OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO COM AMORTECIMENTO POR ATRITO

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## OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO COM AMORTECIMENTO POR ATRITO

A. C. de Castro Barbosa (accb@ime.uerj.br) a

C. G. Carvalhaes (carvalhaes@ime.uerj,.br) a M. V. Tovar Costa (mvtc@uerj.br) b

a Instituto de Matemática e Estatística, UERJ b Instituto de Aplicação, UERJ

## RESUMO

Estudamos neste artigo o problema do oscilador harmônico, considerando a ação de uma força externa periódica e uma força dissipativa proveniente do atrito entre o corpo em oscilação e a superfície em que este está apoiado.

Palavras-chaves: Oscilador forçado, amortecimento por atrito, força dissipativa.

## INTRODUÇÃO

Consideraremos um sistema constituído por um corpo, preso a uma mola, sobre uma superfície livre, que executa movimento de oscilação em torno da posição de equilíbrio. Nesse sistema, o período das oscilações é determinado pela inércia e pelas forças restauradoras que atuam sobre a massa [1]. O sentido positivo no eixo dos deslocamentos é o usual.

Vamos analisar o efeito produzido sobre esse oscilador pela ação de duas forças externas: uma periódica e outra de amortecimento. A primeira supre continuamente o sistema com energia, compensando a dissipação causada pela segunda.

A força externa periódica tem a forma

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com freqüência angular e ω . Nos livros textos, em geral, a força de amortecimento é considerada proporcional à velocidade, que é o caso da força que um corpo experimenta quando se movimenta imerso em um fluido, devido à viscosidade. No entanto, estaremos considerando neste trabalho uma força do tipo N f a µ = , onde µ é o coeficiente de atrito - estático ou cinético - e N é a força normal à superfície [2]. Os gráficos nas figs. 1a e 1b mostram a dependência da força de atrito ( a f ) com a posição ( x ).

A força dissipativa que consideramos age sempre no sentido oposto ao movimento. Dessa forma, ela vale N f c a µ = , onde c µ é o coeficiente de atrito cinético, quando o corpo se move da direita para a esquerda ( 0) e &lt; x &amp; N f c a µ -= no sentido contrário ( 0). Nas extremidades ( &gt; x &amp; 0), = x &amp; no entanto, a força de atrito apresenta uma descontinuidade, valendo N f e a µ = na extremidade à esquerda e N f e a µ -= na extremidade à direita, onde e µ é o coeficiente de atrito estático. Como o

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corpo se move em um plano horizontal, a força normal à superfície vale mg N = , com m representando a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.

Figura 1a : O corpo se movimenta da direita para a esquerda.

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Figura 1b : O corpo se movimenta da esquerda para a direita.

## SOLUÇÃO DO PROBLEMA

Como vimos na seção anterior, a força de atrito N f a µ = , dependendo do sentido de deslocamento do corpo, pode ser escrita como

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com e.e. significando extremidade esquerda e e.d . extremidade direita. Considerando todos os valores de x , tais que 0 , ≠ x &amp; a segunda lei de Newton nos leva a duas equações diferencias lineares de segunda ordem distintas, ou seja:

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Antes de procurarmos as soluções para as equações acima, devemos fazer algumas considerações. Uma delas diz respeito à composição das forças nos extremos da trajetória ( 0). = x &amp; Nestes pontos, a soma da força restauradora com a força externa deve ser maior que o módulo da força de atrito estático para que o sistema massa-mola oscile ( mg kx t F e e µ ω &gt; -) cos( 0 ). De outra forma, o sistema permanecerá em repouso. Outra co nsideração importante está ligada às condições iniciais. Descreveremos o movimento oscilatório a partir da suposição que a velocidade inicial seja nula ( 0) ) 0 ( = x &amp; e que neste instante a posição seja 0. = x Estaremos supondo também que a freqüência angular e ω da força externa não esteja próxima da freqüência natural 0 ω do oscilador,

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isto é, não estaremos considerando aqui o fenômeno de ressonância em que a amplitude do movimento de oscilação aumenta de forma acentuada à medida que a diferença entre estas freqüências tende a zero.

Podemos reescrever as equações diferenciais para o oscilador como

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onde m k = 2 0 ω , µ representa os coeficientes de atrito estático ou cinético e os sinais ( ± ) seguem a convenção estabelecida na seção anterior. A solução desta equação é

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A equação (5) fornece a posição do corpo em cada instante de tempo, levando-se em conta a mudança de solução sempre que 0, isto é, nestes instantes, deve ocorrer uma mudança de sinal = x &amp; no termo referente à força de atrito. Nestes pontos de mudança de sentido do movimento (pontos de retorno), o fator A deve ser corrigido de forma que ) seja uma função contínua. A fig. (2) mostra o ( t x gráfico da posição e da aceleração do corpo em função do tempo.

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Figura 2 : Posição e aceleração em função do tempo para um oscilador de massa 50 g, freqüência externa de 5 Hz, freqüência natural de 10 Hz, amplitude da força externa de 2,5 N, coeficientes de atrito cinético de 1,5 e estático de 2,5.

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A partir da eq. (5), podemos escrever as expressões para a velocidade e para a aceleração:

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A fig. 3 mostra a ampliação numa região do gráfico da aceleração. Nota-se que ) ( t a é descontínua nos pontos extremos, como ocorre no caso do oscilador não forçado [2].

Figura 3 : Ampliação de uma região entre dois picos da Figura 2.

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## CONCLUSÕES

Estudamos a solução do oscilador harmônico forçado, amortecido por uma força dissipativa do tipo N µ , considerando a freqüência da força externa periódica menor do que a freqüência de ressonância do sistema. Esta construção difere da abordagem padrão, feita pelos livros textos de física básica, que consideram a força dissipativa proporcional à velocidade do corpo.

Este modelo nos leva à uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, em que a solução exige um algoritmo que possibilite a determinação da posição correta do corpo após sua passagem por um ponto de retorno. Obtivemos gráficos que diferem significativamente daqueles obtidos no problema usual, abordados nos livros textos, em que a força dissipativa é proporcional à velocidade. Um gráfico que merece especial atenção é o da aceleração em função do tempo que, ao contrário do gráfico da posição, apresenta uma descontinuidade nos pontos de retorno. Esta descontinuidade se deve à mudança que ocorre na força de atrito.

Como vimos, existem muitos pontos importantes a serem explorados e que certamente contribuem para um melhor entendimento da física envolvida nos problemas reais de sistemas oscilatórios. Este é um problema interessante que deveria ser incluído nos cursos de física básica.

## REFERÊNCIAS

- 1. H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 2, 3 edição, Editora Edgard Blücher LTDA, 1997. a
- 2. Hickmann, J. S. e Libardi, H., Rev. Bras. Ensino de Fis., 19 , 359 (1997).