se a criação de condições para que os alunos possam desenvolver uma independência intelectual no que diz respeito à escolha do tema a ser estudado, na coleta dos dados, no manuseio dos equipamentos necessários, na análise dos valores encontrados, na construção e validação dos modelos matemáticos estudados e, se necessário, na proposta de modelos diferentes para os fenômenos analisados nas condições dos experimentos.

## O Papel do Experimento no Ensino de Física

A utilização de experimentos com roteiros detalhados, pertencendo à classe dos laboratórios programados e estruturados não atende plenamente nossos propósitos, devendo ser considerada apenas como uma etapa em direção a

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procedimentos mais abertos e com maior envolvimento dos alunos (RIBEIRO FREITAS E MIRANDA, 1997). Por sua vez, o uso de experimentos quantitativos permite que os alunos trabalhem com tratamentos de dados, verifiquem o limite de validade de algumas leis científicas, mostrem o uso adequado de diferentes instrumentos e desenvolvam modelos matemáticos dos fenômenos estudados.

Portanto, planejamos começar com atividades de laboratório programado , onde os procedimentos dos roteiros são bem detalhados, posteriormente utilizar o laboratório com ênfase na estrutura do conhecimento , em que os procedimentos não são detalhados, auxiliando os alunos apenas na estrutura da experiência. Ao final, desejamos realizar experimentos com um enfoque epistemológico , onde o roteiro não é detalhado, auxiliando apenas na determinação da natureza do conhecimento como nos mostra Ribeiro, Freitas e Miranda (1997).

Acreditamos na existência de correlações entre as propostas de Modelagem Matemática defendidas por Barbosa (2001, 2004a e 2004b) e de Experimentação em Ensino de Física defendida por Ribeiro, Freitas e Miranda (1997), na medida em que ambas buscam construir a autonomia dos alunos nos seus processos de construção do conhecimento, partindo de situações com grande interferência dos professores (atividades estruturadas) para chegar a casos em que os estudantes são responsáveis por suas investigações (atividades não estruturadas). Nesse sentido, a figura 1 ilustra essa correspondência.

Figura 1: Relações entre os três casos de Modelagem Matemática e os tipos de laboratório de Ensino de Física.

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## Os Experimentos Realizados e os Relatórios Produzidos

Ao longo das etapas do trabalho os alunos realizaram seis atividades experimentais que propomos com níveis de estruturações diferentes nos roteiros. Descreveremos e analisaremos o primeiro o quinto e as atividades experimentais escolhidas pelos alunos com o intuito de mostrar a diminuição da nossa interferência e sua importância no desenvolvimento das atividades e na construção do conhecimento produzida por essa abordagem.

## 1º experimento: movimento de uma esfera metálica no interior de um tubo de óleo

Esse experimento teve o objetivo de estudar o movimento de uma esfera metálica colocada no interior de um tubo de acrílico contendo óleo utilizado para

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lubrificar os motores de automóveis. O tubo foi disposto obliquamente, inclinado em relação à horizontal, para que a velocidade terminal da esfera fosse baixa o suficiente o que permitiu a medição do tempo do seu deslocamento a cada 5,0 cm no interior do tubo de óleo. Para a esfera ser deslocada da extremidade inferior para a superior do tubo de óleo foi fornecido um ímã. O tempo de movimento dessa esfera foi medido com um cronômetro de precisão 0,2 segundo e os alunos deveriam escolher um ponto para ser usado como origem, construir uma escala para a medida do deslocamento da esfera, usando a fita métrica, e deveriam ainda orientar a trajetória do movimento. Sugerimos que eles mudassem a origem da trajetória, escolhessem outra orientação e realizassem novamente as medidas. Esperávamos que na construção dos gráficos, no cálculo das velocidades médias, na construção das funções horárias e na elaboração do relatório os alunos percebessem os conceitos de velocidade negativa e positiva e verificassem que não há relação entre os gráficos do espaço em função do tempo e o tipo de trajetória que um objeto se desloca.

## Análises dos relatórios do primeiro experimento

Ao analisarmos os relatórios verificamos que os estudantes conseguiram determinar corretamente os valores das velocidades médias em cada intervalo de tempo e conseguiram perceber que essas velocidades tendiam para um valor constante. Os grupos conseguiram escolher uma reta média para o conjunto de pontos experimentais, mas os valores médios das velocidades não foram corretamente representados. Os alunos conseguiram interpretar corretamente o significado de alguns pontos terem ficado fora da reta média que foi escolhida, associando esse fato com os erros de medidas que ocorreram durante o experimento, porém eles não conseguiram associar os valores do espaço inicial e da velocidade da esfera com a função horária dos espaços (S = S0 + v.t).

Em um dos relatórios o grupo encontrou o valor médio da velocidade na primeira parte do experimento como sendo 1,1 cm/s e estabeleceram o espaço inicial como sendo zero. No momento de escrever a função horária dos espaços eles representaram S = 1 t. Esse mesmo grupo estabeleceu o espaço inicial coincidente com a origem dos espaços na segunda parte do experimento e inverteu o sentido da orientação da trajetória. Assim encontraram a média da velocidade da esfera como sendo - 1,1 cm/s, porém ao representar a função horária dos espaços esse grupo escreveu: S = 50 - 1,2 t. Ficou claro que eles não relacionaram a função horária dos espaços mencionada acima com os dados experimentais medidos e calculados durante o experimento.

As análises realizadas dos relatórios sinalizaram que os alunos não entenderam a importância de se utilizar o conceito de função para representar as grandezas físicas que eram estudadas.

## Quinto experimento: estudo das características do pêndulo

Para esse experimento os alunos encontraram sobre a bancada um pequeno texto sobre a diferença entre pêndulo simples e o pêndulo real e uma descrição das propriedades gerais dos pêndulos. Foi disponibilizado também uma régua de madeira de um metro dividida em centímetros, um cronômetro de precisão 0,2 segundo, dois objetos de massas 50 g e 100 g e um alicate. Cada pêndulo era

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constituído de uma linha de pesca, uma massa presa em uma das extremidades da linha, um parafuso preso à parede a uma altura de aproximadamente 1,80 m, sendo que a linha passava por um gancho que se encontrava preso à parede em uma altura de aproximadamente 2,20 m e sua outra extremidade se encontrava presa ao parafuso. Para variar o comprimento do pêndulo bastava enrolar a linha no gancho e para alterar a massa oscilante era preciso somente utilizar o alicate para trocar a massa. Na semana seguinte os alunos construíram os relatórios após analisarem os dados obtidos no laboratório.

## Análise dos relatórios da quinta experiência

Em todos os relatórios relacionados com essa atividade os alunos forneceram as referências bibliográficas, a relação teórica entre o comprimento e o período para o pêndulo simples e o gráfico do comprimento do pêndulo (L) com o seu período de oscilação (T). Dois grupos mostraram claramente a relação quadrática entre o comprimento e o período do pêndulo através dos gráficos e construíram a função que relacionava essas grandezas, enquanto os outros dois grupos não mostraram essa relação no gráfico e nem de forma algébrica.

Os grupos que associaram corretamente o período de pêndulo com o seu comprimento conseguiram determinar o valor da aceleração da gravidade local. Eles utilizaram as medidas realizadas durante essa atividade e a relação matemática para o pêndulo simples para calcular o valor da aceleração da gravidade no laboratório. Esses grupos encontraram os valores médios para a gravidade iguais a 9,50 m/s e 10,3 m/s . A figura 2 mostra as fotos do primeiro e quinto experimentos. 2 2

Figura 2: Da esquerda para a direita as fotos das orientações das trajetórias, do movimento da esfera no interior do tubo de óleo e do experimento do pêndulo.

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## Os experimentos escolhidos pelos alunos

Após a sexta atividade experimental que os alunos realizaram com roteiros que elaboramos, sugerimos que eles escolhessem um experimento que gostariam de realizar. Informamos que eles precisariam elaborar um roteiro mostrando o que queriam investigar, quais seriam os procedimentos utilizados para a realização das medidas das grandezas envolvidas, quais os instrumentos necessários para realizar essas medidas e o que eles esperariam encontrar segundo a fundamentação teórica utilizada.

Após três semanas de discussão surgiram as propostas experimentais que eles desejavam realizar. Algumas atividades imaginadas pelos alunos tiveram que ser adaptadas para que o experimento pudesse ser realizado. Entendemos que as discussões e as posteriores adaptações foram muito importantes para a construção

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da independência intelectual dos alunos, uma vez que eles foram os principais responsáveis por todo o processo de elaboração e execução das atividades. Apresentaremos a seguir esses experimentos e mostraremos as análises feitas sobre dos relatórios elaborados pelos alunos.

## Braço robótico mecânico

Esse experimento proposto por um dos grupos consistia na montagem de um dispositivo mecânico, com os braços se deslocando horizontal e verticalmente. O trabalho desse grupo foi árduo e necessitou de muita persistência, pois os ajustes necessários eram detalhados e as técnicas de construção e montagens do dispositivo eram precisas. Apesar da discussão envolvendo o funcionamento dos dispositivos hidráulicos e das alavancas, da dificuldade da montagem, do seu funcionamento e da boa explicação do modelo científico envolvido, esse experimento foi realizado de forma qualitativa, o que não possibilitou a obtenção de dados necessários para a construção de modelos matemáticos relacionado com as grandezas Físicas, força, braço da alavanca, pressão, área de aplicação da força e trabalho realizado pela força aplicada.

## Resistência de materiais às rupturas

Esse experimento consistia em testar a força necessária para quebrar palitos de madeiras usados para fazer churrasco, nas várias posições de aplicação da força tensora. O grupo utilizou um tripé, uma haste vertical e outra articulada horizontalmente, palitos de madeira e vários cilindros metálicos de massa conhecida. Os alunos fixaram uma das extremidades do palito na haste vertical e dependuraram os cilindros metálicos na outra extremidade até que a madeira sofresse ruptura. Como conheciam as massas utilizadas e a distância do ponto de aplicação da força à extremidade onde o palito estava preso, eles puderam construir uma tabela da força de cisalhamento e da distância de aplicação dessa força.

Nesse experimento foi possível medir a força aplicada e a distância de aplicação da mesma para ocasionar a ruptura dos palitos de madeira. Com esses dados foi possível construir uma tabela e, posteriormente, um gráfico relacionando as grandezas descritas acima. A partir dos dados coletados, da tabela, do gráfico e da fundamentação teórica envolvendo este experimento, os alunos encontraram uma relação matemática envolvendo a força aplicada e o braço de aplicação da força muito próxima do modelo teórico esperado.

## Mini-submarino

Esse grupo resolveu estudar as condições de flutuação dos corpos. Eles utilizaram dois dispositivos para essa finalidade. Em um deles existia uma garrafa PET cheia de água e uma ampola de vidro, com água até sua metade, de tal forma que ela flutuava na água da garrafa com sua abertura para baixo. Eles fechavam a garrafa e pressionava suas paredes externas com as próprias mãos. Um pouco de água da garrafa entrava na ampola, pressionando o ar no seu interior. O aumento da densidade do conjunto formado pela ampola, ar e água fazia com que o mesmo afundasse na garrafa PET. Ao deixar de pressionar as paredes da garrafa, a água extra era expulsa da ampola pela diminuição da pressão sobre o ar que estava

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aprisionado no seu interior, o que tornava a densidade do conjunto constituído pela ampola e o ar menor do que a massa específica da água, provocando a sua flutuação. O segundo dispositivo funcionava de maneira similar ao primeiro, porém ao invés da ampola de vidro + ar eles utilizaram a parte externa de uma caneta BIC, com uma extremidade aberta e outra fechada com sua tampinha onde uma pequena porção de ar era aprisionada.

Os alunos não conseguiram adaptar esse experimento para que pudessem realizar as medidas necessárias para a construção das relações matemáticas entre as grandezas pressão, força aplicada, área de contato, densidade de líquidos e sólidos e altura da coluna de líquido, ou mostrar as condições de flutuações dos corpos sólidos mergulhados nos líquidos. Assim, a proposta de Modelagem Matemática obtida com dados experimentais não pode ser concretizada, apesar da utilização de bons modelos científicos explicativos e de claros exemplos sobre as aplicações tecnológicas desse dispositivo.

## Condutividade elétrica da água

O experimento consistia em um circuito elétrico contendo fios, plugues, tomadas e uma lâmpada. O circuito era interrompido de forma que uma parte do fio estava em contato com uma das extremidades de um béquer contendo os líquidos e a outra parte se encontrava ligada na outra extremidade do béquer. Se o líquido conduzisse eletricidade, a lâmpada deveria ascender. Caso isso não ocorresse o líquido era considerado como isolante elétrico.

Esse experimento também não teve o caráter quantitativo. Isso impossibilitou a descoberta das relações matemáticas entre tensão, corrente, resistência, carga e potência elétrica, de modo que a associação da Modelagem Matemática com a atividade experimental não pode ser estabelecida por esse grupo. Eles utilizaram uma boa explicação científica para a condutividade em meios aquosos, fizeram importantes observações sobre a segurança necessária para a realização dessa atividade, mas não se preocuparam com a proposta de aproximação entre o ensino de Física e o de Matemática.

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Figura 3: Da esquerda para a direita fotos do braço robótico mecânico, das resistências materiais às rupturas e do mini-submarino.

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## Conclusões

As atividades iniciais, embora de caráter mais estruturado, foram importantes, pois auxiliaram os alunos a sanar dificuldades como operar instrumentos simples, construir relatórios dos experimentos realizados, analisar dados obtidos nos processos de medição, diferenciar atividades experimentais das aulas teóricas e trabalhar em conjunto, trocando informações sobre os procedimentos de medidas e as grandezas físicas presentes nas atividades.

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Na etapa final da pesquisa, ao observarmos os experimentos propostos e realizados pelos alunos e os seus relatórios, percebemos que três dos quatro grupos optaram por realizar atividades qualitativas, o que não permitiu, para esses grupos, uma análise matemática mais apurada dos fenômenos estudados. Percebemos também que a passagem das atividades semi-estruturadas para as atividades não estruturadas requer muito tempo para ser concretizada e o desenvolvimento de atividades não estruturadas requer maturidade intelectual dos alunos, como nos indica Ribeiro, Freitas e Miranda (1997, p. 446) ao afirmar que:

[...] As três abordagens estudadas [...] constituem ume espécie de contínuo, considerando a 'construção do conhecimento'. [...] A existência de um roteiro, com um procedimento sem detalhe algum, levando o aluno a escolher o detalhamento, indica esse tipo de abordagem, para alunos com alguma maturidade acadêmica.

Vale a pena mencionar que o grupo 2 conseguiu propor e realizar um experimento associando corretamente os fenômenos físicos com os conceitos matemáticos adequados. Esse grupo conseguiu realizar uma atividade experimental não estruturada e que utilizava importantes conteúdos da Matemática, como gráficos, tabelas e funções para estruturar seus conhecimentos físicos. Eles também apresentaram uma boa fundamentação teórica, associaram o assunto abordado com algumas aplicações práticas e comparam a função matemática obtida com os dados experimentais e aquela prevista pela teoria, mostrando as suas semelhanças.

Nos relatórios apresentados após os experimentos, verificamos que as dificuldades iniciais em relacionar os valores medidos e calculados das grandezas físicas com os símbolos, funções e gráficos diminuíram gradativamente à medida que as atividades se tornavam mais abertas como propõe Ribeiro, Freitas e Miranda (1997). Verificamos que os alunos perceberam como a Matemática estrutura o pensamente da Física, como nos mostra Pietrocola (2002, p. 103) ao asseverar que 'a matemática se constituía em uma linguagem dentro de várias outras linguagens utilizadas para estruturar nosso pensamento'.

É importante ressaltar que as habilidades de manusear instrumentos simples, planejar as atividades que seriam realizadas, procurar informações relevantes para auxiliar nas tomadas de decisões, conviver harmonicamente com diferenças de pensamentos e ações, aceitar e analisar as opiniões dos colegas foram amplamente desenvolvidas ao longo das atividades propostas. A construção dessas habilidades também é defendida por Araújo e Abib (2003), Borges (2002), Ribeiro, Freitas e Miranda (1997), Séré, Coelho e Nunes (2003) entre outros ao nos propor que as atividades experimentais possibilitam interações dos alunos que dificilmente seriam conseguidas em outras atividades.

Nosso objetivo inicial era desenvolver atividades experimentais com diferentes níveis de estruturação como proposto por Ribeiro, Freitas e Miranda (1997) e Borges (2002), associando-os com os casos de Modelagem Matemática descritos por Barbosa (2001, 2004a e 2004b) para promover aprendizagens de conceitos referentes à cinemática e dinâmica, tendo os alunos como centro do processo. Entretanto, percebemos que precisaríamos de mais tempo para que essa tarefa fosse plenamente cumprida. Apesar disso, não podemos negar a importância e as contribuições decorrentes dessa aproximação para a formação dos estudantes envolvidos, pois foi perceptível a ampliação da sua autonomia, tornando-se indivíduos menos dependentes do professor, ao mesmo tempo em que adquiriram conhecimentos mais aprofundados sobre os temas abordados.

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## Referências

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