REFLEXOES SOBRE A ELABORAÇAO DE QUESTOES QUE ENVOLVAM GASES IDEAIS DO PONTO DE VISTA DA 1$^a$LEI DA TERMODINAMICA E DA TEORIA CINÉTICA DOS GASES - UM RELATO DE CASO

## REFLEXÕES SOBRE A ELABORAÇÃO DE QUESTÕES QUE ENVOLVAM GASES IDEAIS DO PONTO DE VISTA DA 1ª LEI DA TERMODINÂMICA E DA TEORIA CINÉTICA DOS GASES - - UM RELATO DE CASO

Gilberto de Holanda Cavalcantia ia [gibafis@ig.com.br] Marcos Antonio Rodrigues Macêdo b [marcosarmacedo@yahoo.com.br]

a

Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco - CEFETPE

b Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco - CEFETPE

## RESUMO

Quando estamos elaborando questões para uma avaliação qualquer, devemos ter o cuidado de observar dentre outros aspectos, quanto a adequação do nível da questão a série ensinada, quais as possibilidades de resolução e se essas resoluções não ferem nenhuma lei física. Este trabalho acadêmico tem como objetivo chamar atenção dos professores de Físicica, em relação a alguns cuidados quando da elaboração de atividades avaliativas sobre a 1ª lei da Termodinâmica aplicada a Gases ideais. Esse fato nos chamou atenção quando durante uma aula de exercícios de Termodinâmica, fomos questionados por um aluno se não seria possível à resolução da questão proposta através da Teoria Cinética dos Gases, já que o gás mencionado no enunciado era ideal. Para a nossa surpresa, na resolução encontramos valores diferentes de quando usamos a 1ª Lei da Termodinâmica e a Teoria Cinética dos Gases para calcular a variação da energia interna do gás ideal. Dessa forma, investigamos outras questões e encontramos o mesmo problema. Em seguida fazemos um relato de caso, onde mostramos alguns exemplos de questões, aplicadas em vestibululares do Brasil, onde os resultados divergem quando usamos a 1ª lei da Termodinâmica e quando usamos a Teoria Cinética dos Gases. Após a identificação dessas incoerências, faremos uma breve revisão da Teoria Cinética dos Gases onde procuraremos relacionar os calores molares com os graus de liberdade das moléculas. Esta revisão nos deu a fundamentação teórica para a escrever esse artigo. Logo em seguida identificamos os problemas encontrados quando da elaboração de algumas das questões. Na conclusão sugerimos alguns procedimentos que os professores, principalmente aqueles que trabalham na elaboração de testes de vestibulares, devem adotar para que as questões propostas não apresentem tais incoerências e não levem ao aluno dúvidas de como resolver as questões.

Palavras - chave: Calor específico, Termodinâmica, Teoria Cinética dos Gases.

## INTRODUÇÃO

Quando estamos ensinando a disciplina de Física, uma das coisas que mais enfatizamos é que um fenômeno físico qualquer, para ser devidamente explicado, deve obedecer alguns princípios ou leis, que foram criadas a partir de um modelo desenvolvido, onde as variáveis presentes no fenômeno podem ser controladas. Muitas vezes, dentro de um mesmo modelo, podemos encontrar princípios e leis que se complementam ou se relalacionam como por exemplo a conservação da energia mecânica e as leis do movimento.

Numa dessas aulas, quando da resolução de questões a respeito da 1ª lei da Termodinâmica, um aluno nos questionou se não poderíamos resolver a questão aplicando a teoria cinética dos gases, já que no enunciado dizia que o gás era ideal. Buscando satisfazer a curiosidade do aluno, a questão foi resolvida. Qual a grande surpresa? Os resultados obtidos utilizando a 1ª lei e a teoria cinética divergiam. Onde estava o erro? Na aplilicação da lei? Na resolução matemática? No princípio que

não pode ser utilizado? Quando deve ser utilizado a 1ª lei da Termodinâmica e a teoria cinética dos gases?

Destacamos a seguir seis questões e suas resoluções utilizando-se a 1ª lei da Termodinâmica e a teoria cinética dos gases onde verificamos divergências nas respostas.

QUESTÃO 1 - - (ESAL-MG) 1 Dez gramas de um gás perfeito o são aquecidos sob p pressão constante , de 10°C para 20°C, onde são dados: massa molecular do gás igual a 40 g/mol, calor específico à pressão constante, 0,175 cal/g.°C, constante universal dos gases, 8,31 J/mol.K, equivalente mecânico da unidade de calor, 4,18 J/cal. Calcule:

- a) O trabalho realizado pelo gás.
- b) A variação da energia interna sofrida pelo gás.
- c) A variação da energia interna que o gás sofreria se o referido aquecimento fosse isovolumétrico.

## Solução 01

a) Como a pressão é constante, ou seja, p = cte, temos F = cte, logo: Á = F . d = p . A . d = p.DV , ou melhor Á = n.R.DT, pois p.V = n.R.T , daí: 20 , 8 J 40 10 . 8 , 31 . 10 M m.R. T = @ D Á = .

b) Sabemomos que: DU = Q - Á, onde Q = m.c.Dq , sendo assim Q =10.0,175.10 =17,5 cal , como 1 cal = 4,18 J, temos: Q = 73,15 J. Logo concluímos que DU = 73 , 15 -20 , 8 ou melhor, DU P = 52,4 J .

c) Como a transformação é isocórica temos:Á = 0 , logo, DU v = Q v = m.c v . Dq . Como temos de ter o mesmo aquecimento, ou seja a mesma quantidade de calor, teremos Q 73 , 15J v = , sendo assim U 73,15 J. D v =

## Solução 02

- a) Idem da solução 01, ou seja: Á = n.R.DT = 20,775 J @ 20,8 J.
- b) Aplicando a teoria cinética dos gases ideais temos: 2 3.n.R. TD U U p v TD D = D = , sendo assim

<!-- formula-not-decoded -->

- c) Como DU v = Q v , como temos de ter o mesmo aquecimento, ou seja a mesma quantidade de calor, teremos assim Q 73 , 15J v = , logo, U 73,15 J. D v =

Sendo assim, qual a razão de encontramos duas respostas diferentes para o item b?

QUESTÃO 2 -(UFES) 2 A figura mostra a variação do volume de um gás ideal, l, à pressão constante e de 4 N/m2 m2 , em função da temperatura. Sabe-se que, durante a transformação de estado de A para B, o gás recebeu uma quantidade de calor igual a 20 J. Qual a variação da energia interna do gás entre os estados A e B?

## Solução 01

<!-- formula-not-decoded -->

## Solução 02

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- image -->

Novamente, qual a razão dessa incoerência de resultados?

QUESTÃO 3 - (UF VIÇOSA - - MG) 3 Um gás perfeito o está contido num cilindro fechado com pistão móvel. Esse sistema pode ser levado de um estado inicial A, até um estado final C, seguindo dois processos distintos, AC e ABC (figura). No processo AC o sistema recebe 300 J de calor, e, no processo ABC, recebe 270 J. Calcule:

- a) o trabalho realizado pelo sistema nos dois processos;

b) a variação da energia interna do sistema ao ser levado de A para C

<!-- image -->

## Solução 01

a) Na transformação AC o trabalho é dado pela área do trapézio, ou seja: 2 (6 . 10 9 . 10 ).2 . 10 4 4 3 AC -+ Á = , logo 150 J Á AC = . Por sua vez Á ABC = Á AB + Á BC , como BC é isocórica temos Á BC = 0, sendo assim p. V 6.10 . 2 . 10 120 J ABC 4 3 Á ABC = D = ® Á = -

b)Como DU AC = Q AC -Á AC temos: U 300 -150 U 150 J D AC = ® D AC = . Também poderíamos ter feito: como já era esperado.

## Solução 02

- a) Idem da solução 01.

b) Como o gás é ideal temos: 2 3.n.R. TD U AC TD D = , por sua vez C VC VC n.R.T C p . = ; A VA VA n.R.T A p . = , sendo assim, C C V A VA VA n.R.DT DT = p . C V -p . , ou seja, 2 3.(p . V C p . V A) U C V C A V A AC -D = . Logo substituindo os valores numéricos do gráfico teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

Temos assim outra incoerência de resultados.

QUESTÃO 4 -(UFSC) 4 -Quando fornecemos 100 J de calor a um gás ideal, ele realiza um trabalho conforme o gráfico, indo do estado a ao estado b. Qual é a variação da energia interna do gás nessa transformação?

## Solução 01

<!-- formula-not-decoded -->

## Solução 02

<!-- image -->

Como o gás é ideal temos:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Qual a razão dessa incoerência?

QUESTÃO 55 55 - - O diagrama pressão x volume, a seguir, representa duas possíveis transformações de um g gás perfeito , do estado inicial A ao estado final C. Sabendo que o gás recebeu 200 J de energia térmica na transformação AC, calcule:

a) o trabalho realizado pelo gás nas transformações AC e ABC;

b) a variação da energia interna do gás, de A A a C;

c) a quantidade de energia térmica recebida pelo gás na

- transformação ABC.

<!-- image -->

## Solução 01

a) O trabalho para o gás ir do estado A ao estado C é dado pela área do trapézio, ou seja: 50 J 2 (2 . 10 3 . 10 ).2 . 10 AC 4 4 3 AC ® Á = + Á = -. O trabalhlho para o gás ir do estado A A ao estado C , 0, pois a transformação é isocórica.

passando por B, é dado por: Á ABC = Á AB + Á BC , onde Á BC = Sendo assim

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

- c) Como a variação da energia interna só depende do estado inicial e do estado final temos: DU ABC = DU AC , onde DU ABC = Q ABC -Á ABC , sendo assim, 150 = Q ABC -40 , o que implica Q 190 J ABC = .

## Solução 02

- a) Idem da solução 01.

b) Como o gás é perfeito temos: 2 3.(p . V C p . V ) 2 3 . n . R . T U C V C A A AC -= D D = , substituindo os valores numéricos do gráfico teremos, 2 3.(3 . 10 . 4 . 10 2 . 10 . 2 . 10 ) U 4 3 4 3 AC ---D = , logo a variação da energia interna do gás ao passar do estado A para o estado C, usando a teoria cinética dos gás perfeito é

<!-- formula-not-decoded -->

- c) O calor que o sistema troca com a vizinhança quando o gás sofre a transformação ABC é dado por: Q ABC = Q AB + Q BC , onde AB é uma transformação isobárica e BC é uma isocórica. Sendo assim: ABC p AB T V T BC Q = n . C . DA T + n . C . D , onde C p e C V V são as capacidades térmicas molares a pressão e volume constantes. Como o gás é perfeito temos: C p = (5/2).R e CV V = (3/2).R.

## Conseqüentemente teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

substituindo os valores,

<!-- formula-not-decoded -->

teremos,

<!-- formula-not-decoded -->

Quais as razões das incoerências dos resultados dos itens b e c?

QUESTÂO 6 - (FUVEST - - SP) 6 Um mol de moléculas de um gás ideal sofre uma transformação isotérmica reversível A ? B, mostrada na figura.

- a) Determine o volume VBVB .
- b) Sabendo que o gás efetuou um trabalho igual 5,7 joules, qual a quantidade de calor que ele recebeu?

Dado: constante dos gases ideais R = 0,082 atm.LK -1 moll1 .

## Solução 01

<!-- image -->

- a) Como a transformação é isotérmica temos:p A . VA VA = p B . VB VB ® 2 . 1 =1 . VB VB ® VB VB = 2L .
- b) Sabemos que:DU AB = Q AB -Á AB , como a temperatura é constante temos DU AB = 0 . Logo, Q 5 , 7 J AB = Á AB = .

## Solução 02

a) Idem da solução 01

b)Como a transformação é isotérmica, sabemos que o trabalho da força é dado através do Cálculo

Diferencial Integral ou seja, dÁ = p . dV , onde V n . R . T p = , sendo assim, logo ÷ ÷ ø÷ ÷ ö ÷ ø ÷ ö ç ç èç ç æ ç è ç æ Á = A V B V AB A V B V n . R . T . ln ,

substituindo os valores do gráfico e o valor calculado de VB VB = 2 L(litros), teremos: 2 . 1 . ln( 2) 1 , 38 atm.L 1 2 AB pA . V A. ln ÷ ø ö= = ÷ ø ÷ ö ç è æ ç è ç æ Á = Como 1 atm = 1.10 5 Pa e 1L = 10 -3 m 3 m 3 teremos:

<!-- formula-not-decoded -->

Encontramos, mais uma vez, outra divergência nos resultados.

## REFERENCIAL TEÓRICO

A teoria cinética do gás ideal diz que 7 :

- 1. O número de moléculas no gás é grande, e a separação entre as moléculas também o é em comparação com as respectivas dimensões moleculares.
- 2. As moléculas obedecem às leis do movimento, de Newton, mas as moléculas individuais se movem de modo aleatório.
- 3. As moléculas colidem elasticamente umas com as outras. Nas colisões, conservammse a energia cinética e a quantidade de movimento do sistema.
- 4. As forças entre as moléculas são desprezíveis, exceto durante a colisão.
- 5. O gás está em equilíbrio térmico com as paredes do recipiente.
- 6. O gás é puro. Isto é, todas as moléculas são idênticas.

No modelo mais simples de um gás, cada molécula é considerada uma esfera rígida desprovida de estrutura interna que colide elasticamente com as outras moléculas e com as paredes do recipiente. Admite que as moléculas não se deformam nas colisões. Essa descrição é adequada exclusivamente para os gases monoatômicos, cuja energia é, inteiramente, energia cinética de translação. Quando as moléculas são mais complexas, como as de O2 ou de CO2, gases diatômicos e poliatômicos, é necessário modificar a teoria, a fim de incluir na energia interna do gás as contribuições da energia de rotação e da energia de vibração de cada molécula 8 .

Usando a dinâmica de Newton e alguns conceitos da Estatística chega-se que a pressão que um gás ideal exerce sobre as paredes de um recipiente é dada por: 3 1 . . v p 2 m = , onde µ é a massa m , donde m é massa do gágás e V o volume.

específica do gás ideal, ou seja V m =

Mostra -se também, que a energia cinética média das moléculas é dada por: K . T 2 3 E c = × , onde T é a temperatura Absoluta do gás e K é a constante de Boltzmann. Como o gás ideal por hipótese é desprovido de estrutura interna, toda a a energia interna do gás é devido à energia cinética de translação das moléculas. Logo a energia interna U do gás ideal é dada por: U = N . EC , ou melhor, n . R . T 2 3 U = × , onde R é a constante universal dos gases e n o número de mols.

Em conseqüência dessa teoria a variação da energia interna que na 1ª Lei da Termodinâmica é dada por DU = Q - Á , também poderá ser dada por: n . R . T 2 3 DU = × D .

Como geralmente o calor que o gás troca com a vizinhança é sensível, temos queue: Q = m . c . DT . Por sua vez, m = n.M, onde M é a massa molecular do gás ideal, logo:Q = n . Mc . DT . Definindo M.c = C, calor molar ou capacidade térmica por mol, teremos: Q = n . C . DT .

Sabemos que da experiência de Joule que a variação da energia interna DU independe do caminho que o gás vai do estado inicial ao estado final, ou seja, DU é função exclusiva da variação de temperatura. Sendo assim aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica numa transformação isocórica teremos: DU = Q v , logo, n R T n . C T 2 3 × × × D = V × D , conseqüentemente R 2 3 C v = × .

Por sua vez numa transformação isobárica temos: DU p = Q p -Á. Como DU P = DU v = Q v, temos: Q p = Q v + Á , ou seja, n . C p . DT = n . C v . DT + n . R . DT , sendo assim, C p = C V + R , ou melhor, R 2 5 C p = × .

Vemos assim que os calores molares ou capacidades térmicas molares a volume constante e a pressão constante do gás ideal, são constantes e dependem de R.

## CAPACIDADE TÉRMICA MOLAR DOS GASES E O TEOREMA DA EQUIPARTIÇÃO DA ENERGIA 9 .

- O Teorema da Eqüipartição da Energia, diz que a energia de um sistema, em equilíbrio térmico, se reparte igualmente entre todos os graus de liberdade. ChChamamos cada coordenada, cada componente da velocidade, cada componente da velocidade angular etc, que aparece elevada ao quadrado na expressão da energia de uma molécula, de grau de liberdade. Foi Clausius que

introduziu o conceito de grau de liberdade. O O número de graus de liberdade possuído por uma molécula é o número de grandezas independentes que devem ser especificadas para ser conhecido seu movimento 10 .

A teoria da eqüipartição diz que cada grau de liberdade contribui com K T 2 1 × × , para a a energia da molécula.

Sabemos que U = N . E , onde E é a energia média das moléculas. Para uma molécula com f graus de liberdade teremos: K T 2 1 E = f × × × . Daí a energia interna de um gás com N moléculas e f

graus us de liberdade por moléculas será dada por: 2 n . R . T U f 2 N . K . T U = f × ® = × , onde n = N/N o , No No

é o número de Avogadro e K = R/N o . Sendo assim: 2 n . R . T U f D D = × .

Logo usando a 1ª Lei da Termodinâmica e a teoria da eqüipartição da energia teremos as relações entre os calores molares e o número de graus de liberdade de cada modelo de gás: 2 R.(f 2) e e C 2 f . R C v p + = = .

Para um gás ideal (monoatômico) temos f = 3, o que implica C v = (3/2).R e C p = (5/2).R como já tínhamos visto.

Logo o expoente de Poisson-n-Laplace ? que aparece na transformação adiabática, ou seja, p . V = cte g , que é definido por: v p C C g = , será dado em termo de número de graus de liberdade por:

<!-- formula-not-decoded -->

Para um gás monoatômico temos f =3, ? = 5/3 = 1,666. A molécula só possui os três graus de liberdade de translação.

<!-- image -->

Para uma molécula diatômica, cujo modelo da molécula é o modelo dos halteres, ela apresentará oito graus de liberdade. Três das energias cinéticas de translações, três das energias cinéticas de rotações, uma da energia potencial elétrica de ligação e uma da energia cinética de vibração dos átomos em torno do centro de massa da molécula.

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Como mo o momento de inércia em torno y' é pequeno em relação x' e z', podemos reduzir para sete graus de liberdade. Se a molécula for considerada rígida, ou seja, sem vibração o número de graus

de liberdade cai para cinco. Logo par f = 5, teremos: R 2 7 C p = × e R 2 5 C v = × , logo, 1 , 40 5 7 g = = .

TABELA COM CAPACIDADES CALORÍFICAS MOLARES DE ALGUNS GASES 11

Vemos assim que a teoria cinética dos gases descreve com uma boa aproximação o comportamento térmico dos gases monoatômicos. As relalações para os gases diatômicos e poliatômicos exibem menor regularidade, embora a concordância com a teoria cinética seja satisfatória para alguns desses gases. Os valores calculados para os gases diatômicos se baseiam na hipótese de cinco graus de liberdade ativos, três translacionais e dois rotacionais. Assim, C v = 5R/2, C p = 7R/2 e g g = 1,40. Para os gases poliatômicos, os valores calculados se baseiam em seis graus de liberdade, três translacionais e três rotacionais. Os valores são Cv Cv = 6R/2, Cp Cp = 8R/2 e g = 1,33. Supõem-m-se "inativos" os graus de liberdade vibracional em todos os casos a esta temperatura.

A falta de concordância entre a experiência e as predições pela teoria cinética estão relacionada com a idéia de graus de liberdade "ativos" e "inativos". A uma dada temperatura, alguns graus de liberdade (vibracionais, por exemplo) não participam efetivamente da energia transferida entre moléculas em colisão. Está não -participação não tem nenhuma base na Física Clássica. A compreensão adequada da capacidade térmica dos gases ideais só se consegue com aplicação da mecânica estatística quântica. As principais características, entretanto, podem ser expressas em termos de uma dependência da temperatura em relação ao número de graus de liberdade. Exemplo, o gás H2 H2 para temperaturas menores do que 100 K o valor de CV CV V é aproximadamente 3R/2, já na faixa de 500 K a 100 K o seu valor é aproximadamente 5R/2 e para temperaturas acima 2000 K o seu valor passa para 7R/2.

Após essa breve revisão, vamos agora destacar os erros nas questões:

- -Na 1ª questão, como o gás é ideal, o valor do calor específico a pressão constante 0,175 cal/g. o C é incompatível com a Teoria Cinética dos Gases, pois o valor correto seria c 0 , 12425cal / g . C o p = ,

<!-- formula-not-decoded -->

- -Na 2ª questão o valor do calor para ser compatível com Teoria Cinética dos Gases seria Q = 10 J e não Q = 20 J. Pois da equação de Clapeyron tiramos: n.R = 0,04 e da Teoria Cinética dos Gases Q = n.(5/2).R. ?T.
- -Na 3ª questão, como U = f(T) o vavalor de ?U já pode ser calculado através da Teoria Cinética, )

<!-- formula-not-decoded -->

Os valores atribuídos aos calores não são compatíveis com a teoria cinética dos gases.

- -Na 4ª questão Q = (5/2).n.R..DT, ou melhor, Q = (5/2).(pf.Vf Vf - - p o .Vo Vo ), logo: Q = 5/2.20.4, ou seja, Q = 200 J. A quantidade de calor atribuída 100 J é incompatível com a teoria cinética do gás ideal.
- -Na 5ª questão, variação da 3ª, são os valores dos calores que não são compatíveis com a teoria cinética dos gases.
- -Na 6ª questão o valor atribuído para o trabalho é incompatível com o cálculo diferencial integral, ou seja: Á = n.R.T.ln(Vf/f/V o ).

## CONCLUSÃO

Percebemos que na elaboração das questões os autores se preocuparam somente com o uso da 1ª Lei da Te rmodinâmica e suas aplicações nas transformações gasosas, isocóricas, isobáricas e isotérmicas, sem se preocupar em também satisfazer a Teoria Cinética dos Gases. Do ponto de vista da aplicação 1ª Lei elas estariam corretas. Então para que essas incoerênciaias deixem de existir sugerimos dois procedimentos:

- a) não mencionar os termos gás ideal ou gás perfeito nas questões, pois impediria a aplicação da teoria cinética na solução da questão;
- b) elaborar as questões levando em conta a teoria cinética dos gases (indicando os graus de liberdade das moléculas) para que os valores atribuídos aos calores já estejam compatíveis com a teoria cinética e ao fazer a questão tanto pela 1ª Lei da Termodinâmica como pela teoria cinética os resultados sejam idênticos.

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