O Modelo Planetário Kepleriano

## O MOMODELO PLANETÁRIO KEKEPLERIANO

Rodrigo Ronelli Duarte de Andrade b a (rodrigo\_ronelli@yahoo.com.br)r) Robson de Sousa Nascimento b (robnascimento2003@yahoo.com.br) Marcelo Gomes Germanob, c (mggermano@ig.com.br)

a Escola Agrotécnica Federal de Araguatins
b - EAFA - TO b Universidade Federal do Piauí - UFPI c Universidade Federal da Paraíba - UFPB

## RESUMO

Em 1596, Johannes Kepler (1571-1630) publicou sua primeira obra, intitulada Mysterium Cosmographicum, na qual defendeu o sistema copernicano como superior a todos os outros. Nesta obra, ele propôs uma explicação para a posição e distância dos seis planetas conhecidos com relação ao Sol (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno) a partir de uma organização geométrica do sistema solar. Para tanto utilizou-u-se da idéia de que os sólidos r regulares (o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro) eram a base com que Deus criou o universo. Kepler imaginou que cada planeta ocuparia uma órbita, cujo raio médio em relação ao Sol era igual ao raio de uma ma esfera que tocaria internamente as faces de um dado sólido geométrico e, externamentnte, as arestas de um outro. Este é o primeiro modelo planetário apresentado pelo astrônomo e tem uma grande importância, não só por reforçar o modelo copernicano, mas também por melhorá-lo , e, principalmente, por constituir as sementes das leis planetárias por ele descobertas e publicadas no A Astronomia Nova a (1609) e no Harmonia do Mundo (1619). A proposta deste trabalho é a apresentar este modelo planetário elaborado por Kepleler, tão pouco divulgado no Ensino de Física e pouco detalhado na história dos modelos planetários. Serão desenvolvidos os cálculos dodos valores das órbitas para cada planeta a partir dos cálculos dos raios das esferas inscritas e circunscritas nos sólidos peperfeitos . Também é feita uma comparação com os valores copernicanos das órbitas planetárias . Alguns ns valores adquiridos apresentam boa aproximação com os valores da época, o que proporcionou a a Kepler tamanha impressão que ele, apesar de todo seu rigor matemámático, permanecerá á com esse modelo em sua mente por toda sua vida. A busca pela comprovação de suas idéias o levará as descobertas que levam seu nome.

PAPALAVRAS -CHAVE: E: Johannes Kepler, Modelo Planetário, História da Física.

## 1. ININTRODUÇÃO

Em 1596, o jovem astrônomo Johannes Kepler (1571-1630) publicou sua primeira obra, intitulada Mysterium Cosmographicum 1 , na qual defendeu o sistema copernicano como superior a todos os outros. Nesta obra, ele apresenta um modelo de sistema planetário baseado no sistema copernicano que procura explicar algumas proposições deste sistema .

Para tanto, Kepler partiu iu de uma idéia que lhe ocorreu em 9 de julho de 1595, ao desenhar uma figura geométrica no quadro negro, durante uma aula, na universidade de Graz, cidade capital da Estíria:

No quadro negro, uma figura momostrava um triângulo com um círculo inscrito e outro circunscrito. Notou que a proporção entre o raio do círculo maior (círculo que envolvia o triângulo) e o do menor (círculo envolvido pelo triângulo) parecia semelhante àquela existente entre as órbitas de Saturno e Júpiter. Logo tentou determinar uma segunda distância: entre Marte e Júpiter, com auxílio de um quadrado. Em seguida, uma terceira, com ajuda de um pentágono, e finalmente uma quarta, com auxílio de um hexágonono. Essas tentativas não deram certo, e Kepler se perguntou: "por que usar figuras planas (bidimensionais) entre os orbes sólidos (tridimensionais)?" No lugar dos polígonos regulares, resolveu usar poliedros regulares 2 . (Mourão, 2003, p p. 42)

Eram seis planetas conhecidos à época (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno) e cinco são os poliedros ou sólidos regulares. Isto para Kepler significava muito mais que uma simples coincidência; significava que Deus havia construído o universo segundo uma ordem, e a ordem é a expressão da própria essência divina: "a "a única idéia a qual ele poderia adotar para estabelecer o universo é sua própria essência ... " (Kepler, 1981, p. 93, citado em m Martens, R., 1999, p. 386). Daí se seguiram inúmeros cálculos para comprovar sua hipótese e logo ele iniciou a redação do M Mysterium Cosmographicum .

Mas , como os sólidos regulares determinavam a distância entre os planetas? A idéia kepleriana era tomar a distância média do planeta considerado ao Sol como o raio da esfera do planeneta a qual um sólido estaria inscrito ou circunscrito. Estes sólidos entre as órbitas planetárias definiam as distâncias entre um planeta e o seguinte.

O objetivo deste trabalho é apresentar o primeiro modelo planetário elelalaborado por r Kepler, r, tão pouco divulgado no Ensino de Física e pouco detalhado na história dos modelos planetários, e mostrar r como ele chegou aos valores das órbitas para cada planeta a partir dos cálculos dos raios das esferas inscritas e circunscritas nos sólidos perfeitos. Também é feita a uma comparação com os valores copernicanos das órbitas planetárias.

## 2. O MISTÉRIO COSMOGRÁFICO

O Mistério Cosmográfico é um livro pequeno, de oitenta páginas e vinte e três capítulos. Cerca de seis meses após a inspiração sobre as órbitas planetárias e os sólidos geométricos, seu autor havia concluído o manuscrito do livro .

Ao escrevê -lo, Kepler objetivava divulgar o seu modelo planetário que pretendia resolver alguns dos principais problemas da astronomia da sua época, tais como: : a determinação das órbitas planetárias , explicar o porquê da existência de apenas seis planetas(e não mais e nem menos do que esse número), a relação entre as órbitas com m as distâncias dessas ao centro, e, principalmente, elaborar leis que descrevessem e explicassem esses componentes do mundo celeste (Tossato, 1999, p. 40).

Para construir o seu modelo dos sólidos perfeitos, Kepler adere às teses heliocêntricas de centralidade do Sol e de movimento da Terra ao redor deste, considerando -a como um planeta como os demais. Assim, o Sol está no centro do sistema planetário e os sólidos perfeitos definiam as distâncias entre as órbitas dos planetas. Nos três primeiros capítulos, ele descreve como as esferas planetárias se encontravam separadas uma da outra pelos cinco sólidos perfeitos (Kepler, citado em Caspar, 1993, p. 63):

- "... A A [órbita da] Terra é a medida para as outras órbitas. Circunscreva um sólido regular de doze lados [d[dodecaedro] ao redor dela; a esfera envolvendo-a deve ser a de Marte. Deixe a a órbita de Marte ser circunscrita por um sólido de quatro lados [tetraedro] . A esfera que é descrita sobre este deve ser a de Júpiter. Deixe a órbita de Júpiter ser circunscrita por um cubo. A esfera que é descrita sobre este deve ser a de Saturno. Agora , coloque um icosaedro na na esfera da a Terra. A esfera inscrita nele será a a de Vênus. N Na órbita de V Vênus coloque um octaedro. A A esfera inscrita nele será a de Mercúrio. Assim, têtêmmse a b base para o número de planetas."

A Fig. 1, retirada do Mysterium, representa o sisistema planetário elaborado por Kepler, com as esferas e sólidos perfeitos.

Fig. 1. Representação do sistema planetário kepleriano (K(Kepler, 1625, em Fririsch, 1858).

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## 3. AS AS ÓRBITAS PLANETÁRIAS

Nos anos de 1586 a 1588, Kepler pôde estudar rudimentos de Geometria e Aritmética a no seminário de Maulbronn. Em 1589, entrou na prestigiosa Universidade de Tübingen como bolsista do Duque de Württemberg, onde permaneceu por cinco anos. Foi em Tübingen que ele aprofundou seus conhecimentos em Matemática e Astronomia. O professor destas matérias, Michael Maestlin (1550-1631), o fascinou. Kepler teve uma sólida formação matemática, daí seu conhecimento da obra de Euclides e da geometria dos sólidos platônicos.

Os Elementos é um conjunto de treze livros, escrito pelo matemático grego Euclides, que viveu por volta do ano 300 a.C. Essa coletânea reúne quase todo o conhecimento matemático daquela época, desde seu início com Tales de Mileto, século VI A. C. , até Euclides (Ávila, 2001, p. 1). Os três últimos desses livros ocupam-m-se da geometria sólida a onde aparece uma discussão dos cinco poliedros regulares (também chamados sólidos platônicos, ver Fig. 2) e a prova de que existem somente cinco deles .

Fig. 2 2 . Sólidos geométricos, tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro (Thompson, n, 2 2006).

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O livro XIII apresenta 18 proposições que definem as razões entre os diâmetros das esferas inscritas e circunscritas com os lados dos sólidos regulares e compara os lados dos cinco sólidos entre si. Sobre o livro de Euclides e os sólidos regulares Kepler afirma (Kepler, 1618, p. 353):

" Terceiro [III]..., que o número de planetas ou rotas circulares em volta do Sol foi tomado emprestado pelo muito sábio Fundador dos cinco sólidos regulares, com respeito aos quais Euclides, tantos anos atrás, escreveu um livro que intitulou de Elementos porque é construído a partir de uma série de propostas. Mas já se tornou claro no segundo livro de sua obra que não podem ser encaixadas juntas para formar um sólido mais do que cinco vezes. "

A utilização de polígonos inscritos em uma circunferência dada já era muito difundida, pois permitia, por exemplo, calcular facilmente ângulos submúltiplos de 360º. Os "compassos de proporção" da da época de Kepler r comportavam m uma graduação que permitia calcular o lado dos polígonos regulares inscritos, até um polígono de 15 lados (Lombardi, 2006, p.18).

As razões entre o raio da esfera inscrita ou circunscrita em função da aresta (a) de cada poliedrdro regular podem m ser vista na Tab. 1 .

Tab. 1. Razões entre os raios das as esferas inscrita ou u circunscrita em função da aresta de cada poliedro regular (Grupo de Historia de la Filosofía , 2003, p. 1).

A p partir das equações apresentadas na Tab. 1 é possível calcular os valores para os raios das órbitas planetátárias, utilizando, como Kepler fez, a órbita da Terra como "a "a medida para as outras órbitas " . Tomando o raio da órbita da Terra como 1 unidade e astronômica (UA), obtemos os valores apresentados na na Tab. 2. As distâncias relativas determináveis por meio da da teoria de Copérnico (coluna direita na Tab. 2) eram conhecidas por Kepler (Schuster, 1995, p. 118).

Iniciamos calculando o valor da aresta (a(a) do icosaedro utilizando a equação do raio da esfera circunscrita neste sólido e com esse valor, encontramos o valor do raio da esfera inscrita nele (raio de Vênus). O valor do raio da esfera inscrita no icosaedro é o mesmo valor do raio da esfera circunscrita no octaedro, e assim, encontramos a aresta deste sólido, e, em seguida calculamos o raio da esfera inscrita no octaedro (raio de Mercúrio). Estes são os valores dos raios das órbitas dos planetas internos. O cálculo dos raios das órbitas dos planetas externos é feito da mesma forma.

Consideramos o raio da esfera inscrita no dodecaedro como 1 (raio da órbita da Terra) e calculamos a aresta deste sólido e depois o raio da esfera circunscrita nele (raio de Marte), que corresponderá ao valor do raio da esfera inscrita no tetraedro. Com esse raio encontramos o valor da aresta do tetraedro e também o raio da esfera circunscrita no mesmo (raio de Júpiter). Por fim, com o raio de Júpiter encontramos a a aresta do hexaedro (cubo) e o raio da esfera circunscrita a ele, que corresponde à à órbita de Saturno.

Tab. 2 . Raios das órbitas dos planetas segundo o modelo c copernicano e e o modelo kepleriano .

Se as órbitas fossem círculos perfeitos com centro no Sol, as superfícies esféricas que continham as trajetórias teriam uma espessura infinitesimal. Mas, comomo, ao contrário, os dados experimentais mostraram que os planetas descreviam círculos não centrados no Sol, as esferas acabavam ganhando certa espessura, a fim de conter as órbitas. A espessura dependia da excentricidade do planeta, ou seja, proporcional à à distância entre o centro da órbita e o Sol (Lombardi, i, 2006, p. 18). Isto também é evidenciado na Fig. 1, onde percebe-se que as esferas de cada órbita possuem espessuras (Koestler, 1961).

Segundo Schuster (1995, p. 118), lelevando-se em conta estas espessur as (que realmente Kepler considera), o modelo kepleriano alcançava uma precisão de 95% no ajuste entre os dados que ele estava usando e os t tamanhos das órbitas copernicanas, ou seja, Kepler alcançou um fator de erro de aproximadamente 5%. Por essa precisão é que, no Mysterium Cosmograpaphicum, ele atribui esta diferença a a erros nonos dados obtidos por Copérnico (Koestler, 1961). No entanto, por mais que ele refizesse os cálculos, e seu antigo mestre Maestlin também muito o ajudou, a precisão não era maior do que ue essa.

## 4. O MODELO PLANETÁRIO KEKEPLERIANO

O modelo planetário desenvolvido por Kepler no Mysterium Cosmographicum parte das idéias copernicanas do heliocentrismo, no entanto, se diferencia deste por alguns detalhes. Em primeiro lugar, no modelo kepleriano, as distâncias entre os planetas não são aleatórias, mas sim, determinadas pelas mesmas proporções existentes entre os sólidos perfeitos, como exposto acima. A idéia dos sólidos também explica o número de planetas existentes na época. Apesar de sua crença nesta descrição planetária, Kepler não acreditava que estes sólidos estivessem presentes no espaço nem aceitava a idéia de que existissem esferas (Mourão, 2003, p. 50).

A segunda diferença importante é com relação à posição ocupada pelo Sol. Na teoria copernicana o Sol não está localizado no centro das órbitas esféricas dos planetas. Copérnico admitiu isso para explicar a aproximação e o afastamento dos planetas s em relação ao Sol, no

movimento anual. l. Kepler, ao contrário, postula que o Sol não só é o centro do movimento dos planetas, mas também sugere que ele é o responsável por esse movimento.

Paradoxalmente, as mudanças que Kepler fez no modelo de Copérnico fez deste modelo lo muito mais "Copernicanono". Como uma conseqüência, entre outras coisas, a Terra foi veverdadeiramente considerada da mesma maneira que os outros planetas. Em conclusão, Kepler removeu do modelo copernicano de universo as últimas sombmbras ptololomaicas . Além m disso , a mudança do centro dos movimentos para o próprio Sol obrigou Kepler a a introduzir novamente o equante (punctum aequans) que tinha sido afastado por Copérnico (Boccaletti, 2003, p p. 7) .

Uma outra diferença entre o modelo kepleriano e copernicano é a hipótese inserida no capítulo XX do Mysterium, de que havia uma "alma motriz" (anima motririx), que explicava a variação de velocidade de um planeta ao longo de sua órbita. Com o Sol no centro do sistema é que as velocidades dos planetas tinham m uma ordem crescente quando se aproximavam do astro. Assim, ele atribuiu ao Sol uma "virtude" que induzia o movimento dos planetas, mas que, se distribuindo pelo espaço, diminuía com a distância (Lombardi, i, 2006, p. 20).

A Fig. 3 mostra o modelo planetário kepleriano com os sólidos regulares entre as órbitas dos planetas e estas órbitas estão representadas por três círculos, para indicar a posição do planeta mais afastada do Sol (afélio) e mais próxima do Sol (periélio). Kepler explica (Kepler, 1618, p. 352): "N"No entanto, devido ao diminuto espaço, os três círculos de Vênus se unem em um apenas, contrário a m inha intenção".

Fig. 3 3 . M Modelo planetário kepleriano (Kepler, r, 1618, p. 352).

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Ao publicar seu modelo, Kepler procurou divulgá-lo tanto quanto possível, enviando cópias do livro para os mais ilustres astrônomos contemporâneos, como Galileu Galilei e Tycho Brahe. Seus esforços não foram em vão e o livro tornou-u-se objeto de controvérsias pelo tipo de questões que levantara. Além disso, foi a partir do conhecimento do livro que Tycho Brahe passou a se interessar por Kepler, e o convidou a ser seu assistente. TyTycho Brahe possuía o maior e mais preciso acervo de dados astronômicos da época, e era justamente o que Kepler precisava para comprovar as idéias do modelo.

Após ter contato com os dados tychonianos, Kepler passa a modificar seu modelo planetátário , admitindo órbitas elípticas e não mais circulares, culminando com a descoberta das leis planetárias publicadas no A Astronomia Nova a (1609) e no H Harmonia do Mundo (1619) .

## 5. CONCLUSÃO

- O primeiro modelo planetário construído por Kepler foi apresentado em seu livro, Mysysterium Cosmographicum, e, apesar de seguir as idéias copernicanas, se diferencia delas. O modelo kepleriano admite que as órbitas planetárias sejam determinadas pelos sólidos perfeitos, cujas esferas são inscritas ou circunscritas neles. Isto explica o número de planetas, pois só existem cinco sólidos geométricos, daí existirem apenas seis planetas.

A localização do Sol no centro das órbitas esféricas dos planetas é outra sugestão kepleriana que vem explicar, por exemplo, porque as velocidades dos planetas tinham uma ordem crescente quando se aproximavam do Sol e diminuíam quando se afastavam dele. Isso levou Kepler a supor uma "alma motriz" emanada do Sol que seria responsável pelo movimento dos planetas. Essas idéias amadurecem e resultam na determinação das leis que levam o seu nome.

Assim, discordamos da afirmação de Burtt (1991, p.48), quando ele se refere à à idéia de relacionar os sólidos perfeitos com as órbitas planetárias:

Evidentemente, esse achado permaneceu totalmente improdutivo - - a correspondênc ia é apenas aproximada e a descoberta de novos planetas invalidou as premissas subjacentes - - mas Kepler nunca esqueceu o entusiasmo juvenil que essa realização nele despertou.

Mas Burtt tem razão quando diz que Kepler nunca esqueceu o entusiasmo que o Mysterium lhe proporcionou, tanto que ele realizou u uma revisão para a segunda edição publicada vinte e cinco anos depois da primeira, em 1621, onde acrescenta uma grande quantidade de notas explicativas que praticamente duplica a o volume do seu pequeno livro.

Esse entusiasmo que a idéia dos sólidos lhe trouxe p pode justificar a forte impressão que esse modelo planetário lhe causou, mesmo após ele desenvolver a a consciência de que os sólidos perfeitos não podem explicar as órbitas planetárias como encontrado no seuHarmonia dos Mundos , livro V, quando ele afirma (Kepler, 1618, p. 354):

Por conseguinte, e, é claro que as próprias razões dos intervalos planetários do Sol não foram retiradas unicamente dos sólidos regulares. Pois o Criador, que é a própria fonte da geometria e, conforme Platão escreveu, "pratica a geometria eterna", não se desvia muito de Seu próprio arquétipo. E sem dúvida esta mesma coisa poderia ser deduzida do fato de que todos os planetas mudam seus intervalos durante períodos fixos de tempo, de tal foforma que cada um tem dois intervalos marcados até o Sol, um maior e um menor; (...) Se ponderarmos isso, iremos compreender que, para montar os diâmetros e excentricidades conjuntamente, existe a necessidade de mais princípios, além dos cinco sólidos regulalares.

## REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Boccaletti, D. From the epicycles of the Greeks to Kepler's ellipse - The breakdown of the circle paradigm. Presented at "C "Cosmology Through Time - Ancient and Modern Cosmology in the Mediterranean Area " , Monte Porzio Catone (Rome), Italy, June 18-20, 2001. Disponível em: http://arxiv.org/abs/physics/0107009. Acesso em: 07/0/09/2006.

Burtt, E. A. As Bases Metafísicas da Ciência Moderna. Brasília, Editora Universidade de Brasília, 1991. 268 p.

Caspar, M. K Kepler. New York, Dover Publications, Inc. 1993.

Frisch, C. J Johannis Kepleri astronomi Opera Omnia. Vol. 1, Frankfurt-Erlangen, 1858.

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Kepler, J. Harmonias do Mundo - - Livro V, V, 1618. In: Os Gênios da Ciência: sobre os ombros de gigantes. [Editado com comentários de] Stephen Hawking; tradução de Heloísa Beatriz Santos Rocha, Lis Lemos Parreiras Horta Moriconi; revisão técnica Marco Moriconi, Sérgio Mendes Dutra. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.

Koestler, A. Os sonâmbulos: HisHistórias das concepções do hohomem sobre o universo. São Paulo: Ibrasa, 1961.

Lombardi, A. M. Kepler, A harmonia dos astros. Gênios da Ciência. Scientific American Brasil, 2006.

Martens, R. Kepler's Solution to the Problem of a Realist Celestial Mechanics. Studies in History and Philosophy of Science, Vol. 30, n. 3. pp. 377-394, 1999.

Mourão, R. R. F. M. Kepler - A descoberta das Leis do Movimento Planetário. São Paulo: Odysseus Editora, 1ª ed., 2003.

Schuster, J. A. The Scientific Revolution - An Introduction to the HiHistory and Philosophy of Science . School of History and Philosophy of Science, University of New South Wales, 1995.

Thompson, D. Harmony: Mistakes and Miracles in Johannes Kepler's Cosmology . Disponível em: http://dt.pepperdine.edu/projects/documents/files/kepler\_actcarticle\_99.htm. m. Acesso em: 07/09/2006.

Tossato, C. R. Mysterium Cosmographicum: Os Antecedentes das Duas Primeiras Leis Keplerianas dos Movimentos Planetários . Cadernos Espinosanos, Vol.5, pp. 35-63, 1999.