Estudo numérico dos ângulos de espalhamento da colisão elástica entre dois corpos de simetria esférica

## ESTUDO NUMÉRICO DOS ÂNGULOS DE ESPALHAMENTO DA COLISÃO ELÁSTICA ENTRE DOIS OBJETOS DE SIMETRIA ESFÉRICA

Luis Paulo Silveira Machado¹, Fabrício Q. Potiguar²

- ¹ Universidade Federal do Pará/ Faculdade de Física/ Grupo de Física Computacional, luis84machado@yahoo.com.br

² Universidade Federal do Pará/ Faculdade de Física/ Grupo de Física Computacional, fpotiguar@gmail.com

## RESUMO

Estudar a colisão entre dois corpos é um um problema relativamente simples em Mecânica Clássica. As leis da conservação da energia e do momento linear são suficientes para obter as velocidades finais dos corpos dado o conhecimento das velocidades iniciais e dos ângulos de espalhamento, mesmo para situações onde há inelasticidade. Entretanto, estudar tal problema conhecendo apenas as condições iniciais, sem saber os ângulos de espalhamento, introduz complicações adicionais onde a solução da equação de movimento, Segunda Lei de Newton, é necessária. De tal modo, como a análise teórica do problema estudado com as forças apropriadas é bastante difícil, existem grandes dificuldades de se obter uma solução analítica. Portanto, é necessário o estudo numérico deste problema como extensão dos resultados clássicos de espalhamento de partículas por forças centrais. A proposta básica deste trabalho é o estudo numérico da colisão elástica entre dois corpos de simetria esférica, principalmente quanto aos ângulos de espalhamento, que incluem métodos numéricos como o Runge-Kutta de quarta ordem. Modelamos as forças durante a colisão entre os corpos do tipo oscilador-rharmônico quando em duas dimensões e em três dimensões utilizamos a Lei de Hertz. Os resultados obtidos aqui serão utilizados num estudo mais profundo, onde serão inseridas a inelasticidade e dissipação do movimento, considerações sobre rotação relativa (spin) e a força tangencial (fricção) no ponto de contato entre os corpos que colidem.

Palavras -Chave: colisão elástica, ângulo de espalhamento, RungeKutta de 4ª ordem.

## INTRODUÇÃO

Estudar a colisão elástica entre dois corpos é um problema relativamente simples em Mecânica Clássica. No caso mais simples do movimento unidimensional, dadas as condições iniciais (velocidades e massas), o mero uso das as leis de conservação da energia e momento linear em conjunto formando um sistema linear de duas equações e incógnitas resolve de modo trivial o problema [1,2,3]. Este tipo de colisão também é conhecido como frontal, pois é devido ao movimento ocorrer sempre em uma dimensão, os corpos colidirão precisamente de frente. De tal modo, não será registrada nenhuma componente vetorial fora da única dimensão possível, o que experimentalmente é difícil de realizar. De toda maneira, o que facilita consideravelmente o estudo da colisão unidimensional é a exclusiva movimentação dos corpos em único eixo. Já que todas as variáveis vetoriais estarão numa direção bem definida pode-se trabalhar só com módulos vetoriais, atentando unicamente para que os sinais dessas grandezas as vetoriais estejam consistentes o sentido positivo do eixo de referência utilizado [3].

Entretanto, estudar a colisão entre dois corpos no plano, ou no espaço tridimensional, requer o uso de análise vetorial para descrever o movimento, pois os objetos podem estar se movendo em qualquer direção desde que em algum momento se aproximem, o que aumenta a dificuldade do problema.

Apesar disso, como se aborda o problema entre apenas dois corpos, existe também a possibilidade do uso de um único eixo, diminuindo consideravelmente a quantidade de grandezas analisadas durante o movimento, obviamente simplificando um estudo via vetores [1]. Para isso, se utiliza o eixo que passa pelo centro de massa dos dois corpos que colidem. Assim, importantes variáveis vetoriais (distância relativa, força normal etc.) estarão numa única direção, podendo-s-se trabalhar com uma componente dos vetores, sem perda de generalidade.

No entanto, esta diminuição do número de vetores só é possível com o uso de um eixo móvel, que não é tão fácil de modelar, portanto a utilização optamos pelo uso de um eixo fixo definido no instante inicial da colisão e

deste sistema de referência não traz tanta vantagem. Neste trabalho empregaremos todas as componentes vetoriais.

Considera -se o caso da colisão elástica entre dois objetos e o sistema linear formado pelas equações da conservação do momento e energia [1]. Para isso, identificando-s-se pelos índices 1 (partícula 1) e 2 (partícula 2) e pelos índices i i (inicial) e f f (final), os valores da energia cinética e momento linear antes e após a colisão, tem-se:

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A equação (2), representativa da conservação da energia cinética, pode ser reescrita em termos dos momentos e das massas das partículas como:

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Sendo o momento linear das partículas uma grandeza vetorial, necessita -se a especificação de três grandezas que correspondem a três componentes de cada vetor momento em um sistema de coordenadas conveniente [1], ou simplesmente a especificação de e um módulo e direção que caracterizam os vetores (nestes últimos, pode-s-se empregar as coordenadas esféricas). No caso da escolha comum pelo uso do sistema referencial cartesiano podemos representar a equação (1) como:

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Desta forma, mostra-se que a equação (1) equivale às três componentes do momento linear ao longo dos eixos escolhidos do sistema de referência e juntamente com a equação (3(3) representam, de fato, quatro equações. Notadamente, tais equações apresentam dependências implícitas das razões das massas, equação (3), e das doze grandezas totais oriundas da especificação dos momentos lineares, equação (1). Para resolução destas equações deve-se ter no mínimo nove dessas quantidades , equação (4) a (6), ou as direções das velocidades finais (ângulos de espalhamento) para então poder obter as quatro incógnitas remanescente. Para casos em que as massas das partículas são desconhecidas, pode-s-se aplicar as leis de conservação desde que se conheçam os momentos e as energias antes e após a colisão. De forma oposta ao problema unidimensional, fica evidente a impossibilidade de determinação do resultado do problema por meio das equações (1) e (3) se apenas as condições iniciais forem conhecidas.

As leis de conservação, embora sejam inquestionáveis ferramentas na mecânica clássica, desempenhando importante papel na análise e compreensão dos processos físicos [3], não permitem a resolução de problemas como o da colisão bidimensional (2D) e tridimensional (3D) entre dois objetos fornecidas apenas as condições iniciais. Isto se deve à característica das leis de conservação, pois elas permitem comparar o compoportamento de um sistema antes e depois dos processos físicos. Logo, caso se desconheça as condições finais do problema em questão, a

aplicação das leis de conservação mostra-se impraticável. Também, todo o desenvolvimento detalhado do que ocorre durante os processos são desconsiderados [3]. No entanto, existe outro método de resolução dos problemas de colisão que ainda não foi mencionado, e diz respeito à integração da equação do movimento.

O estudo da situação via equação do movimento é possível se soubermos obrigatoriamente a força associada à interação entre as partículas, juntamente com as condições iniciais [1,2,3]. Sabendo o que ocorre antes e, detalhadamente, durante o processo, através da integração da equação do movimento, sabe-s-se facilmente o que ocorre depois . Assim, pode-se analisar e avaliar a colisão entre dois corpos. Contudo, existe te uma importante razão para que isso não possa ser feito de forma trivial: o nível de complexidade na integração analítica da segunda Lei de Newton para colisões em mais dimensões, mesmo para modelos simples das leis de força entre os objetos. Igualmente, a modelagem da força do processo de colisão ainda é área de pesquisa na física teórica e inexiste um modelo descritivo rigorosamente fiel à força representativa da interação na colisão [4]. Devido as dificuldades de se obter uma solução analítica para este problema o uso de métodos numéricos de integração [5,6,7] ] se mostra obrigatório. Quanto as características conhecidas da lei de força entre os corpos, necessária para a integração, trata-s-se de forças internas que variam com o tempo e intervêm sobre os objetos exclusivamente durante o processo de colisão [1,2,3]. Portanto, a proposta básica deste trabalho é o estudo numérico do comportamento físico, principalmente quanto aos ângulos de espalhamento, do processo de colisão elástica entre dois corpos de simetria esférica.

## DESCRIÇÃO DO TRABALHO DESENVOLVIDO

Para o estudo dos ângulos de espalhamento na colisão elástica entre dois objetos de simetria esférica, modelou-se no plano cartesiano dois discos idênticos de raio { {r} r} e massa { {m}, tal como na figura abaixo.

Figura1: Instante Inicial da colisão entre dois discos idênticos no plano cartesiano .

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No desenvolvimento do trabalho, apenas consideramos os processos físicos durante a colisão propriamente dita, ou seja, analisamos o problema somente no curto tempo em que os corpos estiveram em contato físico. Desta forma, a distância relativa {d{d} } entre os dois centros de massa dos objetos no tempo zero é igual a soma dos raios individuais, ( ) 0 0 1 r 2 r d t = = d = 1 r + 2 r . Padronizamos os índices 1 e 2 para identificar as grandezas de cada disco.

Desta maneira, com os dois discos inicialmente em contato, r rr determinamos suas velocidades iniciais {v r 1i, v r 2i } v r v r . Fizemos com que i v r 1 v r fosse nula e por isso chamamos o disco 1 de disco alvo, enquanto o segundo disco apresenta velocidade inicial arbitrária e o denotamos como disco incidente ou simplesmente disco 2. Em seguida, determinamos que a origem do sistema de referência ficasse sobre a posição inicial do centro de massa do disco incidente, e o eixo y passaria através dos centros de massa dos discos. Ele está ilustrado na figura 1. Ressaltando que a posição dos discos sempre é determinada pela posição dos centros de massa.

Posteriormente, para a discussão dos ângulos de espalhamento da colisão foram definidos alguns parâmetros. Gama, , como o ângulo formado pela velocidade do disco o 2 antes da colisão em relação a uma reta perpendicular (normal) à superfície de contato inicial dos discos, esta última, não referida na ilustração, é paralela ao eixo x . Também, definimos uma variável como o ângulo formado entre a velocidade final e a reta normal. Por último, determinamos como o ângulo de espalhamento, formado pela diferença entre a direção da velocidade antes e depois da colisão do disco 2 , calculado por . Assim, fizemos com que

variasse gradativamente de forma crescente entre os intervalos . Para a integração da equação do movimento, modelamos a força entre os corpos do tipo oscilador-harmônico, onde a variável de compressão é = d -d a 0 . Deste modo, utilizou-se rotinas numéricas como a de RungeKutta de quarta ordem [5,6,7] e, com auxílio de simulações computacionais [8], podemos encontrar as soluções. Um parâmetro empregado como forte indicativo para integração correta foi a conservação de energia. Arquivos de dados oriundos do programa foram plotados em gráficos, em seguida analisados e interpretados. Inicialmente foram estudados casos com poucos graus de liberdade, como o movimento unidimensional da colisão frontal de um disco e um plano (parede), e, posteriormente outros graus de liberdade, até serem estudados os movimentos em planos, a colisão entre dois discos e o ângulo de espalhamento.

## RESULTADOS OBTIDOS

Para os vários casos de colisão estudados foram interpretados gráficos com algumas variáveis mecânicas envolvidas no evento, como as velocidades, trajetórias, distância relativa, variável de compressão normal, tempo e as energias. Um gráfico muito importante obtido diz respeito às transformações de energia durante a colisão, que segue abaixo.

Figura 2: Gráfico das energias cinéticas, s, potencial e mecânica na colisão entre dois discos de massa unitária para = 0 . 706858, ß = 1 . 53397 e ? = 0 . 827116, onde o eixo horizontal ' e represenentativo vo ao tempo po e o vertical a energia.

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Neste gráfico, figura 1, fica clara a rigorosa invariância da energia mecânica durante toda a colisão, o que demonstra precisão e simulação satisfatória com os dados obtidos a partir da modelagem. De maneira semelhante, a energia potencial se comporta como esperado, sendo nula no início e término da colisão, alcançando máximo valor na metade do tempo do evento e variando gradativamente durante toda a simulação. Também, as energias cinéticas se comportam conforme as expectativas. O disco incidente transfere parte da energia cinética para acumulação de energia potencial entre os dois discos e, a partir de então, o disco alvo aumenta suavemente sua taxa de crescimento da energia cinética. Percebemos ainda que a energia cinética do disco 2 apresenta a maior taxa de decrescimento (por volta de 0,3 unidade e de tempo) em que é contabilizado o máximo valor para a energia potencial. Imediatamente após este instante, a energia cinética do disco 1 demonstra elevada taxa de crescimento, todo o comportamento e as transformações de energia são exatamente como esperado teoricamente pela mecânica clássica. Além disso, observamos que nos últimos instantes da colisão um resíduo da energia potencial ainda é transferida para o disco 2, aumentando ligeiramente sua energia cinética. Tal acontecimento, até o momento não foi interpretado rigorosamente.

Quanto ao caso da colisão frontal entre os dois discos idênticos notou -se a total transferência de energia cinética do disco incidente para o disco alvo.

Figura 1: Gráfico dos ângulos de espalhamento para discos de massa unitária onde os valores de são representados no eixo horizontal e no eixo vertical.

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De modo similar, percebemos nos gráficos acerca dos parâmetros angulares estudados, figura 2, que conforme aumenta , varia de maneira aproximadamente linear. Assim, o disco incidente foi mais desviado quanto mais próximo a velocidade inicial à normal. Isto foi observado pois a componente ortogonal da velocidade à normal sempre prevaleceu sobre a componente te paralela, esta última sofrendo bruscas mudanças nos processos de colisão. Mais uma vez foi notado um comportamento esperado do evento, uma simetria entre gama e teta com a normal para valores de gama positivo e negativo.

Outro aspecto observado foi uma suave curva nos maiores e menores valores de , o que não permite que caracterizemos a relação entre e como estritamente linear. Também para ângulos da velocidade inicial com a normal igual a zero temos o caso da colisão frontal, onde a velocidade do disco incidente sofre bruscas mudanças e a

velocidade final é nula. Ainda, a reta vertical quando tem valor não foi analisada em detalhes.

## CONCLUSÃO

Neste trabalho, modelalamos através da Lei de Hooke a equação de movimento da colisão entre dois objetos macrocópicos e a integramos numericamente via Runge-Kutta de quarta ordem. Com isso, foi possível estudar relevantes aspectos mecânico, como as conversões de energia, o com portamento de deformação dos objetos e os ângulos de espalhamento .

Concluímos que existe uma relação aproximadamente linear crescente entre gama, ângulo de incidência, e teta, ângulo de espalhamento, e ainda uma simetria em módulo com a normal, como esperado.

Também, as conveversões de energias envolvidas no evento se comportam muito bem, representadas pelo perfeita conservação da energia mecânica . Em todos os casos, a energia cinética do disco incidente é inicalmente acumulada em energia potencial, devido a inércia dos objetos, e em seguida, convertida em cinética para o disco alvo. Portanto, todas as modelagens e as i integrações realizadas se mostram bastante satisfatórias.

Igualmente, estas conclusões são importantes, pois tratam-se de medidas difíceis de realizar experimentalmente. Com a integração empregada , é possível estudar detalhadamente qualquer aspecto mecânico que queira.

Logo, os resultados obtidos aqui serão utilizados num estudo mais profundo da colisão entre dois objetos de simetria esférica, onde serão inseridas a inelasticidade, considerações sobre rotação relativa (spin) e a força tangencial (fricção) no ponto de contato entre os corpos que colidem.

Além disso, este trabalho pode auxiliar em tópicos de mecânica introdutória no nível de graduação , servivindo o como subsídio para refletir os vários conceitos envolvidos e o processo físico que envolve a colisão entre objetos macroscópicos. O aprofundamento nos vários aspectos do processo estudado proporcionado por este trabalho, normalmente não é explorado em curso regulares de Física, mesmo em cursos d de mecânica avançada.

De tal modo, este trabalho o pode ser apresentado, em cursos de graduação em Física , Engenharias e áreas correlatas , como assunto para promover uma melhor compreensão de importantes conceitos da mecânic a clássica. Para este fim, são necessários pré-requisitos como Leis de Newton, Lei de Hooke, conservação de energia mecânica e momento e oscilador harmônico.

## REFERÊNCIAS

- [1] Symon, K. R. Mecânica. 5 ed. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
- [2] Alonso, M.; Finn, E. J. F Física: um curso universitário, vol 1- Mecânica . São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
- [3] Resnick, R.; Halliday, D.; Krane, K. S. F Física 1 . 5 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
- [4] Silbert, L. E. et al. Phys. Rev. Lett. 64, 051302.
- [5] Moraes, D. C C.; Marins, J. M. Cálculo Numérico Computacional: Teoria e Prática. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1994.
- [6] Ruggiero, M. A.; Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico: o: Aspectos Teóricos e Computacionais. São Paulo: Makron Books.

[7] Sperandio, D.; Mendes, J. T.; Silvava, L. H. M. Cálculo Numérico: Características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Prentice Hall.

- [8] Schilt, H. C: Completo e Total. 3 ed. São Paulo: Makron Books, 1996.