UMA PROPOSTA PARA A INTRODUÇAO DA RELATIVIDADE GERAL NO ENSINO MÉDIO

## UMUMA PROPOSTA PARA A ININTRODUÇÃO DA RELATIVIVIDADE GERAL NO ENSINO MÉDIO

Rafael da Costa Ferreira a [Rafael\_phy@yahoo.com.br] Maria de Fátima Alves da Silvab ab [mfas@dft.uerj.br]

- a Universidade do Estado do Rio de Janeiro

b Universidade do Estado do Rio de Janeiro

## RERESUMO

Trazemos aqui uma proposta para a inclusão da teoria da relatividade geral de Einstein como conteúdo a ser abordado no ensino médio brasileiro. Poderia -se dizer que essa proposta é pretensiosa, uma vez que demandaria um conhecimento matemático babastante avançado para sua compreensão completa. De fato, isso é verdade. No entanto, se consideramos que é importante para o estudante a compreensão da evolução do pensamento científico, desde suas motivações até a elaboração de uma nova teoria, a transição da gravitação newtoniana até a sua generalização através da TRG fornece um excelente exemplo, por sua completeza e elegância. Além disso, ela é de fundamental importância para se entender a estrutura do universo que nos cerca e de inúmeros fenômenos nele existentes, como por exemplo os buracos negros, as lentes gravitacionais, os buracos de minhoca, as ondas gravitacionais, viagens no tempo entre outros tão frequentes, tanto na literatura de divulgação, quanto na de ficção científica, que podem ser aproveitados como elementos de motivação para o ensino da física.

## 1. INTRODUÇÃO

Aqui reforçamos a importância da inserção da física moderna no ensino médio, já apontada por outros autores [1], mas particularmente nos detemos no ensino dos conceitos e princípios básicos para o entendimento da teoria da relatividade geral (TRG) neste nível de escolaridade.

Partindo do pressuposto de que os estudantes já tenham sido apresentados à teoria da relatividade restrita (TRR), e portanto, já tenham vivenciado um cenário no o qual houve um rompimento com a noção de espaço e tempo absolutos da física newtoniana, deverão agora ser confrontados com um outro rompimento com esta última. A noção de campo de forças que agem à distância, com massa atraindo massa, da gravitação newtoniana, será agora substituída pela idéia de massa alterando a geometria de sua vizinhança. Nesta nova concepção a presença de massa, ao invés de atrair à distância outras massas, interferirá na geometria, isto é, nas relações de distâncias ao seu redor. Duas formas de interpretarmos o mesmo fenômeno que geram conseqüências diferentes, sendo maiores as diferenças quanto maiores forem as massas envolvidas.

Para que os estudantes entendam que o universo, primeiramente tratado como um espaço plano, na física clá ssica, pode ser interpretado como um espaço curvo, de acordo com a TRG, é necessário que eles percebam o caminho da construção da nova teoria, a partir da generalização da própria geometria, usada para se estabelecer os conceitos de espaço e tempo.

Dai surge então a necessidade da elaboração de um texto sobre TRG voltada especificamente para o ensino médio que caracteriza um outro objetivo deste projeto. Nele não será apresentada toda a teoria, mas os conceitos básicos para a compreensão da passagem da teoria newtoniana da gravitação para a TRG. Ou seja, espera-se que este texto auxilie o professor de ensino médio a estabelecer com seus estudantes as bases da TRG, permitindo que estes compreendam as diferenças de construção das duas teorias, bem como seus limites de validade.

## 2. MOTIVAÇÃO PARA A CONSTRUÇÃO DA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL:

Se já existia uma teoria da relatividade, a TRR, porque foi necessária a criação de uma nova teoria da relatividade? Considerando -se que um estudante de nível médio já tenha sido apresentado à TRR, antes de sua introdução à TRG, pode-se esperar uma pergunta como esta. O que teria levado Einstein a construir uma nova teoria da relatividade, se a primeira já generalizava a mecânica newtoniana? É, portanto importante deixar claro nesse momento qual foi a motivação para a construção dessa nova teoria e distinguir quais os domínios dessas generalizações. Caso contrário, uma confusão entre os limites de validade de cada uma delas poderá ser estabelecida, criando obstáculos irreparáváveis para a correta compreensão das mesmas.

A teoria da gravitação deveria ser válida para qualquer referencial, seja ele inercial ou não. Aqui está uma, senão a maior, das motivações para a construção da TRG que generaliza, ao mesmo tempo, a gravitação newtoniana e a TRR na presença de campos gravitacionais, estendendo as leis da física para referenciais não inerciais. Por outro lado, a TRR já apontava para uma outra falha na gravitação newtoniana, uma vez que esta última prevê que dois corpos separados por uma distância, até mesmo muito grande, interagem instantaneamente, o que requer uma velocidade de propagação dos efeitos físicos infinita. Mas de acordo com o 2º postulado de Einstein, da TRR, a velocidade de propagação dos efeitos físicos tem um limite superior máximo, a velocidade da luz.

Assim a gravitação newtoniana não está de acordo com a relatividade da simultaneidade (já que para Newton o tempo era absoluto), e tem sua validade restrita a referenciais inerciais. Foi nesse cenário que Einstein, em em 1915, propôs a TRG, que representa a teoria da gravitação mais geral e confirmada por inúmeros testes experimentais/observacionais.

## 3. PRPRINCÍPIO DA EQEQUIVALÊNCIA(PE):

O PE, que permitiu a generalização da gravitação para qualquer referencial não inercial, l, embora seja aparentemente simples, depende, para sua compeensão, da percepção das particularidades da interação gravitacional. Para evidenciar isso pode-se usar o clássico exemplo dos astronautas nas naves ou então o exemplo dos elevadores, que permitem a percepção de que é possível fazer a mesma leitura de dois fenômenos físicos diferentes, no caso fenômenos físicos que ocorrem em um referencial inercial sob ação de um campo gravitacional e em um referencial acelerado. O uso de figuras para ilustrar tais exemplos é um artifício que facilita a compreensão dos alunos, uma vez que concretiza tais exemplos.

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Fig.1.a - - A esfera de metal cai acelerada quando sob ação de um campo gravitacional. b - - A esfera de metal "cai" com a mesma aceleração em uma nave idêntica acelerada no espaço, porém a natureza desta aceleração é cinemática.

Mas o que causa tal fenômeno? Como G é uma constante arbitrária, é possível escolher tal constante de modo conveniente para tornar a massa inercial numericamente igual à massa gravitacional. Graças a esta coincidência ou equivalência entre as massas gravitacional e inercial, todos os corpos estão sujeitos a uma mesma aceleração, independentemente de suas massas, quando sob influência de um mesmo campo gravitacional [2].

É esta característica particular das forças gravitacionais que permite a mesma interpretação física, por parte do observador restrito ao interior da nave, de fenômenos como a queda livre, tanto do ponto de vista da nave como um referencial inercial na vizinhança de um campo gravitacional, quanto do ponto de vista da nave como um referencial não inercial, com aceleração constante. No primeiro caso, embora as partículas no interior da nave estejam realmente sob a ação de uma força, a gravitaciona l, esta tem a propriedade de acelerar todas as partículas igualmente, independentemente de suas massas, como vimos acima. Já no segundo caso, a aceleração é novamente a mesma para todas as partículas no interior da nave, independentemente de suas massas. No entanto, estas não estão sujeitas a qualquer força real. É a nave que está sujeita a uma força que a acelera. Os objetos em seu interior apenas permanecem onde estavam, relativamente a um observador fixo em algum ponto fora dela. Somente a força gravitacional apresenta este comportamento. Isso mostra que não há como distinguir as leis da física nesses dois referenciais, ainda que um seja inercial e outro não. Essa equivalência é uma das bases da generalização da TRR, através da TRG.

Voltando à experiênc ia das naves, o professor pode agora perguntar o que seria observado quando a nave estivesse em repouso no espaço se ao invés da esfera de metal o astronauta usasse uma lanterna, que presa a uma das paredes da nave iluminasse a parede oposta? Aqui podemos recorrer ao princípio da duração mínima de Fermat, que é um princípio fundamental da óptica geométrica, que diz que o caminho seguido por um raio luminoso entre dois pontos é tal que o tempo decorrido entre a partida do primeiro ponto e a chegada ao segundo é estacionário para pequenas variações do caminho, o que equivale dizer que o trajeto percorrido pela luz é mínimo, ou seja, é o menor trajeto possível. Assim, a luz proveniente da lanterna atravessaria a nave de um lado ao outro descrevendo uma trajetória retilínea, como na figura 2.

Fig.2- O caminho percorrido pelo feixe de luz na nave em repouso no espaço é uma linha reta.

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Mas o que aconteceria com o feixe de luz quando a nave fosse acelerada? Se pensarmos na luz como sendo composta por pequenas partrtículas, que podem ser, através de uma analogia, comparadas a esferas de metal, se deslocando de uma parede para a outra, a resposta se torna mais fácil. Ao ligar a lanterna com a nave acelerando, o feixe de luz iria se curvar para baixo, no sentido do piso, assim como as esferas de metal, do exemplo anterior, também se "deslocaram" quando a nave estava submetida a

uma aceleração no espaço. Portanto, pelo princípio da equivalência, devemos esperar que um campo gravitacional também curve a trajetória da luz, causando o mesmo efeito que a aceleração da nave, mostrado na figura 3.

Fig.3 - - A deflexão da trajetória da luz quando a nave sai do estado inicial de repouso e é acelerada (obs: A deflexão representada pela figura está fora de escala).

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Então pode-se concluir que a distância mais curta entre dois pontos pode ser uma linha curva. Pode -se então introduzir agora um novo conceito físico, o conceito de geodésicas, pois o que faz com que essa menor distância entre dois pontos possa ser uma linha curva, é o fafato de que os raios luminosos sempre percorrem essas geodésicas, que são as curvas que representam sempre a menor distância entre dois pontos. Em uma geometria plana (espaço euclidiano), essa curva é um segmento de reta, mas em geometrias curvas (geometria a riemaniana), a curva de menor distância entre dois pontos pode não ser uma reta. Logo, se a luz se propaga em uma linha curva, podemos interpretar isso como sendo uma conseqüência da curvatura do espaço onde se dá a propagação.

Mas o que isso significa? Isso significa que a luz se propaga no espaço como um trem que se move sobre um trilho. Do mesmo modo que o trem só pode descrever em seu movimento a trajetória que o trilho lhe conduz, a luz só pode descrever a trajetória que o espaço, onde ela se propaga, lhe "permite". Dessa maneira, se o espaço impõe uma geometria curva, a luz se propagando por ele só pode descrever também trajetórias que minimizam o seu percurso, respeitando essa a mesma curvatura.

## 4. A A CURVATURA DO ESPAÇO-TEMPO: GEOMETRIZAÇÃO DA GRAVITAÇÃO

A partir das idéias trabalhadas no item anterior, o professor poderá agora usá-las como motivação para a apresentação das conseqüências para o movimento de uma partícula quando esta está limitada a se deslocar sobre uma superfície curva. Compreender as diferenças básicas entre as relações de distância e ângulos entre superfícies planas e curvas é fundamental para que o estudante possa visualizar a nova proposta para a interpretação das forças gravitacionais na TRG, através da a geometrização da gravitação. Portanto, , o próximo passo seria o estudo das propriedades da curvatura de um espaço. A rigor, a TRG não se refere à curvatura do espaço somente, mas de uma outra entidade mais ampla que é o espaço-o-tempo, já introduzido na TRR. É neste que é construída umuma interpretação geométrica para a gravitação. No entanto, para os assuntos abordados no texto que aqui é apresentado, através de exemplos e analogias, podemos nos restringir à parte espacial do espaço-tempo.

O senso comum e a intuição, devido a vivermos em um mundo no qual não precisamos levar em conta a curvatura, podendo considerá-lo plano, devido às pequenas distâncias avaliadas, faz com que sejamos familiarizados apenas com a geometria euclidiana. Geometria esta que diz que a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta, que linhas paralelas nunca se encontram, e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 graus.

Porém, existem outros tipos de geometrias, geometrias curvas. Como exemplo é possível citar as superfícies que possuem m curvatura positiva, conforme a figura 4a, como a superfície de uma esfera, e as superfícies que possuem curvatura negativa, conforme a figura 4b, como a superfície de uma cela de cavalo. As superfícies com curvatura obedecem a axiomas diferentes daquelas sem curvatura, ou planas.

Fig.4. a - - Superfície com curvatura Positiva. b - - Superfície com curvatura Negativa.

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Na figura 5a é possível observar que a distância L1 L1 entre os dois pontos A e B é menor que a distância L2 L2 entre os mesmos pontos. Isso porque a menor distância entre dois pontos no espaço plano é uma linha reta.

Fig.5.a - - Menor distância entre dois pontos em um plano. b - Menor distância entre dois pontos em um espaço curvado.

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No espaço curvo, representado na figura 5b, a menor distância entre os dois pontos A e B é a linha L2 L2 , que é uma linha curva, que na verdade é uma linha reta entre A e B para o observador que a percorre, porém obedecendo à curvatura do espaço ao qual A e B pertencem. É importante perceber que ue a linha L1L1, uma linha reta plana que liga A e B, na f figura 5b, não existe nesse espaço curvo de duas dimensões, logo não pode ser percorrida por uma partícula cujo movimento se limita a essa superfície.

Sugerimos que se faça, nesse ponto, uma analogia com om a bola de Ping-Pong para facilitar a visualização tal fato, uma vez que esta é oca, consistindo em apenas uma casca esférica, ou seja, uma superfície bidimensional de curvatura positiva.

Fig.6.a - - A figura mostra uma bola de ping-pong e a meno r distância entre os pontos A e B, ou geodésica, que estão sobre sua superfície. b - - A linha, L1L1, que representa a menor distância entre os pontos A e B sobre bola de ping-pong.

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A menor distância entre o ponto A e B sobre a superfície da bola de ping-g-pong g é uma linha curva, pertencente a um dos círculos máximos da superfície da bolinha, que une esses pontos A e B, como mostrado na figura 6a. Um olhar somente sobre essa linha L1 L1 é representado na figura 6b, onde também é marcada uma linha tracejada imaginária que liga os mesmo pontos A e B e poderia ser a menor distância entre eles, caso o espaço onde os pontos estão contidos não apresentasse curvatura. Porém a reta tracejada não existe no espaço em questão, que se restringe apenas à superfície da bola de pining-pong. Logo, como já foi visto anteriormente, esta linha não pode ser a menor distância entre os pontos A e B.

A principal conseqüência que pode ser notada com a mudança na geometria, de uma geometria plana para uma geometria curva, e talvez seja um dos elementos mais importantes para se entender a grande mudança entre a gravitação newtoniana e a gravitação de Einstein, é que admitindo a possibilidade de interpretação do Universo como sendo curvo ou deformado, o princípio da ação-adistância deixa de ser necessário, pois a idéia de força pode ser entendida como uma conseqüência puramente geométrica.

Dessa forma as forças ganham um significado surpreendentemente novo, haja visto que para a mecânica clássica, as forças (no caso as forças de natureza gravitacional) eram entendidas como uma interação instantânea entre dois corpos distantes, o que é chamado de ação-a-distância, o que significa que um corpo pode influenciar os movimentos de outros corpos distantes instantaneamente. Apesar da mecânica newtoniana descrever razoavelmente o movimento dos planetas, o princípio de ação-adistância é algo não natural, pois dessa forma um corpo pode alterar a direção de outro sem sequer tocá -lo.

Porém se o Universo estiver curvado não precisamos recorrer à noção de forças e o corpo muda de direção devido a essa curvatura, pois a natureza minimiza a ação, ou seja, procura sempre o menor caminho ou o mais natural, sendo assim não é mais preciso a idéia de ação-o-a-a-distância entre os dois corpos. Com isso uma força não tem ma is vida própria, como no princípio de ação-o-a-distância, e pode ser agora vista como um efeito aparente produzido pela distorção da geometria do espaço.

Um bom modo de exemplificar tal fato e também visualizar a curvatura de um universo e a sua semelhança com uma força é trabalhar com os alunos a idéia de seres bidimensionais (que têm apenas duas dimensões, 2D) que vivem em uma folha de papel, como proposto por Michio Kaku[1]. Uma

tentativa de representação de tal ser é sugerida aqui como na figura 7a, onde o ser bidimensional se locomove do ponto A para o ponto B em uma trajetória retilínea sem nenhum problema.

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b)

Fig.7.a- a- Ser bidimensional na folha de papel, seu universo b - Folha amassada com o ser bidimensional que vive nela.

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Se a folha na qual esse ser bidimensional vive (seu universo) fosse amassada, tal ser não conseguiria perceber que seu universo estava amassado, e que ele próprio também o estava. Porém ao tentar se mover pela folha de papel amassada percorrendo a mesma trajetória entre os pontntos A e B, iria sentir uma "força" misteriosa e invisível que o impediria de andar em linha reta. Toda vez que passasse por uma prega da folha seu movimento seria modificado para outra direção, como mostrado na figura 7b.

Uma outra sugestão de exemplo que facilita a visualização dos efeitos da curvatura do universo sobre a matéria nela contida e seus habitantes, e também a interpretação dessa curvatura como uma força é o seguinte: Suponha um universo sobre uma superfície esférica (bola de Ping-Pong) onde existem dois seres bidimensionais2 que consideramos como os dois pontos A e B na figura 8b. Como já foi visto, esses dois seres não são capazes de perceber que seu mundo é curvado, neste caso uma esfera, e imaginam que vivem em um mundo plano. Sendo assim os os dois amigos bidimensionais resolvem seguir duas "retas" paralelas em seu mundo, mas percorrendo círculos máximos, que representam as geodésicas sobre uma superfície esférica.

Fig.8.a - - Esfera. Os seres bidimensionais que vivem sobre a esfera não a percebem e pensam viver em uma superfície plana. b - Dois seres bidimensionais A e B partem de dois pontos distintos de seu

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mundo em linhas que eles acreditam serem paralelas, porém após um certo tempo se deslocando em seu mundo se encontram, mesmo permananecendo sobre suas trajetórias iniciais. .

Após algum tempo resolvem medir a distância entre eles e constatam que esta diminuiu, porém continuam andando sobre as mesmas linhas "retas", originalmente paralelas, e ao medirem novamente sua distância constatam que ela diminuiu ainda mais. Insatisfeitos continuam seguindo suas trajetórias iniciais e medindo suas distâncias que vão diminuindo cada vez mais até se encontrarem, como esquematizado na figura 8b. O professor pode lançar mão de uma bola de ping-pong concreta e desenhar estas trajetórias sobre ela, para facilitar a visualização tri-i-dimensional.

Então devido às suas constatações chegam à conclusão que tal aproximação percebida por eles é devida a uma força atrativa que os aproxima mumutuamente, tal como a força gravitacional. Porém um outro ser, um ser tridimensional observando toda essa situação pode perceber o que acontece de fato. Esse outro ser vê que os seres bidimensionais A e B estão sobre a esfera, e percorrem círculos máximos, , aparentemente paralelos no ponto de partida . Ele então percebe que na posição inicial de suas trajetórias s o círculo perpendicular às suas trajetórias sobre essa esfera, que liga os dois seres, tem seu tamanho máximo e à medida que o movimento de ambos avança esse círculo perpendicular tem seu tamanho reduzido.

Dessa forma quando os seres A e B tentam andar sobre a esfera em linhas paralelas são impedidos, e tendem a se aproximar, mas não devido a uma força atrativa entre eles e sim devido ao fato de estarem sujeitos à geometria definida sobre uma esfera. Veja a figura 8b.

Mas o que causa tal curvatura no espaço? É possível fazer uma analogia para entender o que causa essa curvatura, para isso basta imaginar uma folha de borracha fina, esticada, que a princípípio é plana, conforme ilustrado na figura 9a. Porém se colocarmos sobre esta folha uma esfera de metal, a superfície da folha de borracha irá se deformar, se encurvando devido à presença da esfera, como na figura 9b.

Fig.9.a - - Superfície plana. b - Devido a presença da esfera, a superfície que era plana a princípio, passa a ser curvada.

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Quanto maior e mais pesada for a esfera, maior será a deformação na folha de borracha. Observe a figura 10

Se então for jogada uma esfera mais leve do que a prprimeira sobre a folha de borracha encurvada, a segunda esfera iria se mover em direção à esfera mais pesada, descrevendo uma trajetória curva ao redor dessa, que como já visto anteriormente, pode ser interpretada, à primeira vista como sendo devida à uma foforça de natureza atrativa entre as duas esferas. Porém tal fato pode ser justificado

simplesmente pela deformação gerada na superfície da folha de borracha, graças à presença das esferas. De maneira análoga ao que acontece com a folha de borracha e com a esfera de metal, a estrutura do espaço -tempo também se deforma com a presença de massa. Assim como a esfera menor gira em volta da esfera maior devido à curvatura que essa gera na folha, o Sol também influência na estrutura do espaço -tempo a sua volta. Dessa forma o movimento dos planetas ao redor do Sol também pode ser explicado devido à curvatura que este gera no espaço.

Da mesma maneira é possível entender o motivo pelo qual estamos todos plantados no planeta Terra ao invés de sermos arremessados no espaço. Pois o planeta Terra "empena" constantemente o espaço à nossa volta.

É importante deixar claro que a estrutura do espaçootempo, ao contrário do exemplo da folha de borracha, não equivale a um meio material para ser curvada como nesses exemplos, utilizados apenas como analogias. Na verdade a matéria e a radiação atuam sobre o espaço-o-tempo ditando-o-lhe como ele deve se encurvar. Por outro lado a curvatura do espaço-o-tempo atua sobre a matéria e a radiação ditando -lhes como essas devem se deslocar, mudando o ponto a ponto as leis da geometria as quais essas devem obedecer. Portanto quando nos referimos à curvatura do espaço-o-tempo estamos nos reportando à geometria definida neste, que deixa de ser plana e euclidiana para se tornar curva (neste caso, riemannianana).

Desta forma temos que a TRG representa um novo modelo para a gravitação, um modelo no qual esta é interpretada como o efeito da geometria espaço-o-temporal sobre a dinâmica dos corpos e dos sistemas físicos.

## 5. Considerações Finais

O intuito desse trabalho é chamar a atenção para o fato de que o ensino da TRG no nível médio, através de seus pressupostos básicos, além da oportunidade pedagógica que oferece para uma discussão sobre a evolução da física, é de fundamental importância para se entender a estrututura do universo que nos cerca e de inúmeros fenômenos nele existentes. Paralelamente a isto propomos um texto simples sobre a TRG que servisse de apoio didático para professores e estudantes do nível médio, já que existe no Brasil uma enorme carência de tetextos sobre tal tópico, apesar de algumas iniciativas através da introdução de seções ou capítulos sobre o assunto em textos voltados para este nível de escolaridade [4, 5, 6]. Esperamos que este texto auxilie o professor de ensino médio a estabelecer com seus estudantes as bases da TRG, permitindo que estes compreendam as diferenças de construção das duas teorias [7], bem como seus limites de validade.

É claro que, mesmo que conseqüências e aplicações intrigantes da TRG tais como buracos -negros, buracos de de minhoca, ondas gravitacionais, viagens no tempo e modelos cosmológicos, não tenham sido abordadas aqui, é importante que outros textos, também simples, sejam disponibilizados aos professores de nível médio de forma a capacitá-los a responder as perguntas sobre estes temas, que certamente surgiriam como curiosidade dos estudantes após o estudo das bases da TRG.

## 6. Referências:

- [1] Ostermann , Fernanda a e Moreira , Marco; Uma revisão bibliografica sobre a área de pesquisa

"Física Moderna e Comtemporânea no ensino médio". Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

http://www.if.ufrgs.br/public/ensino/vol5/n1/v5\_n1\_a2.htm.

- [2] Kittel, Charles e Knight, Walter e Ruderman , Malvin; Curso de Física de Berkley, vol.1, Mecânica. São Paulo, 1970, Editora Edgard Blüche r LTDA.
- [3] Kaku , Michio;Hiperespaço, Uma odisséia científica através de universos paralelos. 1ª edição, 2000, São Paulo, Editora Rocco.
- [4] Boa, Marcelo Fonte e GUIMARÃES, Luiz Alberto; Física: mecânica. Niterói, 2006, Editora Galera Hipermídia.
- [5] Gaspar , Alberto; F Física: mecânica. 1ª edição, 2005, Editora Ática.
- [6] Ramalho , Francisco e Ferraro , Nicolau Gilberto e Soares , Paulo; Os Fundamentos da Física -1 Série -- 2 Grau. 7ª edição, 2001, Editora Moderna; Alvarenga, a, Beatriz e e Máximo , Antônio; Físísica: Volume Único --2 Grau. 1ª edição, 2001, Editora Scipione.
- [7] Videira , Antonio; Einstein, A(s) Relatividade(s) de Einstein. Ciência &amp; Ambiente. Janeiro/ junho de 2005.