Análogo macroscópico da seção de choque de colisão

## ANÁLOGO MACROSCÓPICO DA SEÇÃO DE CHOQUE DE COLISÃO

A.C. F. Santos a [toni@if.ufrj.br] A. Fröhlich b [xd@uol.com.br]

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Instituto de Física - UFRJ b University of Missouri-Rolla

## RESUMO

Uma questão importante em educação hoje em dia é como abordar alguns conceitos de física moderna para alunos do nível médio. Este artigo apresenta uma abordagem sobre colisões atômicas. Descrevemos uma maneira alternativa de medir a área de uma meda usando a analogia macroscópica do espalhamento de radiação por um átomo ou molécula, a seção de choque de colisão. Esperamos que este artigo venha a ajudar educadores como introduzir este conceito importante e como relaciná-lo com alguns fenômenos em física moderna.

## INTRODUÇÃO

Quando um feixe de partículas atravessa um material, vários processos distintos podem acontecer. Algumas partículas atravessam o material sem que ocorra nenhum tipo de interação (veja Fig. 1), enquanto outras são defletidas devido a suas interações ou colisões com os átomos dos material

- O espalhamento elástico da luz na atmosfera produz o azul o céu. Exemplos similares do esplhamento da luz são comuns na nossa experiência diária, o arco-íris por exemplo é formado devido à dispersão preferencial da luz num dado ângulo quando colide com gotas d'água. Nestes casos, os efeitos da colisão são observados nas partículas espalhadas.Como um produto da interação, o alvo também pode sofrer uma transformação. Estas transformações dão lugar par uma gama enorme de aplicações, as quais inclui o uso de radiação para o t ratamento de câncer, utilização de radiação ionizante para a preservação de alimentos, ou para o estudo da composição dos materiais.

A interação ou colisão entre duas partículas é usualmente descrita em termos da seção de choque de colisão , que é por definição ' Uma medida da probabilidade que um encontro entre partículas resulte na ocorrência de uma determinada reação atômica ou nuclear' [2] . Esta grandeza, basicamente, é a medida da interação efetiva entre o projétil e o alvo. Quanto maior a seção de choque, mais provável será a deflexão do projétil. Seção de choque tem dimensões de área (ou comprimento ao quadrado) e representa a área efetiva da região de colisão [3,4]. A seção de choque depende dos tipos de partículas envolvidas e usualmente depende da v elocidade ou energia da partícula no feixe incidente. A definição formal da seção de choque microscópica é dada como segue:. Considere um feixe de partículas com intensidade I 0 , incidindo sobre um alvo de densidade ρ , ou seja, partículas por unidade de área, como mostrado na Fig. 1. Agora, olhe para o número de partículas absorvidas ou espalhadas pelo alvo, I s . Devido à aleatoriedade dos parâmetros de impacto, ou seja, a distância entre o projétil e o alvo, o número de partículas espalhadas flutuará

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para medidas diferentes. No entanto, se tomarmos a média de colisões para várias medidas, este número tenderá para uma quantidade fixa. A seção de choqe , σ , é então definida como

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Ou seja, σ é a fração entre as partículas espalhadas e o número de partículas presentes n alvo por unidade de área. A Equação 1 nos diz que, se a densidade de partículas presentes no alvo, ρ , aumenta, também aumentará o número de colisões, I s, , uma vez que a seção de choque é um número fixo, devemos então divir pela densidade do alvo se desejamos que a seção de choque represente a área efetiva da interação entre uma partícula e o alvo.

Em física atômica ou nuclear, a seção de choque para uma determinada interação não necessáriamente depende do tamanho geométrico da partícula. Duas partículas podem ter a mesma área geométrica (conhecida como a seção de choque geométrica) e mesmo assim interagir de modos distintos com o projétil.

Descreveremos agora um método para a medida das seções de choque usando a equação 1. Este método é baseado no crescimento do número de projéteis espalhados em função da densidade do alvo ρ . A equação 1 pode ser escrita como

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A equação acima diz que a fração do número de projéteis, I /I s o , depende linearmente da densidade do alvo. Então, a medida da seção de choque pode ser reduzida ao estudo da dependência da taxa de crescimento do número de projéteis espalhados com a densidade do alvo. Consequentemente, a seção de choque pode ser determinada a partir da parte linear da taxa de crescimento do número de projéteis, ou seja, da inclinação do gráfico de I /I s o vs. ρ . Numa situação real, no entanto, o alvo sempre terá algum tipo de contaminação, como por exemplo gases residuais. Uma vez que as impurezas são independentes da densidade do gás, e são aproximadamente constante ao longo da medida, elas não influenciam a inclinação da taxa de crescimento, a partir da qual a determina-se a seção de choque. De modo a levar em conta a contribuição das impurezas residuais, adicionamos um termo constante 'a equção 2.

## EXPERIMENTO

O experimento qual passamos a descrever é um análogo macroscópico da seção de choque de espalhamento. O alvo consiste de uma folha de papel de área S , contendo vários centros espalhadores, as moedas T ,. Noss objetivo é medir a área de cada moeda alvo. Para tanto, um certo número de moedas é uniformemente distribuido sobre a folha de papel. De modo a simular as impurezas residuais, moedas R , de um tamanho diferente foram adicionadas.

Assim, o procedimento para o cálculo da seção de choque, ou área efetiva, de uma moeda numa colisão com um projétil (lápis ou caneta) é:

- 1. Prenda a folha de papel ao chão usando um fita adesiva.
- 2. Meça a área da folha de papel.
- 3. Espalhe as moedas R (contaminanes) unifomemente sobre a folha[5].

- 4. Deixe o projétil (lápis ou caneta) cair sobre a folha u mas 100 vezes e conte o número de colisões I s do projétil com as moedas residuais R. Não considere os lançamentos que caem fora do papel. A densidade do alvo é ainda igual a zero.
- 5. coloque algumas moedas alvo ( T).
- 6. Determine o número de partículas alvo por u nidade de área ρ , ou seja, o número de moedas dividido pela área do papel.
- 7. Deixe o projétil cair de uma altura h sobre a folha de papel por I o vezes, conforme mostrado na Fig. 2. Note que h deve ser suficientemente alta de modo que estatísticamente o projétil possa interagir com todas as moedas alvo.
- 8. Faça 100 lançamentos e meça o número de colisões I s do projétil com qualquer moeda alvo ( T or R.) Não considere os lançamentos que caiam fora do papel. Faça uma tabela com I s em função da densidade ρ .
- 9. Repita os itens 5 a 8 até que a sua tabela tenha um mínimo de 4 ou 5 linhas.
- 10. De modo a determinar a interação do projétil com as partículas alvo, utilize as equações básicas apresentadas acima.. Divida I s por I o. e faça um gráfico de I s / I o em função de ρ .

Este é o chamado método do crescimento para a determinação das seções de choque.

A figura 3 mostra dois casos distintos. No primeiro caso (círculos na figura 3), os dados foram tomados sem adicionar "impurezas" e o projétil utilizado foi um lápis de ponta fina. No segundo caso (quadrados na figura 3), seis moedas de tamanhos diferentes das moedas-alvo foram adicionadas com impurezas. e o projétil utilizado foi um lápis de 0.8 cm de diâmetro. As barras de

incertezas representamas incertezas estatísticas para um dado número de colisões, o s I I . Usando o método dos mínimos quadrados, determinamos as inclinações como 3.45 ± 0.13 cm (círculos) e 2 7.01 ± 0.85 cm (quadrados). 2

## ANÁLISE: O TAMANHO DO PROJÉTIL E O EFEITO DAS MOEDAS RESIDUAIS

Descreveremos agora como levar em cont o tamanho do projétil na medida do tamanho das moedas. Para este cálculo consideremos as moedas como círculos de raio r e área transversal do 1 projétil também como um circulo de raio r . Como pode ser visto na Fi g. 4, a colisão não ocorrerá 2 se a distância entre os centros for maior do que a soma dos raios, r + r 1 2 . Neste caso, a área efetiva do alvo será π (r 1 + r ) . Neste experimento, os projéteis foram um lápis apontado (diâmetro 2 2 desprezível comparado com as dimensões do alvo) e um outro lápis de diâmetro igual a 0.8 cm (medido com um paquímetro) e o alvo foi uma moeda de 1.91 cm de diâmetro. No primeiro caso, r 2 &lt;&lt; r e a área efetiva é com muito boa aproximação igual à área da moed. 1 (2.86 cm ). Por outro 2 lado, no segundo exemplo dado acima, as dimensões do projétil têm que ser levadas em conta.Neste caso, a área efetiva é 5.76 cm . Comparando estas duas áreas efetivas com as inclinações medidas a 2 partir da Fig. 3, encontramos um erro de 21 %.

## Legendas das Figuras:

Fig. 1 - Um feixe de radiação de intensidade I atravessa um alvo. . Uma fração do feixe incidente o é espalhado, enquanto que o restante do feixe é transmitido sem colidir com as partícula do alvo.

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Fig. 2 - O projétil (cilindro vermelho) cai verticalmente de uma altura h sobre uma folha de papel contendo moedas.

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Fig. 3 - O método do crescimento para moedas. Círculos: o projétil é um lápis apontado e nenhuma contaminação de fundo foi adicionada. Quadrados: o projétil usado foi um lápis cuja dimensões er comparavél com as dimensões do alvo. De modo a simular as impurezas presentes, foram adicionadas seis moedas de tamanho distinto das moedas-alvo.

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Fig. 4 - (Esquerda) o projétil é representado por um cilindro de diâmetro 2r1. (Direita) o projéctil de ráio r1 e o alvo de ráio r2, colidem se seus centros estão dentro de uma distância igual ou inferior a r1+r2

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- 1 -R. A. Serway, Physics For Scientists &amp; Engineers , 3 edition, Saunders College Publishing, rd USA, 1982.
- 2 - http://www.yahooligans.com/reference/dictionary/entries/62/c0766200.html
- 3- http://www.jupiterscientific.org/sciinfo/crosssection.html
- 4 - http://www-ed.fnal.gov/painless/htmls/cross.html
- 5 - Aqui o professor pode não utilizar nenhuma moeda como contaminação de fundo. A análise torna-se mais fácil se utilizarmos somente moedas-alvo T . Neste caso , o termo f BG é nulo.
- 6- http://gorams.wssu.edu/physcilabs/Finished%20Pages/EXP\_G-9.htm.