UM ESTUDO DE CASO SOBRE A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE FÍSICA E A PRÁTICA DA MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE FÍSICA

## UM ESTUDO DE CASO SOBRE A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE FÍSICA E A PRÁTICA DA MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE FÍSICA

Claudia de Oliveira Lozada , Nadja Simão Magalhães 1 2

1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação/cld.lozada@gmail.com

2 Universidade Federal de São Paulo, nadjasm@gmail.com

## Resumo

Este trabalho tem como objetivo analisar a importância da Modelagem Matemática aplicada ao Ensino de Física como uma ferramenta de ensino a ser utilizada pelos professores, sobretudo, na resolução de problemas, tendo em vista, que em geral, mostram-se desvinculados da compreensão do fenômeno e apresentam-se como mera aplicação de 'fórmulas'. Esta postura fomenta a 'cultura dos problemas-tipo' e do 'paradigma do exercício' (SKOVSMOSE, 2000) comum em nossas escolas. Dessa maneira, a pesquisa qualitativa realizada com alunos do 5º semestre da Licenciatura em Física do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, não apenas demonstrou a extensão da utilidade da Modelagem Matemática aplicada ao Ensino de Física, mas também o seu aspecto interdisciplinar, uma vez que permitiu desenvolver a competência leitora e escritora, importantes na compreensão dos fenômenos e sua explicação por parte dos licenciandos. Outro aspecto verificado pela pesquisa diz respeito à propositura de problemas numa dimensão investigativa, uma vez que esta abordagem fará com que os alunos elaborem seus próprios modelos matemáticos, permitindo a autonomia de pensamento e de ação, fomentando o educar pela pesquisa. Ademais, a realização do trabalho cooperativo deve ser freqüente, para que os alunos compreendam a importância de compartilhar saberes na construção do conhecimento e que o mesmo possibilita a aquisição de valores de atitudes, pois se pretende formar cidadãos críticos. Por outro lado, percebe-se a importância de se trabalhar com outras linguagens, numa perspectiva semiótica, como a utilização de ilustrações dos fenômenos físicos como recurso auxiliar para enfatizar a modelagem mental.

Palavras-chave : Modelagem Matemática, Resolução de Problemas em Física, Formação de Professores, Ensino de Física

## Introdução

Muito se tem discutido sobre o Ensino de Física e estratégias metodológicas para torná-lo mais significativo e atrativo. Eventos como o Encontro de Pesquisa em Ensino de Física e Simpósio Nacional de Ensino de Física são promovidos no sentido de fomentar pesquisas que contribuam para inovar as metodologias de Ensino de Física, discutir questões relacionadas à formação docente e aos

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30 de janeiro a 04 de fevereiro de 2011

processos cognitivos e, sobretudo, tentar implantar de maneira efetiva a Física Moderna e Contemporânea no Ensino Médio.

Neste contexto, há iniciativas ainda tênues e tímidas, de trabalhos que enfatizam a importância da Matemática como ferramenta da Física, colocando inclusive em pauta a questão dos modelos matemáticos relacionados aos fenômenos quânticos que consistem em uma modelagem complexa para o aluno do Ensino Médio e que talvez a dificuldade encontrada para a elaboração de tais modelos possa ser minimizada empregando-se as equações de diferenças e Fuzzy, no sentido de aproximar os alunos dos conteúdos de Física Moderna e Contemporânea.

Por sua vez, a resolução de problemas nas aulas de Física no Ensino Médio, como se tem observado muitas vezes consiste na aplicação de fórmulas sem aparente relação com o conceito físico, constituindo-se em mecanização de procedimentos, propagando o que se tem denominado 'matematização' do Ensino de Física. Este processo de 'matematização' caracteriza-se pela excessiva ênfase na apropriação de conceitos matemáticos para resolver problemas de Física, relegando ao segundo plano a conexão com os fenômenos físicos em estudo. Outro aspecto, que se tem verificado relaciona-se com a leitura e interpretação dos enunciados dos problemas em Física. As dificuldades apresentadas na leitura e interpretação, decorrentes de falhas no processo de alfabetização, conduzem os alunos a não identificarem o fenômeno físico apresentado. Ademais, os conhecimentos prévios dos alunos sobre os fenômenos físicos são em sua maioria desprezados e/ou desconsiderados pelos professores.

Embora os livros didáticos tragam uma quantidade cada vez maior de problemas contextualizados relacionados ao cotidiano dos alunos, há a necessidade de os professores reverem sua prática pedagógica com o objetivo de tornar a resolução de problemas uma atividade desafiadora que mobilize o processo cognitivo dos alunos. Dessa maneira, estes seriam levados a desenvolver sua capacidade crítica com vistas a discutir os modelos matemáticos desenvolvidos, sua validação, questionando se haveriam outros modelos para um mesmo fenômeno, entre outras questões que podem ser levantadas. Enfim, a resolução de problemas em Física deve estar diretamente relacionada com a Modelagem Matemática e constituir um 'cenário de investigação.' (SKOVSMOSE, 2000), instituindo uma ponte entre o Ensino de Física e a Educação Matemática, demonstrando a integração entre as duas áreas de pesquisa e fomentando a interdisciplinaridade.

Por outro lado, é importante deixar claro desde cedo aos alunos que os modelos matemáticos desenvolvidos no Ensino de Física possuem um sentido agregado ao fenômeno em estudo, que suas variáveis possuem um significado, não constituindo um conjunto de símbolos vazios.

Com esse embasamento e fundamentando-se na perspectiva da aprendizagem significativa (MOREIRA e MASINI, 1982), este trabalho tem como objetivo analisar a importância da Modelagem Matemática aplicada ao Ensino de Física como uma ferramenta de ensino a ser utilizada pelos professores, sobretudo, na resolução de problemas, e para tanto relatamos uma pesquisa qualitativa realizada com alunos do 5º semestre da Licenciatura em Física do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo.

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## 1. Breves considerações sobre Modelagem Matemática e resolução de problemas em Física: os enlaces entre a Educação Matemática e o Ensino de Física

A relação da Modelagem Matemática com outras áreas do conhecimento é defendida por Barbosa (2002, p.6): 'Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas do conhecimento.' Esta também é a visão de Kluber (2007, p.101) que afirma que na Modelagem 'existe certa intersecção com outras áreas do conhecimento', exemplificando esta intersecção com a Biologia, Engenharia e até mesmo com uma situação política.

Assim, postulamos que a Modelagem Matemática proporciona uma visão holística do processo ensino-aprendizagem, por apresentar uma integração/interação entre as diversas áreas do conhecimento, excluindo-se o caráter fragmentado do ensino-aprendizagem tal qual é apresentado em nossas escolas atualmente. Assim, nas aulas de Física é necessário demonstrar aos alunos a relação entre a Matemática e a Física, sobretudo no que diz respeito aos modelos matemáticos que descrevem os fenômenos físicos que são abordados e que os mesmos devem prescindir de uma problematização para que os alunos aprendam a refletir, fazer conjecturas, levantar hipóteses, selecionar variáveis e observar o mundo que o cerca. Os fenômenos físicos expressam situações reais presentes no cotidiano de nossos alunos e seus modelos matemáticos podem ser elaborados e explorados de um modo mais significativo, inclusive para a compreensão do funcionamento de aparelhos presentes no dia-a-dia dos alunos como televisores, computadores, i pod , entre outros, num enfoque CTSA (Ciência, Tecnologia, Sociedade e Ambiente). Esta perspectiva viabiliza a aprendizagem significativa crítica, na medida em que os alunos podem discutir os impactos gerados pela tecnologia na sociedade.

Davis e Hersh (1985) demonstram a relação da Modelagem Matemática com fenômenos físicos: obter respostas sobre o que acontecerá no mundo físico; influenciar a experimentação ou as observações posteriores; promover o progresso e a compreensão conceituais; auxiliar a axiomatização da situação física; e, incentivar a Matemática e a arte de fazer modelos matemáticos.

Dentre os documentos oficiais relacionados ao Ensino de Física no Ensino Médio, destacam-se as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) que abordam a questão dos modelos matemáticos em Física correlacionando-os com o Ensino da Matemática, asseverando que a Matemática participa da estruturação do conhecimento físico. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 53) propõem inclusive que o 'ensino de Física seja pensado a partir do processo: situação - problema - modelo , entendendo-se 'situação' nesse caso como a referência de uma idéia física. Essa é uma característica da Física: fazer modelos da realidade para entendê-la; obter meios para encarar um problema.' O referido documento corrobora a visão equivocada da aplicação dos modelos matemáticos no Ensino de Física, no que concerne à resolução de problemas, como pontuamos preliminarmente neste trabalho.

Bassanezi (2004, p. 24) inclusive defende que a 'Modelagem é eficiente a partir do momento que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade, ou seja, que estamos sempre elaborando sobre

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representações de um sistema ou parte dele'. Lidar com esta controversa realidade sob a perspectiva de modelá-la, muitas vezes constitui-se num contexto de resolver um problema.

Em diversas passagens dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 1999) a resolução de problemas é citada como uma prática a ser desenvolvida em nossas escolas. Esta postura é reforçada na seção de competências e habilidades e também é enfatizada pelas Orientações Curriculares do Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 84-85): '(...) A Modelagem Matemática percebida como estratégia de ensino, apresenta fortes conexões com a idéia de resolução de problemas (...)'.

A resolução de problemas em Física tem sido criticada, sobretudo, pela tendência a reduzir-se à aplicação de dados em fórmulas ou algoritmos, não estabelecendo significado com o conceito físico. Ademais, criou-se a 'cultura dos problemas-tipo', que não são desafiadores e criam a 'mecanização' da resolução de problemas, Nesse sentido, Peduzzi (1997, p. 230 - 231) apud Zylbersztajn (1998, p. 2) coloca que o professor 'trata os problemas como ilustrativos, como exercícios de aplicação de teoria e não como verdadeiros problemas'. Essa visão é corroborada pelos PCN (BRASIL, 1999, p. 229), que apontam que o Ensino de Física 'enfatiza a utilização de fórmulas, em situações artificiais, desvinculando a linguagem matemática que essas fórmulas representam de seu significado físico efetivo.' As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 54) afirmam que os problemas consistem na '(...) mera aplicação de fórmulas, bastando ao aluno saber qual expressão usar e substituir os dados presentes no enunciado do problema. (...)'

O que os documentos oficiais relatam, é prática freqüente nas escolas brasileiras. Os alunos costumam afirmar que 'nas aulas de Física estudam Matemática', pois não há uma relação entre o conceito físico e o modelo matemático; não há a prática de se resolverem problemas em Física com o objetivo de se compreender o fenômeno físico e elaborar um modelo matemático. Há uma ilusão de que os alunos 'resolvem os problemas', uma vez que mecanizam os procedimentos de resolução. Os resultados obtidos, via de regra, não são questionados nem analisados com vistas a debater o fenômeno estudado. A resolução do problema encerra-se quando se obtém um resultado numérico. Neste caso, será que há uma aprendizagem significativa?

Kuhn (1975) defende os 'problemas-tipo', afirmando que estes são fundamentais na aprendizagem da Física. Zylbersztajn (1998, p. 7) explica que na visão de Kuhn os alunos, ao resolverem os problemas exemplares, aprendem a aplicar as versões apropriadas das leis (generalizações simbólicas) a contextos específicos, um processo através do qual novos problemas passam a ser encarados como casos análogos àqueles já encontrados previamente. Esses 'problemas-tipo' são criticados por Gil-Perez et al. (1988; 1992), pois, segundo o autor, levam os alunos a adotarem um 'operativismo mecânico'. Uma pesquisa realizada por Sousa e Fávero (2003, p.19-20) apontou que 'pelo menos a metade dos sujeitos vê a resolução de problemas como aplicação da teoria, isto é, aplicação e transferência de conhecimento adquirido'. Salienta-se, contudo, que, da maneira como a resolução de problemas vem sendo freqüentemente trabalhada no Ensino de Física, não se está oportunizando suficientemente o desenvolvimento dos modelos matemáticos. É importante fomentar a correlação entre a teoria e o fenômeno físico e seu modelo matemático. Amiúde não são atribuídos significados às 'fórmulas'. Sob tais condições o Ensino de Física torna-se vazio, sem significado, prejudicando

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a aquisição do conhecimento. Assim, o conhecimento significativo é aquele dotado de significado, que faz sentido para o aluno e mobiliza seu processo cognitivo.

## 2. A pesquisa qualitativa sobre a Modelagem Matemática aplicada ao Ensino de Física com alunos da Licenciatura em Física

No início do ano letivo de 2008 procedemos a uma pesquisa qualitativa com um grupo de alunos do 5º semestre do período matutino da Licenciatura de Física do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo 2 , localizado na cidade de São Paulo. Participaram da pesquisa 15 alunos, sendo que formaram 5 grupos com 3 componentes. Optamos por um trabalho cooperativo (FREINET, 1985), pois propicia uma compreensão compartilhada dos saberes, ativando a zona de desenvolvimento proximal (VYGOTSKY, 1991). Para tanto, os grupos participaram de uma atividade supervisionada que consistiu na resolução de um problema relacionado a um fenômeno físico, no qual deveriam elaborar o modelo matemático correspondente e responder a perguntas referentes ao problema. Ao final da atividade, os alunos foram questionados acerca da resolução de problemas e as dificuldades que o envolvem. O problema proposto para os alunos procurou priorizar vários conceitos de Física desenvolvidos anteriormente de modo que os alunos pudessem relacioná-los, percebendo a integração de conceitos, e apresentando-se por meio de uma situação fática a qual estão acostumados a enfrentar ou presenciar. A seguir apresentamos a atividade supervisionada:

Problema: Um homem empurra um automóvel de uma tonelada em uma rua plana. Inicialmente, o carro estava parado. Após 5 segundos de esforço (força) constante realizado pelo homem, o veículo atinge a velocidade de 1 m/s. Determine a força média (em N) que o homem teve que exercer para o automóvel atingir essa velocidade nesse intervalo de tempo, supondo que não houve forças resistivas atuando.

Questões a serem respondidas pelo grupo:

- A.Citem a qual fenômeno físico o problema se refere.
- B.Expliquem com suas palavras o fenômeno físico relativo ao problema acima.
- C.Façam um desenho relativo ao fenômeno físico referente ao problema acima.
- D.Elaborem um modelo matemático relativo ao fenômeno apresentado pelo problema.
- E.Expliquem por que vocês elaboraram esse modelo, por que optaram por elaborá-lo da maneira como escreveram.
- F.Vocês conseguem relacionar as variáveis do modelo matemático com o fenômeno estudado no problema? Se sim, listem essas relações.

## 2.1. Análise dos protocolos de pesquisa e do questionário e considerações preliminares

Pela análise dos protocolos de pesquisa da atividade supervisionada, verificou-se que os grupos não tiveram dificuldades de identificar os fenômenos físicos que no caso do problema em tela referia-se às Leis de Newton.

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Fig. 1. Protocolo de Pesquisa da Resolução da Atividade Supervisionada por um Grupo de Alunos

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Em geral, os grupos apresentaram sucintamente a explicação acerca do fenômeno físico envolvido no problema, como podemos ver pelas respostas abaixo dadas a questão B, com destaque para a resposta do grupo 5 que relacionou a 2ª Lei de Newton com a quantidade de movimento, uma vez que nas aulas de Física, costumeiramente os professores utilizam outra abordagem (F = ma):

- G1: 'Entre tantos que listamos, fizemos a opção, por exemplo, por explicar a 1ª Lei de Newton (Inércia). Esta lei diz que o corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, na ausência de forças resultantes que o acelere. Assim sendo, temos a inércia no primeiro momento (antes do homem começar a empurrar o carro) e no final (quando o homem deixa de empurrar o carro, e este continua o MRU com velocidade de 1m/s)
- G2: 'O fenômeno físico em questão é o movimento; ele ocorre através do esforço do homem sobre o automóvel.' (grifo nosso)
- G3: 'Um objeto (o carro) sai de seu estado de inércia (parado em relação ao solo) através da aplicação de uma força nele pelo homem e começa a acelerar.'
- G4: 'O fenômeno físico é o deslocamento de um móvel em virtude da aplicação de uma força.'
- G5: 'O problema acima pode ser analisado de diversos ângulos: 1º) Princípio da Ação e Reação: ao aplicarmos uma força no carro, este aplica uma força contrária, porém, deveremos aplicar uma força maior. 2ª Lei de Newton: para movimentar o carro, pois este adquire uma massa maior. 2ª) Quantidade de Movimento: porque a quantidade de movimento se relaciona com o impulso:
- Q = mv1 - mv2

I = mv2

- F. Δ t = mv2
- F = mv2/ Δ t

3ª) Teorema da Energia Cinética: pois se há variação de movimento, logo, há variação de energia, portanto, existe trabalho realizado:

Ec = mv²/2 -&gt; Ec = = F.d

τ

F.d = mv² /2

F= mv² / 2d

Para a questão c, não houve dificuldades na representação gráfica, uma vez que os alunos representaram vetorialmente as forças que atuam sobre o carro. No entanto, os grupos 1, 4 e 5, apresentaram outros detalhes na descrição gráfica, similar a uma simulação do que ocorreria na realidade se um homem empurrasse um carro.

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Fig. 2. Protocolo de Pesquisa - Representação Gráfica - da Resolução da Atividade Supervisionada por um Grupo de Alunos

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Para a pergunta d, os modelos matemáticos apresentados foram os seguintes:

G1: velocidade: V = Δ S/ Δ t ; espaço: Δ s =V. Δ t ; tempo: Δ t = v/ Δ S; força, massa e aceleração: Fr = m.a -&gt; Δ v/ Δ t

Força resultante: Fr (m) = m. Δ v/ Δ t -&gt; m. (v - vo)/(t-to)-&gt; m.(1m/s)/5s -&gt;m.1/5 m/s²-&gt; Fr (m) = 0,2 m/s²

G2: a = Δ v/Ax, pois conhecemos a velocidade final e o tempo gasto para acelerar, conhecendo a 2ª Lei de Newton, relacionar os dados propostos no exercício e obtido na fórmula da aceleração, conseguimos determinar a força aplicada.

```
G3: Fx = m.a Fy = N + P = 0 G4: Modelo matemático: obtenção da aceleração: Vf = Vo + at 2ª Lei de Newton: para determinar a força=> f =m.a Cálculo: Vo = 0, to= 0 ; vf = 1m/s, tf = 5s -> 1m/s = 0 +a (5s) a = 1m/s/5s = 0,2 m/s² F = m.a -> F = 10³ kg (o,2 m/s²)-> F = 0,2 . 10³ N = 200N G5: F = m.a ; v = vo+at; m = 1000 kg; = 1/5 m/s² F = 1000.1/5 = 200 N; V² =vo² + 2a Δ S -> Δ S = 5/2m Ec = mv²/2 -> = mv²/2 -> F.d = mv²/2 τ F.d = mv²/2d -> 100.1 -> F = 200 N 2.5/2 Q = mv1 - mv2 I = mv2 F. Δ t = mv2 F = mv2/ Δ t-> F = 1000.1/5 = 200 N
```

Para a pergunta e, sobre os modelos matemáticos apresentados, as justificativas foram as seguintes:

G1: Optamos por escrever nosso modelo como força resultante em função da massa do carro por não termos o último dado no enunciado do exercício. Assim, para qualquer massa do automóvel, podemos chegar a um valor de Fr.

G2: Sabemos que a 2ª Lei de Newton relaciona massa com aceleração e possuímos a massa do carro; para ficar mais fácil a resolução, optamos por localizar a aceleração e relacioná-la através da 2ª Lei de Newton - F = m. a .

G3: Porque partindo do conhecimento das Leis de Newton do Movimento, fizemos a análise das forças nas direções relevantes.

G4: Para obedecer a sistemática adotada e medidas SI preconizadas inicialmente, utilizamos a equação de Cinemática do MRU para encontrar a aceleração. Após isso, levamos o valor da aceleração para a fórmula de força (2ª Lei de Newton) e obtemos o valor da força média.

G5: A explicação é dada no item b.

Para a questão f, as respostas foram as seguintes, sendo que o grupo 3 deixou de respondê-la:

G1: Sim, conseguimos relacionar. A partir da variação do tempo, da velocidade e da 2ª Lei de Newton, chegamos a uma aceleração de 0,2 m/s², que é o coeficiente que relaciona a massa do carro com a Fr feita pelo homem para empurrá-lo.

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G2: Sim, nos temos a velocidade dada, tempo gasto para acelerar e conhecendo a massa do veículo é possível relacionar as variáveis: velocidade, tempo, massa.

G4: Sim. Variável aceleração: altera a velocidade do móvel; variável tempo: determina o período em que a força foi aplicada; variável espaço: deslocamento do móvel.

G5: As variáveis estão citadas no item d.

Analisando as respostas às questões propostas, percebemos que, em geral, os alunos não estão habituados a expressar-se na forma escrita para explicar os fenômenos físicos. Nota-se que na visão dos alunos 'a explicação' está 'inserida' na resolução matemática do problema e até mesmo na representação gráfica. Os alunos também costumam referir-se aos modelos matemáticos como 'fórmulas', o que denota que o ensino de Física ainda padece da cultura da aplicação de fórmulas, a 'matematização' da Física, na qual se torna mais 'fácil' explicar procedimentos matemáticos do que fenômenos. Por outro lado, os alunos conseguiram visualizar outros fatores que influenciam no estudo do fenômeno e que estão além do que se costuma abordar quando se ensinam as Leis de Newton, como pôde se observar pela remissão à teoria da Energia Cinética e à quantidade de movimento.

Após, a realização da atividade supervisionada, os alunos responderam individualmente um questionário para que averiguássemos as opiniões dos alunos acerca da resolução de problemas em Física e como esta foi desenvolvida quando eram alunos do Ensino Médio. Salientamos que 15 alunos participaram da pesquisa, mas apenas 14 entregaram o questionário respondido. Um dos participantes não respondeu à questão 3, e as questões 6 e 10 só foram respondidas por 11 participantes.

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## 3. Considerações finais

Barbosa (1999, p.6) acentua o caráter integrador da Modelagem ao afirmar que na Modelagem Matemática 'o conhecimento explorado é de natureza interdisciplinar, permitindo a compreensão e interpretação da realidade vivida.' E prossegue afirmando que 'apesar das situações terem origem em outros campos que não a matemática, os alunos são convidados a usar idéias, conceitos, algoritmos da matemática para abordá-los.' (BARBOSA, 2003, p. 5)

As atividades de Modelagem Matemática aplicadas ao Ensino de Física no Ensino Médio por sua vez proporcionam aos alunos a 'experimentação, abstração, resolução, validação, modificação e aplicação do modelo' (BASSANEZI, 2004, p. 27), o que sugere a relevância da adoção de referenciais teóricos da Educação Matemática para o aprofundamento das bases teóricas da Modelagem Matemática no Ensino de Física. Sugerimos que as situações-problema sejam relacionadas ao cotidiano, de modo que o aluno possa indagar e investigar o mundo que o cerca

Dessa maneira, o cotidiano possibilita fornecer diversas situações para um trabalho dinâmico em modelagem matemática na sala, sobretudo pelo fato de os alunos poderem observar o mundo que os cerca e modelar os fenômenos físicos, implicando numa abordagem interdisciplinar entre Física e Matemática, pautando-se por uma relação didática significativa, com uma dimensão investigativa, favorecendo o aprender a aprender (POZO, 1998).

Por outro lado, uma análise geral das respostas do questionário dos futuros docentes relatada neste trabalho, nos faz inferir que os alunos ainda possuem uma visão tecnicista e tradicional da resolução de problemas, decorrente da formação que tiveram no Ensino Médio e que a carregam em sua formação docente, sendo que provavelmente será reproduzida ao lecionarem. Curi (2004), afirma que os alunos da Licenciatura em geral tendem a reproduzir os modos de lecionar de seus professores. Necessário que os futuros docentes percebam a relevância do trabalho cooperativo, como uma troca de saberes, que também possibilita o desenvolvimento de valores de atitudes.

Todavia, as disciplinas pedagógicas do curso de Licenciatura como Psicologia da Educação e Metodologia e Prática de Ensino podem colaborar para que os alunos reflitam sobre o processo de construção de conhecimentos nas aulas de Física e sobre sua própria prática, implantando atividades que estimulem os alunos a discutir os fenômenos físicos e elaborarem os seus próprios modelos matemáticos. Concluímos que a atividade supervisionada foi importante no sentido de fornecer indícios da visão dos futuros docentes sobre a resolução de problemas em Física e a elaboração dos modelos matemáticos, sugerindo que este trabalho cooperativo seja continuado para que os futuros docentes adquiram novas posturas em relação ao Ensino de Física no Ensino Médio.

## 4. Referências

BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio - Brasília: Ministério da Educação, 1999.

\_\_\_\_\_\_\_. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - Brasília: Ministério da Educação, 2006.

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BARBOSA, J. C. A dinâmica das discussões dos alunos no ambiente de Modelagem Matemática. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3, 2006, Águas de Lindóia. Anais... Águas de Lindóia: SBEM, 2006.1 CD-ROM.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, 2001, Caxambu. Anais... Caxambu: ANPED, 2001. 1 CD-ROM.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. Modelagem matemática e os futuros professores. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 25, 2002, Caxambu. Anais... Caxambu: ANPED, 2002. 1 CD-ROM.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ O que pensam os professores sobre a modelagem matemática? Zetetiké , Campinas, v.7, n. 11, p. 67-85, 1999.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática . São Paulo: Ed. Contexto, 2004.

CURI, E. Formação de Professores Polivalentes: conhecimentos para ensinar Matemática, crenças e atitudes que interferem na constituição desses conhecimentos . Tese (Doutorado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004.

DAVIS, P.; HERSH, R. A experiência matemática . Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985.

FREINET, C. Pedagogia do bom-senso . São Paulo: Martins Fontes, 1985.

GIL PEREZ, D.; MARTINEZ TORREGROSA, J.; SENENT PEREZ, F. El fracasso en la resolución de problemas de física: una investigación orientada por nuevos supuestos. Enseñanza de Las Ciencias, v. 6, n. 2, p. 131-146,1988.

GIL PEREZ, D.; TORREGROSA, J.M.; RAMIREZ, L.; CARRÉE, A.D.; GOFARD, M.; CARVALHO, A. M. P. Questionando a didática de resolução de problemas: elaboração de um modelo alternativo. Caderno Catarinense de Ensino de Física , v. 9, n. 1, p. 7-19, 1992.

JOHNSON - LAIRD, P. Mental models . Cambridge, MA: Harvard University Press. 1983

KUHN, T. A Estrutura das Revoluções Científicas . São Paulo: Perspectiva, 1975.

KLUBER, T.E. Modelagem Matemática e Etnomatemática no contexto da Educação Matemática: aspectos filosóficos e epistemológicos . Disponível em: http://www.bicen-tede.uepg.br/tde\_busca/arquivo.php?codArquivo=139. Acesso em: 10/03/10.

MOREIRA, M.A; MASINI, E. Aprendizagem Significativa -A teoria de David Ausubel. São Paulo: Editora Moraes, 1982.

POZO, J.I. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.

SOUSA, C. M. S.G; FÁVERO, M. H. Concepções de professores de Física sobre resolução de problemas e o ensino de Física. Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências , v. 3, n. 1, p.58 -69, 2003.

SKOVSMOSE O. Cenários de Investigação. Bolema , Rio Claro (SP), n.14, 2000.

VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 1991.

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

ZYLBERSZAJN, A. A resolução de problemas no Ensino de Física. Disponível em: http://server.fsc.ufsc.br/~arden/problkuhn.doc .Acesso em: 25/04/10.