CONTRIBUIÇÕES DE BRAHE, KEPLER, NEWTON E DA MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DA LEI DA GRAVITAÇÃO

## CONTRIBUIÇÕES DE BRAHE, KEPLER, NEWTON E DA MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DA LEI DA GRAVITAÇÃO

Djalma Nunes da Silva , Jesuína Lopes de Almeida Pacca 1 2

1 Universidade de São Paulo/Ensino/Instituto de Física, djalmaparana@usp.br

2 Universidade de São Paulo/Ensino/Instituto de Física, jesuina@if.usp.br

## Resumo

Este trabalho procura responder a questão: Como é possível evidenciar o papel organizacional da matemática durante uma atividade que envolva elementos da história da ciência? As queixas dos professores sobre a falta de conhecimento matemático dos alunos revelam uma visão distorcida dos conceitos de física, de matemática e também, de educação, constituindo uma barreira difícil de transpor. Acreditamos que a história da ciência pode oferecer uma contribuição significativa ao tratar da investigação do cientista durante a elaboração das teorias e de como a matemática aparece aí como um elemento organizador do pensamento. Este trabalho propõe uma atividade que consiste na apresentação de um problema aberto contendo três perguntas relativas ao conteúdo da gravitação universal. Com isto pretende colocar os estudantes na problemática com a qual os cientistas se defrontaram em diferentes épocas e levá-los à percepção da importância e da função da matemática na elaboração de enunciados equivalentes possibilitando o surgimento de teorias mais gerais. Essa percepção está ligada ao domínio da própria física. O desenvolvimento da ciência, explorado em sala de aula, deve revelar a relação de intimidade entre a matemática e a física como meio de possibilitar a construção do conhecimento pretendido.

Palavras-chave : Matemática na Física; Papel organizacional da Matemática na Física; Ensino de gravitação.

## Introdução

Neste trabalho, procuramos focalizar o papel da matemática na física para tentar responder à pergunta: Como é possível evidenciar o papel organizacional da matemática na física durante uma atividade que envolve elementos históricos? Pretendemos com isso proporcionar uma reflexão e apontar um caminho a mais dentre outros que já foram propostos no sentido de contribuir para melhor compreensão do papel da matemática nos domínios da física.

Muitos professores de física se queixam da falta de conteúdos de matemática de seus alunos. Achamos, entretanto, que, por trás das queixas, há uma visão distorcida dos conceitos de física e de matemática e, também, de didática, segundo a qual a tarefa do professor seria unicamente transmitir os conteúdos conceituais da disciplina; as necessidades educacionais seriam de outras ordens e responsabilidade de outrem.

Uma explicação para essa situação pode ser atribuída à dificuldade que os alunos têm de lidar com fórmulas e, portanto com resultados finais decorrentes de uma teoria, sem se dar conta do processo pelo qual passou o cientista até a descoberta de tais fórmulas. Como esse processo de descoberta se distancia da forma como o senso comum resolve problemas, não nos causa

estranheza que os alunos se sintam alheios ao processo e passem a estudar somente para 'terem sucesso nas avaliações'.

Além disso, achamos que os conteúdos de física não devem ser apresentados aos estudantes como um conjunto de verdades imutáveis, mas sim, como um sistema explicativo válido em determinada época (Garret 1998).

Com relação a essas abordagens, chamou-nos a atenção as a seguintes colocações de Feynman (2000):

'... a matemática não é apenas outra linguagem: é uma linguagem mais o raciocínio, é uma linguagem mais a lógica, é um instrumento para raciocinar. É, de fato, uma grande coleção de resultados provenientes de pensamentos e raciocínios cuidadosos. Ela permite relacionar um enunciado com outro. Por exemplo, posso dizer que a força gravitacional está dirigida para o Sol. Também posso dizer que o movimento do planeta é tal que, desenhando uma linha do Sol para o planeta num dado instante, e outra, passadas, por exemplo, três semanas, a área varrida pelo planeta será exatamente a mesma que será varrida nas próximas três semanas e nas três semanas seguintes, etc. Á medida que o planeta prossegue na sua órbita em torno do Sol. Posso explicar cuidadosamente cada um desses enunciados, mas não posso explicar a quem não saiba matemática porque eles são equivalentes (o trecho em itálico é nosso).

Depreende-se dessas colocações, que a explicação que leva à compreensão da equivalência entre os dois enunciados requer o reconhecimento da matemática como linguagem aliada ao raciocínio . Também nos chama atenção, que além de permitir o estabelecimento da relação entre a constância das áreas e a direção da força gravitacional, a visão de Feynman traz à cena aspectos mutantes da ciência. Acreditamos que no ensino, tais aspectos não devem ser ocultados dos alunos.

Ao ligar enunciados físicos elaborados em diferentes épocas, a Matemática revela uma face que denominaremos de estruturante, pois permite a compreensão do seu papel na construção de uma teoria, além de revelar o aspecto colaborativo destes enunciados nessa construção. Além disso, pode se constituir numa forma de permitir a superação de obstáculos epistemológicos e, ao mesmo tempo, ser uma base para continuar aprendendo (Gagliard 1986). Achamos que um ensino fundado em conceitos estruturantes deve reduzir os temas a ensinar para permitir que se dedique mais tempo ao desenvolvimento da capacidade de raciocínio dos alunos.

Os conceitos estruturantes, utilizando a terminologia de Kuhn (2000), são determinados a partir da análise das teorias científicas que são utilizadas pela ciência normal nas suas diversas etapas históricas. A história da ciência permite visualizar quais são os conceitos que têm permitido as transformações de uma ciência, a elaboração de novas teorias, à utilização de novos métodos e novos instrumentos conceituais.

Sendo assim, pressupõe-se uma concepção epistemológica que vê o desenvolvimento da ciência como resultado de transformações estruturais profundas (Kuhn 2000), que não somente mudam as teorias, como 'determinam novos observáveis'. A realidade a analisar evidencia mudanças conceituais e novos fenômenos são levados em consideração.

## Elementos históricos : Brahe, Kepler e Newton

Os relatos apresentados a seguir sobre Tycho Brahe, Kepler e Newton foram baseados em recortes do PSSC (1965) e se relacionam com a atividade que será proposta posteriormente neste trabalho.

Tycho Brahe, astrônomo dinamarquês, fez observações cuidadosas que permitiram um mapeamento preciso das posições das estrelas fixas e das posições aparentes dos planetas como vistos da Terra, durante um longo intervalo de tempo, iniciando-se, então, a procura de uma descrição mais precisa das órbitas do que a realizada pelo astrônomo polonês Nicolau Copérnico. Esse objetivo foi alcançado, após a morte de Tycho, por um de seus alunos, o acadêmico alemão Johannes Kepler.

Depois de haver aprendido elementos de astronomia, Kepler interessou-se pelo problema de encontrar um esquema numérico para o sistema planetário, passando a analisar as tabelas das posições planetárias de Tycho. Enfrentando o problema de traduzir as observações de Tycho em descrições matemáticas do movimento planetário , Kepler agiu como qualquer cientista de hoje que tenta explicar dados experimentais em termos de leis matemáticas simples e não apenas mediante tabelas e números.

Após desprezar a antiga crença de que os planetas se deslocam em movimento uniforme, Kepler considerou possíveis variações na velocidade de um planeta ao se mover em torno do Sol, levando-o à sua primeira descoberta: a linha que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempos iguais, que viria, mais tarde, a ser conhecida como segunda lei de Kepler.

Após a segunda lei, Kepler abandonou suas tentativas de construir os movimentos planetários a partir de combinações de movimentos circulares uniformes e tentou ovais como órbitas possíveis. Após muitos cálculos complicados, conseguiu finalmente um de seus resultados mais importantes: a primeira lei. Verificou que cada planeta move-se numa órbita elíptica, estando o Sol num dos focos.

Kepler em seguida, passou a procurar uma conexão entre o tamanho da órbita de um planeta e o seu período. Após muitas tentativas, obteve a relação que procurava: para todos os planetas, a razão entre o cubo do raio da órbita e o quadrado do período é o mesmo. A constância da razão R /T é 3 2 chamada terceira lei de Kepler. Essas leis conduziram a Astronomia a importantes avanços. As tabelas de Brahe foram traduzidas em um sistema simples e amplo de curvas e regras.

Reunindo as descobertas de Copérnico, Kepler, Galileu e outros, em astronomia e em dinâmica, Newton acrescentou as suas próprias, fundindo-as numa estrutura que, durante muitos anos, os cientistas acreditavam que nada restava para ser feito.

Durante quase trezentos anos, desde que Newton estudou a gravitação, em quase todos os casos, os cálculos predisseram as órbitas dos planetas e de seus satélites em concordância com as observações. Entretanto ocorria uma exceção: havia uma irregularidade extremamente pequena na órbita de Mercúrio. Mesmo diminuta a discrepância, torna-se necessário melhorar ou romper com a teoria para explicá-la.

Tal rompimento ocorre com a teoria geral da relatividade proposta por Albert Einstein. Quando se diz que, para velocidades baixas, o cálculo da teoria de Einstein dá os mesmos resultados que o de Newton significa que as diferenças entre as predições de Einstein e as de Newton são tão pequenas que não podem ser facilmente observadas. No caso da órbita de Mercúrio, as predições de Einstein levam a um acordo da teoria com a observação.

## A relação da Matemática com a Física e sua transposição para o contexto escolar

Há muitas pesquisas educacionais realizadas sobre o papel da matemática na Física, cada uma delas percorrendo diferentes caminhos. Sem pretensão de apresentar uma análise profunda da literatura sobre essa complexa questão, apontamos, a seguir, breves comentários sobre duas delas: a de Carmo (2006) e a de Karan e Pietrocola (2009).

Carmo (2006) observou como se deu o processo de estruturação matemática dos conceitos físicos, incluindo os produtos dessa matematização - equação fundamental da calorimetria - e as atitudes envolvidas - enxergar o fenômeno nas linguagens matemáticas, semelhantemente ao que ocorreu nos laboratórios científicos que Roth (2003) investigou.

O trabalho de Roth (2003) mostra que os cientistas, na medida em que se familiarizam com o fenômeno, a coleta de dados e os resultados gráficos, tendem a tratá-los de forma indistinguível, passando a ver o fenômeno na representação criada e esquecem os passos que o produziu, fundindo, portanto o signo e o referente. Acreditamos que, no contexto escolar, devem-se criar condições para que o estudante adquira meio que também o leve a essa fusão.

Em sua pesquisa, Carmo (2006) também analisa trabalhos em que os estudantes são colocados em situações consideradas próximas do fazer dos cientistas e que leva em conta uma aprendizagem que envolve a participação dos alunos em grupos na (re) construção dos conhecimentos que trazem de sua experiência pessoal. Trata-se de uma investigação científica adaptada à sala de aula numa aula de laboratório aberto . Acrescenta-se a isso outras características da Ciência, como, por exemplo, a da argumentação científica (Capecchi, 2004).

Apoiado em investigações que apontam que não se faz e não se comunica ciência somente pela linguagem oral ou pela escrita, Carmo enfatiza que ela contém, ao mesmo tempo, um componente verbaltipológico e outro matemático-gráfico-operacionaltopológico . Com isso, estar no mundo da Ciência é combinar discurso verbal, expressões matemáticas, representações gráficas e visuais e operações motoras no mundo natural.

Numa linha de investigação voltada a procedimentos tradicionalmente adotados por professores no que se refere à falta de conhecimento de matemática dos seus alunos, Karan e Pietrocola (2009) criticam autores que tentam distinguir entre problemas matemáticos e científicos e na categorização de problemas quantitativos e qualitativos.

Pietrocola (2008) propõe duas categorias para analisar a aprendizagem de Matemática dos estudantes e sua relação com a compreensão/modelagem

dos fenômenos do mundo físico: habilidades técnicas e habilidades estruturantes .

Essas categorias reaparecem em Karan e Pietrocola (2009) através da apresentação de seis problemas fechados dos quais mostramos um deles em que aparecem funções trigonométricas como integrantes das 'fórmulas' que os 'solucionam'. O enunciado do problema é:

Calcule o momento do binário aplicado à barra de 2m de comprimento conforme o esquema a seguir considerando positivo o sentido horário.

Figura 01: Barra submetida a um binário.

<!-- image -->

As habilidades técnicas referem-se ao campo mais 'interno' da Matemática e estão relacionadas ao domínio instrumental de algoritmos, regras, fórmulas, gráficos, equações, etc. As estruturantes são evocadas através de formulação de perguntas que instiguem os estudantes a refletirem sobre o porquê da presença de estruturas matemáticas nos problemas que corresponderiam a uma identificação de aspectos essenciais revelados através de perguntas como esta:

- -Por que as funções trigonométricas (seno e co-seno) aparecem nas fórmulas matemáticas utilizadas na resolução destes três problemas? O que os mesmos têm em comum?

A proposta dos autores é distanciar a resolução de problemas fechados da forma como tradicionalmente é feita. Pretende-se que a resolução não implique numa aplicação simples e irracional de fórmulas matemáticas. Além disso, chamar a atenção para a presença dessas estruturas em diversos conteúdos da Física (mecânica, eletromagnetismo, etc.) bem como a extensão do seu alcance para domínios mais elevados da disciplina (para uma descrição mais profunda, recomendamos a leitura completa do artigo citado).

Propondo um caminho diferente dos dois citados acima, apresentamos a seguir uma atividade para o ensino de gravitação que revela outro aspecto estruturante da matemática: aquele que mostra a equivalência entre enunciados explicativos dos fenômenos em diferentes épocas, como nos mostra Feynman (2000), mas que também utiliza elementos que aparecem nos trabalhos de Carmo, Karan e Pietrocola.

## Aspectos Essenciais de uma Atividade para o Ensino de Gravitação

Que aspectos essenciais de um processo investigativo, com base nas idéias dos cientistas durante a elaboração das teorias, devem ser levados em conta em sala de aula durante uma atividade sobre conhecimentos de Física que levem em conta o papel organizacional da matemática?

Para responder a essa questão, propomos uma atividade na qual se procura colocar em evidência as relações de equivalência entre conclusões

obtidas sobre a gravitação universal em diferentes etapas de sua história: Por Brahe, com suas tabelas sobre as distâncias dos planetas, por Kepler com suas leis das áreas e dos períodos e por Newton, com sua lei da gravitação universal.

Os aspectos essenciais sobre conteúdo de gravitação a ensinar se relacionam a aspectos históricos, como um estruturante , segundo a concepção de Gagliard (1998) como vimos na introdução desse trabalho. Além disso, utilizamos as categorias habilidades técnicas e habilidades estruturantes citadas em Karan e Pietrocola (2009) e elementos relativos a questões tipológicas e topológicas do trabalho de Carmo (2006).

A atividade proposta consiste na apresentação de um problema aberto contendo três perguntas relativas ao conteúdo da gravitação universal. O problema é considerado aberto por conter características do raciocínio científico principalmente no que se refere à análise de enunciados que foram elaborados por diferentes cientistas em etapas históricas diferentes, elementos do processo investigativo que leva um enunciado a outro e a reflexões acerca da elaboração de uma teoria geral para um fenômeno. O problema é:

De que maneira podemos mostrar que:

- A) A lei das áreas equivale a dizer que a força gravitacional aponta para o Sol?
- B) Que a tabela apresentada a seguir é equivalente à expressão:

T 2 /d =k? 3

Tabela 01: Dados das distâncias e dos períodos dos planetas

ua = unidade astronômica.

A unidade astronômica é a distância média da Terra ao Sol ao longo de um período orbital. Essa distância corresponde ao semieixo maior da órbita terrestre.

- C) A expressão T 2 /d =k é 3 equivalente a F = G mM/d ? 2
- Sol.

3- Cálculos da área de triângulos.

Com o item B seria possível explorar o processo investigativo que leva, a partir de dados empíricos, a uma relação matemática que dá conta de uma descrição mais refinada do movimento do planeta ao redor do Sol.

Figura 02: representação da órbita de um planeta ao redor do Sol

<!-- image -->

Para a investigação é necessário lançar mão de habilidades técnicas dos conteúdos matemáticos necessários como:

- O item A do problema tem como finalidade colocar em evidência a forma organizacional da matemática na concepção de Feynman (2000) descrita na introdução deste artigo. Segundo o autor a matemática permite relacionar um enunciado a outro.

Nesse caso, o enunciado é: ' o segmento que liga o Sol ao planeta , descreve áreas iguais em intervalos de tempos iguais' . O outro enunciado diz: ' A força gravitacional está dirigida para o Sol '.

Para passar de um enunciado a outro, são necessários conhecimentos de matemática e de Física (o que mostra uma relação íntima entre eles): conhecimentos sobre áreas de triângulos (habilidades técnicas) acrescidos da lei da inércia, (se o planeta não fosse atraído pelo Sol continuaria em seu caminho em linha reta, descrevendo distâncias iguais em intervalos de tempos iguais (Feynman, 2000 p.55).

Como existe a força aplicada pelo Sol, ele atrai o planeta, modifica-lhe o movimento fazendo-o inflectir na sua própria direção. Há uma espécie compromisso entre aquilo que o planeta queria fazer e a modificação da sua rota provocada pela atração do Sol. O raciocínio permite descobrir uma relação entre os fatos de a força apontar para o Sol e o das áreas varridas serem iguais. É esse aspecto estruturante que procuramos evidenciar no problema.

A sensibilidade, a paciência e o empenho, tanto de Kepler quanto de Newton é que os levaram a inferir e criarem enunciados que representavam a regularidade e a organização que os dados permitiam. Kepler, a partir da coleção detalhada extensa e cuidadosa dos dados de Tycho Brahe. Newton, com considerações geométricas permitidas pelas descobertas de Kepler associadas às leis básicas da mecânica.

Na sala de aula, obviamente, alguns procedimentos devem ser elaborados para dirigir o raciocínio e o pensamento dos alunos. Uma sequência possível seria utilizar figuras que:

- 1- mostrem áreas varridas pelas linhas que ligam o planeta ao Sol.
- 2- mostrem a direção radial da força gravitacional entre os planetas e o

Um gráfico de y em função de x deve dar conta da relação linear entre variáveis desde que adequadamente representadas, Isto é, evidenciando os expoentes que possibilitem essa representação. (Evidentemente essa relação linear vai ocorrer quando se tome T = kd . 2 3

Essa pesquisa dos expoentes permite trabalhar a matemática se considerarmos a tentativa de aproximação iniciando com várias possibilidades para os expoentes:

```
d em função de T d 2 em função de T d 3 em função de T d 3 em função de T 2 d 3 em função de T 3
```

A relação matemática vai representar a terceira lei de Kepler, ou seja, a de que o cubo do semieixo maior é proporcional ao quadrado do período orbital.

Com esse procedimento é possível também fazer um estudo ou análise dimensional para interpretar a constante k que consta da relação T = kd . 2 3

No item C, o nível de elaboração da resposta é mais profundo que os dois anteriores. Aqui o propósito é relacionar a segunda lei de Newton cuja intensidade é F = ma (sendo m, massa do planeta e a , intensidade de sua aceleração) com a intensidade da lei da gravitação F = GmM/d 2 . Certamente serão necessárias outras informações que levem a compreender a segunda lei de Newton e que contenham explicações sobre os movimentos circulares uniformes (como aproximações possíveis das órbitas elípticas), a aceleração centrípeta e força resultante podem ser úteis para que o professor faça emergir argumentações e conduza os alunos a perceberem que ma=GmM/d . 2

A resposta à pergunta feita anteriormente sobre quais os aspectos essenciais de um processo investigativo que levem em conta o papel organizacional da matemática devem ser levados em conta em sala de aula durante uma atividade sobre conhecimentos de física, pode finalmente ser dada.

Tais aspectos estão nos procedimentos utilizados pelos cientistas durante a elaboração das teorias e na relação que existe entre diferentes enunciados em diferentes períodos. No nosso caso os aspectos essenciais são os conhecimentos matemáticos necessários que levam à compreensão da equivalência entre esses diferentes enunciados.

- O papel estruturante da matemática para a compreensão da física, como a história nos revela, por ser do domínio do fazer da própria física, requer que o professor abandone antigas práticas e passe, ele mesmo, a trabalhar as habilidades estruturantes sem as quais a compreensão dos conceitos físicos ficará comprometida.

O exemplo da gravitação mostra que a construção do conhecimento se dá por sucessivas revisões e críticas dos conhecimentos existentes, revelando uma complexidade que se fez necessária para se chegar a novos sistemas

explicativos que dêem conta da solução de novos problemas. Tal processo, como já foi dito, não pode ser ocultado dos estudantes e é papel do professor conduzir a aprendizagem nesse sentido.

## Considerações finais

Este artigo procurou evidenciar que o desenvolvimento científico possui raízes fortemente ancoradas em concepções oriundas do passado e que foram se complexificando no decorrer do tempo, ocupando a matemática, nesse processo, um lugar de destaque.

- O nosso enfoque centrou-se na crença da capacidade estruturante que a história da ciência pode oferecer e nas habilidades matemáticas exigidas para a resolução de um problema e a relação íntima entre matemática e física.
- O trabalho do professor consistiria em encaminhar, através de atividades adequadas, a solução do problema através de conhecimentos mediadores da física e da matemática que no processo de estruturação se revelam estreitamente relacionados. Além disso, a equivalência entre o conhecimento anterior (lei das áreas) e o posterior (direção e sentido da força gravitacional) não significa um processo cumulativo de conhecimentos, mas implica a substituição de uma forma de pensar por outra, revelando facetas desconhecidas ou não muito claras do processo anterior.

Ao trabalhar com os gráficos, o professor consegue explicitar os recursos tipológicos e topológicos dessa linguagem. Dentre os recursos tipológicos temos a variável distância e tempo. Já entre os recursos topológicos, os valores das variáveis, a forma da curva com suas inclinações e a organização visual do gráfico.

- O item C permitiria evocar o raciocínio não dependente de dados empíricos, relativo à busca de uma relação de equivalência em que o enunciado posterior da lei assume um caráter de maior consistência e abrangência. Sua representação final sintetiza os aspectos amplos da teorização do fenômeno da gravitação.

Acreditamos que há múltiplas linguagens matemáticas. A geometria euclidiana é um exemplo de linguagem matemática. A álgebra vetorial é outra. Todas se prestam para expressar o pensamento. Sobre a atividade apresentada nesse trabalho, podemos levantar a seguinte questão: é preferível dizer que a força gravitacional sobre o planeta aponta para o Sol ou que áreas iguais são varridas em intervalos de tempos iguais? Sob um determinado ponto de vista, o enunciado da força é preferível. Dada a força, um sistema de muitas partículas, cujas órbitas não são elipses, pode ser estudado, já que o enunciado das forças indica quais são as atrações recíprocas. Por outro lado, para compreender como rodopia um patinador que começa a rodar lentamente com a perna estendida e, à medida que encolhe a perna o movimento torna-se cada vez mais rápido, a lei das áreas pode ser mais conveniente. Apesar do patinador se utilizar de força que difere daquela da gravidade, a lei também é válida aí.

Sem pretender que o estudante seja um cientista, o trabalho mostra uma situação racionalizada e simplificada pela qual passam os cientistas

durante a resolução dos problemas da ciência; isto possibilitaria uma mínima familiarização com o trabalho científico e seus resultados.

Os textos históricos podem servir para colocar os estudantes na problemática com a qual os cientistas se defrontaram. Assim é possível levar os estudantes ao levantamento de hipóteses e à compreensão de uma construção coletiva do conhecimento e à sua socialização. Os textos de apoio dariam embasamento teórico sobre a atividade desenvolvida.

A atividade proposta pode ser uma resposta possível para a questão central desse artigo: Como é possível evidenciar o papel organizacional da matemática durante uma atividade que envolva elementos da história da ciência? No contexto de tal atividade a matemática aparece como recurso do pensamento para estruturação das teorias físicas o que torna provável que os componentes didáticos propostos na atividade possam ser utilizados como referência para outros conteúdos da física .

## Referências Bibliográficas

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