ENSINO DE FÍSICA E MATEMÁTICA: DIÁLOGOS POSSÍVEIS

## ENSINO DE FÍSICA E MATEMÁTICA: DIÁLOGOS POSSÍVEIS 1

Geraldo Bull da Silva Júnior (gbulljr@bol.com.br) (PUC Minas, rede estadual do Espírito Santo)

Eliane Scheid Gazire (egazire@terra.com.br)

(Mestrado em Ensino de Ciêncncias e Matemática PUC Minas)

## RESUMO

Este trabalho apóia -se na metáfora das redes de de significações (MACHADO, 2005), que não se esgota nem se fecha em si mesma. O trabalho ainda se apóia na na idéia de pensamento complexo (MORIN 2004). O objetivo foi i buscar formas de gerar inovações no pensar e agir em Educação na área de Ciências e Matemática. Também serviram de apoio as idéias de Morin (2004) a respeito da fragmentação de saberes. Na análise dos dados f foram identificadas duas categorias de integração entre Física e Matemática no Ensino Médio. A primeira corresponde à descrição de fenômenos físicos por meio de instrumentos matemáticos. Na segunda categoria está a Matemática utilizada como instrumento para a resolução de problemas provenientes da Física . São levantadas articulações de saberes entre a Cinemática e a Função Afim, que pode ser utilizada para descrever fenômenos e resolver problemas da Física. a. O ensino de Física poderá também servir de apoio para estudos de outros conteúdos dentro da própria Matemática. Verificou-u-se possibilidade de de e estabelecer r redes entre os ensinos dessas duas Ciências como elementos articuladores de saberes, , abrindo possibilidades de ações didáticas s que não recorram à fragmentação do conhecimento nem à desvirtuação de contntextos científicos. Também é aborda do o ensino de conteúdos sob a forma de procedimentos lineares nas séries do Ensino Básico. É sugerida uma forma de utilizar a Matemática e a Física como pretexto para realizar estudos articuladores envolvendo Biologia, Filosofia, Geografia, História e Química. Ao término do estudo, , relacionamam-se algumas habilidades que poderão o ser desenvolvidas pelo estudante até o final do Ensino Médio.

PALAVRAS -CHAVE: Educação em Ciências e Matemática; Práticas; Redes de Saberes.

## 1 Introdução

Ao longo o de milênios a humanidade elaborou cada vez mais novos conhecimentos, simultaneamente causa e conseqüência de estudar diferentes fenômenos com maior profundidade. Com isso, chegou-se ao que hoje é tido como conhecimento científico. A evolução do conhecimento científico determinou o surgigimento da Biologia, da Física e da Química , Ciências que, , assim como a Matemática, também passaram por fragmentações, gerando setores especializados dentro de cada uma. Dentro do quadro de Ciências mencncionadas, a Matemática é uma organizadora de dados, além de elemento para expressão e análise dos resultados de diferentes pesquisas científicas.

A pesquisa que resultou neste trabalho aborda a possibilidade de articular temas de Física e e de Matemática, alélém de discutir algumas implicações didáticas para o Ensino Médio.

## 2 Situação do Conhecimento Científico e seu Ensino ao Fim do Século XX

Avanços significativos nas Ciências da natureza foram obtidos a partir de modelos matemáticos e, sendo assim, existe m possibilidades de ensinar Ciências articulando saberes de campos separados com o surgimento das especializações científicas, principalmente aquelas ocorridas após a segunda metade do século XIX. Ainda que a Física e a Matemática situem-se em diferentes cacampos de estudo separados pela evolução do conhecimento científico, elas guardam entre si possibilidades de articulações de saberes, como no caso do relacionamento do do estudo de Funções com a Mecânica. a.

A orientação especializada que existe na pesquisa científica também reflete na formação para o exercício do magistério, podendo levar os professores em formação a considerar saberes de diferentes campos científicos como elementos dissociados e distanciados. O trabalho especializado dos professores das diferentes Ciências no Brasil fundamentam-se em currículos fragmentados e sem ligações entre as áreas de conhecimento. A fragmentação de saberes e o grande número de tópicos de ensino fizeram com que se mantivessem intactas e praticamente intransponíveis as frontnteiras entre campos de saber excessivamente delimitados. Voltando ao exemplo do envolvimento do estudo de Funções com a Mecânica, a abordagem de ambas é realizada sem que sejam ressaltados aspectos articuladores desses temas.

A estruturação hierárquica do do ensino em disciplinas independentes, além de pouco dinâmica, não favorece a apresentação de contextos e vínculos entre diferentes temas e campos de saberes. Essa hierarquia dos currículos é fruto das idéias do Positivismo, que influenciou diretamente o trtrabalho científico e indiretamente o do professor. Sobre a hierarquia positivista, Silva (1999, p. 41) afirma que:

segundo Comte, é possível classificar todos os fenômenos segundo um pequeno número de categorias naturais [...] os fenômenos, os mais simples, são também necessariamente os mais gerais [...] é pelo estudo dos fenômenos, os mais gerais ou mais simples que se deve começar, indo progressivamente para os mais complicados ou particulares [...].

A partir das idéias positivistas, em relação ao trababalho do professor, a fragmentação que levou à disciplinarização do saber escolar também gerou a separação radical dos conteúdos de ensino das diferentes Ciências. Um exemplo desse fato ocorre no ensino de temas da Matemática necessários ao estudo das outraras Ciências. Na aula de Matemática esses temas são tratados sem a apresentação das suas articulações com outros campos científicos.

## 3 Referencial teórico, desenvolvimento do trabalho e busca dos dados

A pesquisa foi realizada tendo como principais mararcos teóricos as redes hipertextuais apresentadas por Lévy (2006) e as idéias de Morin (2004) sobre o conhecimento como elaboração complexa. As redes hipertextuais apresentadas por Lévy (2006), a princípio, indicam aspectos que favorecem a articulação de sasaberes na ação do professor de Matemática e das demais Ciências. De Machado (2005) são incluídos aspectos da articulação de saberes s e do do ensino disciplinarizado. o. Machado apresenta formas de buscar a atenuação e/ou eliminação de rígidas fronteiras entre difeferentes campos de saberes, considerando que o trabalho do professor é historicamente estruturado e hierarquicamente organizado segundo disciplinas, cujos conteúdos guardam poucos indícios de articulação.

Para Lévy (2006), as redes de significações estão em constante metamorfose e o conhecimento em contínua transformação, com diferentes temas ou objetos, podendo estabelecer novas conexões, originando outros nós nessa teia, que não pára de ser tecida. Fronteiras fixamente determinadas, como as que existem nas Ciências modernas, no conhecimento escolar e no conhecimento técnico, podem ter seus contornos revistos e assumidos como relativos a partir da visão de conhecimento elaborado segundo redes de significações. Morin (2004) considera fundamental fafazer a Educação rumamar para novos horizontes que permitam o engajamento de estudantes em estudos capazes de articular cada vez mais as disciplinas entre si, de modo a diminuir a rigidez entre as fronteiras que demarcam diferentes campos de saberes. Isso possibilitaria travessias mais suaves e aumentaria os intercâmbios entre as disciplinas. Machado (2005) apresenta fatores que dão relevância às redes de saberes e fundamentam o presente trabalho. Entre tais fatores, a elaboração do conhecimento por meio de rededes e o fato de que o cotidiano escolar está repleto de feixes de significados em permanente tessitura são aspectos relevantes apontados pelo autor.

A importância global de propor um ensino segundo redes consiste no fato de que os saberes provenientes de teorias consagradas e suas formas de elaboração podem ser modificados, exercendo influências mútuas. Quando essas modificações e influências acontecem, já não se dão dentro de campos bem delimitados, mas ocorrem de forma a relacionar as teorias existentes . Com o objetivo de buscar possibilidades de elaborar ações conjuntas para o ensino de Física e Matemática, foforam considerados alguns eixos para a pesquisa no Ensino Médio:

- 1) Possibilidades de realizar ações didáticas envolvendo, de forma complexa, a Física e a Matemática.
- 2) A verificação de maneiras de articular os temas de Física a e Matemática, apontando relações complexas entre essas duas Ciências no Ensino Médio.

Inicialmente , é necessário distinguir dois campos de atuação: o da Matemática chamada de científica e o da Educação Matemática. No campo da Matemática chamada de científica estão os matemáticos profissionais, que lidam com o conhecimento matemático, pesquisando e buscando produzir novos saberes científicos. No campo da Educação Matemática tra balham os educadores matemáticos, que buscam, entre outras coisas, novas perspectivas de ensino da Matemática. Enquanto a Matemática científica é um campo preocupado com o desenvolvimento do conhecimento matemático, a Educação Matemática possui objetos e obobjetivos de estudos próprios, relacionados às funções de ensino e de aprendizagem da Matemática, lidando com saberes matemáticos ao mesmo tempo em que se aproxima das ciências Sociais. A atuação complexa do educador matemático é vista por Fiorentini e Lorenzato (2006, p.4) como a de um indivíduo que realiza

[...] seus estudos utilizando métodos interpretativos e analíticos das ciências sociais e humanas, tendo como perspectiva o desenvolvimento do conhecimento e práticas pedagógicas que contribuam para uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor.

Embora sejam dois campos de atuação que possuem objetos e objetivos diferentes, a Educação Matemática está aberta à contribuição da Matemática científica e, ao mesmo tempo, educadores matemáticos podem atuar no meio de pesquisa dos matemáticos profissionais. Devido à complexa teia de relações entre temas de Física e Matemática, foi necessário adotar um método de pesquisa que faça, de acordo com Flick (2004, p. 21):

Dentro do panorama apontado por Fiorentini e Lorenzato (2006), que se basearam em Demo (2000) , o presente trabalho pode ser classificado como um estudo teórico, pois a sua realização teve como objetivo desenvolver um quadro de referência na busca de relações entntre a Física e a Matemática. Estas Ciências foram estudadas dentro de um quadro de possibilidades de aproximar saberes desses dois campos, por meio da busca de elementos capazes de articular as ações didáticas de professores das duas disciplinas.

Neste trtrabalho, a Física e a Matemática foram vistas como objetos de atuação do professor e instrumentos da elaboração de conhecimento do estudante no Ensino Médio. Respeitadas as peculiaridades de cada campo em questão, foram buscadas evidências de vínculos entr e a F Física a e a Matemática e, a partir dessa perspectiva, selecionados temas capazes de desenvolver competências científicas, habilidades de pesquisa e análise, além de favorecer a elaboração de instrumentos de pensamento. A figura 1, a seguir, ilustra uma forma de aproximação entre estas duas Ciências. No diagrama é apresentado um esquema de uma possível ocorrência de aproximação entre a

Matemática e a F Física. Ambas as Ciências têm suas teorias e formas de tratar as questões da própria área. A relação entre e a Matemática e a Física a dá-se pelo fato da primeira poder servir de apoio à segunda na resolução de situações durante uma pesquisa, na interpretação e na representação de resultados. A Matemática, com suas teorias e metodologias próprias, aproxima-se da Física a na elaboração de modelos capazes de solucionar problemas e interpretar situações, podendo favorecer articulações de saberes no tratamento de temas que momentaneamente sejam comuns às duas Ciências.

Fig. 1: A aproximação que pode ocorrer entre a Física e a Matemática, quando esta última serve de instrumento de análise da primeira.

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## Figura 1

Foram escolhidos temas da Física a cujos problemas são resolvidos por modelos matemáticos abordados pela Matemática do Ensino Médio. Esssses temas favorecem vencer a fragmentação do ensino dessas duas Ciências e, ao mesmo tempo, apresentam significados para conceitos matemáticos fora do seu campo de abrangência.

Os dados da pesquisa foram obtidos a partir da leitura e da análise do do livro didático de Física , na busca de temas com potencial articulador. A seleção de temas recaiu sobre aqueles que originalmente pertenceriam à Física e cujas metodologias de descrição dos fenômenos ou cujos problemas a resolver recebem tratamento matemático. Em função dessa identificação, foram fixadas duas categorias de escolha:

- 1ª) A presença da Matemática na descrição dos fenômenos físicos.
- 2ª) A utilização de conhecimento matemático na resolução de problemas oriundos da Física .

As categorias utilizadas na classifificação dos dados surgiram durante a organização e interpretação dos mesmos, sendo, portanto, tidas como emergentes, de acordo com o critério apresentado por Fiorentini e Lorenzato (2006). O tema Cinemática Escalar pertence originalmente à Física e normalmemente utiliza elementos da Matemática para a descrição de fenômenos. As As funções horárias, por exemplo, constituem-se em temas da Física com grande incidência de aplicações matemáticas para a resolução de problemas propostos.

A figura 2 a seguir apresenta o esquema da estratégia adotada para a identificação, categorização e tratamento de temas articuladores entre Física a e Matemática no Ensino Médio, desde a identificação até a formulação de sugestões para aplicações em sala de aula.

Fig. 2: Descrcrição do processo de identificação, categorização e abordagem dos temas de articulação entre Física e Matemática.

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## Figura 2

A coleta de dados para a escolha dos temas de Física deu-se na biblioteca de uma instituição pertencente à rede privada de ensino da Cidade de Vitória, Espírito Santo. O O livro escolhido para utilizaçação o no levantamento de dados faz parte do acervo dessa biblioteca e está á disponível para manuseio da comunidade escolar da instituição. Foram consulta dos livros cujas editoras têm redes de distribuiuição com amplo alcance no território brasileiro. No final, a escolha do livro base para consulta recaiu sobre a obra Os fundamentos da física a (FERRARO, RAMALHO e SOARES, 1997). Durante a análise dos dados, buscou-se manter a sintonia com os referenciais te óricos que ligam o conhecimento à complexidade e à articulação de saberes.

Os dados foram analisados durante a coleta e agrupados após essa etapa, mantendo, como principal critério, a possibilidade de articulação dos temas de Física aos da Matemática no Ensino Médio a partir do momento em que fossem evidenciadas suas ligações. Os temas de Matemática escolhidos servem para instrumentos de descrição e compreensão dos fenômenos da Física , sendo utilizados também na apresentação dos resultados de pesquisa e reresolução de problemas desta Ciência. Ao lado de cada tema da Biologia encontra-se o da Matemática a ele relacionado. Os temas de Física a e de Matemática encontrados possibilitam, quando abordados, articuladamente aproximar essas duas Ciências.

## 4 A função afim e a cinemática

Por questões de espaço para o trabalho foi escolhido apenas um exemplo entre os diversos capazes de ilustrar a articulação de saberes entre Física e Matemática, a, ligado à Cinemática, que embora não constitua novidade, na opinião dos autores tem amplas possibilidades de ilustrar a idéia central deste artigo. o.

A Cinemática é o campo da mecânica no qual são estudados e descritos os movimentos dos corpos, sem considerar os fatores determinantes dos movimentos. Corpos podem ser plane tas, pessoas,

automóveis ou qualquer elemento do do qual se descreva o movimento. Em Cinemática são descritos movimentos analisando o espaço percorrido por um móvel na trajetória, sua velocidade e variações, assim como a direção e o sentido do movimento. A partir da utilização da cinemática como tema, pode-se estudar a função afim, a continuidade no conjunto dos números reais s e outros temas matemáticos .

Em cinemática são utilizadas funções horárias. s. Entre elas existe a que descreve o espaço percorrido no movimento uniforme, realizado com velocidade constante. Essa função horária tem a forma a s = s o + vt . Neststa representação, os elementos escritos significam:

t: variável independente que possui expoente 1, que caracteriza a função como afim; v: velocidade e o coeficiente da variável t; t; so so : posição inicial do móvel sobre a trajetória e termo independente. Os valores v v e s o o representam, respectivamente, o coeficiente angular e o coeficiente linear. Pode ser constatado como ambos influem na construção do gráfico de uma função afim.

Exemplo: Se um movimento uniforme tiver a função horária s = 20+10t, t, com s em metros e t t em segundos (unidades do Sistema Internacional - S.I.), tem-m-se so so = 20m e v = 10m/s. Fazendo uma tabela com valores escolhidos para t t e substituindo na expressão de s dada acima, se pode chegar aos dados abaixo :

Os valores de t t e s s são diretamente proporcionais, pois cada variação de +1 em t, uma variação de +10 é apresentada para s s. Os valores obtidos para s s formam uma progressão o aritmética de razão +10 e s(0) =20, s(1) =30, s(2) =40, s(3) =50, são os valores numéricos de s s correspondentes aos apresentados para a variável independente t, formando os pares ordenados A (0,20), B(1,30), C(2,40) e D(3,50), assinalados na figura 3.

Assinalados esses pontos em um plano cartesiano e levando em conta

Fig. g. 3: gráfico determinado a partir dos pontos da tabela 1.

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o fato de entre dois valores inteiros no eixo t existir sempre um outro valor nesse mesmo eixo, isso acarretará que, entre dois valores inteiros de s, existirá sempre um outro valor nesse mesmo eixo. O gráfico dessa função terá o aspecto aproximado da figura anterior.

O movimento descrito pela tabela e o gráfico é progressivo, pois o valor de s é crescente conforme aumenta o valor de t. Diz -se que o móvel se desloca no mesmo sentido consididerado positivo para a trajetória escolhida. A função representada é crescente, pois para valores de t t cada vez maiores, os de s também o são. O domínio dessa função é o conjunto dos números reais não negativos, assinalados sobre o eixo do tempo e o conjunto imagem é formado por números reais maiores ou iguais a vinte, assinalados sobre o eixo dos espaços. A cada par ordenado obtido na tabela anterior corresponde um ponto da reta e vice-versa. Neste caso, s tem sempre sinal positivo, devido aos valores de s o , o coeficiente linear e de v, o coeficiente angular. Aqui é necessário deixar bem claro que a unidade usada na divisão do eixo das abscissas não é necessariamente a mesma usada no eixo das ordenadas, pois tempo e espaço são grandezas de naturezas diferentes, mas, para cada eixo, as unidades devem ter a mesma medida.

Além do exemplo apresentado, existe o o movimento retrógrado, no qual o valor de s s é decrescente conforme aumenta o valor de t. Diz -se que o móvel se desloca no sentido oposto o e considerado negativo para a trajetória escolhida. A função representada por meio de um será decrescente, pois para valores de t cada vez maiores, os valores de s s são cada vez menores, chegando a ser negativos a partir de um determinado valor de t maior que a raiz da função s = s o o + vt. O domínio dessa função também será o conjunto dos números reais não negativos, pois a referência de tempo é positiva e o conjunto imagem é o dos números reais menores ou iguais a so. A cada par ordenado obtido o correspondererá á um ponto na reta e vice-versa. Neste caso, s s terá sinal positivo de t t = 0 até t t = -s o /v. Para valores de t maiores que -s o /v , s s tem sinal negativo, devido aos valores de s o, o, coeficiente linear e v, o coeficiente angular.

Um fato para análise no caso da função decrescente seria o seguinte: se o valor numérico atribuído ao tempo aumenta e o valor numérico obtido para o espaço diminui, por que essas duas grandezas não são inversamente proporcionais? Aqui também existe uma oportunidade para iniciar o estudo do módulo de um número real, pois o valor do espaço, a partir do momento em que s passa a ser negativo, é cada vez maior que no instante anterior. Outro fato a ser explorado é uma função afim permitir cálculos dos valores numéricos sobre os eixos a partir da resolução de triângulos semelhantes, o que não pode ser realizado com funções quadráticas, por exemplo.

Chegando a este ponto, vale a pena questionar: se o gráfico de uma função afim é uma linha reta, qual será a menor quantidade de pares ordenados necessários para construir a sua representação

cartesiana? Esta pergunta poderá gerar uma discussão sobre a condição de determinação de uma reta: vale ressaltar se cada um desses pontos necessários estará sobre cada eixo ou não, pois tanto no caso do gráfico o espaço x tempo como no do gráfico o velocidade e x tempo, tem-se semi-i-retas e não retas. O estudo do movimento com função horária s = 20t, por exemplo, pode se referir a um automóvel numa pista sendo testado com velocidade de 72 km/h -pois 20 m/s são equivalentes a 72 km/h -- com o cronômetro sendo acionado ao veículo passar por um determinado sensor, considerado no marco so so = 0. O movimento que apresenta essa velocidade é possível durante um intervalo de tempo que não seja necessariamente longo.

## 5 Considerações finais

- A Cinemática é um campo da Física que proporciona diversas oportunidades de abordar propriedades estudadas em Matemática que servem de suporte para outras Ciências. Entre os assuntos a serem abordados, pode-se relacioionar:
- -- propriedades operatórias dos Números Reais; diferenças entre subconjuntos contínuos e discretos no conjunto dos Números Reais; a continuidade do Espaço da Reta Real; a correspondências entre pontos de uma reta e os Números Reais.
- -- correspondência entre os pares ordenados e os pontos de uma reta; a reta como representação gráfica de uma Função Afim.
- -estudo de propriedades do gráfico de uma Função Afim: sinal, l, crescimento e decrescimento .
- -- os conjuntos domínio e imagem de uma função; obtenção da a imagem de um número real a partir de uma função.
- -- valor numérico de uma expressão algébrica.

Além dos conteúdos listados, também podem ser abordados o conceito de grandeza proporcional, regra de três e progressão aritmética, viabilizando determinadas cocontextualizações e integração dos trabalhos da Física com a Matemática.

Caberia também, diante do exposto, convidar professores de outras disciplinas para realizar algumas articulações. O fato de automóveis serem colocados em pistas de testes pode ser assunto explorado por um professor de Filosofia objetivando discutir a questão do trabalho na sociedade contemporânea. Podereria ser abordada a condição de trabalho referente à função anônima do piloto de testes na indústria automobilística: esse profissional não possui a mesma visibilidade diante do público, não ganha salário sequer próximo ao de um piloto de fórmula 1, e mesmo assim é o responsável por testar os itens de segurança dos veículos destinados ao trânsito em ruas e estradas.

Também o professor de QuQuímica poderia participar do do estudo o abordando as reações durante a queima de combustível no interior do motor de um automóvel. O professor de Biologia pode ria

didiscutir questões ambientais referentes ao uso de motores de combustão interna que funcionam utilizando combustível fóssil e o destino de de diversos resíduos resultantes ao longo da cadeia de produção de um automóvel.

Ao invés de usar a Física e a Matemática da Educação Básica como instrumentos os para desenvolvimento intelectual, essas as Ciências são muitas vezes enfococadas na forma a axiomátic a a do ensino superior, com as ações dos professores nos níveis Fundamental e Médio reproduzindo sistemas axiomáticos por eles aprendidos na formação superior. r. Ao o ministrar aulas seguindo idéias empiristas de acúmulo de conteúdos e experiências , deixa -se de lado a oportunidade de desenvolver o espírito crítico no ensino Ciências e Matemática. Ao tomar para seu trabalho os aspectos meramente operacionais, o professor deixa de tratar outras possibilidades educacionais. Artrticula r saberes entre Matemática e Físic a no Ensino Médio por meio de redes pode ser uma via que ultrapasse a adoção das disciplinas sem levar à à simples justaposição de programas afins. Ao utilizar temas de duas ou mais disciplinas no Ensino Médio, a articiculação de saberes em redes pode ser utilizada para aguçar o senso crítico dos estudantes em relação ao conhecimento científico , ajudando a derruba r o mito de que as disciplinas são separadas por barreiras intransponíveis, são absolutas, suficientes por si i mesmas s e não necessitam m realizar diálogos com outros campos durante o seu desenvolvimento.

## 6 Referências

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