O Problema do Quicar da Bola: um Desafio de Modelagem Computacional para Alunos de PIBIC-Jr

## O Problema do Quicar da Bola: um Desafio de Modelagem Computacional para Alunos de PIBIC-Jr

## Lucas da Silva Maia 1 , Elton Casado Fireman 2 1

UFAL/CEDU, lcmaia@gmail.com

2 UFAL/CEDU, eltonfireman@yahoo.com.br

## Resumo

Com o surgimento cada vez mais crescente de novos hardwares e softwares, e a expansão da Internet, novas possibilidades de utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação vem sendo incorporadas ao processo de ensino-a-aprendizagem. Softwares cada vez mais interativos e com diversidade de opçõeões são desenvolvidos para auxiliar professores e alunos. Um dos softwares que tem recebido especial atenção dos pesquisadores em ensino e professores de Física é o software Modellus. O software Modellus possibilita aproximações de situações reais de acordo com os modelos físicos, mostrando de forma clara as limitações de cada modelo físico, possibilitando animação e visualização gráfica e em tabelas das variáveis físicas. Sua utilização tem sido feita a partir de modelagens/simulações preparadas, em sua grande maioria, pelo professor. Utilizamos o problema do quicar da bola para apresentarmos a um grupo de oito alunos o desafio da construção de uma modelagem/simulação desta situação real. Estes alunos faziam parte de uma ação de iniciação científica Junior, r, e a solução do problema do quicar da bola o desafio a ser estudado e modelado através do Modellus . Durante todo o processo fizemos registros em diário de bordo e análise de cada produção dos alunos, através de seus cadernos de anotações, animações, e relatórios. Para realizarmos tal atividade os alunos tiveram que buscar diversos conteúdos curriculares do ensino de Física (lançamento de projéteis, momento linear, colisões, energia), além de instrumentos matemáticos (funções lineares, quadráticas, exponenciais, progressões geométricas). Tais conhecimentos foram articulados com uma linguagem de programação simplificada utilizada pelo modellus, permitindo aos alunos perceberam os passos básicos de uma programação, articulando conhecimento físico, matemático e de Informática.

Palavras -c -chave: TIC, Modellus, Interdisciplinaridade, contextualização.

## Introdução

A A utilização da modelagem computacional e da simulação na construção e exploração de um modelo físico fazendo uso de softwares como Modellus vem sendo algo exexplorado no ensino de Física. Em meio às ferramentas de modelagem computacional à disposição , este software, em especial, se destaca por permitir que estudantes e professores façam experimentos conceituais utilizando modelos matemáticos definidos a partir de funções, derivadas, taxas de variação escritas de forma direta, ou seja, da mesma maneira que o aluno aprendeu em sala de aula, sem a necessidade de metáforas simbólicas (TEODORO, 2002). Sua utilização vem sendo abordada, principalmente, através de atividades já preparadas pelos professores. Embora, seja possível trabalhar com desafios, levando os alunos a uma constante busca de soluções para reproduzir situações reais.

Neste trabalho, discutiremos a Iniciação Científica Junior para alunos do ensino médio da rede de ensino (PIBIC-Junior). Uma vez que prprogramas desta natureza vêm sendo amplamente difundidos no país, através de instituições de pesquisa, universidades e agências de fomento à ciência e a tecnologia. Nosso estudo descreve uma atividade proposta ta para o grupo de alunos do PIBIC -Jr. Essa

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http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/

26 a 30 de Janeiro de 2009

atividade consistiu em construir um modelo computacional capaz de reproduzir a situação do quicar de uma bola, além de descrever e caracterizar o movimento - trajetória, altura máxima atingida,...- - descrito por ela. A fim de registrar as fases que compuseram o processo de resolução da atividade, para uma análise posterior, utilizamos o diário de bordo, bem como, as anotações dos próprios alunos envolvidos, além de questionários avaliativos. Uma vez realizada a ativividade proposta, e no final de todo o processo foi apresentado um seminário para que os alunos envolvidos apresentassem as suas conclusões e r resultados.

## A Iniciação Científica Junior

Por ser ainda uma experiência muito nova, os objetivos definidos para os PIBIC -Jr r estão sendo constantemente redefinidos. Segundo Amâncio et al l (1999 apud d SOUZA, 2005, p.4) existe a "necessidade de iniciar, o mais depressa possível, a formação de profissionais para a área da ciência e tecnologia, em especial nos países 'periféricos', que têm urgência de ampliar quantitativa e qualitativamente o universo de seus pesquisadores, para que possam competir no mercado mundial". Desta forma, o objetivo da iniciação científica júnior seria similar ao da iniciação científica na graduação, a saber, a contribuição para a formação de cientistas, de forma antecipada b buscando o o fortalecimento da ciência no Brasil.

Em Alagoas , o Programa foi Criado em 2004, através de um convênio entre a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL) e o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Este PIBIC-Jr tem por objetivo a inserção dos estudantes do ensino médio da rede pública na pesquisa e, em três anos de existência, já participaram mais de trezentos alunos das escolas estaduais alagoanas.

Neste trabalho, contamos com a participação de quatro alunos do PIBICJúnior da FAPEAL e quatro alunos voluntários da rede privada de ensino. Um dos alunos estava cursando a 8ª série do ensino fundamental, enquanto os demais alunos estavam na 1ª série do ensino médio. Invevestigamos, através de observações , o desempenho dos estudantes na realização de atividades por nós propostas. Tais atividades serão melhores d discutidas em secção posterior.

Outra discussão que temos que fazer é sobre as contribuições que os PIBICJr têm proporcionado aos alunos do ensino médio. Para Souza (2005, p.5) a IC é "uma valiosa experiência de vida para os alunos participantes". Alguns aspectos, como a ajuda na aprendizagem de disciplinas escolares e a elelucidação da carreira profissional, são os principais objetos de estudo.

Há muito se questiona a formação dos alunos no ensino das ciências no Brasil e no mundo (FRUTUOSO. T. M.; FRUTUOSO. V.S., 2005). Caniato (1992 apud d FRUTUOSO. T. M.; FRUTUOSO. V.S., 2005, p.6) ao falar sobre o assunto diz que "nossas escolas treinam e desenvolvem muito mais as faculdades SENTANTES que as faculdades PESANTES de nossas crianças". Mediante esta situação, algumas ferramentas, tais como a prática laboratorial e a modelagem c computacional, estão sendo adotadas pelos docentes no ensino das ciências para a melhora na aquisição do conhecimento. Desta forma, a iniciação científica é uma das maneiras pela quais os alunos têm acesso às atividades descritas.

Através da prática laboratorial o estudante tem a possibilidade de discutir os conteúdos escolares a partir dos conhecimentos obtidos em laboratório, promovendo, assim, uma integração das aprendizagens práticas e teóricas. Além disso, há a oportunidade de compartilhar as experiências que vivencia na pesquisa,

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na sala de aula e em eventos promovidos por instituições de pesquisa, escolas, universidades.

Ainda, segundo Frutuoso e Frutuoso (1999, p.3) , "a definição da escolha vocacional se dá no momento em que o indivíduo tem a oportunidade de convivência com uma determinada profissão". Em outras palavras, o aluno bolsista tem a possibilidade de confirmar se as atividades realizadas o atraem ou não. Sendo assim, a IC pode ratificar interesses preliminares dos estudantes ou levá-los a escolherem outra área de atuação.

Em relação à qualidade da orientação Filipecki et al l (2005) destaca sua importância. Segundo a autora "a 'boa' orientação incentiva o estudante a pensar e evita o trabalho repetitivo e pouco criativo. [...] um 'bom' orientador sabe vislumbrar oportunidades de IC em diferentes ambientes" (p.6). Devido a pouca idade dos alunos e as atuais condições precárias de ensino, o processo de orientação deve ser posto em questão, uma vez que ele passa a tomar uma abordagem "quaseartesanal".

Podemos também salientar que o aspecto cognitivo da IC é um dos mais importantes na visão dos pesquisadores. Além disso, há uma unidade na idéia de que a investigação científica é uma "arte prática", ou seja, é através da persuasão e imitação (do orientador) que o orientando irá desenvolver suas habilidades e conhecimentos.

## A Ferramenta Computacional Modellus

Ao longo das últimas décadas, os softwares educacionais caminharam para um estágio mais avançado e eficaz, possibilitando uma interação cada vevez maior dos usuários, bem como, caminhos os mais diversos para a aprendizagem. Em 1995, por exemplo, usava-s-se o software LOGO, cuja interface gráfica - constituída por uma tartaruga que podia ser movimentada por comandos de uma linguagem computacional - - tornava a modelagem em física uma tarefa não trivial (VEIT, 2002). Atualmente, dispomos de ferramentas computacionais muito mais poderosas que o LOGO, como, por exemplo, o software Modellus, que foi construído com a premissa básica de que na construção de um modelo o aprendiz deve pensar como se estivesse usando lápis e papel, e os objetos e quantidades físicas podem ser r manipulados na tela.

Além disso, podemos afirmar que uma das mais importantes características dos programas de modelagem é a possibilidade de construção de várias representações de uma mesma situação.

Entendemos modelo como representação simplificada de um sistema, no qual se mantém apenas suas características essenciais. A modelagem, por sua vez, seria o processo de representação.

A potencialidade do software Modellus é destacada por Teodoro (1998), conforme Araujo (2002,2004). De um ponto de vista computacional, o programa pode ser visto com um mundo dentro do computador para o uso de professores e alunos, não sendo baseados em metáforas de linguagem de programação. Pode-s-se escrever no programa modelos matemáticos praticamente da mesma forma que se é escrita no cotidiano, isentando o aprendizado de uma nova linguagem de programação, mesmo possibilitando estruturas simples de algoritmo, como será mostrado neste trabalho.

Nos PCNEM (BRASIL, 1998), os objetivos curriculares são concentrados em competências e habilidades a serem atingidas pelos estudantes em diferentes disciplinas, ao invés de focados em conteúdos específicos das disciplinas. Dentre as

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competências e habilidades a serem desenvolvidas na área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, há diversas que seriam diretamente beneficiadas pelo uso da modelagem no processo de ensino/aprendizagem, particularmente se utilizarmos o software Modellus. Contudo, quanto à aplicação do software no currículo, Teodoro (Op. Cit.) afirma que é impossível concentrar esforços simultaneamente sobre todos os segmentos, devidos á natureza do uso do computador e da disponibilidade dos recursos. Ele ainda sugere que os esforços sejam direcionados apenas para o Ensino Médio e Superior, onde os alunos estão aptos a usarem ferramentas formais e abstratas.

## O Desafio: O Quicar da Bola

Nosso objetivo nesta etapa do trabalho é apresentar o problema proposto ao grupo de alunos de Iniciação Científica Junior, sendo quatro alunos voluntários e quatro do programa da FAFAPEAL , bem como , o modelo desenvolvido por eles para sua elucidação. Apresentamos aos alunos o seguinte problema: Suponha que num determinado momento de uma partida de futebol, um jogador, por exemplo, Roberto Carlos 1 , chuta a bola fazendo um lançamento para o lado do campo do adversário. Como poderíamos descrever e caracterizar o movimento - trajetória, altura máxima atingida... - descrito pela bola?

A fim de solucionar o problema em questão, os alunos construíram, por etapas, um modelo computacional que simula o sistema físico através de animações, usando o software Modellus. Para isso, eles se valeram dos conhecimentos de cinemática uni e bidimensional, colisões elásticas, inelásticas e parcialmente elásticas; momento linear, coeficiente de restituição, amortecimento, progressão aritmética e geométrica e função exponencial. A escolha do software Modellus como instrumento de modelagem computacional se deu devido a todas as vantagens descritas no tópico anterior, principalmente , a de poder escrever no programa modelos matemáticos praticamente da mesma forma usual . Antes da solução da proposta do problema os alunos já utilizavam o Modellus com ferramenta de modelagem em cinemática unididimensional. Esta foi à primeira parte do PIBIC-Jr.

As etapas da construção do modelo foram observadas e acompanhadas através de nossa presença nos encontros e registradas num Diário de Bordo o do professor orientador. O Diário de Bordo contem a data de início e fim de cada etapa, seu objetivo, as atividades realizadas, a presença dos alunos e o relato de suas dificuldades e êxitos nas atividades. Além disso, após o término do projeto os alunos elaboraram um relatóririo e uma apresentação dos resultados obtidos com o modelo final. Por fim, elaboramos dois questionários avaliativos, um relacionado ao projeto em si e outro a aprendizagem dos alunos . Esta experiência durou fevereiro/2006 a maio/2006, e em todo momento os a alunos interagiam no coletivo com o orinetador.

Na primeira etapa do problema tratamos do motivo pelo qual a bola inicia seu movimento, em outras palavras, o chute dado nela pelo atleta. A intenção era estimar a força que o jogador imprimia na bola. Essa estimativa foi feita utilizando os conceitos de impulso e momento linear r (Toda etapa realizada era acompanhada pelo orientador que apresentava as discussões teóricas de cada conteúdo a cada discussão do grupo). Considerando a massa de uma bola oficial de futebol 450 g2 g2 , a

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velocidade média de um chute do Roberto Carlos, por exemplo, 120 Km/h 4 3 e o tempo de interação entre o pé do jogador e a bola 0,1 s4 s4 ; como resultado, foi estimado o módulo da força com que o atleta chuta a bola é aproximadamente F = 15 , 0kgf

.

Na etapa seguinte, nossa intenção era criar um modelo que descrevesse o lançamento da bola até ela tocar pela primeira vez no chão. Este modelo foi feito usando -s -se concepções do lançamento oblíquo e suas respectivas funções. O lançamento oblíquo foi descrito como um movimento representado pela soma de dois outros movimentos linearmente independentes, um na direção do eixo Oxe outro na direção do eixo Oy . Desprezando -s -se a resistência do ar, o movimento realizado na direção vertical é um lançamento vertical (MUV) e, na direção horizontal, um movimento retilíneo com velocidade constante. A condição para a ocorrência desse tipo de movimento é que haja um ângulo de inclinação entre a velocidade inicial e o eixo Ox .

A partir desses conhecimentos os alunos construíram um algoritmo para simular o sistema e obtiveram a animação esperada para o movimento da bola até encontrar o chão. Um fato ocorrido nos chamou atenção nesta etapa, pois os alunos observavam que a bola lançada continuava seu movimento após cruzar com o eixo x, ou seja, após a altura passar pelo valor nulo, a bola continuava o movimento como se não existisse o chão. O desafio passou a ser ensinar o computador onde era o chão.

Gráfico 1 : Animação produzida pelo Modellus com o lançamento da bola passando além da altura zero.

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A solução encontrada foi calcular o tempo total de vôo, e pedir para o computador parar neste tempo. A partir deste ponto, além dos conteúdos e da situação contextualizada voltada para o ensino de física, o aluno começa a perceber alguns princípios básicos de programação.

Após a criação de um modelo que representasse a subida e descida da bola, deu -s -se início a formulação de um novo modelo, baseado no anterior, que permitisse um quique da bola. O próximo passo o era introduzir no algoritmo do programa anterior as informações da colisão da bola com o chão, para que o movimento pudesse ser novamente iniciado com os mesmo parâmetros do lançamento anterior. Em outras palavras, pretendíamos escrever um algoritmo em que o objeto lançado

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repetisse duduas vezes o mesmo movimento parabólico. O choque entre a bola e o chão caracteriza uma colisão. Em qualquer tipo de colisão, num sistema isolado, o momento total sempre se conserva, contudo sua energia cinética total pode variar.

No nosso modelo inicial a colisão foi considerada elástica, mesmo não sendo a situação real, pois a finalidade era criar um algoritmo que simule apenas alguns quiques da bola, para que ela realize novamente o mesmo movimento. Em relação à colisão, foi considerado um corpo de massa muito pequena (a bola), em colisão com um corpo de massa muito grande (a Terra). Desta forma, a colisão entre a bola e o solo seria descrita por uma reflexão, onde a componente no eixo x da velocidade permanece a mesma, enquanto no eixo y ocorre a inversão no sentido.

Com base nessas informações foi possível construir o seguinte algoritmo para até três quiques na tela modelo que resultou na animação exibida no gráfico abaixo :

Gráfico 2: : Animação produzida pelo Modellus, e ao lado o modelo construído para um lançamento com até três quiques da bola.

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A idéia básica do algoritmo estabelecido pelo grupo foi de enganar o computador com redefinição do tempo somente no movimento no eixo y.

Na etapa posterior, a idéia era construir um modelo computacional, também baseado no anterior, que permitisse que a bola quicasse indefinidas vezes. Nesta etapa, não foi utilizado nenhum conceito físico para alcançarmos o objetivo, foi mantido somente, o "truque" para "enganar" o computador. Este "truque" está destacado no algoritmo do programa, a, no gráfico 3. O preceito básico que foi utilizado foi a inclusão de um contador de quiques, embora, observe que a inclusão de mais 1 em t2, é indiferente, pois logo depois ele é retirado sem alteração no algoritmo

Gráfico 3: Animamação e modelo produzida pelo Modellus para um lançamento com um número indeterminado de quiques da bola.

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Por fim, com o intuito de tornar o modelo mais próximo da realidade, se chegou a uma etapa conclusiva do problema, a inclusão do amortecimento nas animações. Esta questão foi solucionada com o auxílio do conceito do coeficiente de restituição ( e ). Na colisão entre dois corpos, o coeficiente de restituição é obtido pela razão entre a diferença dos módulos das velocidades desses corpos depois do choque e a diferença dos módulos das velocidades desses corpos antes do choque, acrescidos dos sinais correspondentes ao referencial adotado. É importante lembrar que nesta etapa não podemos mais considerar a colisão entre o chão e a bola elástica, mas sim inelás tica.

A parte final do algoritmo para o modelo computacional que simula o problema proposto aos alunos no início do projeto, Ficou descrito como:

Gráfico 4: Animação e modelo d do quicar da bola com g=10m/s 2 , v = 80 m/s, q = 45 ° e e=0.8.

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Observe que no o algoritmo a velocidade de cada partida em y após as colisões são descritas como uma progressão geométrica de razão igual ao coeficiente de restituição.

Após esta animação final, algumas outras interrogações surgiram em relação aos significados físicos de e algumas situações. A primeira estava relacionada a um coeficiente de restituição menor que 1. Neste caso temos uma reprodução de uma situação real com uma bola de futebol. Quando observamos a descrição do movimento em x, temos:

<!-- formula-not-decoded -->

onde xALé o alcance do chute, v é a velocidade do chute, q é o ângulo entre o vetor velocidade e a horizontal, g é a aceleração da gravidade no local, f é o coeficiente de restituição e né o número de quiques realizados pela bola.

Em outras palavras, temos uma soma dos termos de PG de razão igual ao coeficiente de restituição, observe que esta soma pode ser convergente. Esta descrição é compatível com o gráfico do tempo de vôo de cada quicar, que vai a zero com ao aumento dos números de quicadas.

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Gráfico 5 5: Tempo de vôo versus tempo para os mesmos valores do gráfico 4 4 .

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Se somarmos todos os tetempos de vôos teremos o tempo total que a bola permanece quicando. Análise semelhante podemos fazer em relação à altura máxima, que deve diminuir e ir a zero. Em todos os casos a soma infinita dos termos de uma progressão geométrica como razão menor que 1 é convergente.

A segunda está relacionada a um coeficiente de restituição maior que 1. Neste caso temos a divergência na soma (gráfico abaixo).

Gráfico 6: Animação produzida pelo algoritmo para v = 40 m/s, q = 45° e e=1.2.

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Para estas situações foi pensada como tal efeito poderia ser produzido, e observado que é necessária a conversão de outros tipos de energia em cinética, por exemplo, energia química liberada em uma explosão.

## Avaliação Qualitativa da Atividade e Conclusões

Após o término da construção do algoritmo para o modelo computacional que simula o quicar da bola, os alunos envolvidos responderam a um questionário a fim de sabermos os seus pensamentos e sentimentos em relação a essa proposta de atividade didática envolvendo o uso do computador r no Ensino de Física. O questionário continha perguntas a respeito de suas dificuldades durante o projeto, pontos que consideravam interessantes nesta abordagem de ensino, novidades , descobertas durante o projeto e suas opiniões sobre esta maneira de aprender Física. Apesar de termos a participação de oito alunos no projeto, não foi possível entregar o questionário a dois deles.

Com relação aos pontos por eles considerados interessantes, observamos que a visualização do todo o movimento da bola foi o que mais chamou a atenção dos alunos. A transformação de equações matemáticas na simulação da trajetória do projétil facilitou a compreensão do fenômeno estudado, conforme expressa o estudante: "[Aluno2]: (...) a explicação parece mais fácil vendo o movimento acontecer (...)")".

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Ao serem questionados sobre as "novidades" que haviam conhecido durante a execução do projeto, vimos que nenhum deles mencionou o computador como tal. Isso nos leva a crer que todos já possuíam um conhecimento prévio em com relação ão à informática. Para os discentes da rede privada de ensino, os conteúdos trabalhados já eram conhecidos e o que se considerava como novo se restringiram a uma ampliação do que já se tinha aprendido: "[Aluno 1]: Aprendi algumas fórmulas (...) já sabia de: energia, lançamentos, P.A. e P.G.". Ainda outro exemplo da rede privada: "[Aluno 2]: (...) já tinha noção para os movimentos apresentados (...)". Por outro lado, os alunos da rede estadual consideraram como "novidades" os próprios conteúdos trabalhados, ou seja, eles ainda não tinham estudados esses assuntos em suas escolas. Nesse caso, assim indicam: "[Aluno 4]: A cinemática, as P.G.'s (...)" e "[Aluno 6]: Assuntos que mau vi no colégio (...)". Tal fato ocorreu devido ao atraso do ano letivo das escolas públicas em comparação às instituições privadas de ensino.

A Matemática foi o principal motivo de dificuldades encontradas durante todo o processo. O desenvolvimento algébrico das expressões e funções utilizadas e o pouco conhecimento nos conteúdos matemáticos envolvidos na Física do lançamento oblíquo foram às manifestações mais relevantes deste aspecto. Vejamos algumas respostas: "[Aluno 2]: Desenvolver as expressões para o uso do programa (...)". Outro participante complementa: "[Aluno 3]: Meu baixo conhececimento sobre (..). assuntos de Matemática e Física (...)".

Apesar das dificuldades encontradas no desenvolvimento das atividades propostas, os estudantes envolvidos vêem essa maneira de aprender Física. Neste sentido, um deles afirma que é uma forma: "[Aluno 5]: Prática mais complica um pouco (...)". Ao compararem a modelagem computacional com o método de ensino de Física utilizado em suas respectivas escolas, afirmam que não é utilizado dessa ferramenta e que seus métodos são ultrapassados. "[Aluno 4]: Na a escola temos métodos (...) ultrapassados".

Por fim, os alunos foram questionados sobre seu entendimento a respeito do funcionamento da Física após terem passado por todas as etapas do projeto. Suas respostas são suficientes para percebermos evoluções consideráveis no tocante às suas concepções iniciais sobre a Física, seu objeto de estudo e metodologias: "[Aluno 3]: A Física funciona com: observações, questionamentos e resultados (...)". "[Aluno 4]: "(...) entendo que o objetivo da Física não é só fazer cálculos, mas (...), estudar fenômenos (...) na natureza. (...)". "[Aluno 5]: (...) é uma maneira de estudarmos a natureza (...)".

Diante do trabalho realizado observamos a capacidade que a modelagem computacional tem de ativar a iniciativa e de diminuir os níveis de abstração necessários para a compreensão de alguns conteúdos. Mesmo em problemas de uma considerável complexidade para alunos do ensino médio, sob a orientação de um profissional , é possível trazer novos contextos de aprendizagem , são desenvolvidas habilidades matemáticas, físicas e iniciação a programação. Concluímos que tais atividades podem ser utilizadas tanto em programas de iniciação científica, mostrando a capacidade que física tem de modelar o mundo, bem como, a forma que os modelos nos auxiliam no entende dos fenômenos do diaa-dia, como também, em situações desafiadoras e inovadoras em ambientes escolares.

## AgAgradecimentos

Este trabalho contou com o apoio da Fundação de Amparo a Pesquisa de Alagoas (FAPEAL).

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## Referências

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