CONCEITOS DE CONDUÇÃO DE CALOR E MÉTODOS NUMÉRICOS TRABALHADOS VIA PROGRAMAÇÃO SIMBÓLICA

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## CONCEITOS DE CONDUÇÃO DE CALOR E MÉTODOS NUMÉRICOS TRABALHADOS VIA PROGRAMAÇÃO SIMBÓLICA

Gilson Pereira do Carmo Filho [gilsonfilho@timnet.com] a Júlio Wilson Ribeiro [juliow@uol.com.br] a Paulo de Tarso Cavalcante Freire [tarso@fisica.ufc.br] b José Neuman de Sousa [neuman@ufc.br] a

a Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Lab. de Ensino de Ciências do Centro de Ciências da UFC b Departamento de Física e Laboratório de Ensino de Ciências do Centro de Ciências da UFC

## RESUMO

- O processo de ensino-aprendizagem de termodinâmica geralmente se encontra associado a grandes desafios, exigindo o permanente aperfeiçoamento de abordagens e estratégias metodológicas. No processo de construção da aprendizagem, quando além de conceitos físicos também estão envolvidos conceitos e métodos relacionados à solução de equações diferenciais parciais, cresce a complexidade das barreiras a serem transpostas pelos estudantes. Apresenta-se uma experiência onde um ambiente computacional de aprendizagem foi implementado para motivar os alunos e facilitar o processo de ensino-aprendizagem de métodos da matemática computacional e conteúdos da termodinâmica. Assim, abordam-se a teorização e solução analítica passoa-passo de equações diferencias parabólicas, disponibilizando-se uma aplicação especifica em condução de calor. Foram selecionados os métodos de separação de variáveis, Ëuler e Crank-Nicolson. O ambiente computacional de aprendizagem teve seu projeto estruturado utilizando-se como recurso para desenvolvimento de programação simbólica, o software Mathematica 5.0. Para visualização e análise do comportamento da convergência dos métodos de solução e das curvas de distribuição de temperatura, discutem-se a construção e utilização de tabelas, gráficos e animações, gerados online no ambiente, a partir das equações analíticas, como também a utilização de links , o que permite ao aluno facilmente retornar a estágios anteriores de seu processo de construção de aprendizagem.

Palavras Chave: Ambiente Computacional de Aprendizagem, Termodinâmica, Métodos Numéricos e Analíticos, Aprendizagem Online .

## 1. INTRODUÇÃO

O processo de ensino-aprendizagem de termodinâmica geralmente encontra-se associado a grandes desafios, exigindo abordagens e estratégias metodológicas modernas que, quando possível, envolvam recursos das novas tecnologias da informação. Apresenta-se uma experiência onde um ambiente informatizado de aprendizagem (AIA) foi construído e implementado, levando-se em conta métodos de computação simbólica, objetivando se motivar os alunos e facilitar o processo de ensino-aprendizagem unificado de métodos da matemática computacional e conteúdos de termodinâmica. O presente AIA foi concebido com características pedagógicas que auxiliam o aluno nos estágios da construção do raciocínio abstrato físico-matemático assistido por computador. No caso específico aqui discutido, selecionaram-se conteúdos de métodos numéricos para solução de equações diferenciais parciais do tipo parabólicas e de ciências térmicas.

## 2. DESENVOLVIMENTO

## 2.1 Princípios de Computação Simbólica

A computação simbólica constitui um interessante recurso de programação de altíssimo nível, aliando paradigmas de programação procedural, programação funcional e programação baseada em regras, o que permite a programadores experientes produzirem aplicações que sistematicamente trabalhem desenvolvimento de cálculo analítico avançado, o que muito pode simplificar a tarefa de operações repetitivas e enfadonhas, caso o usuário tente executá-las manualmente. O surgimento de sistemas de computação simbólica (SCS), tais como o Mathematica (Wolfram, 1996), tornou possível a conjunção do processo de ensino-aprendizagem em um mesmo arquivo eletrônico através da criação de documentos interativos ( notebooks ) com edição de texto para teorização, desenvolvimento de manipulações analíticas e/ou numéricas e poderosos recursos de animação e de visualização.

## 2.2 Descrição dos Problemas Matemático e Físico

O problema físico a ser abordado pelo aluno será a da condução de calor pura e transiente, trabalhando-se um caso ideal, aqui representado por uma equação diferencial parcial (EDP), do tipo parabólica. Pedagogicamente, no notebook construído no Mathematica , inicialmente se disponibiliza para o aluno o problema puramente matemático e seus métodos de solução. Assim, assume-se genericamente u(x,í) como o potencial associado à uma equação diferencial difusiva, definida a seguir:

<!-- formula-not-decoded -->

sujeita às seguintes condições de contorno:

<!-- formula-not-decoded -->

e

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

Para a solução do problema, adotaram-se alguns métodos, desenvolveram-se suas teorizações e soluções, que são brevemente descritas no item 2.3. Atingindo o estágio de solução matemática, numa visão integrada físico-matemática e pedagógica, propõe-se que o aprendiz trabalhe em seguida a solução do problema da condução de calor no AIA, segundo estes métodos. Numa fase posterior, o aluno é direcionado a primeiramente navegar em gráficos e tabelas, que ilustram o comportamento e convergência da solução, comparando-as entre os métodos utilizados, para, em seguida, analisar dinamicamente o comportamento do processo de aquecimento ou resfriamento de um determinado material.

## 2.3 Métodos de solução

Os recursos utilizados para resolver o problema matemático são: (i) método de separação de variáveis; (ii) método de Ëuler; (iii) método de Crank-Nicolson. O método de separação de variáveis é inicialmente utilizado para se resolver passo-a-passo e analiticamente o problema da condução de calor (Myers, 1971; Boyce and DiPrima, 1998; Özisik, 1985). Myers estruturou os conteúdos de forma a serem utilizados em aprendizagem a distância, o que foi presentemente adotado. Para fins de solução passo-a-passo da equação parabólica através de diferenças finitas, usam-se os métodos de Ëuler e Crank-Nicolson. Como neste caso é necessário se trabalhar com derivadas de primeira e segunda ordens, utilizam-se expansões em série de Taylor para expressar essas derivadas. Isto induz a se trabalhar com domínio discretizado, através de valores nodais. Truncam-se tais séries representativas das derivadas para expressar os resultados em função de valores nodais do potencial, o que, sem perda de generalidade, é calculado numericamente em seguida.

## 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A construção dos conceitos teóricos (fenomenologia), tratamento matemático, familiarização com os métodos numéricos e obtenção de valores calculados numericamente foram estruturados e implementados em notebooks , segundo o princípio de apresentação dos conteúdos de aprendizagem partindo de conceitos mais gerais para mais específicos. Através da estrutura hierárquica própria dos notebooks do Mathematica, cada conceito ou etapa do algoritmo é apresentado em células que, por sua vez, podem facilmente ser divididas em subcélulas contendo conceitos mais específicos ou subetapas do algoritmo. Estas medidas auxiliam o aprendiz em todos os estágios da discussão passo-a-passo.

Tais procedimentos auxiliam o aprendiz nos estágios de compreensão dos formalismos teóricos, tratamento matemático, funcionamento dos métodos. Ressalta-se, por último, que o AIA fornece através de seus links a possibilidade de um processo de aprendizado autônomo e personalizado, incentivando a criação do aprendiz e o rápido acesso sistematizado aos resultados desejados.

Para inicializar o notebook , o aluno entra com os valores numéricos das condições iniciais, de contorno e difusividade térmica, adotando o sistema de unidades MKS. Para uma análise unificada de comparação do comportamento das taxas de convergência da solução numérica dos três métodos, tabelas são automaticamente geradas e disponibilizadas online no AIA para o aprendiz, disponibilizando valores das temperaturas e o erro relativo. Ainda valorizando o aprendizado autônomo, o ambiente permite que o aluno modifique o número de nós no domínio e o valor do incremento temporal, para observar a estabilidade e a taxa de convergência dos métodos numéricos empregados. A partir desta proposta de construção do processo de aprendizagem, o aprendiz pode concluir que o método de Ëuler é mais instável que o método de Crank-Nicolson.

Numa aplicação, para se proceder à análise física do fenômeno de resfriamento do epoxy , o AIA disponibiliza animações e gráficos da evolução temporal do perfil de temperatura. Sugere-se ao aluno, como aprendizagem complementar, utilizar novas propriedades termofísicas, permitindo agora simular o resfriamento e comparar a dinâmica da evolução dos perfis de temperatura segundo diferentes materiais, o que permite se adquirir uma concepção física mais genérica do efeito de difusividade e inércia térmica.

Além disto, o AIA também possibilita que o aluno interaja com a visualização online do processo de resfriamento (ou aquecimento) do material, o que pode ser feito com um simples clique de mouse num botão de animação, existente numa das janelas do notebook. Em seguida, o programa exibe na tela do monitor, se desejado pelo aluno, uma janela que simula o efeito da queda de temperatura em função do tempo e para pontos distintos do domínio espacial.

## 4. CONCLUSÕES

- O AIA se mostra como um novo espaço para a construção sistemática de processo de aprendizado de forma mais autônomo, personalizado e também motivador. A navegação nas células dos notebooks , facilita abordar conceitos, formulações e soluções matemáticas de equações diferenciais. Tabelas facilmente disponibilizadas no AIA permitem o estudo do mecanismo de convergência numérica dos métodos, favorecendo a análise crítica da precisão dos resultados. Quanto à aplicação sugerida na condução de calor transiente, gráficos e animações, gerados online , permitem a visualização da distribuição do perfil de temperatura e se auferir a velocidade de resfriamento/aquecimento, o possibilita a abordagem e análise física do fenômeno da condução de calor pura em meios sólidos. Caso o professor julgue necessário, os algoritmos podem ser matematicamente refinados, para disponibilizar soluções via outras variantes dos métodos de diferenças finitas, elementos finitos ou, ainda, utilizar outros métodos numéricos, expandindo assim a abrangência temática da disciplina cálculo numérico.
- O professor pode alternativamente criar um roteiro de estudo, onde o aluno deva pesquisar isoladamente ou em equipe, com o auxílio da Internet, a análise do processo de resfriamento/aquecimento no universo de outros materiais ou em aproximação de casos práticos, citando-se aplicações em resfriamento de dispositivos eletrônicos, siderurgia, refinamento de petróleo, crescimento tumoral etc.

## AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao CNPq e ao CTPETRO.

## REFERÊNCIAS

Ausubel, D. P., 1968. Educational psychology: a cognitive view . Holt, Rinehart and Winston, New York.

Moreira, M. A., 1999. Teorias de aprendizagem . Editora Pedagógica e Universitária, São Paulo.

Wolfram, S., 1996. The Mathematica book . Wolfram Media/Cambridge University Press, Champaign/Cambridge, 3 ed.

Boyce, W. E. &amp; DiPrima, R. C., 1998. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno . Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, 6 ed.

Myers, G. E., 1971. Analytical methods in conduction heat transfer . McGraw-Hill Book Company, New York.

Özisik, M. N., 1985. Heat transfer: a basic approach . McGraw-Hill, New York.