Experimento para a Determinação da Constante de Planck para o Ensino Médio

## Experimento para a Determinação da Constante de Planck para o Ensino Médio

## Ednilson Santos 1 , Aníbal Bezerra 1 , Rodrigo Pereira 1 1 , Mariama Dias *1 , Victor Lopez-Richard 1

1 Universidade Federal de São Carlos/Departamento de Física/a/Centro de Ciências Exatas e Tecnologia , ed@df.ufscar.br

## Resumo

Tendo em vista a nescessidade e a importância da inserção de Física moderna no Ensino M Médio e os poucos experimentos relacionados à essa área, o presente trabalho teve como objetivo a construção de um equipamento através s do qual foi possível determinar a constante de Planck e verificar as propriedades de diodos, para a sua aplicação nas aulas de Física moderna. Para tanto , foi utilizado um circuito elétrico constituido por LED's s (Light Emissor Diodes)s), ligados em paralelo entre sí e com uma fonte de tensão contínua, em série com um resistor e um potenciômetro. Mediu-se indiretamente, através do resistor, a corrente que atravessa o circuito e a tensão aplicada nos LED's. Com isso obteve-se a tensão de corte dos LED's e, atraravés da expressão da quantização de energia obtida por Max Planck, determinou -se sua constante (h). Para se obter uma maior precisão o no valor da constante, foram feitas medidas do espectro de emissão de cada LED e extraídos os s seus us s comprimentos de onda . Além da proposta de determinar a constante de Planck, propôs-s-se um tratamento estatístico nos dados extraídos pelo equipamento, através do método dos mínimos quadrados (MMQ). O principal desafio foi a realização de uma montagem experimental que fosse auto -explicicativa, segura e, principalmente, durável, desafio esse que julgamos ter vencido. Com ele foi possível determinar a constante de Planck da ordem de (6 3 , 36 ± 0 , 30) . 10 -34J 4J . s, o que está bastante próximo ao valor esperado (6(6,62.10 -3 -34 J. J. s)s) , uma concordância de aproximadamemenente 96% . Além do equipamento foi desenvolvido um texto que tem por objetivo orientar o manuseio deste por professores, alunos e até por pessoas leigas no assunto.

Palavras -c -chave: Constante de Planck, Física Moderna, Ensino Médio , instrumentação

## Introdução

Um dos temas que mais têm sido abordado atualmente é a introdução de conceitos de Física Moderna no ensino médio. Dentre os tópicos que devem ser discutidos nessa introdução, estão os conceitos básicos de Mecânica Quântica, os quais muitas vezes, por terem um caráter não intuitivo, tornam-s-se bastante complicados. Para tentar ultrapassar essa barreira, a utilização de experimentos em sala de aula pode ser uma ferramenta bastante útil. Tendo em vista esse fato, foi construído um equipamento constituído basicamente de Led's e resistores, através do qual é possível motivar uma discussão de conceitos de Mecânica Quântica, por meio das propriedades dos Led's.

Devido ao desenvolvimento de novos materiais e do estudo de suas propriedades, vem se desenvolvendo Led's cada vez mais eficientes e, com isso, sua utilização tem perdido o caráter de simples sinalizadores, tais como stand by de televisores, e assumindo um papel importante na iluminação em geral. Comparando

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a relação consumo e potência de Led's e lâmpadas incandescentes comuns, têm-s-se que a eficiência de um Led branco, por exemplo, é 10 vezes maior que a de uma lâmpada incandescente normal - - até o ano de 2020, calcula-s-se que utlilização de Led's na iluminação dos Estados Unidos evitaria a construção ão de 133 usinas com capacidade de 1Mwatt cada [Ciência Hoje, 2008] .

## O LED

Os semicondutores, base para a fabricação dos LED's, começaram a ser estudados a partir de 1930, com o surgimento da idéia de bandas de energia para explicar o comportamento do elétron no interior desses. Com isso foi possível entender a diferença entre metais, semicondutores e isolantes [S[SINGH, 2003]3]. Por de?niç ão, um semicondutor é um material que conduz a eletricidade imperfeitamente e cuja resistividade decresce com o aumento da tetemperatura, ao contrário dos metais [HALLYDAY, 1995].

Ao se descrever materiais sólidos através da Mecânica Quântica, devido ao caráter probabilístico o qual esta assume, chega-s-se a um modelo de bandas de energia, o qual descreve a estrutura cristalina do material através de bandas de valência e condução, separadas por uma região de energias "proibidas" as quais os elétrons não podem possuir, denominado gap de energia (E g ). O tipo de preenchimento das bandas e o tamanho do gap permitem classificar os sólidos em isolante, semicondutor e condutor, figura 01.

Figura 01: Representação idealizada da con?guraçãção de bandas e lacunas para um isolante (a), um condutor (b) e um semicondutor (c). Os índices Eg e Ef signi?i?cam energia do gap e energia ia de Fermi respectivamente

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Um material semicondutor pode ser definido também como um material isolante que se encontra, na temperatura de zero absoluto, com gap de energia da ordem de alguns eV.

A versatilidade dos semicondutores pode ser grandemente aumentada se introduzirmos impurezas doadoras e aceitadoras de elétrons na rede cristalina, este processo é conhecido como dopagem [H[HALLYDAY, 1995; ASHCROFT, 1976], a qual pode ser de dois tipos: Tipo N e tipo P. Um diodo emissor de luz (LED) consiste na junção de semicondutores fortemente dopados, sendo um dopado com elétrons e outro com buracos (junção P-P-N). Nesse tipo de junção, os elétrons em excesso da

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região N e buracos da região P começam a se difundir e se recombinam. Podemos dizer que o lado P desse semicondutor ?ca mais negativo na extremidade da junção, que a parte mais interna do material, o mesmo ocorrendo com o lado N que ?ca mais positivo [SCHUBERT, 2008], conforme esquema da Erro! Fonte de referência não encontrada. .

Figura 02: a a) diaiagrama esquemático mostrando uma junção P-N-N. b) Diagrama de energia para a junção P-N-N

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O deslocamento dessas cargas origina um campo elétrico que cria uma barreira ao movimento. Se aplicarmos um campo elétrico no mesmo sentido que o estabelecido na junção, teremos uma corrente elétrica muito pequena ou desprezível. No entanto, se aplicarmos um campo elétrico no sentido oposto ao campo estabelecido na junção, favoreceremos o deslocamento de portadores majoritários (elétron do lado N e buracos do lado P) gerando correntes tanto maiores quanto maior o campo externo aplicado [EISBERG, 1979]9]. A ?gura 2b mostra os diagramas de energia para a junção feita na ?gura 02a. Quando um elétron da banda de condução recombina se com um buraco da banda de valência, uma energia Eg, igual à diferença entre os dois níveis, é liberada [SHULBERT, 2006]. Em alguns semicondutores, essa energia se manifesta na forma de vibrações da rede cristalina (Fônons), em outros, como no caso dos LED's, a energia pode ser emitida como um fóton de energia hf, cujo comprimento de onda é dado por [EISBERG, 1979]:

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A constante h na equação é a constante de Planck, derivada por Max Planck no início do século XX, quando este tentava explicar o espectro de radiação de corpo negro. A A determinação dessa constante pode ser alcançada através da curva característica de um LED, como sugere a montagem experimental, uma vez que a energia necessária para o acendimento do mesmo é igual à energia emitida pela radiação [STUDART, 2000]

## INSTRUMENTAÇÃO

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Tendo em vista que este estudo teve como principal objetivo o cálculo da constante de Planck, foi utilizado um diodo emissor de luz (LED) e, a partir da sua tensão de corte, obtivemos o valor dessa constante. Além disso, foi possível utilizar esse componente para explicitar o funcionamento de diodos e suas propriedades, como por exemplo, a condução elétrica apenas em uma direção, sobre bandas de energia e a relação entre o gap e a cor desses LED's .

A montagem realizada permite explicitar essas propriedades através de medidas de tensões, acompanhando a condução de corrente através do diodo. Para a realização deste experimento foram utilizados os componentes dispostos na Tabela 1:

Tabela 01: Custos aproximados para a confecção do equipamento

Nesse projeto, para o cálculo da constante de Planck apenas um LED seria necessário, mas para obter maior precisão foram usados 5 LED's diferentes, com cápsulas transparentes. Além disso, foram usados dois jacks para a conexão com a fonte, num deles, os LED's são polarizados diretamente, e no outro inversamente, dessa maneira o aluno poderá perceber que o diodo conduz apenas em uma direção.

A Erro! Fonte de referência não encontrada. . mostra, esquematicamente, o circuito eletrônico utilizado nessa montagem. Nota-se nela a presença de cinco

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LED's, cada qual com sua respectiva chave liga-desliga (MTS), ligados paralelamente entre sí e em série com um resistor de 560?. Para se obter a variação da tensão sobre os LED's foi utilizado um potenciômetro de 1k?, o qual teve suas extremidades ligadas à alimentação do circuito e sua parte central ligada em série com o resistor e os LED's. Para alimentar o circuito foi utilizada um fonte reti?cada de 3V (300mA), a qual é conectada através de dois jajacks, , um deles alimenta o circuito positivamente e o outro negativamente. Para a realização das medidas de corrente -tensão (I-V-V), estão ligados em paralelo com o resistor (para obtenção da corrente que atravessa o circuito através da Lei de Ohm) e com os LED's ( (medida de tensão), dois pares de Bornes para a conexão de voltímetros.

Figura 03: Esquema do circuito eletrônico utilizado na montagem. Na ?gura, (-(-) -) e (+) representam as entradas que polarizam o Led inversamente e diretamente rerespectivamente.(A) e (B) são os bornes que permitem a medição da tensão no Led e no resistor

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Além disso, foi feita uma caixa para proteção do equipamento , para transportá-lo mais facilmente. Essa caixa possui dimensões externas de 20x20x12cm, foi envernizada e para não haver choque do protótipo com as paredes internas da caixa, esta foi também revestida por espuma.

## PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

O procedimento expxperimental consiste basicamente na obtenção das curvas de corrente tensão para cada LED. Para isso, liga-se a fonte no equipamento, seleciona -se um dos LED's e varia -se a tensão aplicada neste com o auxílio do potenciômetro.

Ao se variar a tensão, faz-se a leitura desta com o voltímetro conectado aos bornes do lado A (lado direito olhando de cima) e, concomitantemente realiza-a-se medidas de tensão nos bornes do lado B (lado esquerdo olhando de cima), ou seja, mede -s -se a tensão no LED e no resistor, respectivamente.

Para comprovarmos o funcionamento do LED em suas duas polarizações, temos duas entradas de alimentação no circuito. Numa delas, a de sinal (-(-), aplica corrente no sentido contrário à condução do LED, portanto, este será polarizado inversamente e não irá conduzir corrente e, assim, as medidas de tensões tanto no resistor, quanto no LED serão nulas, como foi explicado anteriormente na teoria. Se

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ligarmos agora, a alimentação na entrada (+), o LED será polarizado diretamente e irá conduzir corrente quando a tensão aplicada no circuito for su?u?ciente para excitar os elétrons para a banda de condução.

Usando a lei de Ohm [HALLIDAY, 1984], pode-se obter a corrente que atravessa o circuito e, com isso, construir um grá?co de tensão versus corrente. A partir desses grá?cos pode-s-se obter a tensão de corte dos LED's, para isso traça-a-s-se a melhor reta que ajusta o crescimento linear das curvas.

Sabendo a tensão de corte para cada LED, constrói-i-se um grá?co de freqüência dos LED's versus tensão de corte e, através do coe?ciente angular da reta que melhor ajusta os pontos experimentais ou do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), obtêm-s-se o valor da constante de Planck.

## RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para conseguir uma boa precisão do comprimento de onda de emissão do LED, foi medido o espectro de emissão para cada LED. A medida foi feita no Laboratório de Fotoluminescência na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) com um espectrômetro de linhas e o resultado obtido está representado abaixo.

Em seguida foram feitas, conforme discutido na seção anterior, as medidas de tensão e correntes a ? ?m de encontrar a tensão limiar de cada LED. A Erro! Fonte de referência não encontrada.4 mostra os dados colhidos.

Analisando cada grá?co , notamos que cada LED possui uma tensão limiar particular, isso é devido ao gap de energia de cada um, pois, LED's de cores de freqüências altas são os LED's que possuem um gap de energia maior do que as de baixa freqüência, por isso, de acordo com o que Planck propôs na equação, esses LED's emitem fótons com maiores energias.

Depois de construídos os grá?cos, foi traçada uma reta visual que unia os últimos pontos da curva de cada LED para, dessa forma, encontrarmos a tensão limiar. Para traçá-la procurou-s-se construir uma reta que passasse em cima dos pontos que estivessem alinhados. Os valores obtidos são apresentados na Erro! Fonte de referência não encontrada. .

Usando os valores obtidos, foi construído um grá?co de tensão versus freqüência, a partir deste, fez-se um ajuste linear e obteve -s-se como coe?e?ciente de inclinação o valor de:

<!-- formula-not-decoded -->

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Figura 04: Representação do espectro de emissão de luz de cada LED

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Figura 05: Representação das medidas de corrente versus tensão para cada LED

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Sabendo que quando estatamos aplicando a tensão limiar estamos fornecendo a energia mínima para excitar um elétron para a banda de condução, temos:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

onde V é a tensão limiar, n é a freqüência e e a carga elementar. O nosso coeficiente de inclinação nos fornec e:

<!-- formula-not-decoded -->

Portanto, obtemos:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Esse valor concorda em 96,19%.

A ?gura 6 mostra o tratamento descrito d dos dados g gra?camente .

Figura 06: Repepresentação dos pontos de tensão limiar versus frequência para cada LED juntamente com o ajuste linear feito com o auxílio do programa Origin 7.0

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- O ajuste da reta feito pelo programa computacional, representado na Erro! Fonte de referência não encontrada., pode ser obtido analiticamente a partir do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), para isso partirmos de?nindo uma reta que passe pela origem, pois não há condução em V=0v, portanto:

<!-- formula-not-decoded -->

Em seguida devemos encontrar o coe?ciente que torne a expressãsão abaixo mínima:

5

å

i

5

å

i=

1

1

=

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onde , nesse caso, y é a tensão limiar e x é a freqüência de emissão do LED. Têm -s -se no total cinco pontos, um para cada LED, e seus respectivos valores, x e y, estão representados nas ? ?guras 5 e 6, respectivamente. Dessa forma obteve-se:

<!-- formula-not-decoded -->

vavalor igual ao obtido pelo ajuste feito computacionalmente. Com isso o valor obtido anteriormente é o mesmo para a constante de Planck.

Fez -s -se também um tratamento de erros para o cálculo da constante a partir do método dos mínimos quadrados (MMQ).

<!-- formula-not-decoded -->

onde n é o número de pontos, nesse caso n é igual a cinco, e

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

2

¶

¶

a

2

Então obtêm -se:

[

]

[

]

y

i

i x

-

i ax

®

y

i

i

-

ax

=

0

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<!-- formula-not-decoded -->

Na equação têm-se que yi yi são os valores das tensões limiares para cada LED e xi são os valores de suas f freqüências, calculando obtem-se:

<!-- formula-not-decoded -->

assim encontra -se a constante de Planck e seu respectivo erro:

<!-- formula-not-decoded -->

Valor igual ao obtido com o auxílio do programa Origin e em bom acordo com o encontrado na literatura, 6, 62.10 -34 J.s, fornecendo concordância de 96,19%, onde o desvio pode estar associado às medidas experimentais e erros de precisão de equipamentos de medida.

## CONCLUSÃO

Esse trabalho teve como principal objetivo, determinar a constante de Planck através de um equipamento simples e de fácil reprodução, para dessa forma tornar mais atraente o aprendizado de Física moderna no Ensino Médio. Através desse equipamento, foi possível determinar o valor da constante como sendo h = (6, 36 ± 0, 30).10 -34 Js, concordância de 96,19%, desvio que pode se atribuído o a erros de medidas experimentais e de precisão de equipamentos de medida .

## Referências

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