MONTAGEM DE UM EQUIPAMENTO DE BAIXO CUSTO PARA GERAÇÃO DE FIGURAS DE LISSAJOUS

## MONTAGEM DE UM EQUIPAMENTO DE BAIXO CUSTO PARA GERAÇÃO DE FIGURAS DE LISSAJOUS

*Jorge Alberto Lenz 1 , Edward Kavanagh 2 , Rodrigo Ricetti 1

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UTFPR/DAFIS/Campus de Curitiba, lenz@utfpr.edu.br 2 UTFPR/C/COENG/Campus de Medianeira, kavanagh@h@utfpr.edu.br

## Resumo

Neste trabalho, apresentamos um método alternativo para a geração das figuras de Lissajous. Elas são geradas a partir da incidência de um fino feixe de luz sobre um espelho e refletida neste incide sobre outro espelho cada qual conectado excentricamente aos eixos de dois pequenos motores de corrente contínua. Um dos espelhos vibra segundo um plano na horizontal enquanto o outro vibra segundo um plano na vertical. A taxa de vibração de cada espelho é alcançada através do ajuste do potenciômetro que controla individualmente a corrente elétrica em cada motor. A imagem das figuras de Lissajous é projetada num anteparo, que pode ser uma ma parede, e o efeito da visualização ocorre por persistência retiniana. Elas são interessantes para o estudo do movimento ondulatótório, pois servem para determinar a relação existente entre as freqüências de dois movimentos harmônicos simples coplanares entre si quando forem superpostos em direções perpendiculares. Há na literatura diversos métodos para a confecção de tais figuras, sendo o mais difundido aquele em m que se utiliza um osciloscópio . Há também disponível l na internet diversos s aplicativos onde é possível interagir com o computador e alterar as variáveis, tais como freqüências e defasagens, e com isso, gerar as figuras requeriridas. Algumas das vantagens oferecidas e que se levou em consideração no momento de sua concepção era de que o equipamento oferecesse praticidade, ou seja, poderia ser levado para qualquer ambiente desde que neste local esteja disponível rede elétrica. Outrtro item a destacar, era o de que em sua construção fosse utilizados materiais de baixo custo ou com materiais provenientes de instrumentos obsoletos. Independente de como foram originadas, as figuras geradas apresentam interessantes conformidades além da beleza.

Palavras -chave: Figuras de Lissajous, experimento de baixo custo.

## Introdução

A A geração das figuras com movimento naturalmente sempre despertaram o interesse nas pessoasas. As figuras de Lissajous por suas características são visualmente atraentes e do ponto de vista físico muito elegantes. Como conseqüência, vem o espírito investigativo de como elas foram geradas. Olhando-as atentamente, essas figuras tomam formas variadas em questão de segundos. A cada novo enlace das linhas surge outra forma e assim por diante. Elas pertencem a uma família de curvas que se formam quando um ponto efetua, simultaneamente, dois movimentos harmônicos simples. São descritas pelas equações paramétricas x x(t) = A sen (at) e y(t) = B cos (bt) , em que A e B são duas constantes que fixam as amplitudes dos dois movimentos harmônicos, a e b b outras constantes que fixam as freqüências destes movimentos e t t é o parâmetro temporal da família. Porém, é importante evidenciar que as curvas são especialmente elegantes e bonitas quando a a e b b são múltiplos entre si.

http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/

26 a 30 de Janeiro de 2009

Essas figuras foram estudadas nos anos 1857 e 1858 por um físico francês chamado Antoine Jules Lissajous (1822-1880) ) usando um reservatório com areia que , preso a um suporte através de cordas (pêndulo bifilar) oscilava e depositava , assim , a areia sobre uma superfície horizontal l formando figuras as quais lhe chamaram a atenção .

Projetos para obtenção de tais figuras encaixam-se muito bem no estudo do movimento ondulatório, pois servem para determinar a relação existente entre as freqüências de dois movimentos harmônicos simples coplanares entre si quando forem superpostos em direções perpendiculares .

Há na literatura diversas maneiras de se conseguir tais figuras, sendo que entre elas podemos destacar as que se conseguem utilizanando-se um harmonógrafo (movimentos pendulares bifilares) 1 , num osciloscópio de raios catódicos 2 , com espelhos presos em diapasões 2 , com espelhos colados no centro de dois alto-falantes 3 ou ainda com dois espelhos presos cada um ao eixo de motores girando s olidários aos eixos 4 .

Hoje em dia, com o advento de novas tecnologias, entre as quais o uso do computador, r, o qual permite acessar r informações as vezes em tempo real , é bastante difundida a técnica de se interagir através de um aplicativo para simulações, com alguém interessado em gerar as figuras de Lissajous e ver suas conformidades quando este passa a alterar as possíveis relações entre as freqüências angulares dos dois movimentos coplanares . Há de se destacar algumas discrepâncias entre as figuras geradas as por computação algébrica e as existentes na literatura 5 .

## Montagem Experimental

Todo o conjunto foi montado sobre uma base de madeira de dimensões de 40 cm x 25 cm x 2 cm. A figura 01 ilustra a imagem do equipamento vista de cima. Optamos pela montagem do conjunto com todos os componentes expostos, a fim de permitir a visualização do mecanismo de oscilação, bem como dos circuitos elétricos, para melhor compreensão do fenômeno físico envolvido. Porém, para oferecer alguma proteção durante o transporte do equipamento, a base de maneira pode eventualmente ser fechada com outras chapas, ou mesmo ser envolvida por uma caixa plástica facilmente encontrada em lojas de material eletrônico, comumente chamada de Patola.

Para que este que este experimento possa ser r reproduzido por docentes ou mesmo entusiastas, escolhemos como fonte de luz um laser de diodo. Seu baixo custo (em torno de R$ 5,00) e praticidade foram levados em consideração no momento da escolha. Para que o feixe funcione de modo contínuo sugerimos que se utilize uma fita adesiva ou um grampo sobre a chave .

Os dois motores são alimentados com 12 V CC. Para que o equipamento possa ser ligado à rede doméstica de energia elétrica conectamos um transformador com entrada de alimentação de 127 -220 V com redução para 12 V CA. Uma ponte retificadora de onda completa transforma a corrente alternada para contínua. No circuito do transformador foi colocada uma chave liga-desliga (S1) e uma chave bipolar que permite ao equipamento operar em 127 V ou 220 V. O equipamento é dotado ainda de um LED (D2) indicativo de que está energizado. A este LED foram conectados em série um diodo 1N 4004 (D2), que funciona como retificador de meia onda e um resistor de 1kO kO e 5W (R3) que tem a função de limitar a corrente sobre D2 evitando que este seja danificado.

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A figura 02 ilustra o circuito elétrico com os componentes eletrônicos presentes na montagem do equipamento para a geração das figuras de Lissajous.

Figura 01: I Imagem do equipamento visto de cima

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O controle da velocidade de rotação é obtido utilizando-s-se dois potenciômetros de resistência elétrica máxima de 200 O cada. A fim de que , ao ligarmos o circuito o motor não entrasse subitamente em rotação, introduzimos na saída de alimentação de cada um deles resistores de 22 O e 1 W (R1 e R2) . Uma alternativa para estas ligações elétricas seria instalar motores que funcionassem c com tensões es menores, tais como de 6 V ou 9 V, para que se possa utilizar baterias com estas tensões e tornar este equipamento ainda mais portátil.

Os espelhos, nos quais o feixe luminoso sofre d duas reflexões consecutivas, foram cortados no formato q quadrado de 2 cm por 2 cm.

Para que as figuras geradas sejam efetivamente caracterizadas como figuras de Lissajous, é necessário que os espelhos vibrem com ângulos de abertura iguais. Desta forma, haverá simetria nas dimensões da figura em relação aos dois eixos de oscilação. O O ajuste pode ser alcançado através da regulagem do comprimento das hastes que fazem a ligação do eixo do motor com a plaquinha metálica que fica colada na parte trazeira do espelho. Estas hastes são constituídas de fios elétricos rígidos de 1 milímetro de diâmetro. Nestas hastes, apenas o fio de cobre é partido ao meio, de tal maneira que o mesmo possa ser ajustado a qualquer distância no interior da capa polimérica, ou seja, o cabo "desliza" no interior da capa até que a distância almejada seja alcançada. Desta maneira, através do controle do comprimento destas hastes os espelhos vibrarão com ângulos aproximadamente iguais. O controle final é feito observando-se a conformidade na geração das figuras, principalmente as de formato circular, ou seja, alcançada com as

mesmas freqüências angulares dos motores porém, com uma defasagem de p/2 radianos.

Figura 02: E Esquema elétrico com os componentes que formam o equipamento.

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A figura 03 mostra imagens isoladas dos aparatos que constituem a parte óptica do equipamento, ou seja, as montagens utilizadas para posicionar cada espelho nas configurações em que cada um possa vibrar em planos com o eixo de rotação um na vertical e o outro na horizontal. Vale ressaltar que alguns itens que fazem parte deste equipamento foram obtidos aproveitando-o-se peças da desmontagem de aparelhos obsoletos . Sugerimos como um método alternativo à substituiç ão dos eixos rotativos a utilização de dobradiças presas as cada uma a uma pequena placa de acrílico e esta colada a parte posterior do do espelho. . Estas dobradiças não deverão possuir muita folga, de tal maneira que a figura não s seja projetada de forma " tremida " .

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Figura 03: Configurações de posicionamento de cada espelho para a reflexão

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Para tornar mais clara o procedimento de montagem do eixo que conecta o motor à parte traseira do espelho, mostramos nas figuras 0 04 e 05, desenhos esquemáticos que possam permitir uma ilustração o do que já foi exposto acima . Para se transmitir aos espelhos a vibração necessária, os eixos (hastes) são conectados a um elemento excêntrico solidário ao eixo do o motor.

Figura 0 04: Desenho esquemático m mostrando as conexões entre o eixo excêntrico que vem m do motor r (círculo preto) e o espelho (a (a esquerda) .

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Figura 0 05: Desenho esquemático mostrando como se consegue a e excentricidade necessária para que se o obtenha a vibração do espelho .

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Com o feixe de luz em modo contínuo e com uma das mãos em cada potenciômetro controla-s-se a velocidade de rotação e assim a freqüência angular de cada um dos motores , observando -se a formação das figuras num anteparo. Na figura 06 mostramos um conjunto de curvas, chamadas de "cela de cavalo" onde a freqüência de vibração de um espelho equivale ao dobro da do outro com diferenças de fase inicial de vários valores. E, na figura 07 uma imagem com o dispositivo em funcionamento gerando tal f figura de Lissajous projetada na parede . Vale lembrara que as f freqüências trabalhadas com este equipamento não foram medidas diretamente com instrumentos apropriados, porém estimamos que os limites mínimo e máximo deste equipamento devesse estar entre 6 Hz e 25 Hz, uma vez que os motores elétricos trabalhando sem carga proporcionam rotação máxima de aproximadamente 40 Hz, conforme especificação do fabricante,

Figura 0 06:Figuras de Lissajous para f freqüência de vibração de um espelho igual ao dobro da freqüência do outro , com várias diferenças de fase inicial6 l6 .

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Figura 0 07: Equipamento em funcionamento com a imagem m (destacada pelo retângulo) da figura projetada na parede .

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## Conclusão

Apresentamos a montagem de um equipamento de movimento harmônico o qual desperta a atenção dos estudantes interessados em aplicações das teorias aprendidas em sala de aula . O instrumento apresenta um baixo custo na sua montagem, sendo que parte das peças e dispositivos eletrônicos utilizados foram retirados de equipamentos obsoletos tais como impressoras, plotadoras, etc. Os diodos foram os únicos materiais comprados. O transformador, que estava danificado, foi desmontado e um novo enrolamento foi efetuado especialmente para esta finalidade.

O equipamento, por seu volume e peso, pode ser transladado para qualquer lugar onde se pretenda colocá-á-lo em funcionamento bastando para isso que haja a possibilidade de ligá-lo a uma rede de energia elétrica convencional, no caso, 127 V ou 220 V e um anteparo disponível para a sua projeção. . As figuras projetadas são aquelas tradicionalmente apresentadas na literatura, possibilitando a comprovação experimental do formalismo teórico e matemático normalmente apresentado em sala de aula.

26 a 30 de Janeiro de 2009

## Referências

- 1. MARLETTA, Alexandre; FERREIRA, João V. B.; GUIMARÃES, Francisco E. G. Pêndulo Bifilar e as Figuras de Lissajous . R Rev ista Brasileira de Ensino de Física, a, v. 22 , n. 4, 572 - - 576, dezembro, 2000.
- 2 . Berkeley Physics Laboratory, Part A Experiment .
- 3 . NETTO, Luiz Ferraz . Figuras de Lissajous e em 3 Dimensões. Disponível em: http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10\_07.asp Acesso em 0 05 ago. 2008. 4. RATHJEN, Don. L Laser Lissajous. Disponível em:
- www.exo.net/~donr/activities/laser\_Lissajous.pdf f Acesso em 10 ago. 2008.
- 5 . A ANDRADE , D.; CAMPOS, M. de . Análise do processo cognitivo na construção das figuras de Lissajous . Revista Bras ileira de Ensino de Físísica, v. 27, n. 4, p. 587 -591, dezembro, 2005 .
- 6. FRENCH, A. P. Vibrations and Waves. New York: W. W Norton &amp; Company, Inc., 1971.