UMA DEMONSTRAÇÃO SIMPLES SOBRE A ANALOGIA CLÁSSICA DO EFEITO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO

## UMA DEMONSTRAÇÃO SIMPLES SOBRE A ANALOGIA CLÁSSICA DO EFEITO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO

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Cleidilane de Oliveira Sena (cleidilaneos@yahoo.com.br) Glaura Caroena Azevedo de Oliveira (glauracaroena@yahoo.com.br) b Petrus Alcantara Júnior c (petrus@ufpa.br)

- a Universidade Federal do Pará (UFPA); Laboratório de ensino de óptica - Bolsista PET/SESU/MEC
- b Universidade Federal do Pará (UFPA); Laboratório de ensino de óptica - Bolsista IT/SECTAM/FUNTEC
- c Universidade Federal do Pará (UFPA); Laboratório de ensino de óptica

Geralmente nos cursos introdutórios de mecânica quântica é comum deparamos com a afirmação de que o efeito túnel não tem análogo clássico, mas segundo o princípio da correspondência todo efeito quântico tem seu análogo clássico, então qual seria o análogo clássico do efeito túnel? A resposta para esta pergunta está na teoria da reflexão interna total frustrada (RITF). A RITF ocorre quando a onda evanescente (onda de superfície) se estende com amplitude suficiente, através de um meio menos denso, para uma região próxima ocupada por um material de índice superior, a energia pode ser transmitida através deste intervalo. Usando uma lente planoconvexa, um prisma e uma lâmpada com luz não-coerente é possível estender a demonstração da RITF, que é associada ao análogo clássico do efeito túnel quântico, de uma forma mais simples, já que em muitos experimentos de óptica feitos em sala de aula ou em laboratórios avançados de física seguem uma prescrição tradicional encontrada em muitos manuais, onde a experiência é feita com dois prismas retangulares e o uso de um laser devido a sua alta intensidade e coerência.

Palavras chaves: reflexão interna total, onda evanescente, efeito túnel.

## 1-Introdução

Nos cursos introdutórios à física quântica é freqüente depararmos com a afirmação de que o efeito túnel não tem analogia clássica [R.H.Dicke, J.P.Wittke, Tntroduction the Quamtum Mechanics, Addisen-Wesley MA, 1960, pág. 41], pois a energia cinética do elétron seria negativa contrariando sua definição dada em textos básicos de Mecânica Clássica. Do ponto de vista da Mecânica Clássica, que estuda o movimento de partículas ou de sistemas de partículas, quando um elétron com energia total E incide sobre uma barreira de potencial com energia V ( > E ), ele é totalmente refletido na barreira voltando na mesma direção que incidia. O mesmo problema abordado pela Mecânica Quântica mostra, no entanto, que há uma probabilidade finita de que o elétron seja encontrado no outro lado da barreira, continuando seu trajeto. Este efeito, conhecido como tunelamento pela barreira ou efeito túnel , é observado experimentalmente e é o princípio de vários avanços tecnológicos obtidos a partir da segunda metade do século XX, tais como os diodos túnel e microscópio de varredura eletrônica. A questão chave que se coloca no ensino de Física é: como todo efeito quântico tem correspondência na física clássica (Princípio da Correspondência), qual seria o análogo clássico do efeito túnel?

## 2-O Efeito Túnel

- É verdade que, na Mecânica Newtoniana, pelas razões já descritas acima, não há tal correspondência, mas é possível achar esta correspondência na teoria ondulatória da luz, onde a luz é tratada como uma onda eletromagnética ao invés de um feixe de partículas.

A razão para que este efeito ocorra é que o elétron, do ponto de vista quântico, tem uma natureza dual -pode manifestar o comportamento tanto de partícula como de onda. Nesta abordagem o elétron é descrito como uma onda de matéria que representada por autofunções que são soluções da equação de Schrödinger com condições de contorno x = 0 e x = L, apropriadas ao

problema da barreira de potencial. A partir destas soluções, podemos atribuir ao elétron uma probabilidade de reflexão R e uma probabilidade de transmissão T, Figura 1 (a), que o elétron seja refletido ou transmitido pela barreira de potencial. A probabilidade (ou coeficiente) de transmissão é extremamente sensível à amplitude do potencial e à largura da barreira. A probabilidade de transmissão T, para altos valores de kL, é dado por

T ≅ e -2kL

Onde k é o número de onda associado ao elétron que depende da diferença de energia entre a altura da barreira de potencial e da energia do elétron. Logo,

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Figura 1(a) Diagrama de energia que mostra uma barreira de potencial com altura V e espessura L, e a energia total E de um elétron que se aproxima da barreira pela esquerda. O elétron tem a probabilidade R de ser refletido na barreira e probabilidade T de ser transmitido através dela, via tunelamento. (b) A densidade de probabilidade da onda de matéria associada ao elétron em (a). À esquerda de x = 0 é a interferência produzida pelas ondas de matéria incidente e refletida.

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Para isso o elétron deve ser representado como uma onda de matéria. A Figura 1(b) mostra a curva da densidade de probabilidade apropriada ao caso. À esquerda da barreira há uma onda incidente, que se desloca para direita, e uma onda refletida (menos intensa), que se move para esquerda. Estas duas ondas interferem e produzem a figura de interferência que vemos na região x &lt; 0 da Figura 1 (b). Dentro da barreira a densidade de probabilidade diminui exponencialmente. No outro lado da barreira (x &gt; L) só temos uma onda de matéria que avança para a direita com uma amplitude reduzida, porém constante.

A forma apropriada de correlacionar o efeito túnel com a Física Clássica é encará-lo como um problema ondulatório, onde a onda se relaciona com o elétron apenas no sentido probabilístico. Isto é, se a densidade de probabilidade no outro lado da barreira não é nula, há uma certa probabilidade do elétron ser encontrado.

- O tunelamento através de barreiras ocorre não apenas com ondas de matéria, mas com todos os tipos de ondas, inclusive com ondas na água e com ondas luminosas.

## 2- Reflexão Interna Total Frustrada

Antes de apresentarmos o experimento, é importante entendermos algumas propriedades simples da propagação de luz por um prisma, um tema muito abordado nos estudos preliminares de óptica geométrica.

Quando um feixe de luz, propagando-se em um meio com determinado índice de refração, incide normalmente na superfície de um meio transparente de índice de refração menor que o do meio anterior, este não sofrerá nenhum desvio. Ao incidir obliquamente no mesmo sentido, o raio luminoso se afasta da normal. Aumentando-se o ângulo de incidência até um ângulo limite θ L , o raio sai rasante a superfície ótica, ou seja, o ângulo de refração é de 90 o com a normal. Se o ângulo de incidência for maior que o ângulo limite não há refração e a luz sofre o fenômeno chamada reflexão interna total . Fenômeno este que acontece em prismas de ângulo reto que

provoca um desvio de 90 em relação ao raio incidente, e é um sistema inversor em que a face à 45 o o atua como um espelho plano (Figura 2).

Figura 2. Reflexão interna total em um prisma de 45°.

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Ao analisarmos a reflexão interna total do ponto de vista ondulatório, veremos que a luz penetra alguns comprimentos de onda além da interface, que segundo o princípio de Huygens, uma onda resultante é formada pela sobreposição de várias ondas, geradas por osciladores, que se propagam a velocidades apropriadas. Então, a onda incidente na interface dá origem à emissão de ondas que se sobrepõem e formam a onda transmitida com mesma freqüência, período e fase da onda incidente, porém com velocidade diferente, e quanto maior for esta velocidade com relação a da onda incidente maior será a inclinação da frente de onda transmitida, ou seja, maior será o ângulo de inclinação da onda transmitida em relação a interface, e quando este ângulo chega a 90° temos uma onda de superfície ou onda evanescente. Em termos gerais, quando a onda evanescente se estende com amplitude suficiente, através do meio menos denso, para uma região próxima de um material de índice de refração superior, a energia pode ser transmitida através deste intervalo; este processo é conhecido por reflexão interna total frustrada [HECHT, E. : Óptica .Trad. José Manuel N. V. Lisboa,1991]. Em outras palavras, se depois de ter atravessado o intervalo a onda evanescente ainda possuir energia suficiente para excitar os elétrons do meio adjacente, estes gerarão uma onda que altera significativamente a configuração do campo, permitindo assim um fluxo de energia. Este efeito é o análogo clássico do efeito túnel .

## 4- Experimento

Se um segundo prisma for colocado suficientemente próximo ao primeiro prisma, de forma a estar na região na qual as vibrações eletromagnéticas ainda são apreciáveis, essas vibrações são captadas e se propagam através do segundo prisma. Além disso, as vibrações eletromagnéticas no espaçamento com ar agora conduzem um fluxo de energia até o segundo prisma, fazendo-se desprezar o dióptro ar-vidro responsável pela reflexão. Esta transição se faz gradualmente à medida que os dois blocos se aproximam e a espessura da camada de ar entre eles diminua gerando assim uma onda transmitida, ocorrendo o fenômeno da reflexão interna total frustrada , que é um fenômeno clássico (Figura 3). Acontece basicamente a mesma coisa no caso quântico, quando a região na qual E &lt; V(x) é diminuída desde uma largura infinita (degrau de potencial) até uma largura finita (barreira de potencial).

Figura 3.Reflexão interna total frustrada.

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Com o esquema da Figura 3 observamos o fenômeno da RITF usando a luz coerente e intensa de um laser, porém, um modo de mostrar tal efeito de forma mais simples é utilizando um kit de óptica de baixo custo (AZEHEB EQUIPAMENTOS), com elementos feitos de acrílico (prismas e lentes).Com uma fonte de luz incoerente (lâmpada comum) e colimada incidindo num prisma Figura 4(a), observa-se que à m edida que aproximamos uma lente plano-convexa no prisma

feixes de luz são transmitidos através dela, Figura 4(b),(c). Este resultado se deve ao fato da lente ser um dispositivo refrator usado para refazer frentes de onda de maneira controlada, por exemplo, uma lente plano-convexa tende a fazer diminuir o raio de curvatura das frentes de onda incidentes (para índice de refração da lente superior ao do meio em que esta se encontra) fazendo com que a luz transmitida seja direcionada para seu foco.

Figura 4 -(a) Arranjo experimental.(b)Lente aproximando-se do prisma .(c) Lente acoplada ao prisma mostrando a RITF.

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Essa experiência pode ser feita tanto com uma lente fina (plano-convexa) como uma lente grossa (semi-circular) e também utilizando dois prismas retangulares. Portanto, é interessante notar o quanto a demonstração da RITF pode ser estendida de uma forma mais simples e variada, diferentemente do que é feito em experimentos de óptica realizados em sala de aula ou laboratórios de física.

## REFERÊNCIAS

- -HECHT, E. : Óptica .Trad. José Manuel N. V. Lisboa,1991.
- -RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; WALKER, J: Fundamentos de Física , Ótica e Física Moderna . Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A,1995, 4° edição, v. 4.
- -SERWAY, R. A: Física , Eletricidade, Magnetismo e Ótica . Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1992, 3ª edição, v. 3
- -TIPLER, Paul A.: Física Moderna .Rio de Janeiro: editora Guanabara Dois S.A, 1981