Um método alternativo para o cálculo de probabilidade em distribuições trinomiais

## UM MÉTODO ALTERNATIVO PARA O CÁLCULO DE PROBABILIDADES EM DISTRIBUIÇOES TRINOMIAIS

## AN ALTERNATIVE METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY IN DISTRIBUTIONS TRINOMIAIS

André de Carvalho Caruzo 1

Karina Ferreira Neves2 s2

Ricardo Roberto Plaza Teixeira 3

Resumo: O principal objetivo deste trabalho é apresentar um método diferente de cálculo em problemas envolvendo distribuições de probabilidades trinomiais e a sua aplicação para a contagem de microestados de sistemas ideais. Para a compreensão desta idéia é é útil a construção de um algoritmo semelhante ao algoritmo do triângulo de Pascal. Este algoritmo pode contribuir para a descrição de sistemas físicos e econômicos.

Palavras -chave: probabilidade; distribuição trinomial; entropia.

Abstract: The main objective of this work is to present a different method of calculation in questions of trinomial probabilities distributions and its application for the counting of microstates of ideal systems. For the understanding of this idea it is useful the construction of a similar algorithm to the Pascal triangle. This algorithm can contribute to the description of physical and economical systems.

Key-Words: probability; trinomial distribution; entropy.

## 1 -Introdução

Os estudos a respeito de como o risco se manifesta em diferentes áreas do conhecimento vem se aprofundando nos últimos quatro séculos. A necessidade de tomar decisões em situações de risco envolvendo uma miríade de aspectos, fenômenos, variáveis e graus de liberdade fez com que a noção de probabilidade se desenvolvesse como uma poderosa ferramenta matemática para estas situações. O domínio das condições de risco, a partir do conjunto de informações relevantes existentes, de modo a permitir uma tentativa de prospecção do que ocorrerá no futuro, foi uma das grandes revoluções científicas da história (Bernstein, 1997). O futuro - - como fonte de oportunidades e perigos - - sempre fascinou a humanidade: a importância dada aos oráculos na antiguidade grega, por exemplo, mostra como a previsão do destino no de cada um atraia as atenções de todos. Deste modo, a probabilidade tem tanto o significado de prospecção das opiniões sobre o futuro quando o sentido de interpretação das tendências do passado, interligando estes dois campos a partir das informações que temos no presente. O conceito de probabilidade tenta quantificar deste modo o quão provável é a ocorrência de um determinado acontecimento incerto.

A gestão do risco pressupõe o trabalho numérico com diferentes possibilidades e a introdução na Europa do sistema de numeração indo-arábico de base decimal por Fibonacci no século XIII foi fundamental para permitir - - séculos mais tarde - - as manipulações matemáticas exigidas nesta área. Girolomo Cardano (1501-1576) - - médico e jogador inveterado do século XVI - definiu a probabilidade de um evento como sendo a razão - uma fração menor que ou igual à unidade - entre os resultados favoráveis à ocorrência deste evento e o conjunto de todos os resultados possíveis. Blaise Pascal (1623-1662), um jogador e hedonista na juventude que se tornou muito religioso no fim da vida, propiciou um grande avanço para a área de previsão de resultados ao trabalhar com uma disposição geométrica de números já conhecida pelos chineses muitos séculos antes - - denominada hoje de "triângulo de Pascal" - - e que tem a propriedade algébrica simples de que cada número deste triângulo é a soma dos números à direita e à esquerda na linha superior. A análise de probabilidades em diversos eventos pode ser obtida a partir dos números existente neste trtriângulo que se tornou assim uma ferramenta importante de uso pelos matemáticos ao longo da história desta ciência. O próprio fato de Pascal ter nomeado uma de suas principais obras de "Tratado do triângulo Aritmético" revela o modo como ele encarava suas intuições a respeito do cálculo de contagens para a determinação de probabilidades como uma geometria do acaso. O trabalho de Pierre de Fermat (1601-1665) na teoria dos números, assim como as cartas trocadas por Pascal colaboram bastante para a estruturação do moderno conceito de probabilidade. O primeiro livro inteiramente dedicado à teoria da probabilidade foi "Sobre o raciocínio em jogos de azar" escrito por Chrsitian Huygens, indicando a forma pela qual o conceito de probabilidade se desenvolveu pela necessidade do cálculo de risco (Stewart, 1991). Finalmente, foi Jacques Bernoulli (16541705) quem estabeleceu a denominada visão frequentista de probabilidade (Coutinho, 1996) que a aproxima pela sua freqüência observada quando uma mesma experiência é repetida um número muito grande de vezes.

A estatística probabilística é a ciência que tenta extrair padrões do acaso (Bennett, 2003) e dos eventos aleatórios e fortuitos que nos cercam na natureza e na sociedade. As probabilidades freqüentemente desafiam a inintuição humana (Triola, 1999); deste modo, o estabelecimento das leis e regras envolvidas no seu cálculo foi um grande avanço para a

matemática envolvida em cálculo de riscos. Os seguros de vida, por exemplo, baseiam-m-se em modelos estatísticos e em tabelas s atuariais associados a probabilidade de determinados eventos (Seiter, 1999).

## 2 -Metodologia

Muitos problemas que se enquadram em teorias em que algo está propagando-se no tempo podem ser resolvidos usando técnicas de distribuições probabilísticas. Um m modelo amplamente usado é a distribuição binomial que pode ser ilustrada com o famoso modelo do bêbado que consiste em um indivíduo que caminha ao longo de uma reta u a partir da origem (u = 0), dando passos de comprimentos iguais e com probabilidade p para a direita e com probabilidade q=1-p para a esquerda, sendo p+q=1. Sua função de densidade de probabilidade pode ser assim representada:

<!-- formula-not-decoded -->

onde ¦2 indica a probabilidade do macro-estado para esta configuração, u é a posição final do indivíduo e N o número de passos dados. O índice 2 indica que para cada passo só há duas opções possíveis: para a direita e para a esquerda. É importante notar também que se N for par então u será par e não maior que N e se N for ímpar u será ímpar e não maior que N.

É possível relacionar o problema da oscilação das bolsas de valores com os fenômenos da difusão, ou seja, simular um caminho aleatório envolvendo variáveis randômicas ou equações estocásticas de diferença, assim criando um espaço probabilístico que se adeqüe ao problema proposto. Para isto, deve-se criar um cenário ideal que permite analisar os estados possíveis de uma empresa que abre seu capital na bolsa valores. Sem levar em consideração fatores econômicos específicos, a bolsa de valores pode ser considerada como um sistema fechado e conseqüentemente em "equilíbrio financeiro".

Os estados possíveis de uma empresa submetida a esse modelo são: (1) valorizar-se que será representado pelo símbolo ­; (2) desvalorizar -se que será representado pelo símbolo ¯; (3) permanecer estável que será representado pelo símbolo ®. Assim podemos criar uma espécie de "rosa dos ventos", como mostrado abaixo.

Figura 1- Eventos possíveis e cada passo de uma distribuição trinomial.

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Analogamente, podemos construir um modelo de distribuição trinomial para obter uma função de probabilidade ¦3 que é dependente de u, v e N. O índice 3 indica que neste caso em cada passo há três opções possíveis - trata-se da denominada distribuição trinomial. O ponto de origem do "percurso" a ser realizado pelo indivíduo será denominado (0,0) e a partir dessa origem, os "passos" ocorrerão aos saltos em um plano cartesiano, pois todos os direcionamentos possíveis is - ­(v+ v+ ); ¯(vv); ®(u+u+) - terão "comprimentos" iguais: os "passos" terão, deste modo, a mesma unidade pré-estabelecida.

A conexão do presente trabalho com os problemas de difusão está na utilização das equações diferenciais apropriadas. Como cada passo é dado em um intervalo de tempo fixo, se este modelo está contido em um espaço bidimensional discreto (sendo u a variação entre os pontos contidos na horizontal - - somente para a direita - - e v a variação entre os pontos contidos na vertical - para cima ou para baixo) e se o indivíduo encontra-se em (u,v) ele só poderá ter vindo de (u-u-1,v) ou (u,v-v-1) ou (u,v+1). Assim, pode-se escrever uma relação de recorrência:

<!-- formula-not-decoded -->

sendo p a probabilidade do indivíduo caminhar para a direita, q a probabilidade dele caminhar para cima e r r a probabilidade de caminhar para baixo

O fenômeno da difusão pode ser escrito da seguinte forma diferencial:

<!-- formula-not-decoded -->

Supondo que o sistema seja fechado, pode-se escrever: = 0 ¶t ¶Y¶Y ¶t , e então, em duas dimensões, se a difusão for isotrópica teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

Substituindo nesta equação, as relações:

<!-- formula-not-decoded -->

e usando que u = v = l (uma unidade neste espaço ideal):

<!-- formula-not-decoded -->

E finalmente, teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

Assim a probabilidade de o indivíduo estar em (u,v) no N-ésimo passo é a soma das probabilidades de ele ter estado no (N-1)-ésimo passo em (u-u-1,v), (u,v+1) e (u,v-v-1) ponderadas em cada caso pelo fator 1/3 - - no caso de distribuições isotrópicas.

- O espaço em questão poderá ser descrito como "quântico", pois os "passos" ocorrerão aos saltos e cada ponto é possível de ser ocupado no N-N-ésimo passo da seguinte forma:

<!-- formula-not-decoded -->

De modo geral, se em cada evento há três opções, a primeira com probabilidade p, a segunda com probabilidade q e a terceira com probabilidade r, a distribuição trinomial da probababilidade de que após N eventos aconteçam N1 eventos com probabilidade p, N2 eventos com probabilidade q e N3 eventos com probabilidade r será:

<!-- formula-not-decoded -->

Para este trabalho, os eventos acontecem em um semiiplano disiscreto, e os N passos possíveis ocorrem na horizontal (+u) ou na vertical (+v ou -v). Assim a probabilidade associada a uma posição final específica (u,v) será:

<!-- formula-not-decoded -->

Esta será a função de probabilidade trinomial adequada para este problema.

## 3 -O Triângulo Trinomial

A natureza não se comporta como um algoritmo, mas podemos construí-í-lo para forçar uma subsunção, uma adequação de fatos às normas criadas. A construção da ciência se dá também por esta forma, ou seja, pela simulação de situauações ideais e, em seguida, pela sua extrapolação para situações mais gerais. Com a geometria foi assim, pois o espaço euclidiano apesar de adequado ao mundo clássico, não é um modelo muito realista de acordo com a física moderna: o edifício teórico é belo, mas trata -se de uma aproximação da realidade.

Imaginemos então a existência de um semi-i-plano euclidiano discreto, com valores distribuídos no semiieixo horizontal (a partir da origem) que chamaremos de u e valores distribuídos na vertical que chamaremos de v. Se N=1, há somente três opções possíveis de acordo com a figura 2:

Figura 2 - Triângulo Trinomial para N = 1.

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No caso de N=2, há seis opções para os estados finais de acordo com a figura 3 . Dentro dos círculos é apresentada a contagem de caminhos possíveis - - que representam uma multiplicidade ou degenerescência de cada macro-estado. Por exemplo, o estado u=1 e v=1, a partir do esquema anterior para N=1, pode ser acessado de duas formas diferentes: a partir de baixo (ou seja, de u=1 e v=0) ou a partir do lado esquerdo (ou seja, de u=0 e v=1).

Figura 3 - Triângulo Trinomial para N = 2.

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Para N=3, temos que ½u½+½v½ é impar. As coordenadas possíveis e seus respectivos pesos probabilísticos são:

Figura 4 - Triângulo Trinomial para N = 3.

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No caso de N=4, os estados possíveis com suas degenerescências são apresentados no triângulo trinomial da figura 5.

Figura 5 - Triângulo Trinomial para N = 4.

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Na verdade, portanto, o que pode ser observado no mundo real é a projeção das contagens destes diagrgramas bidimensionais no eixo v, que informa, por exemplo, no caso de uma ação em bolsa de valores, se e quanto o seu preço subiu ou desceu. Esta projeção é necessária, porque com a distribuição trinomial estamos considerando uma terceira possibilidade que é a de a ação ficar estável o que não é previsto pela distribuição binomial.

Os diagramas triangulares obtidos neste trabalho também podem colaborar para a compreensão de fenômenos probabilísticos em diversas áreas.

Para N=4, a projeção das contagens da da figura no eixo vertical que pode variar de v=4 até v=+4 fica sendo igual a: 1; 4; 10; 16; 19; 16; 10; 4; 1 (com um total de 81=3 4 contagens). O gráfico com estas contagens em função de v é apresentado na figura 6.

Figura 6 - Degenerescência projetada no eixo v.

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Supondo que as probabilidades dos três eventos possíveis (+v, +u, -v) em cada situação sejam as mesmas (1/3, 1/3, 1/3), a tabela 1 mostra as probabilidades fracionárias e percentuais associadas a cada estado v:

Tabela 1 - Probabilidades isotrópicas (p=q=r=1/3) e não isotrópicas (p=6/10; q=1/10; r=3/10) para distribuições trinomiais com N=4.

Uma outra situação possível para N=4, ocorre quando as probabilidades p, q e r não são iguais, ocorre quando p=1/10, q=6/10 e r=3/10. A figura 7 mostra o diagrama bidimensional com as probabilidades percentuais no lugar das contagens: note que a soma das porcentagens é iguaual a 100.

Figura 7 - Espaço probabilístico u versus v para N=4.

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Finalmente, somando todas as probabilidades no eixo v, ou seja, projetando-as no "mundo real", obtémmse o gráfico da figura 8 que apresenta a distribuição de probabilidades percentuais em função de v, com v variando de -4 até +4.

Figura 8 - Soma das probabilidades de cada estado final v para a distribuição trinomial com N=4 e p=6/10, q=1/10 e r=3/10.

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Para realizar uma comparação, serão apresentados na tabela 2 os resultados obtidos para a uma distribuição binomial com N=4 e apenas com duas opções para cada movimento: +v e - v, com probabilidades respectivamente de 2/3 e 1/3, que mantém entre si a mesma relação de 2 para 1 que mantém as probabilidades 6/10 e 3/10 da distribuição anterior trininomial para os casos em que v=+1 e v=-1. Neste caso o estado final v pode assumir apenas valores pares: as contagens e as probabilidades são apresentadas na tabela 2 (o número total de estados neste caso é 16).

Tabela 2 - Probabilidades isotrópicas (p=q=1/2) e não isotrópicas (p=2/3; q=q=1/3) para distribuições binomiais com N=4.

A figura 9 mostra como se comportam as probabilidades em função de v para o caso da distribuição binomial não-isotrópica (p=2/3; q=1/3) com N=4. É possível notar que o seu pico (o valor modal) que ocorre para v=+2, coincide com a posição do pico da figura 10 que apresenta a distribuição trinomial equivalente. Além disso, em ambos os casos a distribuição é assimétrica, o que é esperado visto que as probabilidades p, q e r (ou p e q, para a binomial) não são iguais. Entretanto, a distribuição trinomial apresenta vales que não aparecem no caso da binomial.

Figura 9 - Soma das probabilidades de cada estado final v para a distribuição binomial com N=4 e p=2/3 (para cima) e q=1/3 (para baixo).

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Para efeito de comparação dos resultados referentes às projeções no eixo v para a distribuição binomial e para a distribuição trinomial equivalente, a tabela 3 apresenta os valores da média e do desvio padrão em cada caso. Tanto a média, quanto o desvio padrão são ligeiramente menores no caso da distribuição trinomial.

Tabela 3 - Média e desvio padrão para a distribuição binomial (N=4) não-o-isotrópica (p=2/3; q=1/3) e para a distribuição trinomial não-o-isotrópica (p=6/10; q=1/10; r=3/10).

## 4 -Conclusões finais

A análise de um caminho aleatório em uma dimensão é uma forma interessante para introduzir os conceitos básicos da teoria das probabilidades (Salinas, 2005) e para compreender as principais características das distribuições binomial e trinomial. Assim como entender a forma como o triângulo de Pascal é montado colabora para a compreensão do seu significado (Contador, 2005), o mesmo acontece por analogia com o triângulo trinomial. A premissa de que é "pecaminoso ensinar o abstrato antes do concreto" é com certeza válida no que diz respeito ao estudo da teoria das probabilidades (Melzak, 1973): as aplicações na economia podem ter deste modo um poder motivador bastante significativo para diversos públicos. A resolução de problemas quantitativos associados a um contexto concreto podem despertar o prazer pelo desafio que, quando bem utilizado, torna-se um instrumento didático poderoso nas mãos de um educador (Graham, 1989).

Dessa forma, apesar de não ser nosso objetivo dar uma descrição detalhada do processo, o esquema aqui construído é uma ferramenta útil para compreender o comportamento das ações nas bolsas de valores.

## 5 -Referências bibliográficas

- -Bernstein, P. L. Desafio aos deuses. Rio de Janeiro: Campus, 1997.
- -Bennett, D. Aleatoriedade . São Paulo: Martins Fontes, 2003.
- -Contador, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história (Volume III). São Paulo: Editora Livraria da Física, 2005.
- -Coutinho, C. Q. S. Introdução ao conceito de probabilidade: uma visão frequentista . São Paulo: Educ, 1996.
- -Graham, R. L., Knuth, D. E. e Patashnik, O. Concrete mathematics. New York: AddisonnWesley, 1989.
- -Melzak, Z. A. Companion to concrete mathematics. New York: Wiley, 1973.
- -Reif, F. Statistical and thermal physics. . Tokyo: McGraw-Hill, 1983.
- -Seiter, C. Matemática para o dia-a-dia. Rio de Janeiro: Campus, 1999.
- -Stewart, I. Será que Deus joga dados? ? Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 1991.
- -Salinas, S. R. A. Introdução à física estatística. São Paulo: Edusp, 2005.