QUEDA DE UMA BOLA DE ISOPOR

## QUEDA DE UMA B BOLA DE ISOPOR

Paulo Murilo Castro de Oliveira [p[pmco@if.uff.br]

Instituto de Física - UFF

Resumo

Analisa -se a queda vertical de uma bola de isopor no ar. Do ponto de vista da bola, cria -se um fluxo de ar em torno de sua superfície, que exerce uma força de atrito contrária ao movimento. No início da queda, o fluxo é laminar e o atrito (de Stokes, linear com a velocidade) muito menor que o peso da bola: a queda é livre. De repente, ao atingir uma certa velocidade crítica, fortes flutuações do fluxo aparecem atrás da bola, e o atrito correspondente (quadrático) ultrapassa o peso. A bola freia até o regime final com velocidade constante menor do que a crítica.

## O Experimento

O diâmetro aproximado da bola de isopor é de 2cm. Inicialmente solta-se a bola de uma altura de 3.10m, medida com precisão menor que o centímetro. Mede-se o tempo de queda com um cronômetro. Repete-se o procedimento dez vezes para determinar a barra de erro no tempo. Depois, passa -se para a altura de 2.90m, e mede-se novamemente o tempo de queda da mesma maneira, e assim por diante a intervalos de 20cm. O resultado é apresentado no gráfico da figura 1, que pode ser interpretado como uma única queda em que as alturas sucessivas são registradas. A parábola tracejada corresponde à queda livre inicial com g=9.8m/s². Abaixo de 1.30m de altura, a medição dos tempos de queda menores que 0.5s é difícil, com um cronômetro manual. Felizmente, estas medidas não são necessárias, porque o ponto experimental mais à esquerda (tempo de queda t0t0=0.52s) já se encontra sobre a parábola. Portanto, a resistência do ar ao movimento não se manifesta antes deste ponto, e a parte anterior da parábola pode ser considerada como integrante dos resultados experimentais. Nota-se que a inclinação da parábola a nesta região (velocidade crítica entre 4 e 5m/s) é maior do que a inclinação final que corresponde à velocidade limite (vlvlim=3.3m/s, medida independentemente numa queda de altura bem maior, 11.30m).

A curva contínua é o resultado da solução numérica da lelei de Newton aplicada a um modelo fenomenológico simples: a queda é considerada livre até que a velocidade v atinja um certo valor crítico vc vc , e a partir daí o atrito -kv² é "ligado". A constante k é determinada a partir da velocidade limite medida, e a velocidade crítica vc vc =4.2m/s é ajustada aos pontos experimentais. O termo quadrático é justificado para velocidades entre 3 e 5m/s, para as quais o número de Reynolds é da ordem de 10³ --10 5 . Esta faixa corresponde a um "plateau" (k constante) na conhecida cururva experimental da força de arrasto sobre uma esfera, conforme pode ser apreciado na referência [1].

Figura 1: altura versus tempo de queda.

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Figura 2: velocidade versus tempo de queda.

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A figura 2 mostra a velocidade em função do tempo, calculada a partir dos valores experimentais da figura 1. Cada velocidade foi obtida dividindo-se a diferença entre alturas consecutivas pela respectiva diferença entre tempos de queda, e o ponto correspondente lançado no gráfico no centro deste intervalo de de tempo. A reta tracejada corresponde novamente à queda livre inicial. O procedimento de se obter diferenças entre alturas e (principalmente) tempos de queda

sucessivos introduz barras de erro verticais consideráveis, omitidas por clareza na figura 2. No entanto, as barras de erro relevantes para nossas conclusões são aquelas obtidas para as medidas primárias de alturas e tempos de queda, mostradas na figura 1. Nela, as barras de erro verticais, menores que 1cm, sequer aparecem na escala adotada.

## A CONCLUSÃO

As flutuações do fluxo de ar em torno da bola, que causam o arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, não aparecem abaixo de uma certa velocidade crítica, enquanto o fluxo é laminar. Porém, uma vez iniciado, este arrasto se sustenta mesmo a velocidades abaixo deste valor crítico. Trataase, portanto, de um comportamento fundamentalmente dinâmico, não linear, que apresenta um duplo equilíbrio (histerese) numa faixa de velocidades.

Um tratamento teórico mais elaborado do que o modelo fenomenológico que resultou na curva contínua da figura 1 é possível, para descrever o fluxo de ar em torno da bola e sua bi-iestabilidade. Seria a solução da equação de Navier-Stokes para uma esfera exposta ao vento (como num túnel de vento), com uma dada velocidade do ar longe da esfera (o que corresponderia a uma dada velocidade de queda, no experimento). Primeiro resolver-r-se-ia este problema (numericamente) para uma velocidade pequena. Depois, a partir do fluxo laminar e estacionário obtido, resolver-se-ia a mesma equação para uma velocidade um pouco superior, e assim por diante, num movimento de ida no sentido de velocidades crescentes. As flutuações no fluxo apareceriam de repente, como no experimento, e tornariam o fluxo agora não-laminar, dependente do tempo. A partir deste ponto, diminuindo -se de volta e gradativamente a velocidade, o fluxo dinâmico e não-laminar responsável pela resistência do ar ao movimento de queda continuaria estável para velocidades já visitadas anteriormente para as quais ele não havia se apapresentado na sequência de ida.

[1] R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands, F Feynmann Lectures on Physics, Addison-n-Wesley, Massachusetts (1965), vol II, figura 41-4.