TAXA DE VARIAÇAO OU COEFICENTE ANGULAR - UMA QUESTAO DE TRANSPOSIÇAO DIDATICA?

## TAXA DE VARIAÇÃO OU COEFICENTE ANGULAR -- UMA QUESTÃO DE TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA?

*Anésio Böger Branda da ,

[anésio@cefetsc.edu.br]r]

Elenita Eliete de Lima Ramos b , [ elenita@cefetsc.edu.br]r]

Gabriel Seroa da Motac ac ,

[gabrielseroa@cefetsc.edu.br]r]

a,b,c Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina - Florianópolis – SC

a,b,c Alunos do Programa de Pós Graduação em Educação Científica e Tecnológica - UFSC

## Introdução

Uma das questões centrais da educação matemática, segundo Pais (1999), é o estudo do processo evolutivo por que passa a formação do seu objeto de ensino. Na análise dessa evolução , , é possível identificar diversas fontes de influência que determinam as transformações do saber ensinado na escola.

As dificuldades apresentadas pelos alunos em determinado tópico de ensino podem estar diretamente relacionadas com a falta de sincronia entre os conceitos por eles aprendidos ao longo da da sua trajetória escolar; causada pelas várias transformações por que passou determinado conteúdo até chegar aos livros didáticos.

O cenário em que surgiu a a problemática foi o Laboratório de Física do Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina (C(CEFETSC), onde o aluno tem a possibilidade de realizar vários experimentos. Em algumas dessas aulas , , percebeu-u-se que muitos alunos do ensino médio, quando solicitados a determinar os parâmetros a e b de uma função do tipo y = a + bx , apresentavam dificuldades tanto na obtenção de b como na interpretação de seu significado físico.

Após a realização do experimento , , os dados são tabelados e o gráfico construíuído em uma folha de espaço milimetrado. As dificuldades foram detectadas no momento em que os alunos eram solicitados a determinar a a equação do movimento com base no no gráfico da posição em função do tempo; nesse momento , , ficou evidente o equívoco entre os conceitos de coeficiente angular e o de inclinação da reta.

O presente artigo pretende levantar alguns questionamentos acerca do conceito de coeficiente angular de uma reta, de taxa de variação associada aos gráficos lineares e da definição da tangente de um um ângulo, uma vez que os alunos do ensino médio encontram dificuldadedes de correlação entre eles .

A linguagem matemática é muito eficiente para descrever modelos de fenômenos físicos. Essa possibilidade de descrição matemática se apresenta-a-se como um forte e elo na questão da interdisciplinaridade entre essas duas unidades curriculares.

No entanto, numa tentativa de simplificação de conceitos, alguns autores de livros didáticos de física apresentam a definição de coeficiente angular de maneira equivocada ; ; caususando uma dificuldade de compreensão conceitual entre o que é apresentado em física e matemática, tornando difícil para os alunos determinar a lei de formação de uma função linear quando os dados foram obtidos por meio de um experimento.

Este trabalho objetiva elucidar as relações existentes entre os conceitos matemáticos "coeficiente angular" e "tangente de um ângulo" e os conceitos físicos "taxa de variação" , oriundos da relação entre duas grandezas.

## 1. Transposição Didática

Segundo o didata francês Yves ChChevallard (1998), o objeto de estudos da Transposição Didática é o saber escolar; embora Chevallard tenha se tornado o maior defensor dessa teoria, ele mesmo em seus trabalhos acusa que o termo transposição o didática foi empregado pela primeira vez pelo soc iólogo francês Michel Verret. Porém esse termo não se limita apenas aos trabalhos destes dois didatas.

A Transposição didática se propõe a observar o quanto o saber produzido pelos cientistas se modifica em relação ao saber escolar constituído, sendo, desta forma, um instrumento de análise do processo transformador dos saberes. Para que a transposição do saber sábio em saber escolar não sofra severas modificações, a ponto de torná -lo irreconhecível, deve -se estar atento e é recomendável praticar uma espécie de vigilância, denominada a por Chevallard (1998, p.49), de "vigilância epistemológica".

Na mediação entre os saberes, observa-se um processo transformador de descontextualização do saber sábio, que é , , em seguida , , recontextualizado, em um discurso diferente. Algo nesse novo discurso permanece descontextualizado, já que ele não se identifica com o saber sábio, com a rede de problemas e questões, na qual o objeto de estudo encontrava -se originalmente, modificando assim seu sentido. Essa situação é provocada principalmente pela influência dos componentes de sua comunidade, que são os editores e autores de livros didáticos, diretores das escolas, poder político constituído, professores, pais etc . , o que caracteriza a

chamada noosfera. Esse processo de descontextuaualização (quando o saber ensinado se afasta muito do saber sábio) é chamado por Chevallard de envelhecimento biológico, ou seja, o saber passa a ter sua legitimidade questionada pelo entorno social.

Se a transposição didática tem como fundamental importância a rerelação entre os saberes, ela é vigilante aos interesses da esfera do saber escolar. Nesse caso, segundo o autor, a própria noosfera tem que interferir no trabalho de transposição dos conteúdos escolares, restabelecendo a compatibilidade entre os saberes.

## O objeto de estudo no Saber Sábio

O desenvolvimento da trigonometria aconteceu a papartir das necessidades de resolução de problemas práticos ligados à astronomia, navegação e agrimensura; e, e, , como outros ramos da matemática, não foi obra de um só ó homem ou nação.

Tanto no Egito quanto na Babilônia , há indícios dos primeiros rudimentos de trigonometria, a partir do cálculo de razões entre lados de triângulos semelhantes.

Além da utilização da trigonometria para realizar medições em pirâmides, os egípcios, por volta de 1500 a.C. , , utilizavam a idéia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a seqüências numéricas, relacionando seus us comprimentos com horas do dia - o rerelógio de sol. O relógio de sol l que , , em grego se chamava gnômon, também era ra conhecido na Índia, na China e na Arábia.

Segundo Boyer (1998), foram os gregos os pioneiros no estudo sistemático de relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos das cordas que os subentendem. O grego Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de uma série de ângulos de 0 o 0 o a 180o 0o , em cuja montagem utilizou interpolação linear. Resolveu associar a cada corda de um arco o ângulo central correspondente, o que representou um grandnde avanço na Astronomia e por isso ele recebeu o título de Pai da Trigonometria .

De acordo com Boyer (1998) , , o árabe Nasir Eddin que morreu em 1123, foi responsável pelo primeiro tratado sistemático sobre trigonometria plana a e esférica, considerando como assunto independente e não apenas como servidor da astronomia, como se fazia na Grécia e na Índia.

Segundo Eves (1997) , , Georgs Joachim Rhaeticus (1514-4-1576) foi o primeiro a definir as funções trigonométricas como razões entre lados de um triângulo retângulo.

Assim, , pode-se perceber que a idéia da tangente de um ângulo surgiu da necessidade de resolver prproblemas envolvendo distâncias . Inicialmente , era uma teoria geral de comprimento de sombras, ou seja, um estudo que envolvia semelhança de triângulos e a razão entre os lados desses triângulos semelhantes, chegando-o-se finalmente a algumas tabelas que relacionavam ângulos a números. Com o passar dos anos , , algumas transposições didáticas foram realizadas, despersonificando o saber cientítico , , transformado -o, dessa sa forma, em um objeto de estudo, com uma nova roupagem, com interpretações novas e com uma linguagem mais universal, chegando na defininição e nomenclatura que adotada hoje: tgq gq = catetooposto/catetoadjacente.

Da mesma forma que o desenvolvimento da trigonometria, a a noção de função é o resultado de uma evolução iniciada na a antiguidade por volta de 2000 a.a.C. , , época em que os babilônios utilizavam tabelas no estudo da astronomia .

Na Idade MéMédia, após o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, acontece um novo impulso no desenvolvimento de funções, quando em 1637 René Descartes introduziu as coordenadas cartesianas. Por intermédio da obra La Geometrie, Descartes tornou púpúblico, a seus contemporâneos, a geometria analítica. O objetivo fundamentatal de Descartes, ao publicar essa obra, era muito diferente daquele dos textos atuais, em que a geometria cartesiana é sinônimo de geometria analítica, a qual l estabelece que "todo problema de geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos basta para a construção." Como essa afirmação indica, o objetivo o de Descartes era a construção geométrica, e não necessariamente a redução da geometria à álgebra.

Ao estudar séries infinitas e o triângulo harmônico Leibniz, em 1694, pe rcebeu que a determinação da tangente a uma curva dependia da razão das diferenças das ordenadas e das abscissas, quando essas se tornavam infinitivamente pequenas, e as quadraduras dependiam da soma dos retângulos infinitivamente finos que formam a área; possibilitando desse modo o a correspondência entre transformar problemas geométricos em problemas algébricos no estudo analítico de funções.

## O objeto de estudo no saber a ensinar

Descreve -se, a seguir, como a tangente de um ângulo é definida no "saber a ensinar", ou seja, como se define a tangente de um ângulo em alguns livros didáticos após ter sofrido, ao longo da história, o processo de transformação denominado Transposição Didática.

A A maioria dos livros de matemática da 8 a . série do Ensino Fundamental, , como, por exemplo Guelle (1997), Di Piero Netto (1998) , , introduzem o conceito de tangente de um ângulo , partindo de vários triângulos retângulos semelhantes , , mostrando que a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente se mantem constante independentemente e do tamanho do triângulo considerado.

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A A tangente de um ângulo, portanto, fica assim definida: "Considerando o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, B, a a razão cateto oposto / cateto adjacente é chamada tangente de Â".

Pode -se perceber o processo evolutivo pelo qual passou o conteúdo de trigonometria, isto é, um conteúdo matemático, nascido da necessidade de resolver problemas relacionados, na sua maioria das vezes, à astronomia, passa a ser tratado de maneira independente, surgindo assim um objeto matemático que, como visto, é tratado nos livros didáticos de maneira totalmente diferente daquela relativa ao seu surgimento.

## Como afirmou Pinho Alves (2001),

Aquele saber sábio, que se compunha da soma das partes dos saberes produzido por diferentes intelectuais ao longo de anos, torna-s-se agora uma seqüência lógica, crescente em dificuldade e atemporal, como se fosse o resultado de uma evolução natural. È abstraída toda e qualquer vinculação com o ambiente no qual ele se originou, passando a reconstituir-se se um em novo quadro epistemológico .

## A experiência realizada em laboratório

O experimento denominado "Estudo de movimentos uniforme", , realizado no Laboratório de Física, , consiste em estudar o movimento de uma bolha no interior de um tubo transparente

contendo óleo. As grandezas físicas posição (d) e tempo ( t) são medidas , , respectivamente , , com uma fita métrica e um cronômetro. Os dados são tabelados e o gráfico construído em uma folha de espaço milimetrado. A "curva" do gráfico construído é uma reta e gera uma equação do tipo d = a + bt , onde (d) e ( t ) são variáveis medidas e a e b são , , respectivamente , , a posição inicial e a velocidade da bolha a serem determinadas.

Alguns alunos apresentavam dificuldade em determinar a velocidade com base no gráfico d 't , e , após buscar suporte teórico em livros de física do ensino médio , , determinavam a grandeza ( ( b ) utilizando um transferidor para medir o ângulo de inclinação da reta.

Na tentativa de encontrar uma justificativa para tal procedimento, recoreu-u-se aos livros didáticos de física nos quais, , numa análise mais detalhada, observou-u-se certa fafalta de rigor quanto ao procedimento de determinar os parâmetros ( a ) e ( b ) das funções do tipo y = a + bx , o que, em muitos casos, se dá de forma simplificada, tornando as definições incompletas e, as as vezes, equivocadas.

Como exemplo , pode-se citar Rocha que , ao apresentar a relação de proporcionalidades entre as grandezas físicas, massa ( m) e volume de água (V ), ilustra essa relação como descreve o gráfico:

Segundo Rocha (pg. 11 e 12) ,

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s e traçarmos o gráfico da massa (m) em função do volume (v) obtemos como resultado uma reta inclinada que passa pela origem. A inclinação do gráfico, também denominada de coeficiente angular ( b ), é igual l à tangente trigonométrica do ângulo a Logo b = tga ga = Dm Dm DV = 1000g / L =1kg / L .

Ao observar o gráfico da massa (m ) em função do volume (V ) , , um aluno com o mínimo de atenção constata que o ângulo a é da ordem de 45 graus, e, e, ao consultar r uma tabela trigonométrica verifica a que tga ga =1 , o que difere da razão tga ga = Dm DV =1000 , sugerida pelo autor.

- O valor da a tangente do ângulo não pode ser expresso da forma sugerida pelo autor, tga ga = Dm Dm DV , já que o valor do â ângulo a depende da escala utilizada.

Também, a títítulo de exemplo, , Ramalho (1999 p. 86) , em seu livro didático de física , comenta:

Na função de 1º grau y = a + bx , o número real (b) é chamamado coeficiente angular ou declive da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente angular bestá associado ao ângulo q da direção da reta com o eixo, como mostra a figura.

Nos parágrafos seguintes , , o mesmo autor apresenta o gráfico de uma função de 1º grau e , utilizando a equação da reta , , demonstra que tgq = b ; define que a razão y 1 -a x 1 é a medida da tangente trigonométrica do ângulo q e destaca que O O coeficiente angular é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo da da direção da reta com o eixo x .

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Na seqüência, Ramalho define a tangente de um ângulo de um triângulo retângulo, (exatamente como os autores de matemática a definem nos livros de 8ª série) apresentando um triângulo retângulo ABC, semelhante ao sombreado na figura acima, e define a tangente trigonométrica do ângulo q da seguinte forma "se AB é a medida do cateto oposto a q e CA é a

do cateto adjacente a q , a tangente de q é: CA AB tgq gq = "

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Na pagina seguinte , , Ramalho (1999) apresenta o gráfico, com escala, que relaciona a posição s e o tempo t e acrescenta: A função horária s = f (t) do movimento uniforme é uma função de 1° grau em t , onde o coeficiente angular é a própria velocidade escalar do movimento .

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Ao apresentar o gráfico da função acima Ramalho afirma que a tangente de q é o valor da velocidade o quque é um equivoco uma vez que a angente de um ângulo é um número puro e a velocidade não.

Ao contrário de Ramalho e Rocha, Lucie (1971, p. 45 a 51) compara a equação da reta y = a + bx , com a equação do movimento d = a + bt e alerta para o fato o de que em matemática o b é chamado de coeficiente angular, o qua l é um número puro, enquanto o o coeficiente b da equação do movimento não é, e acrescenta:

[. [... ] nos gráficos encontrados em física, as taxas de variações associados aos gráficos lineares são raramente coeficientes angulares... Podemos chamar essas taxas de variação "inclinação das retas correspondentes, para nãnão confundir".

Souza (1997 p. 79) também propõe que a grandeza b da equação da reta seja chamada genericamente de inclinação da reta e argumenta:

[. [... ] com relação à letra b, vamos chamá-la genericamente de inclinação da reta, uma vez que, para identificá-la como tangente do ângulo que a reta forma com o eixo horizontal, seria necessário que o gráfico mantivesse nos

dois eixos a mesma escala, que [. [... ] ] é difícil de obedecer no caso de um gráfico surgido a partir de um trabalho experimental.

## Considerações finais

A definição da tangente de um ângulo , após sofrer várias transposições didáticas , é apresentada na matemática como sendo a razão entre os catetos de um triângulo retângulo, sendo , portanto, um número puro, adimensional.

No entanto, a associação da geometria à álgebra possibilitou definir o coeficiente angular de uma reta como sendo a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal.

Na representação gráfica de uma função do 1o 1o . grau, na qual l os eixos são construídos numa mesma escala e as grandezas relacionadas são de mesma dimensão, o, , pode-se afirmar que as taxas de variações associadas aos gráficos são, de fato, os coeficientes angulares e identificá-á-las como a tangente do ângulo, sem correr o risco de estar cometendo equívocos. No entanto, quando se representa a uma função afim que descreve um experimento, alguns cuidados devem ser tomados:

- -Numa função em que as grandezas associadas não possuem a mesma dimensão, o, as taxas de variações associadas ao gráfico não podem ser chamadas de coeficiente angular, já que este é um número puro e a taxa de variação é uma grandeza que possui dimensão.
- -Numa função em que o gráfico é construído com escalas diferentes, sendo ou não as grandezas de mesma dimensão, as taxas de de variação não podem ser a tangente do ângulo, uma vez que o ângulo representado neste gráfico não representará o coeficiente angular da reta.

Diante do que foi relatado , , algumas considerações se fazem necessárias:

- -A análise de livros didáticos mostrou que , , além de erros conceituais na definição do parâmetro b (inclinação da reta), os gráficos são ambíguos ao indicar o ângulo com o símbolo (a ou q ), o que reforça nos alunos a idéia de que a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas é a inclinação da reta, o que é incorreto quando se trata de escalas diferentes.
- -Para problemas com grandezas físicas relacionando-se linearmente, recomenda-se que o parâmetro (b)seja definido com oututra nomenclatura, que não seja coeficiente angular, e dissociado do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal. Uma sugestão é que se chame simplesmente de inclinação da reta.

Para que o livro texto escolhido pelo professor seja um importante apoio didático no processo de ensino-aprendizagem, m, é importante que não apresente incorreções, imprecisões, nem ambigüidades, utilizando sempre definições claras e completas.

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