Fractais: uma proposta de ensino de Física

## FRACTAIS: UMA P PROPOSTA A DE ENSINO DE FÍSICA

## Bruno Jeferson Lourenço 1 , A Adriana Gomes Dickman 2

1 Curso de Licenciatura em Física / Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais , brunojeferson@yahoo.com.br

2 Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática e C urso de Licenciatura em Física / Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais , adickman@pucminas.br

## Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo exploratório das concepções dos alunos do Ensino Médio acerca das possíveis relações que eles percebem entre a Física e as outras disciplinas. Em concordância com outros levantamentos feitos anteriormente, constatamos uma incapacidade dos alunos em relacionar a Física com as outras disciplinas. Com base nos resultados obtidos por este levantamento, elaboramomos uma proposta de ensino para introdução do conceito de fractais no Ensino Médio. Objetivamos introduzir este conceito na sala de aula a fim de possibilitar aos alunos uma real percepção de inter-r-relação entre métodos utilizados em Física que também se fa zem ferramentas importantes em outras áreas de conhecimento, em coerência e concordância com as recomendações de um ensino contextualizado, articulado e de forma multidisciplinar dos Parâmetros Curriculares Nacionais. O tema "Fractais" foi escolhido pela susua diversidade e abrangência de possibilidades de aplicações que vão desde sistemas dinâmicos não-lineares na Física e Biologia, passando pela caracterização de células cancerígenas, crescimento de superfícies e espalhamento de doenças infecciosas até a otitimização de sistemas de telecomunicações, como antenas e fibras óticas, além das belas formas apresentadas por vários objetos fractais, cujos padrões também servem de inspiração para elaboração de projetos em Arquitetura, por exemplo .

Palavras -c -chave: Ensino de física, Fractal , Multidisciplinaridade, Ensino Médio .

## Introdução

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN e PCN+) recomendam que o ensino seja promovido de modo que os assuntos sejam tratados de maneira articulada, contextualizada, integrada e de forma multidisciplinar. Não sendo assim, o " conhecimento desenvolvido pelo aluno estará fragmentado e será ineficaz" (BRASIL, 2002, p.31). O ensino limitado às "fronteiras" de uma disciplina específica acarreta em uma segmentação e fragmentação do conhecimentoto, no qual um assunto ou modelo se torna "exclusivo" desta ou daquela disciplina. Não se deve confinar o conhecimento, ele tem que transcender estas barreiras da especificidade.

A consciência desse caráter multidisciplinar ou transdisciplinar, numa visão sistêmica, sem cancelar o caráter necessariamente disciplinar do conhecimento científico mas completando-o-o, estimula a percepção da inter-

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relação entre os fenômenos, essencial para boa parte das tecnologias, para a compreensão da problemática ambiental e parara o desenvolvimento de uma visão articulada do ser humano em seu meio natural, como construtor e transformador do meio. (BRASIL, 1999, p.209) .

Trabalhos que buscam explorar as concepções dos alunos do Ensino Médio acerca da Física (RICARDO, 2007; PEREIRA, 2007; LUZ, 2007) apontam uma realidade divergente daquelas recomendadas pelos documentos parametrizadores do ensino nacional (PCN e PCN+).

No levantamento realizado por Ricardo (2007) as propostas dos PCN's são discutidas após a análise e das respostas de alunos de duas escolas, uma pública e uma particular, a questões que buscam evidenciar suas concepções sobre a importância da Física em seu cotidiano e de sua diferença em relação à Matemática. Foi verificado que 68% dos alunos afirmaram ver alguma relação entre o que se aprende em Física e o cotidiano e tecnologias embora, segundo os autores, a maioria não soube explicar qual. Quando questionados sobre a distinção entre a Física e a Matemática apenas 35,5% afirmaram haver diferença entre elas. No entanto, nãnão foram capazes de justificar suas respostas. Algumas respostas de alunos do 3º ano , que afirmaram haver distinção entre Física e MaMatemática, nos leva questionar o "ensino", atual:

A física calcula a distância e a matemática calcula os números. (Ricardo, 2007, p.255)

Em concordância com esse trabalho, Pereira (2007) evidencia uma incapacidade dos alunos, tanto da escola pública quanto particular, em distinguir entre a Física e a Matemática. São respostas que evidenciam a existência de um ensino pobre, sem uma adequada abordagem, o que proporciona certa banalização do conteúdo por parte dos alunos. Ao vermos uma resposta como esta, na qual o aluno afirma que a diferença entre a Física e a Matemática seria que a:

física estuda os movimentos e a matemática ape nas os números. (PEREIRA, 2007, p.8)

certamente percebemos a necessidade de ampliarmos e diversificarmos as abordagens dos conteúdos d discutidos e em sala de aula.

Ainda segundo Pereira, 52% dos alunos julgaram perceber alguma relação entre a Física e o cotidiano e/ou a tecnologia (PEREIRA, 2007). Apesar disso, assim como no primeiro trabalho citado, a maioria dos alunos não soube justificar a resposta, deixando um mero "Sim", ou seja, que vê alguma relação.

Tendo esse cenário em vista, fomos motivados a realizar um levantamento exploratório, na forma de questionários abertos, com o intuito de analisar a visão que os alunos têm em relação à Física. Como veremos, os resultados obtidos concordaram com os apresentados nos estudos anteriores. A partir desse mapeam ento, delineamos uma proposta de ensino que visa contribuir r para um ensino contextualizado de caráter multidisciplinar. O tema escolhido para tal intento foi "Fractal", uma teoria relativamente nova que só foi fundamentada e consolidada por volta da década a de 1980 pelo matemático Benoit Mandelbrot em seu célebre livro intitulado "The Fractal Geometry of Nature" (MANDELBROT, 1983).

"Fractais" também foi tema de uma questão constituinte do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) realizado no mês de agosto de 2008. O Enem é um dos principais instrumentos do Governo para avaliação dos estudantes, cujo resultado também serve como critério de classificação em processos seletivos de várias instituições superiores do Brasil.

Neste artigo, portanto, apresentamos um estudo exploratório de aspectos multidisciplinares da Física a na visão dos alunos. Participaram desta investigação alunos do 1º, 2º e 3º ano do Ensino MéMédio, o que proporcionou comparações entre as concepções dos alunos nos diferentes estágios . Diferentemente dos os levantamentos citados s (RICARDO, 2007; PEREIRA, 2007; LUZ, 2007), cujos estudos exploratórios não abordaram aspectos multidisciplinares em geral; apresentando o questões sobre as concepções dos alunos em relação à Física e sua relação somente com a Matemátática . Optamos por não direcionar r as perguntas , evitando mencionar os nomes das disciplinas. Assim, elelaboramos o questionário de tal modo que os alunos fossem estimulados a refletir sobre cada disciplina que estudou e identificar suas respectivas relações com a Física. Após a análise dos dados, apresentamos a nossa proposta didática de ensino , sobre o tema "Fractais", que encontra-s-se em fase de aplicação.

## Fractais

Vários trabalhos desenvolvidos em diversas áreas de pesquisa em Física utilizam a teoria de fractais para caracterização de sistemas dinâmicos não lineares (FIEDLER-FERRARA, 1994). Outras aplicações envolvem crescimento de superfícies (BARABÁSI, 1995) e elaboração de modelos que descrevem a evolução e espalhamento de vírus e doenças infecciosas (MURRAY, 2004). Estes são apenas alguns exemplos da diversidade e abrangência de alguns modelos matemáticos que não se restringem a esta ou aquela área de conhecimento.

## Ensino de fractais

A teoria dos fractais não é, a nosso ver, um assunto muito abordado em s ala de aula , principalmente no Ensino Médio , possuindo relativamente poucas publicações na área de ensino de Física. Dentre os trabalhos que encontramos, quatro foram produzidos essencialmente no campo da Matemática (ALVES, 2007; ALMEIDA, 2006; BARBOSA, 2005 e SALLUM, 2005) e dois são voltados ao ensino de Física (COELHO, 2005; JESUS, 2005).

O trabalho desenvolvido por Coelho (2005) apresenta uma metodologia de intervenção em sala de aula , a partir da aplicação de um questionário prévio e de avaliação, com o objetivo de verificar o conhecimento dos alunos acerca do assunto a ser tratado na unidade didática sobre fractais . As intervenções foram realizadas em diversas disciplinas. Nas aulas de Física foram d discutidos conceitos e exemplos de sistemas dinâmicos fractais e auto -s -similaridade, e realizadas atividades práticas . Nas aulas de língua inglesa e francesa , os alunos leram textos relacionados ao assunto "fractais" e responderam questões sobre o mesmo. Objetos fractais foram construídos na aula de Artes. No laboratório de Química foi observada a eletrodeposição de metais , a fim de verificar uma estrutura ramificada e característica das formas fractais. Na aula de redação, os alunos s assistiram a um vídeo sobre o assunto, e responderam a a um questionário. Embora a amostra de

alunos submetidos a este trabalho fosse pequena e menor ainda o número de alunos que deram um retorno do questionário final (apenas cinco alunos), os autores julgaram os resultados satisfatórios. Constataram interesse dos alunos pelo assunto e verificaram que as atividades curtas foram de fundamental importância ao desenvolvimento do conhecimento, pois elas permitiram um dinamismo nas aulas sem perder o foco e a atenção dos alunos . Esse é um bom exemplo da possível importância que o assunto "fractais" pode teter no ensino básico, trazendo resultados satisfatórios.

## Conceito de Fractais

Uma maneira de entendermos o sentimento que levou o matemático francês Benoit Mandelbrot (1924 -) a elaborar uma nova geometria é refletirmos s sobre a sua fala:

Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, litorais não são círculos (...) . (MANDELBROT, 1983, p.1)

A ineficiência (ou incapacidade) da geometria euclidiana em descrever e representar formas naturais, as quais exibem alto nível de complexidade em suas estruturas, foi um dos principais motivos que levou Mandelbrot a elaborar a Geometria Fractal.

Diferentemente de uma curva, um plano, ou um sólido que possuem dimensão topológica 1, 2 e 3, respectivamente, os fractais possuem dimensão nãointeira, esse é o o sentido de fractus, "quebrados"! Os fractais também apresentam a característica de auto -similaridade e ou auto -a -afinidade, ou seja, são formas invariantes sob redução de escala. (BARABÁSI, 1995)

A medida da dimensão fractal de um objeto arbitrário pode ser definida como se segue. Para cobrirmos o volume, DV(V(r)r), deste objeto precisamos de N(r) r) caixas de tamanho linear r D r D , onde D é a dimensão euclidiana, ou seja

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Sendo o volume, V(V(r)r), constante observamos que o número, N(r)r), de caixas de tamanho r, r, necessário para cobrir este objeto obedece à seguinte lei de escala:

<!-- formula-not-decoded -->

A dimensão, D, se relaciona com o número de caixas e o respectivo tamanho das mesmas pela equação

<!-- formula-not-decoded -->

Assim, para objetos fractais, definimos analogamente

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onde d d é a dimensão fractal do objeto. A condição d &gt; DT deve ser satisfeita (BARABÁSI, 1995), onde DT é a dimensão topológica.

É importante salientar que nem sempre um modelo explica um fenômeno, às vezes o modelo apenas o cararacteriza. Este é o caso dos fractais; em geral, a

dimensão fractal é um parâmetro utilizado para caracterização de um sistema, por exemplo, o crescimento de superfícies (BARABÁSI, 1995). Na maioria dos casos, essa caracterização do sistema não explica os processos ou mecanismos que regem o desenvolvimento de um dado fenômeno da natureza.

## Metodologia do estudo exploratório

- O levantamento foi realizado em uma escola pública estadual de Belo Horizonte, Minas Gerais. Optamos por um questionário com perguntas abertas, pois acreditamos que este estimula respostas baseadas nas reais percepções dos alunos. Por outro lado, questões de múltipla escolha, em geral, restringem e direcionam as respostas.

Com o intuito de propiciar comparações, de acordo com a pré -suposiçição de que haja evolução no nível de maturidade e senso crítico com o passar dos anos, aplicamos o questionário a uma turma de cada série do Ensino Médio. Foram 23 alunos do 1º ano, 25 do 2º ano e 24 do 3º ano, totalizando 72 alunos - - uma amostra que julgamos de tamanho razoável. As turmas são do turno diurno.

Este levantamento foi realizado no final do mês de setembro de 2008, momento que julgamos oportuno, pois permitiu que os alunos do 1º ano tivessem u um contato mínimo com o conteúdo deste nível de ensino.

- O questionário consistiu das cinco questões abaixo:
- 01) Você percebe alguma relação entre a Física e alguma outra disciplina que estuda ou estudou? Cite.
- 02) Caso tenha respondido "sim" na questão 01, explique qual é a relação que você percebe entre a Física e cada disciplina citada.
- 03) O que você entende por modelos?
- 04) Você já ouviu falar algo sobre fractais?

[Se sim] Onde? O que você entende por fractais? Em que os fractais podem ser aplicados? O que essa palavra significa para você?

[Se não] O que vem à sua mente quando você pensa no termo "fractal"?

- 05) Com base em suas respostas à questão 04, cite com quais disciplinas o assunto "fractais" poderia estar relacionado. Explique.

## Análise dos resultados

A seguir apresentamos a análise das respostas dadas a a cada pergunta constituinte do questionário. Alguns alunos identificaram seus nomes no cabeçalho do questionário, no entanto, não faremos distinção entre o masculino e feminino, nos referindo simplesmente ao "aluno". As citações dos alunos serãrão expostas exatamente como responderam no questionário.

## Primeira Questão: relação entre a Física e outras disciplinas

Nesta questão objetivamos identificar as concepções espontâneas dos alunos quando remetidos a relacionar a Física com alguma outra disciplina. O questionário aberto desempenhou papel fundamental para tal finalidade, pois instigou o aluno a refletir sobre cada disciplina que estuda ou estudou , e identificar as respectivas relações que notam com a Física.

No Gráfico 1 estão relacionadas todas as disciplinas mencionadas nas respostas , com suas respectivas freqüências percentuais de citações em cada série. Verificamos que o percentual dos alunos de cada série que responderam "Sim" (afirmaram perceber alguma relação entre a Física e alguma outra d disciplina) foi em média 80%.

Gráfico 01: Frequência das respostas dos alunos em relação a todas a as disciplinas citadas

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Podemos observar que a Matemática foi a disciplina mais citada pelos alunos (média de 85%), seguida da Química (média de 42%), Biologia ia (média de 10%), Geografia, História e Filosofia (cada uma com média de 5% de citações). Na Segunda Questão veremos as justificativas e explicações dessas citações.

Também podemos notar pelo gráfico , que os alunos do 3º ano fizeram referências a uma maior quantidade de disciplinas (citaram 05 disciplinas), seguidos dos alunos do 2º ano (04 disciplinas) e do 1º ano (somente 02 disciplinas). Este é um fato que se poderia esperar, já que os alunos das últimas séries tiveram maior tempo de contato com as disc iplinas do ensino médio do que os das outras, o que poderia proporcionar uma melhor assimilação entre as matérias - - dissemos " poderia" pois, como veremos na análise da Segunda Questão, as justificativas dos alunos das séries mais avançadas, em geral, não diferiram muito das outras!

No entanto observamos que , em média , a quantidade percentual de alunos que citou somente a Matemática foi a mesma em cada série - - em torno de 53%.

## Segunda Questão: explicação das relações entre a Física e as disciplinas citadas

Com essa pergunta procuramos verificar a capacidade dos alunos, que responderam "sim" à Primeira Questão, em explicar as relações entre a Física e as disciplinas citadas.

A Matemática e a Química foram as únicas disciplinas citadas pelos alunos do 1º ano, dentre os quais, 53% mencionou somente a Matemática, um aluno mencionou somente a Química e 42% citou a Matemática e a Química. Verificamos que 90% dos alunos respondentes, associaram as disciplinas Física, Matemática e Química simplesmente a "fórmulas e contas". Apenas um aluno associou a Química e a Física aos "elementos químicos" e outro "às transformações", sem mais explicações. A citação a seguir exemplifica bem o padrão das respostas:

Porque nessas matérias tem cálculos. (Aluno do 1º ano - citou Matemática e Química)

Quanto aos alunos do 2º ano, um deixou esta questão em branco apesar de ter citado "Biologia e Química" na Primeira Questão. O aluno que fez menção a História na Primeira Questão, justificou se referindo às biografias dos cientistas. Aqueles que citaram a Química, diferentemente dos alunos do 1º ano, não relacionaram esta com "fórmulas e contas". 87% dos alunos que citaram Matemática a relacionaram a meros "cálculos e fórmulas"; apenas um aluno mencionou análise de gráficos e dados em tabelas, e outro deu uma resposta que merece um destaque:

Na física utilizamos cálculos, que aprendemos em matemática, até mesmo a resolução de problemas e fórmulas é necessário o conhecimento da matemática. Em Química também falamos sobre ebulição, evaporação, condensação, solidificação, enfim, mudança de fases, matéria incluída em física. (Aluno do 2º ano - citou Matemática e Química na Primeira Questão)

Mas, em geral as respostas tiveram o seguinte sentido:

Matemática em relação aos cálculos e a Química em relação a pesquisa, reações e outros. (Aluno do 2º ano - citou Matemática e Química)

85% dos alunos do 3º ano que citaram a Matemática fizeram referência a "fórmulas, contas e números". Somente 02 alunos fizeram menção a análise de gráficos. Mas alguns alunos responderam de maneira insatisfatória, não conseguindo fazer relações de forma coerente. A resposta deste aluno exemplifica as concepções da maioria:

A relação da matemática com a Física são os números e o jeito de se resolver os problemas. (Aluno do 3º ano)

## Terceira Questão: concepção de modelo

A modelagem é ferramenta de grande importância nos estudos científicos em geral e possibilita analisar qualitativamente, quantitativamente e/ou numericamente um determinado fenômeno. Nessa questão procuramos verificar as concepções dos alunos sobre modelos. A partir destes resultados poderemos identificar r pontos passíveis de intervenção na proposta de ensino a ser apresentada.

A maioria dos alunos, independentemente do ano cursado, apresentou concepções de modelos no sentido de "algo a ser seguido", "exemplo a ser seguido" ou "regras a serem seguidas". Este sentido de "algo a ser seguido" está implícito nas respostas que fizeram menção aos desfiles de moda e ao corpo dos modelos profissionais - que são "padrões de beleza" estabelecidos pela sociedade. Como a pergunta foi feita com o o objetivo buscar concepções de "modelos" em um sentido geral, julgamos que foram boas as concepções dos alunos a respeito.

Notamos que no 2º ano foi menor o número de alunos que atribuíram um sentido adequado a "modelos". Embora um número maior de alunos do 1º ano tenha mostrado uma boa concepção a respeito, ressaltamos que nenhum deles se referiu a modelos científicos. Apenas dois alunos, um do 2º e outro do 3º ano, relacionaram a palavra "modelo" a modelos científicos usados para explicar um fenômeno.

Modelos foram propostos por cientistas, exemplo o modelo atômico, cada cientista falou sobre sua idéia da estrutura atômica. Modelo seria uma hipótese . (Aluno do 2º ano)

São teorias de cientistas que utilizamos na física. a. (Aluno do 3º ano)

Chamamos atenção especial à resposta do aluno do 2º ano. Esse é o mesmo aluno que deu aquela, única, explicação clara e concisa relacionando a Física com a Matemática e a Química, que destacamos Segunda Questãtão. Novamente notamos concepções claras e maduras desse aluno.

## Quarta Questão: o que são fractais

Esta pergunta foi elaborada no sentido de verificarmos quantos alunos conhecem o assunto em questão. A pergunta foi exposta de tal modo que aquele que respondesse "sim" (já ouviu falar sobre fractais) relatasse seus conhecimentos a respeito; e procuramos identificar o que essa palavra traz à mente daquele que afirmasse nunca ter ouvido falar sobre o assunto.

Com exceção de dois alunos, todos disseram nunca ter ouvido falar sobre fractais. Verificamos que, em média, 60% dos alunos deixaram a questão em branco (apesar de terem marcado "Não") ou afirmaram não saber o que essa palavra lhes trazia à mente. Foram poucos os alunos que associaram a palavra fractais aos termos "fração" e/ou "quebrado" e/ou "fragmento" - sendo dois alunos do 1º ano, quatro do 2º ano e quatro do 3º ano.

Apenas dois alunos, do 3º ano, disseram ter ouvido falar sobre fractais. Entretanto, um afirmou não se lembrar onde ouviu falar sobre fractatais e não sabia o que era; e o outro apresentou uma concepção razoável do assunto, dizendo que ouviu falar sobre eles na escola, e que "são fragmentos de figuras que juntas formam uma só figura".

Fato importante a ser destacado é que, apesar de uma questão o da prova do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) abordar o tema "fractais", mais de 90% dos alunos do 3º ano afirmaram não ter ouvido falar sobre o assunto! Lembramos o leitor que o questionário em análise foi aplicado menos de um mês após a realização da prova do Enem. Constatamos de forma indireta, não exposta no questionário, que aproximadamente 95% dos alunos desta turma fizeram a prova em questão.

## Quinta Questão: quais disciplinas estão relacionadas com o termo fractais

Com base nas respostas da Quarta Questão , os alunos deveriam citar e explicar quais disciplinas estariam relacionadas com o termo "fractais".

Verificamos que 78% dos alunos do 1º ano deixaram esta questão em branco ou afirmaram não saber responder. Apesar de o restante citar disciplinas

como Física, Química, Biologia e Matemática, somente um aluno, que associou o significado do termo à "fração", associou c consistentemente "fractais" à Matemática.

Os alunos do 2º ano que não souberam responder ou deixaram em branco totalizaram em 74%. Aqueles 16% que na Quarta Questão associaram a palavra fractais a "fragmentos" ou "frações" citou a Matemática nesta questão, no entanto, somente um explicou a lógica dessa suposição:

Matemática e física, pois fragmentos me faz lembrar algo dividido, fracionado, logo, lembro de fração e as matérias que mais envolvem elas são elas. (Aluno do 2º ano)

63% dos alunos do 3º ano deixaram esta questão em branco ou não souberam responder. Em 21% das respostas estavam as disciplinas Física e Matemática, mas mesmo aqueles que relacionaram "fractais" a "fragmentos" ou "frações", na Quarta Questão, não justificaram a resposta.

- O desempenho dos alunos nesta questão foi consistente com o resultado obtido na questão anterior, pois a maioria afirmou nunca ter ouvido falar sobre re fractais e seria difícil conseguir relacionar algo desconhecido com as disciplinas estudadas .

## Proposta de ensino

Elaboramos uma a proposta didática a de ensino, com duração de 50 minutos, para uma abordagem introdutória do conceito de fractais no Ensino Médio, tendo como base a análise das respostas dos alunos ao questionário aplicado. A proposta está representada esquematicamente nas etapas descritas no Quadro 1.

Quadro 1: Proposta didática d de ensino para introdução do conceito de Fractais

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Um recurso didático fundamental para a atividade proposta é o projetor de multimídia, pois o utilizaremos para apresentar o assunto por meio de slides e também para desfrutarmos dos bons recursos gráficos proporcionados pelo s 1 software livre GNU XaoS 1 .

Na 1ª Etapa da proposta será discutida a importância da modelagem nas Ciências através de exemplos dos modelos de crescimento de Malthus e Linnaeus. A discussão des tes modelos simples contribuirá para esclarecer r as concepções de "modelos" dos alunos, enfatizando a importância e os aspectos da modelagem científica.

A análise das respostas nos mostrou que apenas um aluno do 3º ano conhecia o assunto "fractais". Assim, com a concepção de "modelos" abordada na 1ª Etapa, apresentaremos na 2ª Etapa algumas foformas na natureza que não são bem descritas pela geometria euclidiana e discutiremos a necessidade de se elaborar um novo modelo, a Geometria Fractal.

Na 3ª Etapa apresentaremos alguns exemplos de fractais reais do cotidiano, exibindo -o -os através de fotos, a fim de possibilitar uma contextualização do assunto.

Serão apresentados na 4ª Etapa alguns modelos que geram objetos fractais ideais. Para isso, utilizaremos o software GNU XaoS, que possibilita uma boa visualização das características de auto-semelhança e invariância sob redução de escala destes objetos.

Na 5ª Etapa apresentamos os conceitos da técnica de box -c-counting e propomos aos alunos uma atividade prática para medida aproximada da dimensão fractal do mapa de Minas Gerais utilizando essa técnica (PEITGEN, 1992), o que proporcionaria uma visão mais abrangente de inter-relação entre a Física e a Geografia - disciplina que foi associada à Física somente por um aluno no questionário prévio. Uma análise gráfica das medidas feitas, , em uma escala log-log , será realizada para a determinação da dimensão fractal do mapa; as relações entre a Matemática e a Física são reforçadas aqui, porém, procuraremos atribuir uma significação e um sentido a cada etapa do processo desta atividade, como a transposição da distrtribuição de potência das medidas para a forma logarítmica. Este ajuste propicia uma linearização dos pontos das medidas, o que nos permite medir a

dimensão de fractal do mapa, que é justamente a inclinação da reta. Desta maneira, propiciaremos uma discussão do papel da Matemática dentro da Física, reforçando a importância da análise dos dados.

Pretendemos ampliar as conexões entre a Física e outras disciplinas na 6ª Etapa. Para isso, mostraremos alguns exemplos de aplicações de fractais em Biologia, como caracterização de um tumor em benigno ou cancerígeno por meio da análise de sua dimensão fractal; Geografia, na caracterização e medida de linhas costeiras; Sistemas de Telecomunicações, como o uso de "antenas fractais" e Arquitetura, Urbanismo e Arte, atravévés de algumas fotos e imagens mostrando formas de construções e quadros inspirados em modelos fractais.

## Considerações finais

Neste trabalho apresentamos um estudo exploratório das concepções dos alunos do Ensino Médio acerca das possíveis relações que eles percebem entre a Física e as outras disciplinas. Em concordância com outros levantamentos feitos anteriormente, constatamos uma incapacidade dos alunos em relacionar a Física com as outras disciplinas. Independentemente da série, a grande maioria dos alunos do ensino médio não consegue perceber reais e concretas relações entre os métodos utilizados na Física que são partilhados com várias outras áreas do conhecimento.

Com base nos resultados obtidos por este levantamento, elaboramos uma proposta de ensino o para introdução do conceito de fractais no Ensino Médio. Objetivamos introduzir este conceito na sala de aula a fim de possibilitar aos alunos uma real percepção de inter-relação entre métodos utilizados em Física que também se fazem ferramentas importantes em outras áreas de conhecimento, em coerência e concordância com as recomendações de um ensino contextualizado, articulado e de forma multidisciplinar dos Parâmetros Curriculares Nacionais.

- O leque de possibilidades de aplicações da teoria e propriedades dos fractais, que vão desde a caracterização de sistemas biológicos (MURRAY, 2004), passando pela Geografia, Artes, Sistemas de Telecomunicação e Computação Gráfica (PEITGEN, 1992) , até caracterização de sistemas dinâmicos não-lineares (FIEDLER-FERRARA, 1994), permite adaptações e abordagens apropriadas, assim como a que propomos neste trabalho, para uma transposição do conhecimento e técnicas de uma área para outra, transcendendo os "limites" das diversas áreas do saber. Atribuímos, assim, grande importâtância à teoria dos fractais como ferramenta valiosa que permite, ao que recomenda os PCN's, um ensino contextualizado e articulado, de caráter multidisciplinar, que possibilite um conhecimento científico desfragmentado e abrangente.

Os resultados dessa proposta de ensino, bem como do estudo exploratório realizado, farão parte da monografia, em desenvolvimento, a ser apresentada pelo primeiro autor para obtenção do grau de Licenciado em Física.

## Agradecimentos

Os autores agradecem ao PROBIC (Programa de Bolsas de Iniciação Científica da PUC -Minas) pelo apoio financeiro.

## Referências

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