RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O PAPEL DA MATEMÁTICA COMO ESTRUTURANTE DO PENSAMENTO FÍSICO

## RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O PAPELDA MATEMÁTICACOMO ESTRUTURANTE DO PENSAMENTOFÍSICO

Ricardo Karama ma [karam@usp.br]

ab

Maurício Pietrocolab [mpietro@usp.br]

a CEFET -SC e Universidade de São Paulo / EDM / Faculdade de Educação b Universidade de São Paulo / EDM / Faculdade de Educação

## RESUMO

A importância da resolução de problemas para o desenvolvimento da ciência tem inspirado diversos pesquisadores em educação a pensar abordagens/estratégias didáticas centradas nesse processo. Porém, resolver problemas científicos é extremamente diferente de resolver problemas cotidianos, uma vez que a resolução daqueles envolve processos de raciocínio (heurísticas) extremamente elaborados e quase sempre estruturados em uma linguagem matemática. Nessa perspectiva, uma das atribuições cruciais da educação científica é justamente apresentar ao estudante algumas das características essenciais desse pensar científico (e(enculturação científica). Partindo da idéia de que a Matemática é estruturante do pensamento físico, este trabalho apresenta uma crítica à ingênua função dada à matematização e a uma artificial tentativa de distinção entre problemas matemáticos e científicos , presentes em algumas pesquisas sobre resolução de problemas no ensino de Física . Contrapondo essa visão, defendndemos uma impossibilidade de dissociação entre as partes matemática e física de um problema e fundamentamos nossa defesa histórica e epistemologicamente. Com o objetivo de analisar o uso que os estudantes fazem da Matemática ao resolverem problemas de Físicica, propomos uma classificação que permite distinguir habilidades técnicas - - aquelas relacionadas ao domínio instrumental de algoritmos, regras, fórmulas, gráficos, equações - - das habilidades estruturantes - - associadas à à capacidade de se fazer um uso organinizacional da Matemática em domínios externos a ela a (especialmente em Física). Por fim, apresentamos três problemas clássicos, que envolvem a aplicação direta de fórmulas contendo funções trigonométricas, e sugerimos a proposição de questões diferenciadas, as quais julgamos possibilitar o desenvolvimento dessas habilidades estruturantes nos estudantes.

Palavras -chave: Resolução de problemas, Uso da Matemática na Física, Pensar matematicamente.

## INTRODUÇÃO

Resolver problemas faz parte da atividade cotidiana de de todos, porém, os problemas científicos são nitidamente diferentes dos problemas enfrentados pelo cidadão comum. Uma das principais razões para esta diferença reside no fato de que as formas de raciocínio (heurísticas) necessárias para a solução destes diferem muito daquelas comumente evocadas para a solução daqueles. Em outras palavras, o raciocínio científico difere substancialmente do raciocínio de "senso comum" e é justamente esse contato com a maneira científica de pensar (Enculturação Científica - Mortimer, 1994) , um dos objetivos mais procurados no enensino de Ciências.

Uma das características que faz com que esse pensar científico seja diferente do pensar "cotidiano" é que ele é fortemente embasado em estruturas matemáticas. Os cientistas, mais especificamente os físicos, usam a linguagem matemática para estruturar seu pensamento (Pietrocola, 2002) e pode-se dizer que a Física é uma ciência que elabora modelos da realidade, os quais costumam ser altamente matematizados, e os confrontam com os resultados obtidos em seus experimentos. Esse processo é uma espécie de diálogo com a natureza através de modelos e, ciente da impossibilidade de acessar a realidade, o físico tenta se aproximar

sucessivamente da mesma através da construção de modelos cada vez mais precisos e com maior p poder de previsão (Bunge, 1974) .

A importância da Resolução de Problemas para o desenvolvimento da Ciência tem inspirado diversos pesquisadores da área de ensino a avaliar a relevâvância dos mesmos no contexto escolar. Entretanto, parerece-nos que alguns têm demonstrado uma visão ingênua/ferramental em relação ao papel da matematização na Ciência Moderna. Assim, no no presente trabalho, pretendemos direcionar nosso foco para a maneira como a função da linguagem matemática vem sendo considerada a em algumas das pesquisas que tratam da Resolução de Problemas no ensino de Física.

Defendendo a idéia de que, além das habilidades técnicas rotineiramente aprendidas nas disciplinas de Matemática, é preciso também desenvolver habilidades estruturantes que trabalhem a capacidade dos estudantes em empregar o conhecimento matemático para estruturar situações físicas (Pietrocola, no prelo), apresentamos uma discussão sobre uma abordagem diferenciada de problemas que, a nosso ver, propicia ria justamente o desenvolvimento dessa capacidade de ler o mundo através da linguagem matemática.

## Resolução de Problemas como área de investigação

Antes de tudo, é preciso formular problemas. s. E seja o que for que digam, na vida científica, os problemas não se apresentam por si mesmos. É precisamente esse sentido do problema que dá a característica do genuíno espírito científico. Para um espírito científico, todo conhecimento é resposta a uma questão. Se não houve questão, não pode haver conhecimento científico (Bachelard, 1977 , p. 148, grifo nosso) .

A citação de Bachelard deixa clara a estreita relação entre o desenvolvimento do conhecimento científico e a Resolução de Problemas e, é exatamente em função dessa relação de impregnação, que o tema Resolução de Problemas tem sido foco de investigação de diversas pesquisas educacionais. De uma maneira geral, essas pesquisas têm se concentrado nos seguintes temas:

- -Heurísticas da Resolução de Problemas (Polya, 1995);
- -Desenvolvimento de estratégias gerais e específicas (Reif et al. , 1976);
- -Diferença entre experts s e iniciantes (Larkin et al. , 1980);
- -Problemas abertos (Gil-Pérez et al., 1992);
- -Resolução significativa versus resolução mecânica (Ausubel, et al., 1980) .
- -Resolução individual versus resolução em grupo (Gaspar, 1994);
- -Resolução centrada no desenvolvimento literal (Peduzzi e Peduzzi , 2001);
- -Estratégias de pensamento dos estudantes (E(Epistemic Games) (Tuminaro e Redish, 2007).

Um dos autores p pioneiros na pesquisa nenessa área é o matemático George Polya. Em sua obra mais famosa How to Solve It, traduzida para o português como A arte de resolver problemas , Polya se propõe a estudar os inúmeros métodos de resolução de problemas, estudo também conhecido como Heurística , e suas implicações para o ensino-aprendizagem de Matemática. Com o objetivo de sistematizar o complexo processo que envolve a resolução de um problema, o autor propõe um esquema no qual o mesmo pode ser resumido em quatro etapas: 1) Compreensão do Problema, 2) Estabelecimento de um plano, 3) Execução do do Plano e 4) Retrospecto .

O trabalho de Polya foi destinado ao ensino-aprendizagem de Matemática, porém, muitos de seus resultados foram transpostos para outras áreas. Nessa transição, uma questão pertinente é a diferença entre a concepção de Resolução de Problemas como habilidade geral ou atrelada a conhecimentos específicos. Segundo Echeverría e Pozo (1998) , o treinamento para a solução de problemas não deve apoiar-se tanto no desenvolvimento de capacidades gerais, mas em proporcionar ao aluno conhecimento específico de seu domínio (p. 31). Esses e outros autores costumam basear a análise dessas habilidades específicas na comparação do

desempenho de um expert com o de um iniciante quando os mesmos se deparam com problemas.

Essa comparação evidencia que especialistas (experts) se sobressaem em relação aos iniciantes porque ininvestem menos tempo no no problema, reconhecem rarapidamente os atributos essenciais para a solução do mesmo e aplicam os procedimentos quase que "automaticamente" fazendo com que um problema se torne um simples exercício (Echeverría e Pozo, 1998; Larkin et al., 1980). Paradoxalmente, os especialistas procuram evitar situações novas ou desconhecidas, porém, didiante de um problema realmente novo, estes podem recorrer a seus conhecimentos conceituais, bem estruturados, para gerar modelos ou analogias dos quais possam ser derivados procedimentos ou estratégias de resolução diferentes.

Em função da crescente matematização da Física, devidamente explicitada nonos trabalhos de Galileu, é possível supor que os especialistas em resolução de problemas de Física tenham mais clareza za e convicção quanto ao papel da Matemática e sejam mais hábeis em apreender matematicamente os fenômenos do mundo físico do que os iniciantes.

Dessa forma, se a Matemática é mesmo mo a linguagem que estrutura o pensamento físico (Pietrocola, 2002), essa função precisa ser explicitada e discutida quando os estudantes se deparam com os problemas escolares. Porém, como veremos na próxima seção, alguns autores não têm se preocupado devidamente com esta questão.

## DISTORCENENDO O PAPEL DA MATEMÁTICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

[...] a análise matemática é tão extensiva quanto a própria Natureza; ela define todas as relações perceptíveis, mede tempos, espaços, forças, temperaturas [...] Ela associa fenômenos os mais diversos e descobre as analogias ocultas que os unem [...] [A análise matemática] parece ser uma faculdade da mente destinada a compensar a reduzida duração da vida e a imperfeição dos sentidos (Fourier, apud Abrantes, 1998, p. 168).

Já mencionamos a patente diferença existente entre o processo de resolução de problemas da vida cotidiana e os problemas científicos. Pozo e Crespo (1998) são taxativos quanto a essa diferença quando mencionam m que os problemas cotidianos terminam onde começa o problema científico (p. 69) e destacam o papel fundamental dos modelos de representação da realidade para o conhecimento científico:

Não se trata tanto de conhecer a realidade - como as coisas acontecem - mas de conhecer o grau de precisão dos momodelos projetados para interpretá-la ou representá-la. Em outras palavras, a ciência não resolve problemas reais, mas teóricos. s. Não questiona a realidade, mas seus próprios modelos. Nisso, o conhecimento científico difere consideravelmente do conhecimento pessoal ou cotidiano dos alunos (P(Pozo e Crespo, 1998, p.72, grifo nosso).

Como conseqüência dessa notável diferença entre problemas cotidianos e científicos, é evidente que as formas de raciocínio (h(heurísticas) necessárias para a solução destes também difeferem muito daquelas comumente evocadas para a solução daqueles. Resgatando alalgumas idéias de Bachelard d (1990), o qual propõe que o conhecimimento de senso comum (racionalismo simples) entrava o desenvolvimento de nosso conhecimento objetivo (racionalismo compmpleto), Echeverría e Pozo (1998) argumentam:

O uso de estratégias mais sofisticadas para a solução de problemas exigiria, então, em determinados contextos escolares e não escolares, a superação ou o abandono dessas formas simples ou intuitivas de raciocínioio. Afinal, o discurso e a racionalidade na qual se sustentam costumam ser contrários à intuição imediata e à racionalidade do "senso comum". Em muitos aspectos, resolver um problema como o faria um cientista requer a adoção de estratégias e procedimentos opopostos à intuição ou às regras heurísticas habitualmente empregadas em contextos informais. Por isso, o ensino da solução de problemas deve promover e consolidar o uso de novas formas de raciocínio nas diferentes áreas do currículo (E(Echeverría e Pozo, 1998 , p.39-40, grifo nosso).

Segundo os autores, essas novas formas de raciocínio que compõem o pensar científico , e que não estão presentes na racionalidade do "senso comum", são o raciocínio quantitativo, o lógico e o causal. Em virtude dos objetivos deste trabalho, vamos direcionar nosso foco para uma análise de como vem sendo tratado o papel da linguagem mamatemática como estruturante do pensamento físico em algumas pesquisas que tratam da Resolução de Problemas no ensino de Física (Pozo e Crespo, 1998). Questionamos alguns aspectos presentes na visão desses autores em relação à concepção do raciocínio quantitativo e ao papel de problemas quantitativos no ensino de Física. A nosso ver, existe uma concepção ingênua/ferramental no que diz respeito às relações entre o conhecimento matemático e o físico, a qual pretendemos evidenciar e questionar na seqüência.

Dentre as inúmeras possibilidades de classificação de problemas, Pozo e Crespo (1998) defendem que no ensino de ciências existem três categorias a serem consideradas: os problemas científicos, os problemas da vida cotidiana e os problemas escolares. Focando sua análise nos abordados no contexto escolar, os autores mencionam uma vasta categorização presente na literatura específica: problemas abertos e fechahados; problemas bem e mal definidos; exercícios e problemas verdadeiros; problemas de "lápis e papel" e problemas práticos, entre outras. Levando em consideração a forma como os problemas escolares são trabalhados em sala de aula e seus objetivos educacionanais, Pozo e Crespo (1998) propõem uma classificação destes em três grupos: p problemas qualitativos, quantitativos e de pesquisa (p. 78). Em função dos objetivos deste trabalho, analisaremos s somente os dois primeiros:

Problemas qualitativos - segundo os autores, são aqueles problemas que envolvem raciocínios teóricos, sem necessidade de se apoiarem em cálculos numéricos (Pozo e Crespo, p p. 78, grifo nosso) .

Pelos exemplos apresentados , estes problemas demandam explicações causais de fenômenos "mais ou menos" cotidianos, tais como P Por que a roupa seca mais rapidamente em dias de vento? , Por que o céu é azul? ou Por que usamos roupas de lã para nos protegermos do frio? Pesquisas recentes que analisam a forma como as explicações científicas são conduzidas em sala a de aula (M(Martins et al. , 1999) evidenciam que a estrutura das mesmas para este tipo de questionamento são análogas a estórias , nas quais é preciso apresentar aos estudantes algumas entidades (átomo, força, calor, etc . ) e descrever o papel que cada um desses protagonistas desempenhará na estória que compõe a estrutura explicativa. Chama-nos atenção , entretanto, a ênfase de que os problemas qualitativos não se apóiam em cálculos numéméricos. Qual seria, por exemplo, o papel dos problemas literais nesse processo? Não é possível resolver p problemas qualitativos (questões teóricas) como os mencionados, fazendo uso de uma linguagem matemática e de modelos expressos nessa linguagem, m, mesmo que não sejam abordados cálculos numéricos propriamente ditos? Para os autores, qual seria a diferença entre os cálculos numéricos e o pensamento matemático?

Problemas quantitativos - - segundo Pozo e Crespo (1998), ao resolver esse tipo de problemas, o aluno deverá manipular dados numéricos e trabalhar r com eles para chegar a uma solução. Assim, a estratégia de resolução destes problemas está fundamentalmente baseada no cálculo matemático, na comparação de dados e na utilização de fórmulas (Pozo e Crespo, 1998, p.80, grifo nosso).

Nos três exemplos apresentados como problemas quantititativos, todos envolvem dados numéricos, sendo que os dois primeiros podem ser resolvidos quase que diretamente pela simples aplicação de fórmulas dadas, enquanto que no terceiro é pedido que o estudante expresse matematicamente, através de uma função, a rerelação entre duas grandezas (tempo e pressão) a partir dos dados fornecidos em m uma tabela. Os autores mencionam que este tipo de problema é o mais comum no contexto da educação científica e chegam a destacar as vantagens de sua abordagem:

Geralmente, [os problemas quantitativos] são um meio de treinamento que, ao familiarizar os alunos com o manejo de uma série de técnicas e algoritmos, s, ajuda-os e fornecelhes os instrumentos necessários para abordar problemas mais complexos e mais difíceis. A quantificação, por sua vez, permite estabelecer relações simples entre as diversas magnitudes científicas, s, o que facilita a compreensão das leis da natureza (Pozo e Crespo, 1998, p.80, grifo nosso).

Este trecho já evidencia uma supervalorização da quantificação e, em nossa opinião, reflete uma visão ingênua/distorcida a em relação ao papel da Matemática na estruturação do pensamento científico. Porém, é quando os autores pretendem destacar as/os desvantagens/inconvenientes do uso de problemas quantitativos na educação cieientífica, que a concepção de Matemática como uma "mera" ferramenta fica ainda mais evidente:

Nos problemas quantitativos aparecem juntos, em muitos casos, superpostos o problema matemático e o problema científico. Onde está a fronteira entre eles? Onde termina um e começa o outro? […] os alunos consideram ter resolvido um problema quando obtêm um número (solução matemática), sem parar para pensar no significado desse número dentro do contexto científico no qual está enquadrado o problema (solução científica) a) (Pozo e Crespo, 1998, p.81, grifo nosso).

Quão artificial é essa separação entre problema matemático e problema científico? Q Que fronteira é essa que os autores mencionam? m? Será que a solução matemática é mesmo somente o número e que a solução científica prescinde de uma matematização?

Um exemplo interessante que elucida nossos questionamentos e comprova a artificialidade dessa separação , é estudado através de uma análise epistemológica a por Roque (2005). DeDebruçando-se sobre um problema de importância histórica notável - a questão da estabilidade no estudo da Teoria dos Sistemas Dinâmicos -a autora a nos mostra claramente a impossibilidade de dissociar esses dois aspectos (o matemático e o científico), o que evidencia a fragilidade da postura demonstrada por Pozo e Crespo (1998) quando mencionam os inconvenientes dos problemas quantitativos:

Uma análise que considere separadamente os aspectos físico e matemático de um problema pressupõe, mesmo que implicitamente, que a Física trabalha com a realidade, ao passo que a Matemática deve fornecer as condições formais para a descrição física desta realidade. O preço dessa suposição é o de relegar, ao mesmo tempo, a Física a um saber incapaz de se legitimar a si mesmo e a Matemática a uma abstração, a uma mera formalização sem mundo. Este preço é alto, pois tem por conseqüência um enfraquecimento de ambas, tanto da Matemática como da Física (Roque, 2005, p. 292, grifo nosso).

Na conclusão de sua análise epistemológica, a autora defende que a estabilidade é um problema fífísico-matemático por excelência e reforça a artificialidade de tentativas de separação/distinção entre os aspectos matemático e científico (físico) de um problema. Seguindo essa mesma linha, encontramos críticas semelhantes nos trabalhos do matemático/físico/filósofo francês Henri Poincaré . Colocando -se como um analista puro, Poincaré (1995) evidencia a íntima e profunda relação entre o conhnhecimento matemático e o físico ao argumentar r que:

O matemático não deve ser para o físico um simples fornecedor de fórmrmulas; é preciso que haja entre eles uma colaboração mais íntima. A física matemática e a análise pura não são apenas potências limítrofes, que mantêm relações de boa vizinhança; penetram-s-se mutuamente, e seu espírito é o mesmo (Poincaré, 1995, p. 90, grifo fo nosso).

No final de sua apresentação sobre o uso de problemas quantitativos no ensino de ciências, Pozo e Crespo (1998) revelam claramente suas concepções em relação ao papel desempenhado pela Matemática na resolução de problemas científicos, evidenciandndo assim o caráter de "simples" ferramenta/instrumento que os autores associam a ela:

Se quisermos ensinar ciências e ensinar a resolver problemas de ciências, devemos levar em consideração que os dados numéricos e as fórmulas são um simples instrumento de trabalho que nos ajuda a encontrar o sentido do problema e a sua solução. O sentido está além dos valores numéricos. Somente se os professores estiverem convencidos disso e agirem de acordo com essa convicção os alunos começarão a perceber nos problemas quantitativos algo mais do que problemas matemáticos (Pozo e Crespo, 1998, p.82, grifo nosso).

Se a Matemática nos fornece apenas "simples fórmulas" para manipularmos os "dados numéricos" parece-nos que o cientista (físico) poderia até prescindir de seu u uso. Contrariando essa visão e evocando a importância fundamental da linguagem matemática como forma de estruturar o pensamento científico, principalmente em função do pensamento analógico, recorremos novamente a Poincaré (1995):

A Análise Matemática [...] não será, portanto, um jogo inútil do espírito? Ela só pode dar ao físico uma linguagem cômoda; não será esse um serviço medíocre, do qual se poderia até prescindir? E não seria até mesmo o caso de temer que essa linguagem artificial seja um véu entre a realidade e o olho do físico? Longe disso: sem essa linguagem, a maior parte das analogias íntimas das coisas permaneceria para sempre fora de nosso conhecimento; e teríamos sempre ignorado a harmonia interna do mundo, que é a única verdadeira realidade objetiva (Poincaré, 1995, p. 8, grifo nosso) .

Considerando que a Matemática não é uma mera "ferramenta" para o fífísico e que os aspectos matemático e científico de um problema são praticamente indissociáveis, como devemos explicitar as complexas relações entntre o pensamento físico e o matemático no ensino de Ciências? Esboçamos respostas a esta pergunta nas últimas seções deste artigo.

## APREENDENDO O REAL ATRTRAVÉS DE ESTRUTURAS MATEMÁTICAS

Se a matemática é a linguagem que permite ao cientista estruturar seu pepensamento para apreender o mundo, o ensino de ciências deve propiciar meios para que os estudantes adquiram esta habilidade. [...] não se trata apenas de saber Matemática para poder operar as teorias físicas que representam a realidade, mas saber apreender teoricamente o real através de uma estruturação matemática (PIETROCOLA, 2002, p.110-111, grifo nosso).

A citação de Pietrocola (2002) reflete uma constatação: não basta saber Matemática, é preciso ensinar nossos alunos a pensar matematicamente quando se deparam com problemas de Física . O mesmo autor, em outro trabalho (PIETROCOLA, no prelo), propõe duas categorias para analisar a aprendizagem de Matemática dos estudantes e sua relação com a compreensão/modelagem dos fenômenos do mundo físico: habilidades técnicas e habilidades estruturantes. A primeira categoria refere-se ao campo mais "interno" da Matemática e está relacionada ao domínio instrumental de algoritmos, regras, fórmulas, gráficos, equações, etc. Tradicionalmente, essas habilidades são desenvolvlvidas no contexto do ensino da Matemática como disciplina a e nem sempre estão relacionadas com qualquer tipo de aplicação e/ou situação-problema . Muitos professores de Física vinculam o insucesso de seus estudantes à falta dessas habilidades técnicas e não é raro encontrarmos depoimentos de docentes mencionando que seus estudantes não sabem: "d "dividir com vírgula, isolar uma variável, construir um gráfico, resolver uma equação, calcular um determinante, etc, etc, etc...". Ainda mais comum, e talvez mais preocupante, é aquela "famosa" frase que costuma ser proferida depois da "interpretação" de um problema de Física: "A"Agora a Física acabou, daqui em diante é só Matemática."

É inegável que a capacidade de manipular tecnicamente muitas das "ferramentas matemámáticas" (h(habilidades técnicas) é necessária para um bom desempenho dos estudantes na disciplina de Física (Hudson & McIntire, 1977; Hudson & Liberman, 1982). Entretanto, apesar de necessária, essa condição está longe de ser suficiente , ou seja, não é possívível afirmar que os estudantes que as dominam serão bem sucedidos em Física. Ao realizarem testes para medir o conhecimento técnico de fundamentos de Álgebra e Trigonometria no início de um curso de

Física a Básica, Hudson & McIntire (1977) constataram que o mesmo serviu como um instrumento que possibilitou a previsão do fracasso, mas não a garantia do sucesso dos estudantes(Hudson & McIntire, 1977, p. 470).

Esta insuficiência é muito bem explicada por Redish (2005) quando o mesmo defende que " utilizar Matemática em Ciências (principalmente em Física) não é somente fazer Matemática". Segundo o autor, o uso da Matemática na na Física tem um objetivo/enfoque diferente, pois se destina a representar sistemas físicos, ao invés de expressar relações abstratas. Além didisso, Redish (2005) argumenta que a Matemática utilizada na Física possui inclusive uma semiótica diferente , é quase como se a "linguagem" da Matemática que se usa na Física fosse diferente daquela ensinada pelos matemáticos (Redish, 2005, p. 1). Na condição de físico, o autor fornece os seguintes argumentos para fundamentar essas diferenças:

- -Nós [os físicos] damos nomes diferentes às constantes e às variáveis;
- -Nós ocultamos/ofuscamos a distinção entre constantes e variáveis;
- -Nós utilizamos símbolos para representar idéias ao invés de quantidades;
- -Nós misturamos as "coisas da Física" com "coisas da Matemática" quando interpretamos as equações;
- -Nós atribuímos significado aos nossos símbolos;

Alguns problemas são mencionados por Redish (2005) com o o objetivo de exemplificar essas diferenças. Dentre eles, o clássico experimento do carrinho de Fletcher , no qual tradicionalmente se pergunta a aceleração no sistema e a tração no fio que une os blocos (Fig. 1):

Figura 1: Problema do carrinho de Fletcher (Redish, 2005, p. 5)

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O autor propõe que, ao solicitar que os estudantes calculem a aceleração do sistema para casos extremos/limites como m ? 0, M ? 0, m m &gt;&gt; M ou M &gt;&gt; m, m, pode-se exemplificar uma postura que consiste em considerar uma gama de experimentos s ao invés de um único e também evidencia a habilidade física de tratar constantes (massas) como variáveis (Redish, 2005, p. 5).

Diante do exposto, podemos retomar a segunda categoria proposta por Pietrocola (no prelo), a qual foi intitulada habilidades estruturantes e é entendida pelo autor como a capacidade de se fazer um uso organizacional da Matemática em domínios externos a ela (especialmente em Física). Em outras palavras, podemos entendê-la como a habilidade de pensar matematicamente os fenômenos do mumundo físico, ou ainda, de ler esse mesmo mundo através de uma linguagem matemática.

Naturalmente, a busca pelo desenvolvimento de habilidades estruturantes no ensino de Física passa pela discussão sobre modelos e modelização. Para Malvern (2000), pensar cocomo um físico significa pensar em modelos matemáticos. Entretanto, o processo de construção desses modelos (modelização) raramente é abordado no ensino e, de uma maneira geral, os alunos são apresentados a modelos prontos, encarados como espelhos fiéis da realidade e sem qualquer tipo de contextualização histórica (Pinho Alves et al., 2001) . Segundo Angell et al. (2008), os estudantes deveriam ser capazes de elaborar modelos a partir da identificação de variáveis e interpretação de equações, além de construiuir várias representações dos mesmos e transitar por elas. Para esses autores, o ensino de Física deveria dar aos estudantes uma visão da natureza da Física como uma atividade de modelização, treinando -os para que se tornem capazes de construir e de interpretar modelos (Angell et al., 2008, p. 257) .

Inúmeros são os esquemas presentes na literatura que objetivam sint etizar o processo de modelagem m matemática de fenômenos do mundo físico. Em função dos objetivos deste trabalho, apresentamos um deles na Figura 2, o qual foi retirado de Stewart (2007).

Figura 2: Mapa conceitual represenentando o processo de modelagem (STEWART, 2007, p. 25).

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O primeiro passo, de acordo com o esquema, é partir do problema do "mundo real" e formular/mapear r um modelo matemático. Quais as habilidades necessárias para se obter sucesso nessa etapa? O que difere um especialista de um iniciante em relação a essa capacidade? Ou ainda, mais especificamente para o enfoque deste trabalho, que tipo de problemas devem ser propostos para instigar o desenvolvimento da capacidade de modelização matemática (habilidades estruturantes)?

Segundo Redish (2005), para formular/mapear o modelo matemático, é preciso entender quais estruturas matemáticas estão disponíveis e quais sãsão os aspectos das mesmas que são relevantes para as características físicas que se pretende modelizar (Redish, 2005, p. 7) .

Nesse sentido, conforme já mencionamos, não basta saber operar mecanicamente as "ferramentas" matemáticas como funções, logaritmos, matrizes ou vetores. É necessário identificar os aspectos essenciais dessas estruturas para utilizá-las no processo de modelização. Em função da limitação de espaço, vamos exemplificar r essa compreensão, através de 3 problemas 1 (lápis e papel) l) e discutiremos uma abordagem diferenciada dos mesmos em seguida .

1 - - Uma força constante de intensidade F = 50N atua sobre um corpo numa direção que forma 60º com seu deslocamento horizontal. Sabendo que ele percorre 10m, m, determine o trabalho realizado p por essa força .

- 2 - Calcule o momento do binário aplicado à barra de 2m de comprimento conforme o esquema a seguir considerando positivo o sentido horário.

Figura 3: Criada pelos autores .

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3 - - - Um corpo de massa m está preso a uma mola de constante elástica k. O mesmo é deslocado uma distância A de sua posição de equilíbrio e então solto. Desprezando a ação de forças dissipativas, determine a posição do corpo em função do tempo.

Tradicionalmente, esses problemas (ou exercícios , dependendo do contexto) podem ser resolvidos pela " simples " " aplicação de fórmulas matemáticas (1: W = F.d.cos?; 2: W = F.d.sen? n? e 3: x(t) = A.cos( m k t)t) . Muitos autores criticariam a abordagem dos mesmos,

classificando -os como problemas fechados, e destacando que , ao resolvê -los , o aluno não é levado a formular hipóteses ou u desenvolver estratégias . Entretanto, defendemos que, mesmo para esses exercícios/problemas "clássicos", , é possível formular perguntas que instiguem os estudantes a refletir sobre o porquê da presença de determinadas estruturas matemáticas em fórmulas utilizadas na Física e, dessa forma, desenvolver as habilidades estruturantes previamente mencionadas .

Como sugestão de algumas dessas "boas" perguntas propomos:

- -Por que as funções trigonométricas (seno e co-seno) aparecem nas fórmulas matemáticas utilizadas na resolução destes três problemas? O que esses problemas têm em comum?
- -Quais são os aspectos relevantes para que as funções trigonométricas sejam úteis como estruturas matemáticas para modelizar fenômenos físicos?
- -Poderíamos trocar seno por co-seno (ou vice-versa) em cada um dos três problemas? Por quê?

As funções trigonométricas (seno e co-seno) são extremamente utilizadas na Física , principalmente, em duas situações. Quando se necessita calcular projeções de vetores, como é o caso dos problemas 1 e 2, ou quando se quer representar grandezas periódicas, como no problema 3. Se isso for devidamente discutido e explicitado para o aluno, acreditamos que ele será capaz de compreender a real utilidade dessa estrutura matemática e de utilizá-la em outros contextos que julgue pertinente. Exemplos semelhantes podem ser propostos com problemas que envolvam diversas estruturas matemáticas como funções polinomiais, logaritmos, matrizes, entre outras.

Para finalizar, é importante destacar que o surgimento de muitas dessas estruturas, incluindo as referidas funções trigonométricas, foi motivado justamente por problemas propostos por r físicos. Em relação a este fato Poincaré (1995) menciona que

O desejo de conhecer a natureza teve a mais constante e feliz influência sosobre o desenvolvimento da matemática. [...] o físico nos propõe problemas cuja solução espera de nós. Mas ao nos propor esses problemas, já pagou com muita antecedência o favor que lhe poderemos prestar, se conseguirmos resolvê-los (POINCARÉ, 1995, p. 94).

Abordar a a importância da Física para a gênese e de conceitos/objetos matemáticos também é fundamental para que possamos eliminar definitivamente essas artificiais tentativas de separação/distinção das partes matemática e física de um problema e para que o estudante tenha uma visão mais próxima da construção do pensamento científico .

## REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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