TRABALHANDO FUNDAMENTOS DE MECANICA QUANTICA NO MESTRADO PROFISSIONALIZANTE

## TRABALHANDO FUNDAMENTOS DE MECÂNICAQUÂNTICA NO MESTRADO PROFISSIONALIZANTE

Lev Vertchenko a [levvert@pucminas.br] Fernando Eustáquio Werkhaizerb rb [e-mail (e-mail do segundo autor)]

a, b Depto. de Física e Química da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Av. Dom José Gaspar, 500, Belo Horizonte, Minas Gerais - CEP: 30535-610

## RESUMO

Apresentamos e comentamos um roteiro de exploração de fundamentos de Mecânica Quântica para o Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física da PUC -Minas, cujo corpo discente é constituído por professores de interesses voltados para diferentes níveis do ensino. São abordados, em seqüência, os seguintes tópicos, com as respectivas observações: (a) Perspectiva histórica da Mecânica Quântica: Advertimos que os modelos semi-clássicos da "velha" Mecânica Quântica podem inibir a assimilação do conceito de superposição quântica de estados, e a interpretação conjunta dos efeitos fotoelétrico e espalhamento Compton pode atribuir ao fóton a concepção incorreta deste sempre possuir o caráter corpuscular anteriormente à sua detecção. (b) Formalismo de Schrödinger: A equação de Schrödinger possui suposições razoáveis para o tratamento ondulatório de partículas não relativísticas e os elementos essenciais para a sua obtenção são as relações de De Broglie. (c) Notação de Dirac e regras para composição da amplitude de probabilidade: Este formalismo tem um caráter generalizante e descreve de forma cômoda um grande número de situações físicas, como os experimentos de interferência. (d) A mamatriz do hamiltoniano e sistemas de dois níveis: Destacamos que a perturbação dependente do tempo proporciona um mecanismo natural para a transição entre os níveis de energia pela absorção ou emissão de fóton e explica o "efeito Zenão quântico", onde o papel do observador é relevado. (e) Papel do observador: Esta discussão deve ser atualizada no sentido de incorporar o mecanismo da decoerência. (f) Misturas: Enfatizamos que interpretar um sistema como "mistura" leva a resultados observados distintos dos obtidos considerando -o como numa superposição quântica de estados. Procuramos abordar os conteúdos de uma forma concatenada e mostrando a sua naturalidade dentro dos quadros da Mecânica Quântica. Constatamos que o principal erro conceitual dos mestrandos reside na dificuldade em discernir "mistura" da superposição quântica de estados e que esta dificuldade é persistente.

## 1. INTRODUÇÃO

O mestrado em ensino de Física da PUC -Minas, inserido dentro do programa PREPES [1], encontra um corpo discente bastante heteterogêneo, constituído de professores com interesses voltados para o ensino nos níveis fundamental, médio ou superior. Diante desta heterogeneidade de interesses, surgem as questões de como deve ser abordada a Mecânica Quântica e que parte de seu conteúdo deve ser ministrada. Sabemos que o corpo discente do mestrado se depara, em sua prática docente, com exigências cada vez maiores relacionadas à Física Moderna, seja apenas conceitualmente/qualitativamente, nos ensinos fundamental e médio, seja também formalmlmente, no ensino superior.

Atualmente discute -se muito a inserção de conteúdos de Física Moderna no ensino médio, sugerindo-se a familiarização com as suas idéias cada vez mais cedo. São muitas as razões para isso. Os alunos relacionammse constantemente com a Física Moderna, seja vivenciando um ambiente repleto de tecnologias provenientes dos seus avanços, sobretudo na eletrônica, seja submetendo-se a

conteúdos a ela relacionados pela exposição aos meios de comunicação de massa. Cabe ao professor tornar o alaluno consciente deste ambiente de imersão na Física Moderna e avançar em direção à apresentação de suas idéias e conceitos que, constituindo um paradigma diferente do da Física Clássica, requerem cuidado especial na escolha dos enfoques e da estratégia didática. Um programa de Mestrado em Ensino de Física indubitavelmente deve capacitar os seus mestrandos para uma participação ativa na discussão acerca desta escolha de enfoques e estratégia. Cremos que o primeiro passo para esta capacitação está na familiarização com os fundamentos conceituais e formais da Física Moderna, da qual se ocupa a disciplina Tópicos de Física Moderna deste Mestrado, de duração 45 horas. Dentro desta disciplina, os conteúdos de Mecânica Quântica, abordados no presente trabalho, ocupam cerca de dois terços da sua carga horária. A escolha dos conteúdos de Mecânica Quântica a serem ministrados em tempo relativamente curto (30 h), foi norteada pela pretensão de facilitarmos o esclarecimento e assimilação de idéias estranhas ao mundo clássico através de uma naturalidade buscada dentro dos quadros da própria Mecânica Quântica. Nos inspiramos em grande parte na abordagem de Feynman da Mecânica Quântica introdutória [2], mas não nos limitamos a ela, procurando apresentar avanços recentes desta teoria em questões importantes para os seus fundamentos, como, por exemplo, a implicação do mecanismo da decoerência para a interpretação da transição entre os mundos clássico e quântico. Ainda que os interesses de alguns mestrandos se voltem para níveis mais elementares do ensino de Física, a justificativa para tais conteúdos pode ser inferida, por exemplo, do amplo levantamento da literatura sobre estudos relativos ao ensino introdutório da Mecânica Quântica de Greca e Moreira [3]. Da afirmativa destes autores de ser desejável que o estudo da Física Quântica comece cada vez mais cedo, inferimos que professores de níveis elementares devem propiciar que isso ocorra. Estes autores citam, neste sentido, Merzbacher [4], que advoga pelo uso dos conceitos quânticos ao longo de todo o curso introdutório de Física.

Na próxima seção apresentamos e comentamos o roteiro de exploração dos conteúdos voltados à fundamentação da Mecânica Quântica dentro da disciplina Tópicos de Física Moderna do nosso Mestrado. Obviamente não temos a pretensão de esgotar o conteúdo de Mecânica Quântica na disciplina, mas buscamos uma estratégia de otimizar a seqüência de apresentação dos tópicos que consideramos necessário enfatizar para o aprendizado dos fundamentos da Mecânica Quântica. A seleção de comentários deste roteiro foi justificada pelas discussões ocorridas durante a implementação da disciplina, freqüentemente durante seminários apresentados pelos alunos. Esta seleção de comentários, ou observações, é em grande parte corroborada pela presença de questões a eles relacionadas no já citado levantamento de Greca e Moreira [3], cuja síntese de questões relativas ao ensino de Mecânica Quântica foi muito oportuna para o nosso trabalho. Na seção 3 analisamos alguns resultados obtidos da avaliação dos alunos em questões de Mecânica Quântica ao final da disciplina Tópicos de Física Moderna. N Na seção 4 tecemos as considerações finais.

## 2. O ROTEIRO COMENTADO

A maioria dos estudantes do nosso mestrado, advindos de licenciaturas, cursaram na graduação a Física Quântica até o nível das geralmente denominadas disciplinas Estrutura da Matéria I e II, cujas ementas contêm a Teoria da Relatividade e a Mecânica Quântica e suas aplicações em um nível introdutório. À época do ingresso no mestrado, percebemos neles domínio de conteúdo conceitual em aplicações da Mecânica Quântica, como na abordagem qualitativa da condutividade ou do LASER, mas dificuldades conceituais com as suas bases, como, por exemplo, na exploração do fenômeno de interferência, que Feynman [2] afirma já conter toda a essência da Mecânica Quântica. Estas dificuldades conceituais aparentam ser comuns mesmo em alunos de cursos mais avançados [3]. Os excelentes livros de discussão conceitual de Pessoa [5, 6] se apoiam,

desde o início, na exploração da interferometria. No entanto, apesar deste autor se referir aos seus livros como tendo "uma abordagem mais intuitiva e menos matemática", consideramos conveniente tratarmos vários casos e interpretações discutidos nestes livros de posse do formalismo que os justifique.

Apresentamos o conteúdo para exploração dos fundamentos da Mecânica Quântica iniciando com uma perspectiva histórica, salientando que é um fato sobremaneira marcante a introdução, com a teoria quântica, de uma nova e fundamental constante na natureza, a constante de Planck. Assim, julgamos conveniente nos remetermos inicialmente ao aparecimento desta grandeza no estudo da radiação de corpo negro, chamando atenção para a universalidade das propriedades da radiação térmica . Após a tradicional exposição da evolução das idéias em direção à "nova" Mecânica Quântica, fazemos a advertência que os modelos semi-clássicos da chamada "velha" Mecânica Quântica podem inibir a aceitação de idéias estranhas à Física Clássica, como a superposição de estados classicamente excludentes [7]. Fischler e Lichtfeld [8] alertam, inclusive, para o cuidado no estudo do modelo atômico de Bohr, que valoriza excessivamente o modelamento de sistemas quânticos a partir de concepções clássicas. Outro cuididado deve-se ter com a tendência de, a partir de uma interpretação conjunta dos efeito fotoelétrico e espalhamento Compton, atribuir sempre uma idéia corpuscular para o fóton anterior à sua detecção [9]. Como enfatizado por Pessoa [5], rigorosamente o caráter corpuscular de uma partícula está associado à possibilidade de definição de sua trajetória. Tendo discutido, ainda na "velha" Mecânica Quântica, a proposta de De Broglie de atribuir características ondulatórias também para partículas materiais, somos s levados a indagar a que ondas estas características se referem. Achamos, então, oportuno introduzir aqui a formulação de Schrödinger da Mecânica Quântica e o conceito de função de onda. Por ser esta formulação mais fácil de ser "visualizada" que a de Heisenberg, ela é discutida inicialmente. Freqüentemente a equação de Schrödinger é apresentada aos estudantes de Física de tal forma que estes não percebem suas ligações com a Física ondulatória clássica, tendo a impresão desta equação resultar de uma revelação mágica. Procuramos desfazer esta impressão. Schrödinger certamente se inspirou no formalismo de Hamilton-n-Jacobi da Mecânica Clássica [10] e o elemento fundamental para se chegar à sua equação é a relação de De Broglie l = h / p. Não repetimos o caminho que Schrödinger deve ter percorrido, mas mostramos que a sua equação possui suposições razoáveis para se tentar descrever ondas associadas a partículas. Tomamos o cuidado de discernirmos estas ondas associadas a partículas, descritas no espaço de Hilbert das funções complexas, das ondas clássicas do espaço das funções reais. Tratamos, inicialmente, um pacote de ondas associado a uma partícula livre, mostrando que a mencionada relação de De Broglie implica numa relação de dispersão w(k) consistente com a relação entre a derivada temporal primeira e a derivada espacial segunda encontradas na equação de Schrödinger, enquanto para partículas de massa de repouso nula a relação entre as derivadas (temporal e espacial de 2 a ordem) é a da equação da onda. Aproveitamos para discutir que a Mecânica Quântica é muito mais ampla que as aplicações da equação de Schrödinger, sendo que esta equação limita-se a descrever partículas de massa de repouso não-nula em regime não-relativístico. Continuando a "construção" da equação de Schrödinger, identificamos os operadores momento linear e hamiltoniano da partícula livre e vemos que um passo natural, devido ao princípio da correspondência com a Mecânica Clássica, é acrescentarmos a função energia potencial ao operador hamiltoniano. Mostramos que isto é reforçado pela preservação da forma da equação da continuidade pela adição de uma função real ao hamiltoniano, identificada esta com a função energia potencial.

Com a introdução da notação de Dirac, que fizemos através da analogia com a forma, familiar aos estudantes, de tratar vetores , notamos que esta analogia entre a manipulação dos estados quânticos, descritos no espaço de Hilbert, e os vetores do espaço tridimensional real constituia novidade para a grande maioria dos estudantes. Após a percepção desta analogia, um comentário freqüente era que "agora tinham entendido a notação de Dirac". Após a introdução desta notação procuramos mostrar que este formalismo abstrato tem um caráter generalizante e descreve de forma cômoda um grande número de situações físicas, como os experimentos de

interferência. Atualmente, inclusive, os cursos de graduação com ênfase na informática começam a demandar pela familiarização de seus estudantes com a notação de Dirac e a superposição quântica de estados na descrição dos q-q-bits da computação quântica. Aproveitamos para discutir como este formalismo mostra a inibição da interferência quando o estado quântico emaranha-se com um aparelho clássico, sem fazermos uso direto da relação de incerteza de Heisenberg [6]. Por sua comodidade e elegância, e já tendo os estudantes a assimilado, usamos a notação de Dirac na análise do comportamento de sistemas quânticos de dois níveis, ditado pelas diversas formas do Hamiltoniano abordadas por Feynman [2]. Consideramos da maior importância mostrar que existe um mecanismo natural dentro do quadro da Mecânica Quântica - - a perturbação dependente do tempo - - para a transição entre os níveis de energia do sistema pela absorção ou emissão de fóton. Um pequeno passo adicional leva à explicação para o chamado "efeito Zenão quântico", onde uma seqüência de observações separadas por intervalo de tempo pequeno inibe a transição entre os níveis e releva o papel do observador na Mecânica Quântica.

Ao nos referirmos ao papel do observador na Mecânica Quântica, a, constatamos que os nossos mestrandos não são imunes à excessiva exposição a interpretações da Mecânica Quântica que beiram uma filosofia idealista solipsista (podemos citar a influência, sobre a turma, do recente filme "Quem Somos Nós?" [11] ). Longe de pretendermos eliminar possibilidades da Mecânica Quântica na explicação de estranhos mecanismos da mente [12, 13, 14] ou o papel do observador, como mostra o "efeito Zenão quântico" acima mencionado, procuramos atualizar a discussão de temas que envolvem as fronteiras entre os mundos quântico e clássico. Por exemplo, na abordagem da popular caixa do gato de Schrödinger deve ser incorporada a discussão do mecanismo da decoerência [15] provocada pelo ambiente. A propósito, Penrose [13] divide os mistérios da Mecânica Quântica entre aqueles que terão uma explicação natural (obviamente dentro do quadro da Mecânica Quântica) como, na sua opinião, o colapso da função de onda, ainda que nãocomputável, e aqueles mistérios com os quais is teremos que conviver, os últimos relacionados ao caráter não -local da Mecânica Quântica. É oportuno que nesta discussão da perturbação do observador sobre o sistema quântico sejam abordados, também, os experimentos da chamada medição não-interativa, como mo o experimento de bombas proposto por Elitzur e Vaidman [16]. A sustentação da idéia de ausência de perturbação neste experimento, aparentemente evidente se o sistema é abordado classicamente, é, na verdade, dependente da interpretação da Mecânica Quântica adotada [17].

Quando abordamos a distinção entre mistura e superposição quântica de estados, observando que a aplicação de uma estatística clássica é adequada a misturas de estados bem definidos, do tipo "cara ou coroa", , enfatizamos que a incerteza presente na superposição quântica de estados não se deve a uma ignorância dos parâmetros que se encontrariam bem definidos, como nas misturas, mas é de natureza completamente distinta, que se manifesta claramente na estatística adequada aos sistemas quânticos. Mostramos formalmente que a concepção de superposição de estados leva a resultados observados distintos do que se obtêm quando se supõe tratar-se de mistura. Estendemos esta discussão a respeito da existência de parâmetros bem definidos, mas desconhecidos, para abordar a questão das chamadas "variáveis ocultas", cuja existência faria da Mecânica Quântica uma teoria incompleta. Informamos que a análise baseada na violação das desigualdades de Bell [18] de experimentos de partículas emaranhadas [19] apontam para a impossibilidade de se adotar simultaneamente para estas partículas a concepção realista de parâmetros a priori bem definidos, mas ignorados, juntamente com a localidade einsteniana [20].

## 3. AVALIAÇÃO DOS MESTRANDOS NA DISCIPLINA

Ao final da a disciplina Tópicos de Física Moderna aplicamos aos estudantes mestrandos uma prova contendo, ao lado de questões envolvendo o formalismo e conceitos da Mecânica Quântica, a seguinte questão: "Elabore um plano ou uma estratégia para introduzir a "superposiçição de estados", observada na Mecânica Quântica, a alunos do ensino médio ou superior". Embora a nossa amostra seja pequena, constituída de uma turma de 12 mestrandos, verificamos que as soluções das questões envolvendo formalismo não apresentavam tendência ia para erro sistemático, ao contrário da questão acima explicitada. Na tentativa de elaborar ilustrações para a superposição de estados, os mestrandos recorreram freqüentemente e erroneamente a casos que, na verdade, tratavam-m-se de misturas. Por exemplo, em em um caso, na tentativa de ilustrar o desconhecimento por parte do observador das trajetórias das partículas no experimento de duas fendas, distribuiam-m-se, de forma escondida, fichas a pessoas com autorização ou proibição para passar por determinadas portas (o fato das fichas estarem em um estado bem definido classicamente, de autorização ou proibição, implica em tratar-se de mistura). Isto parece apontar para uma tendência persistente de confundir a superposição quântica de estados com misturas, causada pela recorrência ao mundo da Física Clássica na tentativa de interpretar os fenômenos quânticos e corrobora a posição de se tomar cuidado ao usar exemplos semi-clássicos no ensino da Mecânica Quântica. Vislumbramos como solução correta para a questão apenas a ilustração da superposição quântica de estados pela exploração dos fenômenos de interferência, não à toa que bastante enfatizados nos livros de Feynman [4] e Pessoa [5, 6], por exemplo.

## 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nos cursos tradicionais de Mecânica Quântica geralmente é dada ênfase ao seu caráter pragmático e pouco se discute o seu lado filosófico-conceitual. Constata-se que mesmo os considerados bons estudantes de graduação têm um conhecimento conceitual dos fundamentos da Mecânica Quântica de forma supuperficial e fragmentada [21]. Vistas de forma fragmentada, várias idéias da Mecânica Quântica aparecem como que para atender apenas a exigências empíricas, descompromissadas do resto de seu corpo. Um exemplo, é a transição entre níveis de energia devido à absorção ou emissão de fóton, idéia já familiar aos estudantes desde o ensino médio, mas cuja explicação para o mecanismo, a perturbação dependente do tempo, geralmente aguarda pelo final da graduação ou mesmo a pós-graduação nos cursos de Física. Talvez o grande problema no ensino da Física moderna seja como lidar com a mecânica quântica, de criar a "mentalidade quântica", não corrompida pelas idéias clássicas, determinísticas do real, que levam a pensar nas partículas movendo-se no espaço tridimensional real como bolinhas. Procuramos adotar no nosso curso uma filosofia em que estas idéias se apresentassem de uma forma concatenada e, portanto, mais natural, é claro, dentro dos quadros da Mecânica Quântica, mas cuidando de evidenciar o seu caráter de novidade paradigmática, diferente da Física clássica. Salientamos que esta naturalidade é buscada dentro dos quadros da própria Mecânica Quântica, através da familiarização com as suas regras e métodos.

## REFERÊNCIAS

- 1. www.pucminas.br/home/pagina.php?codigo=244
- 2. FEYNMAN, R.P., LEIGHTON, R.B. and SANDS,M. The Feynman Lectures on Physics , Volume III. AddisonnWesley Pub. Co. Inc. 1966.
- 3. GRECA, I.M. & MOREIRA, M.A., "Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da Mecânica Quântica introdutória", www.if.ufrgs.br/public/ensino/vol6/n1/v6\_n1\_a1.htm
- 4. MERZBACHER, E. "How shall we teach physics in the 21st century? " American Journal of Physics, Woodbury, v. 58, n. 8, p. 717, Aug. 1990.
- 5. PESSOA Jr., O. Conceitos de Física Quântica, Volume I. Editora Livraria da Física, São Paulo. 2003.
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- 18. BELL, J.S. "On the EinsteinnPodolsky-y-Rosen Paradox". Physics 1, 195. 1964

- 19. A demonstração das desigualdades de Bell e referências para experimentos de testes de teorias locais de parâmetros ocultos podem ser encontradas em BARATA, J.C. "Desigualdades de Bell", in HUSSEIN, M.S. & SALINAS, S.R.A. (orgs.). 100 anos de Física Quântica. São Paulo, Editora Livraria da Física.
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