UMA PROPOSTA DE UTILIZAÇÃO DA ACÚSTICA MUSICAL NO ENSINO DE FÍSICA

## UMA PROPOSTA DE UTILIZAÇÃO DA A ACÚSTICA M MUSICAL NO ENSINO DE FÍFÍSICA

Monique Osório Talarico da Conceição
b a [monique.osorio@gmail.com] Maria Lúcia Netto Grillo b [mluciag@uerj.br] Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptistac ac [afisicanamusica@gmail.com] Vanessa Rodrigues da Conceição d [vanessavrc@gmail.com] Júlia de Figueiredo Gschwend e [juliagschwend@hotmail.com]

a, b, c, d, e Universidade do Estado do Rio de Janeiro/Departamento de Eletrônica Quântica

## RESESUMO

Uma grande dificuldade enfrentada por professores de Ciências e de Física, é a falta de motivação de seus alunos, para quem a disciplina parece muito distante do cotidiano. Uma opção para contornar esse problema é a utilização de exemplos e atividades relacionadas com os interesses dos estudantes. Nesse sentido, a Música pode ser um importante aliado do professor na busca por motivação. Além disso, uma vez que a música é normalmente apreciada pela maioria das pessoas, a relação entre a Música e a Física pode sempre ser facilmente utilizada, com qualquer tipo de público, para despertar o interesse pela Ciência e divulgar muitos de seus fundamentos.

Usando a interdisciplinaridade Física-M-Música, abordamos conceitos relacionados à Física Ondulatória, como a reflexão, a interferência e outros que poderiam ser associados à à geração e propagação do som por instrumentos musicais. Além disto, exploramos conceitos de teoria musical que podem ser explicados a partir da Física e da Matemática, como altura, intensidade, timbre e duração, que são relacionados, respectivamente, à freqüência, amplitude, superposição de ondas (diferentes componentes de Fourier) e tempo. Utilizamos alguns instrumentos de música para obter espectros que relacionam as freqüências de ressonância com a intensidade das ondas sonoras emitidas por eles. A partir ir desta abordagem, visamos atender tanto a alunos de graduação quanto a professores de Ensino Médio de Física, que podem utilizar este trabalho para adquirir novos conhecimentos ou aprofundá-los. Quanto aos professores, a intenção é que eles possam transpor or para os seus alunos essa abordagem interdisciplinar, no intuito de motivar, um pouco mais o interesse dos alunos pelo estudo da Física.

## FAPERJ

Palavras -chave: Acústica Musical, Ensino de Física, Ensino Médio.

## ININTRODUÇÃO

Na busca de ter mais alunos interessados em estudar Física, já que a realidade mostra que a Física é apontada pelos alunos como uma das disciplinas mais desinteressantes, projetos interdisciplinares são utilizados na tentativa de estudar a Física "escondida" por trás de assuntos que são de e interesse dos alunos ou que fazem parte do cotidiano deles.

A relação Física-Música é bastante rica no sentido de poder explorar vários conceitos importantes da Física através do estudo da música. Perguntas como: "o que diferencia cada nota musical?" podem ser facilmente respondidas depois de um estudo sobre ondas e acústica. Essas e outras perguntas muitas vezes fazem parte do interesse dos alunos. E é na busca por esse interesse que utilizamos nesse trabalho a música como o agente motivador no ensino da Física.

O professor pode motivar os alunos usando como situação-o-problema alguma música que foi ouvida no colégio (numa festa, numa apresentação de alunos, etc) e perguntar se o som estava bom, se o cantor e os músicos estavam afinados, e que instrumentos foram utilizados. Se houve algum defeito, como poderá ser eliminado? Para isso os alunos precisarão entender como os sons de cada instrumento são emitidos, quais as diferenças entre eles e como podem ser afinados. Também quanto ao cantor, como comprovar se e estava de acordo com os instrumentos. Para resolver esses problemas o professor mostrará a necessidade do conhecimento sobre a emissão e propagação dos sons e por fim poderá utilizar a espectroscopia acústica (com um programa como o GRAM 10) comparando alglguns instrumentos musicais que os alunos gostem e mostrar que os sons são diferentes, mesmo que emitam a mesma nota. Os instrumentos podem ser levados pelos próprios alunos e o professor deve encaminha-los a explicar como o som é produzido. O programa pode e ser também utilizado para comparação de sons, como propor que um aluno repita uma nota emitida por algum instrumento e comparar seus espectros. No final deste artigo propomos alguns exercícios a partir de alguns espectros obtidos.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN's - - são os norteadores oficiais de projetos voltados para o Ensino Médio, e os PCN+'s são orientações educacionais complementares e relatam ser uma das competências da disciplina Física (MEC, 2002):

compreender a Física como parte integrante da cultura contemporânea, identificando sua presença em diferentes âmbitos e setores, como por exemplo, nas manifestações artísticas ou literárias, em peças de teatro, letras de música, etc., estando atento à contribuição da ciência para a cultura humana.

Os PCN+'s propõem ainda a divisão da Física em seis temas estruturadores, que visam organizar o ensino da disciplina. Destacamos o Tema 3 - Som, imagem e informação, que possui uma unidade temática coerente com o nosso trabalho. Ela sugere que as fonontes sonoras sejam abordadas a fim de:

- -identificar objetos, sistemas e fenômenos que produzem sons para reconhecer as características que os diferenciam;
- -associar diferentes características de sons a grandezas físicas (como freqüência, intensidade, etc .) para explicar, reproduzir, avaliar ou controlar a emissão de sons por instrumentos musicais ou outros semelhantes.

Nossa proposta explora o ensino de Física em conjunto com a Música, a partir de um resumo da análise, feita normalmente na graduação de Física, dos fenômenos ondulatórios. Pretendemos abordar este conteúdo através de uma linguagem que seja vantajosa para os professores que levarão a proposta para as escolas, e também para alunos que estão no início da graduação e que tenham interesse em aprofundar o que aprenderam sobre o tema no Ensino Médio.

## ONDAS

A onda é uma perturbação qualquer sobre uma condição de equilíbrio, que se propaga de uma região do espaço para outra, no decorrer do tempo. Uma das principais características das ondas é que elas s podem transportar energia e quantidade de movimento de um local para outro sem que haja o transporte de partículas materiais, ou seja, a onda não faz o transporte de matéria (TREFIL, 2006). As ondas podem ser classificadas em eletromagnéticas ou mecânicas. Ondas luminosas e de rádio são exemplos de ondas eletromagnéticas, e ondas sonoras e aquáticas são exemplos de ondas mecânicas.

O nosso estudo foi baseado nas ondas mecânicas, de onde fazem parte as ondas sonoras e, para simplificar, foi concentrado nas ondas harmônicas (como na figura 1) que são representadas por funções mais simples como seno e cosseno, mas os princípios desenvolvidos também são válidos para as ondas com formas mais complexas.

Figura 1: Gráfico de uma onda senóide.

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## Ondas mecânicas

As ondas mecânicas são originadas por uma perturbação e se propagam através de um meio devido às propriedades elásticas deste. Estas ondas podem ser classificadas de acordo com algumas de suas características, como a direção de movimento de suas partículas (como transversais e longitudinais), número de dimensões (como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) e periodicidade (neste caso a onda será periódica ou simplesmente um pulso).

Ao tocar um violão, a onda que se propaga pela corda é um exemplo de onda transversal. Mas as as ondas sonoras são exemplos de ondas longitudinais. Abaixo, na figura 2, podemos ver um tipo de onda longitudinal, que representa o movimento de um conjunto de esferas, ao se aplicar uma força em uma das esferas. Com isso cria -se um deslocamento na direção da força aplicada que se propaga por todas as esferas:

Figura 2: Propagação longitudinal de um movimento gerado por uma força.

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## Propriedades das Ondas

Qualquer tipo de onda pode ser descrito através de cinco parâmetros, sendo eles: comprimento de onda, freqüência, período, ve locidade e amplitude. A expressão mais comum da velocidade de fase v é é a relacionada ao comprimento de onda e freqüência. O comprimento de onda é igual a ? e o intervalo de tempo, que corresponde a cada passagem de um ? em qualquer ponto, é igual a t. Sabebendo o quanto essa onda se deslocou e o intervalo de tempo em que ocorreu esse movimento, podemos substituir na definição de velocidade e obter uma expressão para a velocidade de propagação de uma onda em termos de ? e t:

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A equação 01 diz que a onda terá se movido um ? durante o tempo que o ponto inicial (ou qualquer outro) precisa levar para uma oscilação completa, isto é, um período t (TREFIL, 2006).

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A equação 02 é a velocidade de fase de uma onda em propagação, seja ela transversal ou longitudinal. Porém a velocidade de fase não depende efetivamente das propriedades da onda e sim das propriedades do meio.

## Superposição de Ondas

Um interessante comportamento que se observa no campo da física ondulatória é o principio da superposição de ondas, que diz que duas ou mais ondas lineares podem se combinar em um determinado ponto e o deslocamento de cada partícula neste ponto é o resultado da soma dos deslocamentos de cada onda separadamente. As ondas não perdem as suas características após essas combinações, isto explica como podemos distinguir os sons característicos de certos instrumentos musicais durante um concerto musical, onde vários instrumentos diferentes são tocados ao mesmo tempo.

Figura 3: Dois pulsos viajam em sentidos opostos ao longo de uma corda tensa. O princípio da superposição se aplica à medida que os pulslsos se movem um através do outro (RESNICK, 2003)

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Esse princípio é fisicamente possível se as duas funções de ondas que se somam forem lineares (y(y1(x,t) e y y2(x,t)))). Assim, a função resultante da soma delas é, também, uma função de onda linear que é fisicamente possível.

- O princípio da superposição surge como um aliado no estudo do movimento de ondas complexas, pois ele permite que esta análise seja feita através de uma combinação de ondas simples, o que facilita bastante esse estudo. Realmente, foi isso que o matemático francês J.Fourier (1768-1830) demonstrou, que cada movimento periódico de uma partícula poderia ser representado como uma combinação de movimentos harmônicos simples, ou seja, de que precisava apenas de ondas harmônicas simples para obter todas as formas de onda. Por exemplo, vamos descrever uma forma de onda, em um dado instante de tempo, de uma fonte de ondndas que tem comprimento ?, da seguinte forma (RESNICK, 2003):

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onde k=2p/?. Essa expressão é conhecida como série de Fourier. Para cada movimento periódico diferente os coeficientes An An n e B n n têm seus próprios valores. Por exemplo, uma onda do tipo dentede -serra pode ser representada por

<!-- formula-not-decoded -->

Se o movimento não for periódico, como o caso de um pulso, a série é substituída por uma integral - a integral de Fourier. Com isso, qualquer movimento de uma fofonte de ondas pode ser facilmente analisado por uma combinação de ondas harmônicas simples.

Fig. 4 - - Análise de Fourier de uma curva composta (a) em duas componentes senoidais. Em (b) aparece o som harmônico fundamental e em (c) o 2 o harmônico (MENEZES, 2003).

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O timbre é uma característica do som, que está diretamente ligada ao corpo sonoro que o produz. Cada corpo sonoro tem peculiaridades que o distingue dos outros. O timbre se relaciona diretamente com a composição harmônica da onda sonora, e nos permitite identificar a procedência do som. O timbre é a personalidade do som: a flauta, uma buzina, um violino e um tímpano soam bem diferentes, mesmo que emitam a mesma nota. O timbre nos permite distinguir sons com mesma altura e intensidade, mas com diferentes componentes de Fourier, isto é, superposição de ondas com freqüências múltiplas da fundamental, distribuídas com diferentes amplitudes.

Um tipo particular de superposição de ondas é a interferência. A forma da onda resultante da interferência vai depender de algumas das características das ondas ou dos pulsos, como a fase e a amplitude. Matematicamente, podemos descrever a interferência construtiva e destrutiva da seguinte forma (HETCH, 1991):

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onde 1 2 F e F são as fases iniciais das respectivas ondas.

Agora, aplicamos o princípio da superposição nas ondas y1 y1 e y2y2

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Assim, obtemos a equação y y(x,t) que representa o resultado da interferência das ondas y1(x,t) e y y2(x,t) .

Usando do a relação trigonométrica

<!-- formula-not-decoded -->

podemos reescrever a equação 06 como:

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<!-- formula-not-decoded -->

A quantidade 2Y cos(DF /2) representa a amplitude da combinação. Analisando este valor teremos uma interferência construtiva quando:

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0 Interf. construt. completa DF = Þ

E uma interferência destrutiva quando:

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180 º Amplitude zero Interferêncncia destrutiva completa DF = Þ = Þ

Figura 5: Ilustração de ondas se interferindo em fase (a), com uma diferença de fase de 180º (b) e com diferença de fase entre 0o 0o e 180 o (c) (TREFIL, 2006).

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A onda estacionária é a interferência de duas ondas que se propagam em sentidos opostos e com freqüência e amplitude iguais. Esta onda tem a sua formação caracterizada por nós e ventres (ou antinós). Os nós são os pontos onde o deslocamento é nulo em qualquer instante de tempo. Entre dois nós existem os ventres, onde as partículas oscilam com amplitude máxima. Matematicamente, podemos representar uma onda estacionária da seguinte te forma:

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onde: ( , ) ( ) e ( , ) ( ) 1 y 2 1 y x t = y m sen kx -wt y x t = y m sen kx+ wt .

Usando a relação trigonométrica da equação 07, podemos reescrever a equação 09 como:

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onde a quantidade que está entre colchetes é a amplitude da onda da estacionária.

Analisando a equação 10, vemos que qualquer partícula, independente da sua posição no eixo x, é submetida ao movimento harmônico simples (MHS) e que todas as partículas vibram com a mesma freqüência angular ? . Diferentemente das ondas em propagação, a amplitude de vibração das partículas das ondas estacionárias não depende do instante de tempo em que ela está sendo

analisada, e sim, varia de acordo com a localização x x de cada partícula. Com isso a amplitude [2y senknkx] x] m terá valor máximo igual a 2y m m e valor mínimo igual à zero.

As ondas estacionárias são de grande importância na produção de sons em instrumentos musicais acústicos. São geradas ondas estacionárias em cordas dos instrumentos como violão ou violino, em objetos bidimensioionais ou tridimensionais, nos instrumentos de percussão, como pratos ou tarol, ou ainda em tubos ocos nos instrumentos de sopro, como a flauta e o órgão (TREFIL, 2006).

## As ondas sonoras e os instrumentos musicais

As ondas sonoras no ar são ondas de pressão, pois, ao se propagarem, elas causam uma perturbação de compressão e descompressão das partículas, ocasionando uma diferença de pressão ao longo da propagação da onda. É importante lembrar que as partículas não se propagam, elas oscilam em torno de suas posições de equilíbrio, apenas a perturbação é propagada. A produção do som, pela voz ou por um instrumento musical, é realizada pela transmissão de uma onda, gerada por um sistema vibrante, através de um meio até o observador (ou ouvinte). A natureza dos sons vai depender das características do sistema vibrante.

Como foi dito anteriormente, uma onda pode ser representada pela soma de diversas ondas individuais, as quais chamamos de componentes de Fourier. A partir desta combinação são formadas as ondas sononoras, ou seja, os sons. Assim, um som, mesmo sendo de uma única nota musical, é o resultado da superposição de diversas ondas sonoras. Isto ocorre porque qualquer objeto ou corpo sólido possui moléculas que têm uma certa vibração natural, isto é, uma freqüência característica. Deste modo, ao ser posto em vibração, é criada no corpo uma combinação das freqüências de todos os átomos, formando um padrão de vibração, também, chamado de timbre, que é intrínseco a este corpo. Com isso, a maioria dos instrumentos musicais tem um grande número de freqüências naturais de vibração, para que seja possível emitir diversas notas musicais. Assim, representamos um som de forma bem simples, como:

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onde cada f fn fn representa uma freqüência ia posta em vibração. Se as freqüências forem múltiplas da primeira freqüência, chamada de freqüência fundamental, dizemos que o som produzido é harmônico e as freqüências múltiplas são os harmônicos. O primeiro termo é chamado de harmônico de ordem 0 (zero) o) ou fundamental, o segundo, de harmônico de primeira ordem, e assim, sucessivamente. É esta a principal diferença entre um ruído e uma música, pois os ruídos, geralmente, não são sons harmônicos.

Partindo deste conceito, ao ser gerada uma perturbação num instrumento, as partículas deste meio vão vibrar de acordo com a freqüência da perturbação, produzindo um som formado de diversas ondas sonoras superpostas. Contudo, o nome do som, isto é, da nota musical é dado de acordo com a freqüência fundamental. Para criar um som contínuo, como o que é produzido por um instrumento musical ou pela voz humana, é necessário que a onda sonora criada seja estacionária. Em diferentes instrumentos as ondas estacionárias são geradas de diversas formas.

Os instrumentos musica is tradicionais acústicos (não eletrônicos) podem ser divididos em três grupos. Esta classificação é feita de acordo com o tipo de meio utilizado para a propagação da onda, entretanto cada instrumento vai possuir seu próprio timbre. O primeiro grupo compreende os instrumentos de cordas vibrantes, onde as ondas estacionárias são geradas em cordas esticadas. São

exemplos desse grupo o violão e o violoncelo. O segundo, abrange os instrumentos de percussão, onde as ondas são geradas por objetos bidimensionais como membranas (ex.: tarol e tímpano) ou tridimensionais como blocos de madeira (ex.: marimba e xilofone). E o terceiro é formado por instrumentos de sopro, nos quais as ondas são geradas por colunas de ar vibrante, como a flauta, o trompete e o trombone (TREFIL, 2006).

## Vibrações Complexas e Seus Espectros

Anteriormente, consideramos que os sistemas de vibração poderiam vibrar em vários modos diferentes. E para cada caso é relacionado a uma freqüência diferente e, portanto, um modo de vibração pode ser excitado individualmente por algum tipo de perturbação relacionado a uma certa freqüência. Entretanto, é mais comum quando um sistema de vibração entra em ressonância, que os vários modos sejam perturbados simultaneamente. A descrição deste movimento vibraciona l é bastante difícil, pois é necessário saber a amplitude (ou intensidade) e a freqüência de cada modo de vibração perturbado. A obtenção deste resultado é feita através da análise do espectro da vibração (ROSSING, 1990).

O espectro de uma vibração indica quais freqüências entraram em ressonância e com que intensidade cada uma vibrou. Esta análise de espectros é também chamada de análise de Fourier, onde cada uma destas freqüências perturbadas pode ser representada como componentes de uma série de Fourier. É o espectro de um som que representa o timbre de cada instrumento musical. Quanto maior o número de freqüências em ressonância, mais rico é o som, porém se as freqüências não forem múltiplas da fundamental (primeiro pico de freqüência), o som não será harmônico, podendo ser considerado um ruído.

Obtivemos alguns espectros de instrumentos clássicos (não eletrônicos) com a ajuda de um programa de computador chamado GRAM 10 (pode-se usar também outro semelhante). Estas experiências podem ser facilmente realizadas nas escolas, bastando ter disponível um computador com o programa apropriado, que pode ser obtido pela internet. Quanto aos instrumentos, os próprios alunos poderão levar para as experiências ou mesmo realizá-las em casa.

Fig. 6 - Espectro do ré 3 no violino, com freqüência fundamental 293,6 Hz

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Fig. 7 - Espectro de um som emitido por um tarol, onde muitas freqüências são ativadas

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Fig. 8 - Espectro do ré 3 na flauta transversa com freqüência fundamental 293,6 Hz

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## RESESULTADOS E CONCLUSÕES

Através desses espectros podemos visualizar as freqüências presentes, ao ser emitida uma determinada nota. A freqüência fundamental é a que dá o nome à nota. O timbre é determinado pelo conjunto de sobretons presentes, com diferentes intensidades. Por estes espectros podemos comparar os diferentes instrumentos. Alguns instrumentos de corda, como o violão e o violino (fig. 6), apresentam grande número de sobretons e comparando os dois vemos que o violino possui um som mais rico, com maior número de sobretons. O tarol ol (fig. 7) não possui uma freqüência fundamental e harmônicos superiores, como o violão e o violino, ao contrário aparecem muitas freqüências ao mesmo tempo, o que o caracteriza como instrumento não harmônico. A comparação entre a flauta doce e a flauta transversa (fig. 8) é semelhante a do violão e violino. A flauta doce possui menos harmônicos que a flauta transversa, mas a trompa possui mais harmônicos com intensidades relativas maiores, ou seja, seu som é muito mais rico.

Essas e outras observações podem ser deixadas como exercício. Sugerimos algumas considerações que fizemos com os alunos: medir as freqüências presentes no espectro (fundamental e sobretons); comparar as freqüências presentes, ver se são múltiplas da fundamental e o que isso representa; verificar se o instrumento estava afinado (neste caso será necessário consultar uma tabela de freqüências, da escala temperada de preferência); tentar repetir a freqüência fundamental com a própria voz e verificar se é uma pessoa afinada; comparar diferentetes instrumentos.

Outra observação que fizemos através desses espectros, que são uma "fotografia" do timbre, foi que este pode variar em um mesmo instrumento, mas em diferentes faixas de freqüência. Vimos também que o timbre não depende apenas do material e formato do instrumento, mas também do músico que o toca, ou seja, depende da forma de ataque da nota, da forma com que o instrumento é executado. Entre os sons harmônicos, que são os picos mais intensos, observamos picos menores que são devidos a ruídos que acompanham as notas, porém são bem menos intensos. Cada instrumento possui sua peculiaridade, como a flauta transversa que, devido ao tipo de sopro necessário para que uma nota seja emitida, sempre ouvimos a vibração do sopro (fig. 8). Essas observações podem ser feitas através da percepção auditiva de pessoas treinadas e são provadas fisicamente através da análise de Fourier, isto é, da decomposição das freqüências presentes num único som. Interessante também é calcular, através dos espectros, quais as freqüências presentes em cada espectro e mostrar que os sobretons dos instrumentos harmônicos são múltiplos da freqüência fundamental, o que já era previsto pela equação 03, da série de Fourier.

Embora o ensino da Acústica esteja previsto nos PCN's, não é um tema que receba muita atenção, tanto nas escolas quanto nas universidades. Temos observado e confirmado que a Acústica, especialmente a Acústica Musical, é realmente um instrumento capaz de motivar os alunos e permitir a abordagem de diferentes aspectos da Física. A situação-o-problema proposta na introdução poderá, após esse estudo, ser resolvida: os alunos saberão como melhorar uma apresentação musical identificando cada instrumento (através dos parâmetros dos espectros), mostrando como saber se estão afifinados, e como o som pode ser ouvido (para isso precisarão entender as oscilações, as ondas, como as ondas se propagam e como os sons interferem). Inclusive poderão avaliar se a acústica de uma sala é adequada ou não, observando se há "pontos cegos", com ininterferência destrutiva e como esses podem ser eliminados. Dessa forma as equações estudadas serão vistas como ferramentas de uma física viva.

## REFERÊNCIAS

HAZEN, R. M. Física Viva, v. 2, Rio de Janeiro: LTC, 2006.

HETCH, E. Óptica, Lisboa: Fundação Calouste Gulbekian, 1991

TREFIL, J e Hazen, R. M. Física Viva, Rio de Janeiro: LTC, 2006.

MEC (Ministério da Educação), Secretaria de Educação Média e Tecnológica (Semtec), PCN + Ensino médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 2002.

MENEZES, F., A Acústica Musical em Palavras e Sons, São Paulo: Ateliê Editorial, 2003.

ROEDERER, J. G. Introdução à Física e Psicofísica da Música, São Paulo: Edusp, 2002.

ROSSING, T. D. The Science of Sound, EUA: AddisonnWesley, 1990.

RESNICK, R., HALLIDAY, D e KRANE, K. S. Física 2, Rio de Janeiro: LTC, 2003.