ROLAMENTO DE UMA BOLA EM UM PLANO INCLINADO. (UM EXPERIMENTO PARA O ENSINO MÉDIO.)

## ROLAMENTO DE UMA BOLA LA EM UM PLANO INCLINADO. (UM EXPERIMENTO PARA O ENSINO MÉDIO . )

## Marcelo Fernandes 1 , V Vanessa Michele Ullmann 2

- 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná /DEPEN - COPEQ/marcelotd@utfpr.edu.br
- 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná/DEPEN - COTEQ /C/Curso técnico integrado de Gastronomia , vanessa\_m\_ullmann@yahoo.com.brlrl

## Resumo

Visando integrar conceitos de cinemática e dinâmica abordados durante o curso de Física (m(mecânica) do ensino médio e trabalhar a aplicação de um fundamento básico da estatística -a regressão linear - com os alunos interessados em aprofundar-r-s-se, desde já, em seus estudos e pesquisas em ciências exatas realizamos uma experiência simples que constitui i em soltar uma bola de basquete em um plano inclinado. Em seguida apresentamos um conteúdo para além do currículo de F Física praticado no ensino médio, que é o estudo da dinâmica do movimento de rolamento. Levamos em conta a aceleração teórica do centro de massa da bola rolando e a aceleração teórica de um corpo em translação pura sobre o plano inclinado, comparando-a-as com a aceleração obtida experimentalmente. Um objetivo secundário, mas igualmente importante, é a experimentação a baixo custo. Sabemos que muitas escolas não possuem laboratórios de ensino de Física, contudo acreditamos que podemos criar expererimentos a partir de características do ambiente escolar e de objetos comuns que fazem parte de qualquer escola.

Palavras -c -chave: aceleração, regressão linear, experimento de baixo custo , movimento de rolamento.

## Introdução

- A partir das considerações sobre movimento retilíneo com aceleração constante dos corpos, trabalhadas em sala de aula, propomos um experimento com objetivos relevantes para o ensino/aprendizagem de Física de nível médio .
- O experimento foi realizado pelos alunos do 2º ano do curso técnico integrado de Gastronomia, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) - - campus Toledo, que e cursam a disciplina Física 1.
- O trabalho pode ser separado em t três f fases: a primeira é a medida do tempo de rolamento de uma bola em um plano inclinado para seis posições distintas. Em 2 seguida, relacionamos os valores, apresentando os gráficos - (p x t) e (p x t2 t2 ) - - em sala de aula, obtidos na observação do experimento. Na segunda fase, e introduziuse a teoria de regres são linear simples para obtenção da aceleração da bola no plano. Na última fase do trabalho, relacionamos a aceleração obtida experimentalmente com a aceleração teórica do centro de massa da bola em movimento de rolamento. Aqui, comparamos a aceleração de um corpo em translação pura deslizando sem atrito no plano inclinado de mesmo ângulo e discutimos a a influência provocada pelas forças resistivas.

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26 a 30 de Janeiro de 2009

## Procedimentos experimentais

Para realização do experimento utilizamos o " plano inclinado " que e está tá situado no prédio da UTFPR - - Campus Toledo. O plano inclinado utilizado é uma rampa de 12,5 m de extensão, que liga o auditório ao hall de entrada.

Figura 01: E Esquema da a rampa com as marcações das posições onde se aferiu o tempo a partir do topo.

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Inicialmente demarcamos s sete posições no decorrer da rampa: p p0 = 0, p1 = 2 2, p2 = 4, p3 3 = 6, p4 = 8, p5 5 = = 10 e p6 6 = 12 m . Em seguida a soltamos , a partir do repouso, uma bola de basquete de um marco 0 m no topo do plano, aferindo o o intervalo de tempo gasto para a bola rolar plano a baixo, até as posições demarcadas . Obtivemos assim seis intervalos de tempo sendo que para cada posição , foram realizadas cinco repetições, bem como a média do tempo para cada posição conforme apresentado na tabela 01 e na figura01.

Tabela 01: Resultado das medições dos intervalos de tempo e a média do tempo para cada posição da bola no plano inclinado

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Figura 02: Gráfico de barras que apresenta as cinco medidas dos intervalos de tempo para cada posição demarcada no plano inclinado

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Seqüencialmente foi questionado aos alunos se a rampa teria inclinação constante e qual a influência da inclinação na aceleração da bola. Medimos então o ângulo do plano em quatro regiões distintas da mesma para verificar a planicidade, e encontramos os valores descritos na tabela 02:

Tabela 02: Ângulos medidos em quatro pontos da extensão da rampa e a média dos valores

## Tratamento dos dados experimentais

De posse dos valores de tempo para cada posição no plano, esboçamos os gráficos, relacionando as posições com o tempo 2(p X t) e as posições com o quadrado do tempo (p (p X t2 p t2 ). Desenhamo-los no quadro negro (quadriculado), na presença de toda a sala, e posteriormente utilizando ferramenta Microsoft® Excel para apresentação no presente trabalho (Figuras 03 e 04) .

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Figura 03: R Representação da relação entre os espaços percorridos (em metros) pela bola em rolamento a partir da posição inicial p o o = 0 e o tempo (em segundos) para cada posição demarcada no plalano inclinado.

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Figura 04: R Representação da relação entre os espaços percorridos (em metros) pela bola em rolamento a partir da posição inicial p o o = 0 e o quadrado do tempo (em segundos) - Linearização.

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O objetivo, neste momento, foi o de demonstrar graficamente que a disposição dos pontos de coordenadas p e t aponta para uma curva diferente de uma reta. Aqui, adiantamos também a compreensão do processo de linearização, ao esboçarmos os pontos de coordenadas p p e t 2 .

Para os alunos, em geral, comentamos que o movimento acelerado resultaria em espaços percorridos que não são proporcionais ao tempo, pois já havíamos visto em aulas anteriores que grandezas proporcionais expressas em gráficos resultariam graficamente em retas inclinadas.

Introduzimos a teoria de regressão linear simples e levantamos a reta de regressão considerando os pontos do gráfico p x t 2 t 2 . Relacionando o coeficiente angular da reta de regressão com a aceleração a partir da equação temporal dos espaços em um movimento com aceleração constante (p (p = ½ at 2 ), calculamos a aceleração da bola rolando sobre o plano.

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Figura 05: Reta de regressão linear a partir dos dados linearizados da figura 04

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O coeficiente angular a = 0,254 está aqui relacionado com o termo (½ x a) assim podemos dizer que a exp = 2a , obtendo o valor experimental para a aceleração do centro de massa da bola rolando o plano: a exp = 0,508 m/s 2 .

## Fundamentação Teórica

Na seqüência do trabalho apresentamos a dinâmica de uma casca esférica de raio R e massa M M em rolamento puro sobre um plano inclinado de ângulo ?. O professor pode levantar perguntas como: Qual corpo possui maior aceleração de seu centro de massa? O que desliza sem atrito ou o que rola sem deslizar sobre um plano inclinado?

Até o presente momento já trabalhamos as leis da dinâmica para o ponto material e estudamos o plano inclinado. Em sala de aula consideramos um corpo deslizando sem atrito sobre um plano inclinado e deduzimos a expressão da aceleração:

<!-- formula-not-decoded -->

onde g é a gravidade local e ?, o â ângulo do plano em relação à horizontal.

Com base no conteúdo trabalhado em sala de aula propomos que o professor pode trtrabalhar as noções de conservação de energia aplicadas no movimento de rolamento puro de um corpo sobre o plano.

Desse modo apresentamos a idéia de que um objeto em rolamento no plano terá maior velocidade de translação e rotação se soltarmos de uma altura maior, e sabendo que a gravidade é a força propulsora do movimento, arrazoamos com o fato que os parâmetros altura h e gravidade g determinaria as velocidades finais da bola.

Introduzimos no momento a noção de que o atrito seria uma força a que se oporia ao aumento da velocidade e assim dissiparia a energia aumentando a temperatura do sistema. AsAssim fazemos menção, aqui, a uma primeira noção da conservação e dissipação da energia mecânica.

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Ressaltamos aqui que a cinemática do movimento circular já havia sido ensinada podendo então trabalhar o rolamento como um movimento de translação pura do centro de massa do corpo somado ao movimento de rotação pura em torno do eixo que passa pelo centro de massa e é ortogonal a linha do movimento da bola e paralelo ao plano inclinado.

Apresentamos, também a equação da energia cinética de um corpo extenso em rotação no eixo que passa pelo centro de massa:

<!-- formula-not-decoded -->

onde I I é o momento de inércia da bola de basquete e ? a velocidade angular da bola.

Aqui, trabalhamos o conceito de momento de inércia de forma qualitativa, demonstrando através de uma base rotacional, que para uma distribuição de massa existe maior facilidade de giro se tal massa está distribuída mais próxima do eixo de rotação o possível.

Para o momento de inércia da bola de basquete consideramos a aproximação de uma casca esférica ideal. Acreditamos que tais discussões e e aproximações são excelentes oportunidades para o aluno de ensino médio , pois encoraja-o a desejar entender r melhor as nuances da física no que se diz a avaliação de aproximações da realidade a fim de modelar matematicamente tais problemas.

Continuamos a cononsiderar o fato de que a massa de ar contida no interior da bola é bastante menor que a massa contida no material da bola e que por estar cheia a espessura da bola é pequena comparada ao diâmetro da mesma. Com isso, de forma qualitativa, mas razoável, confoformamos a bola de basquete a uma casca esférica de espessura desprezível que possui momento de inércia no eixo que passa pelo seu centro de massa dado pela expressão:

<!-- formula-not-decoded -->

onde M M é a massa da esfera e R seu raio.

Figura 06: Esquema demonstrativo da rampa e da bola no movimento de rolamento puro de A até B.

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Assim, aplicamos a conservação da energia mecânica considerando que no inicio do movimento a bola está inerte:

<!-- formula-not-decoded -->

Sabendo que: R V cm w = e que h = xsenq nq , temos:

<!-- formula-not-decoded -->

Como V c a x V cm cm = 2 × 2 concluímos que a a expressão da aceleração do centro de massa de uma casca esférica rolando num plano inclinado é então:

<!-- formula-not-decoded -->

A demonstração da equação da aceleração acima a foi feita em sala em aula extra -ordinária. É válido ressaltar aqui que se trata de alunos de ensino médio que estão cursando a unidade curricular Física 1. Acreditamos que seja um momento bastante encorajador para aqueles estudantes de nível médio que possui gosto e aptidão para Física e Matemática.

Desse modo, comparando a aceleração do corpo em translação pura no plano inclinado sem atrito (a1) com a aceleração da casca esférica em rolamento puro (a cm ) temos que: a cm m = (3/5) x a1, ou seja, rolando, a bola aumenta sua velocidade no tempo o 60% do que aumentaria caso deslizasse sem atrito. Discutimos o fato de que parte da energia é distribuída para a rotação da bola, por isso uma menor aceleração do centro de massa. No próximo passo iremos comparar a aceleração obtida experimentalmente com as teóricas.

## Resultado e Discussão

A discussão de erros constituiu neste trabalho o uma boa ferramenta didática no ensino de Física, pois foi neste momento que se oportuniz ou ao jovem estudante a fazer novas hipóteses e a pensar como testá-las, construindo desse modo a prática da ciência. Assim evitamos a priorização da informação científica em detrimento da prática de ciências .

Compararemos a aceleração obtida experimentalmente (a(a exp. = 0,508 m/s 2 ) com a aceleração teórica do centro de massa obtida pela expressão:

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<!-- formula-not-decoded -->

Considerando o o ângulo médio da rampa ? = 5,52 º º e a gravidade local g = 9,79 m/s 2 temos que: a cm m = 0,565 m/s 2 . Calculamos o erro absoluto abaixo:

<!-- formula-not-decoded -->

Calculamos também o erro relativo:

<!-- formula-not-decoded -->

A rampa onde foi feito o experimento é emborrachada com pequenos sulcos transversais de 1 cm, acreditamos que tais sulcos constituíram pequenos obstáculos para um rolamento puro, principalmente no inicio do movimento, pois ao soltar a bola é possível ter havido um pequeno encaixe da bola nos sulcos contribuindo para uma aceleração menor.

Figura 07: Esquema representando detalhes da superfície da rampa.

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A aceleração de translação pura sem atrito para o ângulo da rampa obtida 2 pela equação a1 = gsen? é a1 = 0,942 m/s 2 . Assim, comparando a aceleração obtida experimentalmente temos que: a exp =(54%)xa1 , valor próximo do previsto teoricamente (60%) .

Contudo, o propósito do experimento é fornecer uma possibilidade didática, desse modo não preocuparemos aqui com a consideração formal dos erros sistemáticos e instrumentais.

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## Conclusão

Experimentos a baixo custo ou a custo zero são ferramentais didáticos que podem vir a suprir a carência de atividade experimental de Física em muitas escolas do país. O presente trabalho pretende propor algumas idéias ou disparar outras, em que educadores da área de ensino de Física possam fazer uso em suas atividades de ensino.

Como se trata de alunos que estão tendo seu primeiro contato com a Física no ensino médio, acreditamos que se constituiu aqui uma oportunidade muito boa para o aprendizado de análises de equações matemáticas e de leis físicas que são expressas nas equações, resultando assim em um amadurecimento matemático na linguagem algébrica do estudante.

Desse modo, pretendemos atingir os objetivos que são proporcionar, aos alunos do primeiro ano de de cursos de Física, momentos de aprofundamento nos estudos desta e de contato com elementos básicos de estatística. Esperamos que o trabalho venha promovever r maior autonomia no estudante, ao prosseguir seus estudos em ciências, tanto no ensino médio quanto em uma posterior graduação.

## Referências

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos da Física Vol. 1: Mecânica. 7. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2006

MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Física: de olho no mundo do trabalho. 1. ed. São Paulo: Editora Scipione, 2005.

TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística Básica. 2. ed. São Paulo: Atlas Editora, 1985.

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26 a 30 de Janeiro de 2009