ESTUDO DO ELETROSCÓPIO DE BRAUN - ENFOQUE BASEADO NA MODELAGEM MATEMÁTICA

## ESTUDO DO ELETROSCÓPIO DE BRAUN ENFOQUE BASEADO NA MODELAGEM MATEMÁTICA

Zacarias Eduardo Fabrin a [zacarias.fabrin@detec.unijui.tche.br] Gerson Feldmann b [feldmann@unijui.tche.br]

- a Acadêmico do Curso de Engenharia Mecânica UNIJUI/UERGS, Av. Rudi Francke s/n, 98280-000, Panambi, RS. b Professor do Departamento de Física, Estatística e Matemática da UNIJUÍ, C.P. 560, 98700-000, Ijuí, RS.

## 1 - INTRODUÇÃO

A utilização de aulas práticas tem sido um recurso importante de apoio ao aprendizado de física geral nos cursos de Física e Engenharia, como forma de significação prática dos conceitos teóricos. No curso de Engenharia Mecânica da UNIJUÍ/UERGS os alunos participam de aulas práticas paralelamente às aulas teóricas. Durante as aulas práticas de eletrostática são realizadas experiências conhecidas de indução de cargas elétricas, entre as quais a eletrização no eletroscópio de Braun. Neste contexto surgiu o interesse de analisar teoricamente o fenômeno da eletrização.

- O Eletroscópio de Braun é um dispositivo utilizado para detecção de cargas elétricas estáticas através da rotação de uma lâmina eletrizada (figura 1).

Figura 1 - Esquema descritivo do eletroscópio de Braun.

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Neste trabalho é apresentado um modelo matemático que expressa uma correspondência entre o módulo da carga elétrica aplicada ou induzida no eletroscópio e o ângulo de repouso da lâmina em relação à haste que a sustenta.

Para obter a expressão desejada é utilizada uma metodologia definida pelos seguintes tópicos:

- - simplificações do sistema real;
- - simbolização no plano cartesiano;
- - analise vetorial das distâncias e forças envolvidas no sistema simplificado;
- - considerações de simetria;
- - aplicação das condições de equilíbrio.

Para tanto utilizamos ferramentas matemáticas da geometria analítica e vetorial [1], condições de equilíbrio estático para o somatório dos momentos oriundas das Leis de Newton [2] e ainda a lei de Coulomb [3]:

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estas.

## 2 - MODELO FÍSICO-MATEMÁTICO

\_\_\_\_

Quando não eletrizada, a lâmina CD * permanece em repouso com ângulo de 0 ° em relação à haste AB \_\_\_\_ (figura 2 -1) devido a uma diferença de comprimento OD - OC = ∆ d. que torna o somatório dos momentos diferente de zero para qualquer ângulo maior que 0 e menor ° que 180 ° . Quando o conjunto é eletrizado surgem forças elétricas de repulsão entre lâmina e haste, inicialmente há uma mudança de posição da lâmina, o que caracteriza uma condição transiente onde o somatório dos momentos não é nulo. A lâmina gira até uma posição de equilíbrio denotada por um ângulo è que corresponde a condição de equilíbrio estático. A condição para o equilíbrio é obtida das leis de Newton, ou seja, o somatório dos momentos é nulo.

Figura 2 - Representação do conjunto lâmina-haste do eletroscópio.

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## Limites e simplificações

Nos limitaremos ao conjunto haste-lâmina, simbolizado por dois segmentos de reta AB (haste) e CD (lâmina), concorrentes, com um ponto em comum predefinido na origem O de um plano cartesiano ℜ 2 (fig. 3).

P Figura 3 - Representação geométrica do sistema.

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Consideramos toda carga aplicada ao sistema distribuída em 4 pontos, correspondentes às extremidades do conjunto haste-lâmina. Assim, tem-se qC e qD situadas nas extremidades da lâmina CD , qA e qB nas extremidades da haste AB. O pino G esta situado no centro do conjunto, portanto os comprimentos AO, BO, DO e CO possuem o mesmo módulo representado pela variável a (a minúsculo) .A geometria da haste e da lâmina é desprezada, assim como as forças de atrito no pino G. As forças de ação originárias da interação entre as cargas elétricas são simbolizadas pelos vetores FAD (cargas qA e qD) , FBD (cargas qB e qD) , FBC (cargas qB e qC) e FAC (cargas qA e qC), supõem-se tais forças atuando apenas nas extremidades da lâmina móvel, além disso, o vetor força peso P , originário do comprimento Äd (figura 2), é definido com origem na extremidade D.

Existem ainda mais duas forças agindo sobre a lâmina, que são FDC e FAB, estas forças são paralelas às retas CD e AB , correspondem às interações entre as cargas qD, qC e qA, qB respectivamente, tais forças são de tração e tendem alongar a haste e a lamina, não causando momento angular em nenhum instante sobre o plano de giro, logo são insignificantes e desprezíveis para nossos objetivos.

A carga total é dada pela soma: Q = qA + qB + qC +qD, onde qA = qB = qC = qD = q, portanto tem-se:

Q = 4.q

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A carga total Q pode ser definida em função de è através das condições de equilíbrio estático do sistema, o que será detalhado adiante.

## Condições de equilíbrio estático dos momentos em relação à origem

Na figura 4 estão representados os vetores distância, força peso e força elétrica do sistema simplificado.

Figura 4 - Representação vetorial do sistema.

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O somatório dos momentos em relação ao ponto O é definido pela soma dos produtos vetoriais conforme a equação 2.

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## Determinação dos vetores distância e força

Os vetores da figura 4 podem ser representados por suas componentes no plano cartesiano, considerando os vetores unitários ( , , i j k ), como segue:

P =-P. ; j OB = -a. ; j OA = a. j ; OD = a.(senè. - cosè. ); i j OC = a.(-senè. i + cosè. ); j BD = OD OB = -a.[senè. -(cosè-1). ]; i j AC = -BD = a.[-senè. i - (cosè-1). ]; j AD = OD -OA = a.[senè. i - (cosè+1). ]; j BC = -AC = a.[-senè. i + (cosè+1). ]. j

Através da Lei de Coulomb e geometria vetorial temos:

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<!-- formula-not-decoded -->

Das equações acima obtemos as expressões para os momentos:

<!-- formula-not-decoded -->

k -P OD · θ · · = × sen a P

Observando a figura 4 nota-se que os vetores FAC, FBC e OC possuem mesmo módulo que FBD , FAD e OD respectivamente, porém sentidos opostos. Por tanto, tem-se os produtos vetoriais idênticos, ou seja, OD×FBD = OC×FAC e OD×FAD = OC×FBC o que pode ser constatado pela simetria do sistema.

## Determinação do somatório através da condição de equilíbrio estático dos momentos:

Das equações 1, 2, 3, e critérios de simetria temos a expressão que apresenta a correspondência entre o ângulo da lâmina metálica em relação a haste que a fixa e a quantidade de carga elétrica Q aplicada ou induzida no eletroscópio de Braun. Substituindo as expressões obtidas para os momentos na condição de equilíbrio (eq. (2)), obtemos:

<!-- formula-not-decoded -->

Fazendo uso das seguintes relações:

<!-- formula-not-decoded -->

Obtemos:

<!-- formula-not-decoded -->

O termo da direita nesta equação pode ser simplificado utilizando-se identidades trigonométricas, resultando em:

<!-- formula-not-decoded -->

De onde resulta:

<!-- formula-not-decoded -->

Portanto, a carga total (eq.(1)) é dada por:

<!-- formula-not-decoded -->

(4)

Que fornece a carga elétrica total contida no eletroscópio em função do ângulo de inclinação da lâmina.

## 3 - RESULTADOS

Uma forma de verificação da equação (4) é realizar uma análise dos limites de validade. Podemos arbitrar valores para a geometria do eletroscópio e constatar quais cargas podem corresponder aos ângulos limite. Consideramos um eletroscópio com os seguintes valores: a=10cm e P=1x10 -3 N. A tabela 1 mostra os resultados para alguns ângulos típicos, enquanto que o gráfico 1 apresenta o comportamento da função.

(a)

Figura 5 - (a) Resultados obtidos para ângulos típicos; (b) simulação numérica do modelo.

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Para ângulos maiores que 90º tem-se valores negativos no denominador, resultando em raízes não reais. Isso concorda com a experiência pois ângulos maiores que 90º implicariam na existência de uma força de atração entre a lâmina e a haste, o que não é possível pois ambas sempre serão eletrizadas com cargas de mesmo sinal. Para o ângulo de 0° tem-se a componente senè = 0, implicando em Q=0, situação em que o eletroscópio encontrase descarregado.

## 4 - CONCLUSÃO

Neste trabalho foi apresentado um modelo físico-matemático que expressa a correspondência entre o módulo da carga elétrica aplicada ou induzida no eletroscópio e o ângulo de repouso da lâmina em relação à haste que a sustenta. O modelo foi elaborado com base na lei de Coulomb para eletrostática e nas condições de equilíbrio de Newton.

Para realizar a modelagem físico-matemática do eletroscópio de Braun foram necessários conhecimentos dos conceitos sobre cargas estáticas e princípios da mecânica newtoniana, assim como o domínio de ferramentas da álgebra vetorial, quanto a

decomposição de vetores e produto vetorial. A análise dos resultados mostra boa concordância qualitativa do modelo com casos limites do experimento.

## 5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

- [1] STEINBRUCH, ALFREDO. Geometria Analítica . 2. ed. São Paulo; McGraw-Hill, 1987.
- [2] BEER, F. P.; JOHNSTON, JR. E. R. Mecânica vetorial para engenheiros. 5ª. ed. São

Paulo; Makron, McGraw-Hill, 1991.

[3] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KENNETH, S. K. Física , vol. 1 e 3, 4ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.