Uma Seqüência Didática para o Ensino Médio da Lei de Newton da Gravitaçao Universal

## UMA SEQÜÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO DA LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

Gilberto de Holanda Cavalcanti a [gibafis@ig.com.br]r]

a CEFET -PE e COLÉGIO de APLICAÇÃO da UFPE

## RESUMO

Este artigo tem como objetivo mostrar uma seqüência didática da a Lei de Newton da Gravitação Universal para o Ensino Médio , que facilite na estrutura cognitiva a do aluno a ocorrência de uma Aprendizagem Significativa. A seqüência didática foi aplicada em duas turmas de 3ª série (2004) do Ensino Médio do Colégio de Aplicacação da UFPE e está baseada na teoria psicopedagógica Aprendizagem Significativa de David Ausubel e Novak. Na nossa pesquisa de mestrado cujo tema foi "Reflexões Sobre o Uso da Dedução da Lei de Newton da Gravitação Universal no Ensino Médio", tal seqüência ia didática foi utilizada, assim como, um questionário com 11 questões, pertinente ao uso das deduções no ensino de Física como metodologia para facilitar uma Aprendizagem por Recepção Significativa , aplicado a 18 professores de Física, bem como a análise do capítulo de Gravitação Universal dos livros -texto indicados pelos mesmos e outros de nossa indicação1 o1 . A seqüência didática está dividida em seis etapas, onde nas cinco o primeiras procuramos desenvolver atividades construtivistas para que ocorra Aprendizagem por Descoberta Significativa a das três Leis de Kepler (leis empíricas) ao invés da Aprendizagem por Recepção Mecânica como tradicionalmente ocorre. As três Leis de Kepler, os conceitos e definições das grandezas físicas da cinemática vetorial, os elementntos da Geometria Euclidiana e as três Leis de Newton da Mecânica servirão de conceitos subsunçores, ou sejam, de ancoras na estrutura cognitiva do aluno para que ocorra a Aprendizagem por Recepção Significativa quando da exposição da dedução propriamente dita da Lei. A dedução valoriza a hierarquização dos conteúdos da disciplina Física, todas as passagens estão respeitando os prérequisitos e o nível intelectual do aluno. As cititações que serão apresentadas dos autores Antônio Máximo, Beatriz Alvarenga e Alberto Gaspar mostram a importância do tema , , assim como , a importância das deduções como instrumentos para uma ApAprendizagem Significativa. A análise das respostas dos questionários dos professores, a análise dos lilivros-t-texto quanto ao capítulo de GrGravitação Universal e a anánálise das respostas dos questionários aplicados aos alunos sobre as seqüências didáticas 2 que valorizam as demonstrações estão na dissertação de Mestrado 2 .

Palavras -c -chaves: Lei de Newton da Gravitação Universal, Ensino Médio, Aprendizagem Significativa, conhecimentos prévios, estrutura cognitiva, hierarquização dos conteúdos da disciplina.

"O estudo da Gravitação Universal leva o estudante a entrar em contato com uma lei de grande importância, pelo papel fundamental que ela desempenha no campo da Física. O estabelecimento das idéias de Gravitação Universal é considerado um dos fatos mais importantes no desenvolvimento das ciências em geral e da Física em particular: Assim, acreditamos que a omissão deste capítulo, ou a sua apresentação de maneira sucinta constitui uma verdadeira lacuna na formação do estudante e na visão que ele vai adquirir das idéias e princípios fundamentais da Física Clássica" (MÁXIMO e ALVARENGA, 2000, p. 218).

"M "Mais uma vez insistimos sobre a distorção na apresentação ão de uma lei fundamental como se fosse um postulado, sem referência à maneira pela qual se desenvolveram os conceitos e

relações que levaram ao seu estabelecimento. Solicitamos sua atenção para a seqüência na apresentação deste capítulo: partindo das idéias dos gregos na Antiguidade, passando por Ptolomeu, T. Brahe e Kepler; até chegar às idéias de Newton. A própria Lei da Gravitação é introduzida de maneira gradual, embora sem muitos detalhes, procurando evitar que os alunos pensem que Newton estabeleceu aqaquela lei como fruto de uma inspiração repentina, ao observar a queda de uma maçã" (MÁXIMO e ALVARENGA, 2000, p. 218).

As demonstrações, quando bem entendidas auxiliam muito a compreensão das relações e conceitos envolvidos. Elas mostram como diferentes conceitos se inter -relacionam, de onde surgem determinadas constantes e relações físicas e, sobretudo, quais são as aproximações ou restrições feitas. Dessa forma, a compreensão de uma dedução - obviamente, não se trata de sabê -la de cor - ajuda o aluno, a saber, quando, como e por que uma expressão pode, ou não, ser aplicada, condição essencial para interpretação adequada de qualquer situação física (GASPAR, 2001, p.6).

## 1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA PSICOPEDAGÓGICA

## Aprendizagem Significativa de Ausubel e Novak.

Segundo Moreira (1999, p.151), a teoria de Ausubel e Novak focaliza primordialmente a ApAprendizagem Cognitiva, que resulta no armazenamento organizado das informações na mente do ser que aprende, e esse complexo organizado é conhecido como estrutura cognitiva.

Estrutura Cognitiva - É o conjunto total de idéias de um certo indivíduo e sua organização: ou conteúdo e organização de suas idéias em uma área particular do conhecimento.

Para David Ausubel, psicólogo da aprendizagem, o principal no processo de enensino é que a aprendizagem seja significativa. Isto é, o material a ser aprendido precisa fazer algum sentido para o aluno. Isso acontece quando a nova informação "ancora-a-se" nos conceitos relevantes já existentes na estrutura cognitiva do aprendiz (MOREIRARA, 1999)

Para Ausubel, a aprendizagem significa organização e integração do material na estrutura cognitiva do aluno.

Segundo Moreira e Masini (1982) a estrutura cognitiva pode ser influenciada de duas maneiras:

- a) Substantivamente - - através de apresentação ao aprendiz de conceitos e princípios unificadores e inclusivos, com maior poder explanatório e propriedades integradoras;
- b) Programaticamente - pelo emprego de métodos adequados de apresentação do conteúdo e utilização de princípios programáticos apropriados na organização seqüencial da matéria de ensino.

Para que haja essa influência substantiva, Ausubel sugere os organizadores prévios, que são materiais introdutórios apresentados antes do material a ser aprendido em si. Ao contrário de sumários que são ordinariamente apresentados ao mesmo nível de certos aspectos do assunto, os organizadores prévios são apresentados num nível mais alto de abstração, generalidade e inclusividade. Para Ausubel, a principal função do organizador prévio é a de servir de pononte entre o que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber, a fim de que o material possa ser aprendido de forma significativa. Os organizadores prévios são úteis para facilitar a aprendizagem na medida em que funcionam como "pontes cognitivas" (MOREIRA, 1999).

Ausubel sustenta o ponto de vista de que cada disciplina acadêmica tem uma estrutura articulada e hierarquicamente organizada de conceitos que constitui o sistema de informações dessa disciplina . Acredita que esses conceitos estruturais podem ser identntificados e ensinados a um aluno, constituindo para ele um sistema de processamento de informações, um verdadeiro mapa intelectual que pode ser usado para analisar o domínio particular da disciplina e nela resolver problemas (MOREIRA e MASINI, 1982, destaquque nosso).

Segundo Ausubel, para planejar a instrução, a tarefa mais difícil é a identificação dos conceitos básicos da matéria de ensino e como eles estão estruturados (ibidem, p.42).

## Segundo Ausubel:

"Uma vez que o problema organizacional substantivo (i(identificação dos conceitos organizadores básicos de uma dada disciplina) está resolvido, a atenção pode ser dirigida para os problemas organizacionais programáticos envolvidos na apresentação das unidades componentes". Aqui, por hipótese, vários princípios relativos à programação eficiente do conteúdo são aplicáveis, independentes da área de conhecimento (AUSUBEL, 1968, apud MOREIRA E MASINI, 1982, p. 42).

## Segundo Moreira e Masini:

A aprendizagem significativa processa-se quando o material novo, idéias e informações que apresentam uma estrutura lógica interagem com os conteúdos relevantes e inclusivos, claros e disponíveis na estrutura cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo para sua diferenciação, elaboração e estabilidade (ibidem, p.4).

Para Ausubel, o mais importante fator cognitivo a ser considerado no processo instrucional é a estrutura cognitiva do aprendiz no momento da aprendizagem (MOREIRA E MASINI, 1982).

Ausubel discordou da opinião bastante generalizada de que ao ensino de tipo expositivo se associa uma aprendizagem receptiva, memorizada ou mecânica, enquanto que o ensino pela descoberta corresponde a uma aprendizagem dinâmica, significativa ou compreendida. Em sua opinião, o ensino expositivo não leva necessariamente a uma aprendndizagem de tipo memorizado ou mecânico e, embora reconheça vantagens no ensino por descoberta, crê, no entanto, tratar-se de um ensino muito moroso e pouco econômico, pelo que propõe aquilo a que chama a "guided discovery learning" (ensino por descoberta guguiada), estratégia segundo a qual o professor funciona como organizador do processo de ensino aprendizagem, não deixando que o ensino aconteça tanto ao sabor e ao ritmo dos interesses dos alunos (TAVARES e ALARCÃO, 1985).

## Segundo Ausubel (ibidem, p. 104), há quatro tipos de aprendizagem:

- a) Aprendizagem por recepção significativa ou compreendida - - É aquela em que o professor organiza a matéria a ensinar de uma forma lógica e, ao apresentá-la ao aluno, relaciona-a com os conhecimentos que este já possui de ta l modo que ele possa perceber o que está a aprender e integrar os novos conhecimentos na sua estrutura cognitiva existente.
- b) Aprendizagem por recepção mecânica ou memorizada - É aquela em que o professor apresenta a matéria de tal forma que o aluno apenas tem de a memorizar.
- c) Aprendizagem pela descoberta significativa ou compreendida - É aquela em que o aluno "descobre" o conhecimento por si próprio, chega à solução de um problema que se lhe põe ou a qualquer outro resultado e relaciona o conhecimento que acacaba de adquirir com os conhecimentos que já possuía.
- d) Aprendizagem pela descoberta mecânica ou memorizada - É aquela em que, apesar, de chegar por si próprio à descoberta da solução de um problema, o aluno depois apenas memoriza de um modo mecânico sem a integrar na estrutura cognitiva que já possuía.

A Lei de Newton da Gravitação Universal l não é uma lei empírica, nem um postulado é uma proposição e como tal precisa de subsunçores para se ancorar na estrutura cognitiva para que efetivamente ocorra uma aprendndizagem significativa, e não mais uma fórmula de Física para ser decorada.

## 2. METODOLOGIA

## UMA SEQÜÊNCIA DIDÁTICA PARA A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

A seqüência didática consiste de seis etapas:

- -A 1ª é uma apresentação do documentário Universo Mecânico, mostrando a vida Leibnizt e o mecanicismo; a vida de Kepler e suas relações com Tycho e Galileu, a vida de Newton e sua relação com Halley numa seqüência que mostra como a humanidade cria conhecimento e como não foi fácil para eles quebrar o paradigma aristotélico e outro documentário mostrando o projeto Apolo e a Guerra Fria entre E.U.A e URSS. Tais atividades tinham como objetivos servir de organizadores prévios. Duas aulas.
- -A 2ª é um estudo dirigido sobre as Leis de Kepler onde os alunos respondem as questões de fixação do livro -texto, que no caso da turma piloto foi o livro "Curso de Física V.1 de Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga". Uma aula.
- -A 3ª 3ª é uma atividade experimental (prática 01) com um questioionário de vinte e uma questões em que os alunos constroem a elipse e investigam suas propriedades, culminando com a dedução da equação polar da elipse. Esta prática visa criar r os conceitos subsunçores para a 1ª Lei de Kepler, através da ApAprendizagem por Descoberta Significativa, necessária para desenvolver a seqüência didática que demonstra a Lei de Newton da Gravitação Universal. Duas aulas + uma semana de prazo para entregar o relatório da prática.
- -A 4ª 4ª é uma tarefa teórica de dois problemas sobre velocidade areolar em MCUV, que tem como finalidade mostrar que a força do Sol sobre o planeta deve ser central se não, viola a 2ª Lei de Kepler. A presente prática tem como objetivo, a ocorrência da aprendizagem por descoberta significativa da 2ª Lei de Kepler, nos alunos. Esta atividade alternativiva evita o uso de derivadas do momento angular para justificar a 2ª Lei de Kepler, usando assim conhecimentos de Física e Matemática que estão ao alcance do aluno do Ensino Médio. Uma aula.
- -A 5ª 5ª é uma tarefa teórica em que o aluno preenche uma tabela informando período, afélio, periélio, calcula raio médio e aceleração orbital dos planetas do Sistema Solar, para em seguida usando o Microsoft t Excel inferir através dos gráficos os pedidos a relação da 3ª lei de Kepler. A presente prática tem como objetivo, a ocorrência da ApAprendizagem por Descoberta Significativa da 3ª Lei de Kepler, através da análise dos dados da tabela e dos gráficos construídos, na estrutura cognitiva do do aluno . Trabalho para casa prazo de uma semana.
- -A 6ª 6ª etapa é propriamente, que não é inédita, a dedução da Lei da Gravitação Universal partindo de uma órbita circular, da força centrípeta e da 3ª Lei de Kepler e das três Leis de Newton da Mecânica. Tal dedução está presente somente em dois livros do Ensino Médio, o livro Física 1 do Paulili, da E.P.U que não é mais editado e o livro mais recente do mercado editorial que é o 4º fascículo de Mecânica do Álvaro Csapo Talavera da Editora Nova Geração. o. Duas aulas.

## 3ª Etapa:

## PRÁTICA 01 -SOBRE ELIPSE E A 1ª LEI DE KEPLER (LEI DAS ÓRBITAS)S)

Estudo da elipse e da 1ª lei de Kepler

O objetivo desta atividade é:

- 1. Construir elipses para perceber seus parâmetros relevantes, tais como:
- ß A condição dos pontos de uma linha geométrica para que seja uma elipse;
- ß A excentricidade, o foco, o eixo maior r e o eixo menor de uma elipse;
- 2. Deduzir a função reduzida da elipse;
- 3. Deduzir a forma polar da elipse;
- 4. Mostrar que a circunferência é um caso particular da elipse.
- 5. Enunciar: a 1ª Lei de Kepler, afélio, periélio e calcular raio médio de uma órbita.

## Procedime ntos:

- 1º . Cole com fita adesiva a folha de papel milimetrado na tábua de apoio, com a marcação do papel milimetrado voltada para cima;
- 2º . Bata, com cuidado, um prego nas coordenadas (horizontal = 20,0 cm; vertical =14,0 cm) ou melhor este ponto fica bem no no meio do papel milimetrado;
- 3º . Pegue um cordão de aproximadamente 28 cm e amarre suas extremidades (unindo-as de tal forma a fazer uma linha fechada);
- 4º . Coloque a linha sobre o papel de tal forma que o prego fique dentro da linha fechada. Agora com um lápis hidrocor estique o cordão ao máximo;
- 5º . Agora gire o lápis no sentido horário ou anti-i-horário mantendo o cordão esticado;
- 6º. Observe a figura construída no papel, que figura geométrica você construiu?
- 7º . Qual é a propriedade dos pontos desta linha geométrica?
- 8º Coloque um sistema de eixos cartesianos OXY, onde O º º (20 cm;14 cm) em relação ao papel milimetrado;
- 9º Admita que o ponto O, agora, tem coordenada O º (0;0), ou seja, passa a ser a origem do sistema de eixos. Seja P um ponto qualquer da lilinha geométrica, onde P º º (x;y);
- 10º Mostre que os pontos dessa linha geométrica obedecem a equação: 2 2 2 x + y =R .
- 11º Na linha horizontal passando pelo ponto central, bata dois pregos eqüidistantes de 2 cm do prego central. E Estes pregos serão os focos desta linha geométrica;
- 12º Novamente com o cordão envolvendo os pregos e o lápis, descreva a nova figura geométrica, repetindo o 5º procedimento;
- 13º Repita o procedimento anterior, afastando os focos de 2 cm, umas três vezes consecutivas;
- 14º O que acontece com as distâncias do lápis aos pregos (focos) quando você constrói a figura geométrica;
- 15º Como fica a figura geométrica quando à distância entre os pregos aumenta? Como se chama a figura geométrica que você construiu?
- 16º Seja F1 F1 o ponto onde se localiza o prego (1), F2 F2 o ponto onde se localiza o prego (2) e L o ponto onde está o lápis. O que acontece com a soma dos segmentos de retas F 1 L + F 2 L + F1 F1 F2 F2 , quando o lápis descreve a figura geométrica?

17º Numa outra folha de papel milimetrado do repita o 1º procedimento, bata dois pregos eqüidistantes de 4 cm do ponto central O º º (20 cm;14 cm). Construa uma nova figura geométrica onde F 1 F 2 = 8cm , adote F1 F1 como o foco do lado esquerdo . Coloque um sistema de eixos cartesianos OXY no memeio da página, onde a origem do sistema se encontrará nas coordenadas O º º (20 cm;14 cm). Num lugar

1

qualquer do 1º quadrante da linha geométrica marque um ponto P, de coordenadas P º (x; y). Agora, consultando livros de Matemática, volume 3 ou de Geometria Analítica, defina a propriedade dos pontos desta linha geométrica;

18º Marque agora quatro pontos importantes: A1 A1 º º (-a;0) ponto da intersecção da linha com o eixo X, A 2 º º (a;0) outro ponto de intersecção da linha com o eixo X, B1 B1 º º (0;b) ponto de intersecção da linha com o eixo Y, B2 º º (0;-b) outro ponto de intersecção da linha com o eixo Y;

- 19º Construa os segmentos de retas F 1 P e F 2 P ;
- 20º Definindo algebricamente as coordenadas de F1 F1 por F1 º º (-c;0) e de F2 F2 por F2 F2 º º (c;0);
- 21º Na figura determine em centímetros os valores das constantes (a, b e c);
- 22º O que é, e como é definida a excentricidade (e) desta linha geométrica?
- 23º Deduza que F P F 2 P 2a 1 + F 2 = . Escolha aleatoriamente cinco pontos da linha geométrica, diferente dos pontos A1 e A2 , e teste se a equação do item é verificada. Ache o valor mais provável para 2a ;
- 24º Deduza que: 2 2 2 b + c = a . Compare os dados do ítem17 com o valor teórico da equação deduzida e determine o erro percentual para a 2 .

25º Deduza através de

F P

F 2 P

2a

+

F 2

que a forma reduzida da equação desta figura geométrica é:

<!-- formula-not-decoded -->

26º Admitindo que o ponto P está no 1º quadrante, que q é o ângulo entre o segmento de reta F 1 P e o eixo X, quque (r) é a distância entre F1 F1 e P, que (e) é excentricidade desta linha geométrica, deduza a equação na forma de coordenadas polares (r;q) a equação desta linha geométrica , ou seja mostre que:

1 e.cosq a.(1- e ) r 2 -= . (Sugestão: escreva x e y em termos de r e q e parta da equação reduzida);

<!-- image -->

27º Admita que o planeta descreva uma órbita elíptica, onde o Sol ocupa um dos focos. Definimos afélio como a maior distância entre o planeta e o Sol, chamamos de periélio a menor distância entre o planeta e o foco. Seja F1 F1 o foco onde se localiza o Sol e P o ponto da elipse onde se encontra o planeta.

O raio médio da órbita do planeta é definido por 2 R R R 1 2 m + = , onde R 1 = A 1 F1 F1 e R 2 = F 1 A 2 .

Mostre que o raio médio também pode ser dado por: Rm Rm m = a , onde (a) é o eixo maior da elipse.

=

## 4ª ETAPA

## A 2ª Lei de Kepler (Lei das Áreas) e a necessidade da força Gravitacional ser Central

## Objetivo:

Mostrar que a força entre o Sol e o planeta é uma força central, ou seja, uma força a que aponta na direção do vetor que liga os dois astros.

Suponha que um planeta em órbita circular possuísse aceleração tangencial ( t a r a r ), lologo a aceleração escalar (a) seria diferente de zero, pois t a r a = . O que acarretaria uma aceleração angular (?), visto que: r a g = , onde r é o raio da órbita. Suponha para efeito de simplificação que a = cte, ou seja um MCUV, logo ? = cte. Vamos agora atravévés de um exercício mostrar que esta aceleração tangencial não pode ococorrer numa trajetória circular, ou ou seja, que a aceleração resultante é totalmente centrípeta, logo a força resultante é centrípeta, ou melhor, neste caso, a força é central.

Prob.01. Suponha que no instante t0 t0 = 0 um planeta se encontre a 1 ua e na posição j0 = 0, onde j é o ângulo que o vetor posição do planeta, em relação ao Sol, faz com o eixo x x por exemplo. Suponha também que sua velocidade angular inicial seja (p(p/6) rad/mês e sua aceleração angular seja (p(p/12) rad/mês2 s2 . Com essas informações: (a) Escreva a função horária do espaço angular, onde j é dado em radianos e t em meses; (b) complete a tabela abaixixo; (c) o que acontece com a variação do espaço angular com o passar do tempo, mesmo mantendo o intervalo de tempo constante de 1 mês.

Dado: 1 ua (unidade astronômica) = 1,49.10 11 m.

<!-- image -->

Observamos assim que, ? f nãnão se manteve constante para o mesmo intervalo de tempo que neste exemplo foi de ?t = 1 mêmês. Por sua vez, sabemos que, a área de um setor circular depende do ângulo ? f , ou seja: 2 . r A 2 if if Dj = . Logo se ? f não for constante para o mesmo intervalo de tempo, teremos que a área varrida pelo vetor posição do planeta em relação ao Sol será diferente. A última coluna está mostrando que a velocidade areolar, definida por: tD A Va if if tD = , não o é constante, o que viola a 2ª Lei de Kepler.

Prob.02. Mostre que se um planeta descrevesse um MCUV em torno do Sol a velocidade areolar seria dada por: ( w ) .t . . t . r Va 2 2 1 ( w o + g + g D = , onde t é instante inicial do intervalo ?t.

## 5ª ATIVIDADE NA SEQÜÊNCIA DIDÁTICA PARA A DEMONSTRAÇÃO DA LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL -A linearidade de funções e a 3ª Lei de Kepler

Aluno:..........................................................................................................................Série:..............Turma:............Nº........ Data: \_\_\_/\_\_\_\_/\_\_\_\_

O objetivo desta prática é.inferir a 3ª lei de Kepler, através da observação dos dados da tabela e dos gráficos construídos através do Microsoft Excel. l.

## DADOS SOBRE O SISTEMA SOLAR

1ª Etapa - Complete a tabela abaixo, consultando Internet ou livros de Astronomia para preencher a 3ª e 4ª coluna:

- · Considere a aceleração orbital igual à aceleração centrípeta, para um modelo onde a trajetória do planeta é praticamente circular de raio igual ao raio médio.
- 01. Enuncie a 3ª Lei de Kepler;
- 02. Que regularidade você observa nesta tabela?
- 03. Qual o valor da constante da 3ª Lei de Kepler para o Sistema Solar? Admita 4.p 2 = 39,5.
- 04. Construa uma tabela no Excel, onde as linhas são os planetas do sistema solar e as colunas são: o período do planeta em ano; o raio médio em u.a; o quadrado do período; o quadrado do raio médio; o cubo do período; o cubo do raio médio. 2
- 05. Construir uma planilha com os gráficos, tipo dispersão: a) R x T b) R x T 2 c) R x T 3 d) R2 R2 x T e) R2 R2 x T 2 f) R2 R2 x T 3 g) R3 R3 x T 2
- 06. Qual dos gráficos a relação entre os eixos é linear (uma reta que passa pela origem)? O que significa esta linearidade na visão Física?

## 2. CONCLUSÃO

- -Vemos que é possível através da prática 01 mostrar para um aluno do Ensino Médio, antes que o mesmo veja em m Geometria Analítica que se um planeta orbita o Sol, descrevendo o uma trajetória circular, tal hipótese não viola a 1ª Lei de Kepler, visto que, a circunferência é um caso particular de

uma elipse, ou seja: 1 b y a x 2 2 2 2 + = . Se a = b = r, teremos: 2 2 2 x + y = r uma circunferência de raio r.

- -Vimos também que após a realização da prá tica 02 é possível mostrar que a força entre o Sol e o planeta é uma força central, ou seja, uma força que aponta na direção do vetor que ue liga os dois astros. Esta demonstração alternativa evita o uso de derivadas do momento angular para justificar a 2ª Lei de Kepler. Usando assim, conhecimentos de Física e Matemática do Ensino Médio.
- -Logo concluímos que para a área permanecer constante para o mesmo intervalo de tempo, ? f terá que permanecer constante e isso só ocorrerá se não houver aceleração angular. Sendo assim não teremos aceleração escalar, logo a aceleração tangencial é nula e conseqüentemente toda aceleração é centrípeta. Ou seja, , a força resultante é centrípeta. Como a trajetória é circular a força entre o Sol e o planeta é central. Ou seja, a, não forçamos a priori que a força gravitacional s seja centrípeta.
- -A A primeira vez que tivemos contato com a dedução da Lei da Gravitação Universal foi na graduação, onde a dedução da lei envolvia equações diferenciais 3 . A primeira que vimos à dedução da lei numa linguagem de Física e Matemática para o Ensino Médio foi no livro Física 1 - Mecânica editora: EPU - - Autores: : Pauli; Majorana; Heilmamann e Chofi, o livro também mostra a dedução do trabalho da força gravitacional. O livro saiu do mercado editorial. E este é o ponto crucial da nossa pesquisa, pois, os professores ao elaborarem suas aulas estão se limitando ao texto, conseqüente a lei de Newton é apresentada de forma postulada ou com se fosse uma definição, não se fazendo nenhuma hierarquização com as Leis de Kepler, com os elementos da Geometria Euclidiana, com os conceitos de cinemática e os princípios da Mecânica, conseqüentemente levando o aluno a uma aprendizagem por recepção mecânica ou memorizada.
- -O trabalho do autor Álvaro Csapo Talavera, Física: mecânica IV - São Paululo: Editora: Nova Geração, 2004, resgata a demonstração o feita no Pauli além de dar uma excelente contribuição ao ensino da História da Física ao contextualizar r como Newton, Halley, Hooke e Boerelli se envolveram na busca de tal solução, como nunca foi colocado num texto de Ensino Médio.
- -Constatamos que dos livros mais indicados pelos professores nenhum demonstra a dededução da Lei de Newton da Gravitação.
- -A pesquisa de mestrado teve aspectos tanto de estudo de caso etnográfico como de pesquisa-aação. Constatamos que dos dezoito professores do Ensino Médio que participaram da mesma, somente quatro professores deduziam a Lei de Newton da Gravitação quando de suas seqüências didáticas. Treze professores nunca viram a dedução da Lei da Gravitação numa linguagem para o Ensino Médio. Constatamos também que os professores estão restringindo a preparação de suas aulas aos livros- texto que não abordam a dedução o da Lei de Newton da Gravitação, pois somente 33,33% dos professores pesquisado usam livros de Graduação para preparar de suas aulas. Dos livros-texto do Ensino MéMédio somente os livros -texto (13) e (14) abordam a dedução da Lei da Gravitação.
- -Além do que foi discutido anteriormente, é importante considerar que uma seqüência didática baseada em demonstração está de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1999), pois leva o aluno a construir o conhecimento e perceber que o conhecimento é uma construção humana e coletiva. Ou seja, ao fazer essa demonstração discutiremos a Lei da Inércia de Galileu e a 1ª Lei de Newton, as Leis de Kepler e as 2ª e 3ª Leis de Newton, além dos sistemas de Aristóteles, Ptolomeu, Copérninico e Tycho Brahe.

- -O tema Gravitação Universal pode ser abordado numa perspectiva interdisciplinar. Pois podemos questionar que mundo (paradigma) nós viveríamos, se Newton não tivesse publicado seus trabalhos? Quanto de atraso tecnológico teríamos, ou não? Ou seja, é provavelmente o tema mais abrangente da Física, pois, podemos discutir: Filosofia, Cosmologia, História, cinemática, força, quantidade de movimento, energia, Exploração Espacial, etc.
- -Então o nosso objetivo maior é sensibilizar os professorores da possibilidade de incluir no seu cotidiano pedagógico a valorização do capítulo da Gravitação Universal e a dedução da Lei de Newton da Gravitação Universal. Sugerindo também que os autores de livros-texto em suas próximas edições dos seus livros incluam a dedução e que o capítulo passe a ter um destaque maior do que os demais.

## REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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- 14. TALAVERA, Alvaro Csapo. Física: mecânica IV - - São Paulo: Editora: Nova Geração, 2004.
- 15. TAVARES, José; ALARCÃO, Isabel. Psicologia do Desenvolvimento e da Aprendizagem. Coimbra: Livraria Almedina, 1985.

16. TIPLER, Paul A. A. Física - vol 1b. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1985.

## Apêndice - 6ª Atividade da Seqüência didática

Demonstração da Lei da Gravitação Universal numa linguagem física e matemática no nível do Ensino Médio. Interpretação dinâmica das Leis de Kepler através dos princípios de Isaac Newton

O movimento de um corpo depende do referencial escolhido. O movimento do planeta é muito complexo, seja do ponto de vista de um referencial na superfície da Terra ou de um referencial no centro da Terra. Para um referencial centrado no Sol, ou seja, um referencial cuja ororigem é fixa em relação ao centro do Sol e cujos eixos são fixos em relação a estrelas distantes, o movimento do planeta fica bastante simplificado.

## Modelo do Sistema Solar

- 1. O Sol e os planetas são tratados como partículas. Esta aproximação se justifica porque as distâncias entre o Sol e os planetas são muito maiores do que os seus tamanhos.
- 2. Cada planeta se move em torno do Sol segundo uma órbita circular. Embora as órbitas sejam elípticas, são quase circulares, os valores das excentricidades são próximos de de zero Esta aproximação nos permite utilizar a aceleração centrípeta (v2 v2 / R) em relação ao Sol, como aceleração relativa a um referencial inercial na segunda lei de Newton.
- 3. A única força significativa sobre um planeta é a força gravitacional exercida pelo Sol. Esta aproximação é justificada pela observação de que a órbita de cada planeta é essencialmente independente das posições dos outros planetas. Em razão de tal aproximação, usamos a força exercida pelo Sol sobobre um planeta como resultante sobre o mesmo.

Suponha um planeta descrevendo uma trajetória circular de raio r, fig. d, em torno do Sol.

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Fig. 01 Planeta orbitando o Sol

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Por sua vez da 3ª Lei de Kepler temos: p 3 2 p T K r p T = . Sendo assim, substituindo na expressão da força do

Sol sobre o planeta teremos: 2 p p 2 Sp r 4 . . K . m F p = . Vemos assim, que a força do Sol sobre o planeta é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado da distância

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Por sua vez, para um referencial colocado no planeta, fig.e, o Sol descreve uma órbita circular em torno do planeta, conforme figura ao lado. Logo aplicando as Leis de Newton para o movimento do Sol teremos:

Fig. 02 2 Movimento do Sol para um referencial fixo no centro da Terra.

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Logo a força que o planeta exexerce sobre o Sol será dada por:

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Sendo assim, concluímos que a força do planeta sobre o Sol é diretamente proporcional a massa do Sol e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Aplicando a 3ª Lei de Newton teremos:

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proporcionalidade será chamada de constante da Gravitação Universal e será representada pela letra G.

Ou seja: G m C M C p S S p = = . Logo a força de atração do planeta sobre e do Sol sobre o planeta serão

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Conclusão: A força de atração entre o Sol e o planeta é chamada de força gravitacional e será representada por F r g F r . As características de F r g F r , são:

Fig. 03 . Movimento do planeta para um referencial inercial no Sol.

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## a) Direção e sentido

Da reta que passa pelos centros de massa dos dois astros. E o sentido da força é de atração entre os corpos;

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Onde r é distancia de centro a centro dos astros.