DA SIMETRIA DO CÍRCULO À ASSIMETRIA DA ROTAÇÃO

## DA SIMETRIA DO CÍRCULO À ASSIMETRIA DA ROTAÇÃO

## Elika Takimoto

(CEFET- RJ / elikatakimoto@ig.com.br)

## Resumo

Em linhas gerais, este trabalho é um estudo do movimento, ele apresenta a formação do conceito atual de "movimento" e o tratamento do movimento circrcular. Em particular, ele mostra como o movimento circular veio a ser entendido como um movimento "não natural" o qual um "ente" externo é necessário. Para tanto, mostro a participação do teorema da queda livre no entendimento do movimento geral de uma ma ssa puntual e na elaboração das equações gerais do movimento (hoje chamadas de "equações de Newton").

Galileu Galilei formulou o Princípio da Inércia no contexto de uma discussão sobre a origem da queda dos corpos. Um dos principais aspectos do sistema conceitual de Galileu foi a "inércia circular" que defende que somente movimentos circulares em torno do centro da Terra poderiam persistir sem ação de uma força. René Descartes associou à simetria da linha reta a idéia de "perfeição". Porém, nenhum deles entetendeu que o desvio da linha reta exigia uma nova entidade.

Christiaan Huygens fez uma analogia entre a queda livre e o movimento centrífugo de um corpo em rotação. Essa analogia é a base racional de entendimento do movimento circular. Huygens, assim, deu um suporte teórico à idéia que todo movimento acelerado é, em cada instante tomado isoladamente, comparável a uma queda livre. Usando o Teorema de Galileu, Newton tratou o movimento circular uniforme e apresentou no Principia a expressão, hoje conhecida, da força centrípeta. Porém, no Principia não encontramos explicações de sistemas dinâmicos gerais para corpos rígidos. D'Alembert, Euler e outros entenderam que as equações não eram suficientes para descrever o movimento de um corpo onde partes dele seriam vivinculadas de alguma forma. Demonstro, assim, que uma vez estabelecida a lei para a massa puntual, ela foi usada para o desenvolvimento da equação de movimento do corpo rígido pelas mãos de Eüler.

Palavras -c -chave: força, força centrípeta, força centrífuga, Teorema de Galileu.

## Introdução

A concepção de movimento na Antiguidade Grega foi discutida durante a Idade Média e dessa discussão surgiu a definição de movimento aceita hoje. O movimento perfeito era representado pela simetria do círculo. Qualquer outro movimento, , com exceção dos movimentos ditos naturais, exigia um "motor" a ele continuamente associado: corpos em movimento eram continuamente empurrados ou puxados. O século XVIII chamou o Teorema de Galileu à expressão v 2gh 2 = ,

embora a forma 2 2 1 s = gt do teorema tivesse s ido, também, largamente usada. Esse

teorema foi demonstrado por Galileu como corolário do teorema medieval que descreve movimentos uniformemente disformes ou uniformemente acelerados. Leonhard Euler reconheceu que qualquer movimento, em cada instante tomado isoladamente, é uniformemente acelerado [1], então , usa esse teorema para

fundamentar a forma diferencial da lei dinâmica; mas sua medida de força é , ainda, o peso.

No século XVII, René Descartes [2] concebeu uma descrição do movimento circular que influenciou seu tempo; ele reconheceu a tendência que corpos em movimento circular têm de se afastar do centro do círculo, mas não forneceu uma expressão matemática para ela; nem interpretou fisicamente essa tendênc ia: era, tão somente, uma "tendência natural" [3]. Christiaan Huygens inventa o nome tendência centrífuga, enquanto Newton a chama de conatus recendi ao centro. Sua expressão foi calculada por Newton e por Huygens, independentemente. A demonstração de Newtoton, não publicada, foi achada em, seus rascunhos [4], provavelmente escritos em cerca de 1664-1665. Posteriormente, Newton trata o movimento circular uniforme, usando o teorema de Galileu na forma 2 sat ; de 2

qualquer modo, ele somente usariria a expressão r v no Principia. Huygens

demonstrou uma série de teoremas, que, juntos, resultam na expressão r v 2

; os

enunciados foram publicados em 1673 [5], mas as demonstrações somente o foram em 1703, postumamente, e nelas Huygens usa o Teorema de Galileu.

No livro I do Principia [6], Newton enuncia as leis da mecânica e apresenta, ainda, pela primeira vez, o conceito de força da Física hodierna, junto com o conceito de massa e força central. A estrutura conceitual do Principia é construída em uma série de definições e proposições s sem as quais é impossível entender como Newton caracteriza, usa e mede o conceito de força; a despeito do enunciado da Segunda Lei, no formalismo do Principia a força é (proporcional a) a acaceleração de "queda" da tangente à curva, por uma linha passando pelo centro do círculo, em uma aplicação imediata e explícita do Teorema de Galileu.

Esse percurso mostra que o Teorema de Galileu depende do Teorema da Velocidade Média e o leitor moderno pode reconhecer em ambos a solução do problema do movimento uniformemente acelerado [1]. Sua riqueza e importância para a f física dependem do fato de que todo movimento é - - em cada instante tomado isoladamente -uniformemente acelerado (uma decorrência das eqequações serem de segunda ordem no tempo). O uso do Teorema de Galileu nessa heurística pressupõe uma analogia entre o campo gravitacional na superfície da Terra e força, qualquer que seja sua natureza. Além disso, pode-s-se dizer que Galileu já havia usado o peso como medida de força.

## 1. O LEGADO DA ANTIGÜIDADE GREGA

## 1.1. O MOVIMENTO NA ANTIGÜIDADE GREGA

A filosofia que procura entender o mundo usando somente a razão comomeça na Jônia, no século VI A.C . [7]. Essa filosofia se inicia com a fé de que, por baixo desse aparente caos, existe algo permanentemente escondido, discernível, se não pelos sentidos, então pela mente. Embora os componentes materiais do mundo sejam múltiplos e estejam em constante fluxo de renovação, um permanente elemento jaz em sua estrutura.

Há relatos que, na época de Pitágoras, prestou-se mais atenção o para uma ordem inerente existente na natureza. Observou -se que o som produzido pela lira de

quatro cordas obedece à à regras de harmonia para formar os acordes que se traduzem em proporções numéréricas e, isso aparece como um tipo de revelação sobre a natureza do universo [7]. Os números também, executam um importante papel na geometria e tudo que está ao alcance de nossos sentidos pode ser esboçado por formas geométricas . Esta concepção é a fonte de uma corrente de pensamento que defendeu que o principal objetivo da física é reproduzir a natureza por um sistema de entidades matemáticas. Esta corrente se estendeu aos céus e acabou dando suporte para uma concepção do Cosmos como uma estrutura de um universo físico bem ordenado. Platão, por exemplo, abraçou calorosamente este ideal pitagórico e fundamentado em sua filosofia ele declara que, para detectarmos, na confusa irregularidade do movimento dos planetas 1 , o sistema matemático ideal do movimento circular uniforme, que representa a verdade, devemos compreender que tudo o que percebemos são somente cópias imperfeitas ou imitações de uma forma ideal.

Este recurso à metafísica idealista foi de profunda importância para o avanço da ciência. Os materialistas gregos não teriam como investigar cientificamente suas hipóteses sobre a natureza, principalmente o Cosmos. Assim, a teoria dos movimentos celestes circulares funcionava como uma "muleta" sobre a qual os astrônomos se apoiavam para fazer seus cálculos preditivos . Somente para fazer o desfecho desta idéia, cabe dizer que o esquema metafísico exposto no Timeu de Platão baseava -se em algumas colocações como a de que tudo o que é racional é harmônico e de que o movimento perfeitamente harmônico é o circ ular. Ou seja, o movimento circular era resultado da harmonia e beleza que era inerente a tudo que fosse racional.

## 1.2. A CONCEPÇÃO ARISTOTÉLICA DO MOVIMENTO

A Filosofia Natural Aristotélica é é muitas vezes conhecida como a fífísica do senso comum [8]. Analisando a história vemos que a forma de descrever a realidade sofreu várias mutações ao longo dos anos. Porém, o fato mais significante para o presente contexto foi a mudança da explicação dada a respeito do movimento dos corpos por Aristóteles e, quase dois mil anos depois, por Newton .

De forma bem resumida, o universo, segundo Aristóteles e seus seguidores, estaria dividido em duas regiões distintas: a sublunar e a supra-lunar. Tudo o que se encontrasse abaixo da Lua seria submetido ao o envelhecimento . Os movimentos terrestres obedeceriam a leis teleológicas, cada corpo devendo ocupar uma posição privilegiada onde ficaria em repouso. Se resolvermos tirá-lo do repouso teremos que aplicar uma "força" sobre ele e cessada a aplicação desta "força", ele buscará novamente sua imobilidade. Os corpos celestes, ao contrário, teriam movimentos regulares, produzidos por amor ao Primum Móbile. No "De Caelo", Aristóteles justifica o fato do movimento natural dos corpos celestes ser circular e dos corpos terrestres ser considerado retilíneo. O círculo é considerado uma figura perfeita, primorosa. É a figura geométrica que se fecha sobre si mesma e permite a eternidade do movimento sobre ela. Uma reta ou uma linha infinita não possui esta perficiência por não ter um limite, um fim. Visto assim, o movimento dos corpos celestes só poderia ser o circular pois a eternidade é uma qualidade fortemente associada ao Primum Móbile. Complementando toda esta explicação de uma forma

muito confortante, dizemos que se tudo no céu se move circularmente se move em associado a um centro em repouso.Neste centro está Sua própria criação .

Para compreender, finalmente, a contribuição de Aristóteles para a física precisamos examinar a lei básica do movimento proposta por ele. Em uma leitura anacrônica, essa lei pode ser expressa pela afirmação que a razão da distância percorrida pelo tempo gasto é diretamente proporcional ao "poder motivo" (m(motor conjunctus ) e inversamente proporcional à resistência; chamando a "força" ou "poder motivo" de F, a resistência de R e a velocidade de v , a lei de Aristóteles pode ser escrita da seguinte forma: F/F/R a v. Cabe dizer, que o próprio Aristóteles não escreveu esse resultado sob forma de equação, escrevemos desta forma, pois, estamos usando o processo modernrno de exprimir tais relações. Aristóteles propôs uma condição para esta fórmula: para haver movimento, é necessário que a "força" seja maior que a "resistência".

## 1.3. O ÍMPETO

John Buridan (1300-1358) resolve alguns problemas pendentes na filosofia natural l de Aristóteles com u uma inovadora idéia: o ímpeto [8[8]:

Conseqüentemente, parece a mim que há de se dizer que o motor ao mover um corpo movente (corpo em movimento) imprime nele um determinado ímpeto ou determinada força motriz do corpo movente. (tal ímpe to age) no sentido para o qual o poder movia o corpo movente tanto para cima, quanto para baixo, ou lateralmente ou circularmente. (itálico meu)

O ímpeto tem uma definição quantitativa. Ele é proporcional a quantidade de matéria (massa) do objeto e e rapidez com que ele se move [8[8]. Quando Buridan usa a rotação de um moinho para exemplificar o que ele quer dizer com o ímpeto, ele acaba se distancnciando do conceito de inércia. Um moinho colocado a girar, dependendo de sua velocidade e de seu tamanho, resistirá a cessar seu movimento, quanto mais leve mais tempo levará para parar. Se for abolido qualquer tipo de resistência ele girará eternamente. Este é o caso do movimento dos corpos celestes.

## 2. A LEI DA INÉRCIA

## 2.1. DESCARTES E A INÉRCIA RETILÍNEA

Descartes apresenta três leis da natureza. Se juntarmos a primeira com a segunda lei, encontraremos hoje o que se chama "lei da inércia". A primeira lei afirma de uma forma bem geral que nenhuma mudança ocorre nas partes do espaço ou na matéria sem que uma causa extxterna atue. A segunda lei disserta sobre a tendência de um corpo em perseverar seu movimento, que como já assumido na primeira lei, é agora definido mais precisamente como uma tendência de continuar a se mover em uma linha reta com a mesma velocidade. Como o justificar a prioridade da linha reta? Ele se apóia em argumentos metafísicos [3]: no ato da criação do universo, Deus colocou nele matérias com movimento e repouso. Sendo Deus perfeito, não há motivo para alterar Sua própria criação .

## 2.2. GALILEU E A INÉRCIA CIRCULAR

É oportuno ressaltar que Galileu entendia o movimento circular como um movimento não acelerado, pois [9]

Este sendo um movimento que faz com que o móvel sempre parta do término e sempre chegue ao término, pode, em primeiro lugar, somente ele ser uniforme: a aceleração do movimento acontece no móvel quando ele se dirige para o término ao qual tem inclinação, e o retardamento acontece pela aversão que ele tem de sair e afastar -se do mesmo término; e porque no movimento circular o móvel sempre parte de términos naturais, e sempre se move para o mesmo (...).

Entender que há uma aceleração no movimento circular uniforme foi uma dificílima lapidação feita por Huygens e Newton, nas idéias preciosas de seus predecessores.

Há várias passagens na Segunda Jornada do Diálogo que sustentam existir em Galileu um "princípio da inércia circular". Este livro é escrito em forma de um diálogo entre três personagens: Salviati (que representa Galileu), Simplício (que representa o pensamento comum) e Sagredo (um leigo inteligente que, é claro, será sempre convencido por Salviati). O objetivo de Galileu ao introduzir a idéia de uma "inércia circular" é justificar a possibilidade do movimento da Terra. De fato, todos argumentos contra a rotação da Terra eram devido à carência do entendimento da inércia. Como, numa Terra em rotação um corpo cairia como se a Terra estivesse em repouso?

Galileu, um filósofo intermediário em toda esse trecho da história apresentado, mostra-se confuso em relação ao verdadeiro conceito de movimento natural. Em algumas passagens de seu livro, Salviati (que representa o próprio Galileu) tem um discurso nitidamente aristotélico, já em outras, como as citadas por mim nesse trabalho, Galileu se mostra convencido de que o movimento nada tem a ver r com a natureza intrínseca do corpo, ou seja, movimento e repouso são conceitos complementares: um só pode ser definido referindo-se ao outro. Assim, nas palavras do próprio Galileu[9]

- (...) tanto faz que se mova somente a Terra como todo o restante do mundo, pois que a operação de tal movimento não está em outra coisa que na relação existente entre os corpos celestes e Terra, relação esta que é a única a mudar.

## 3. O MOVIMENTO CIRCULAR

## 3.1. A QUEDA DOS CORPOS

Galileu usou o Teorema da Velocidade Média, que havia sido desenvolvido pelos mertonianos [1], para resolver o problema da queda dos corpos. Galileu e os medievais já sabiam que o movimento de queda é uniformemente acelerado. Assim, no livro Discurso e Demonstrações referentes às Duas Novas Ciências [10]:

Proposição II. Teorema II. Se um corpo cai do repouso em movimento uniformemente acelerado, os espaços percorridos estão entre si na razão dupla dos tempos gastos nos respectivos percursos.

## 3.2. HUYGENS E A FORÇA CENTRÍFUGA

As s idéias desenvolvidas por r Huygens no De Vi Centrifuga podem ser parafraseadas de uma forma moderna e muito simples: imaginando uma grande roda horizontal girando sobre um eixo que passa pelo centro (figura 1). Um observador que está fixo na extremidade desta roda segura um corpo por meio de

uma corda, e assim a partícula descreve uma circunferência de raio R. Suponha, agora, que o observador e a partícula num dado momento alcance o ponto B e tenha uma velocidade linear V. Se de B a partícula puder se mover livremente ao longo da tangente, depois de D Dt, ela alcançaria o ponto D situado a BD = V. Dt. Na realidade, o observador e a partícula alcançam o ponto C, situado ao longo do arco BC: Arco BC = V. Dt. Se solta, a partícula estaria do observador a uma distância CD. Fazendo CD = x , teremos:

<!-- image -->

<!-- formula-not-decoded -->

Comparando a experiência do observador numa roda com a de uma pessoa que segura uma partícula com uma corda na superfície da Terra, vemos que a partícula se distanciaria se solta da pessoa, ao longo da rereta passando pelo centro, em Dt segundos uma distância vertical dada por: ½ "g"(?t) 2 , onde, "g" é uma gravidade genérica.

Resumindo o raciocínio que Huygens tomou como princípio, podemos dizer que o que acontece com uma pessoa parada na superfície da Terra é similar ao observador na extremidade da roda, citada acima, que segura um corprpo por meio de uma corda. Esse observador pode afirmar que atua no corpo uma força centrífuga 2 dada pela equação m . v 2 v 2 /R, dirigida para fora, que é neutralizada pela tensão na corda feita pela partícula em direção ao centro.

## 4. AS LEIS DA MECÂNICA

## 4.1. ESTUDO DO MOVIMENTO CIRCULAR

A primeira discussão de Newton, sobre movimento circular, é encontrada no axioma 20 do Waste Book [4]. O caso considerado é o de uma bola que se move no interior de uma esfera oca (figura 2). De acordo com o princípio da inércia, há uma tendência constante da bola em continuar a se mover ao longo da tangente ao círculo, em cada ponto considerado. O fato é que a bola se move em círculo devido a uma força constante que a superfície faz na bola. Essa força só aparece, quando a bola pressiona a superfície .

<!-- image -->

Um corpo cilíndrico def é o responsável por fazer um corpo se mover numa trajetória circular. Quando " o " está em c, ele tende a se mover ao longo da linha cg, devido a sua propriedade inercial e, com isso, aplica uma prpressão no corpo cilíndrico. Agora, suponhamos que este corpo seja formado de vários outros como f. f. Movendo -se ao longo do círculo, o corpo "o "o " " pressiona cada um deles e Newton imaginou que " o " transmite todo o seu movimento para partículas como f, f, assim, seu movimento ao longo de fh constitui uma medida da força total do corpo " o " " ao se afastar do centro no curso de uma revolução.

Em, provavelmente 1664, Newton acha a expressão para o conatus. Para calculá-lo, Newton supõe um corpo movendo-se dentro de um círculo. Este corpo colide com o círculo, percorrendo um quadrado inscrito abcd. Pela figura 3, podemos tirar que:

- ß triângulo abd ~ triângulo afb
- ß 2 fa = bd = diâmetro do círculo
- ß "força" do movimento (mv) // ab
- ß "p "pressão" do corpo sobre a tangente ao círculo // b bd ^ fg

<!-- image -->

Logo, podemos escrever que:

<!-- formula-not-decoded -->

Após 4 colisões, respectivamente em b b , c c , d d e a:

(nb) b fg raio perímetro " força" ifiitdo movimento " pressão"de em = . No limite em que o número de lados tende ao ç infinito,( o polígono aproxima-) se do próprio círculo circunscrito. Desta forma

" pressão"da esfera sobre a tangente

concluiu que:

<!-- formula-not-decoded -->

( ) R R mv mv 2p = D moderna, isso ficaria: . De fato, se T for o período, R o raio e v, a

velocidade em um movimento circular uniforme e, se dividirmos a "força" total do movimento, pelo tempo gasto em uma revolução, teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

## 4.2. A FORÇA CENTRíPETA

Robert Hooke foi o homem que inverteu o problema do movimento circular, colocando a questão de uma forma que o conceito de força centrípeta pudesse emergir. Ele elaborou o movimento de um corpo que é atraído para um centro de "forças" em duas componentes:

1º) a componente inercial que representa o movimento que o corpo teria na ausência da atração e cuja direção seria a da velocidade instantânea no ponto considerado, ou seja, tangente à trajetória.

2º) a componente em direção ao centro de atração.

A figura 4 ilustra a aplicação do método de Hooke, feita por Newton, no Principia, para demonstrar a Lei das áreas de Kepler.

<!-- image -->

No primeiro desenho da figura, o corpo se move com velocidade constante. Assim, as distâncias AB , BC C e CD são iguais para o mesmo intervalo de tempo e desta forma, temos que os triângulos PAB , PBC e PCD têm a mesma área. Se o corpo receber um "soco" em C, como ilustra o desenho no centro da figura, na direção de P, de forma que dure um tempo muito pequeno, o corpo cocontinuará se movendo em linha reta, porém, numa outra direção e chegará em D no mesmo intervalo de tempo considerado no desenho anterior. As áreas dos triângulos, nesse desenho, continuam a ser iguais. Se o corpo continuar a receber esses "impulsos instantâtâneos", sua trajetória será uma poligonal e, no limite, em que o intervalo de tempo entre os "impulsos" sucessivos for muito pequeno, a força se torna contínua, sempre direcionada para o ponto P P e o polígono se torna uma curva.

- O livro de Newton inicia -s -se com uma série de definições onde são introduzidos conceitos como massa (definição 1), quantidade de movimento (definição 2) e força (definição 4).

## Na definição 4, ele define Força Impressa [11]:

Força Impressa é a ação exercida em um corpo para mudar o seseu estado, seja de repouso, seja de movimento retilíneo uniforme para frente.

Após esta definição, ele declara que há vários tipos de força impressa, tais como percussão, pressão ou força centrípeta. Newton parece não ter sentido necessidade de comentar os dois primeiros tipos de força impressa (pressão e percussão), porém o caso foi bem diferente com a força centrípeta. Para esesta, ele criou a definição 5 [11]:

Força centrípeta é a força pela qual os corpos são levados para todos os lados, são impelidos ou tendem, de alguma forma, para algum ponto como o centro.

## 5. AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOVIMENTO

Cientistas modernos, que nunca tiveram contato com o Principia, podem ter a falsa impressão de que as "Equações Newtonianas" apresentadas nos livros textos, na forma difererencial, sejam as leis de Newton. É fato que as equações diferenciais não estão no Principia e que houve uma intensa crítica dos princípios introduzidos por Newton nesse livro. Em meados do século XVIII, Leonhard Euler escreveu, em forma diferenc ial, o que hoje se chama "as equações de Newton".

Sendo assim, o ano em que as "Equações Newtonianas" foram publicadas, não foi 1687 e sim 1747, pelas mãos de Euler. Somente sessenta anos depois o Principia, uma forma geral para resolver um sistema dinâmico foi encontrada. Para achar as equações diferenciais Euler raciocina do seguinte modo: a variação de uma das coordenadas pode ser entendida como uma "altura de queda" e como, em cada instante tomado isoladamente, qualquer movimento acelerado é uniformemenente acelerado, o Teorema de Galileu pode ser aplicado, em cada instante isoladamente, a cada eixo independentemente. Logo [1]:

<!-- formula-not-decoded -->

Feito isso, Euler considera massa força a = , embora em nenhum momento mencione Newton.

O artigo escrito por Euler em 1747, entretanto, abordava apenas sistemas mecânicos discretos. Porém, esta descoberta mostrou a ele, que a equação " a dm m = dF" F" tratava -s -se de uma lei geral da mecânica. Isso foi declarado em seu artigo intitulado "Descoberta de um Novo Princípio da Mecânica" [12], escrito em 1750. Euler aplicou esta equação para determinar o movimento de um corpo rígido e então, obteve as equações diferenciais que regiam tal movimento, provando, em seguida, que para qualquer corpo há uma tríade de eixos ortogonais de rotação livre e que as equações descobertas não se limitariam a corpos pequenos.

## 6. CONCLUSÃO

Apontei ao longo do trabalho alguns argumentos teóricos que foram essenciais no percurso da modificação da física aristotélica que, entre outras coisas, se fundamenta na perfeição do círculo até o entendimento que o movimento circular não pode ser "natural", exigindo, assim, uma entidade externa para ser efetuado, a dizer, uma força. O trabalho de Euler foi importante, pois mostra como surgiu a

forma F dt d x m = 2 2 . A segunda lei de Newton não foi entendida por ele como uma

equação no sentido moderno d do termo e nem usada como tal.

Toda a pesquisa realizada para o desenvolvimento desse trabalho refletiu de forma direta e definitiva na minha maneira de dar aula. Ficou praticamente impossível ensinar aos meus alunos a mecânica da mesma maneira que fazia anteriormente. Isso ficou explícito quando percebi o interesse pela "árida" disciplina que leciono há mais de treze anos aumentar de forma significativa. . A curiosidade dos alunos , expressada através de muitas perguntas quando eu utilizava a história da ciência para mostrar como um determinado conceito emergia, me motivou a escrever um livro paradidático que será editado pela Livraria da Física no início de 2009. Desta forma acredito que o trabalho apresentado poderá contribuir para despertar o interesse de outras turmas auxiliando diversos profefessores que queiram utilizá -lo como complemento.

## Referências Bibliográficas

- [1] DIAS, P.M.Cardoso, "F=ma?!!(O Nascimento da Lei Dinâmica)". Revista Brasileira de Ensino de Física.v.28,n.2,p.205-2-234, 2006.
- [2] DESCARTES, R.,"Principles de la Philosophie", i in Ouvre de Descartes C. Adam e P. Tannery (editores), J. Vrin, Paris, 1971.
- ,
- [3] D IAS, P.M.C., " O Desafio do Círculo: Descartes e o "Demônio da Desilusão" " in: Saul Fuks (org.), Descartes - 400 anos: Um Legado Científico e Filosófico , Relume Dumará, Rio, 1997.
- [4] NEWTON,I. , "Dynamical Writings in the Waste Book", in: Herivel, John The Background to Newton's Principia, Claredon Press, 1965, p. 128-182.
- [5] HUYGENS, C., L'Horloge Oscillante ou démonstrations géometriques au sujet du mouvement dês corps suspendus appliqué aux horloges; traduzido para o francês, in: Oeuvres Completes de Christiaan Huygens, Société Hollandaise des S Sciences, 22 vols, 1888-1950, v. XVI, 1929.
- [6] NEWTON, I., The Principia (Mathematical al Principles on Natural Philosophy) , A New Translation by I. Bernard Cohen anand Anne Whitman, University of C California Press, London, p 102, 1999.
- [7] GUTHRIE, W.K.C., The Greek Philosophers ( from Thales to Aristotle) New York, Harper Torchbooks, 1975 .

.

- [8] FRANKLIN, A., "Principle of Inertia in the Middle Ages". American Journal of Physics , 44, pp. 529-544, 1976.
- [9] GALILEI,G., Diálogo Entre os Dois Máximos Sistemas do Mundo Ptolomaico e Copernicano, traduzido para o português por Pablo Rubén Mariconda, Discurso Editorial/ Imprensa Oficial, São Paulo, 2004.
- [10] GALILEI,G., Dialogues Concerning Two New Sciences , Dover Publications, Inc., New York, p 174, 1954 .
- [11] NEWTON, I., The Principia (Mathematical Principles on Natural Philosophy) , A New Translation by I. Bernard Cohen and Anne Whitman, University of C California Press, London, p 102, 1999.
- [12] EULER,L., "D "Décourverte d'un Nouveau Principle de Mécanique", Opera omnia II,5, pp. 81-108, 1750